題型06 5類函數(shù)選填壓軸題解題技巧（對稱性、解不等式（含分段函數(shù)）、整數(shù)解、零點、切線與公切線）-高考數(shù)學必考模型歸納（解析版）

題型065類函數(shù)選填壓軸題解題技巧（對稱性、解不等式（含分段函數(shù)）、整數(shù)解、零點、切線與公切線）技法01技法01函數(shù)對稱性的應用及解題技巧技法02解不等式（含分段函數(shù)）的應用及解題技巧技法03整數(shù)解的應用及解題技巧技法04零點的應用及解題技巧技法05切線與公切線的應用及解題技巧技法01函數(shù)對稱性的應用及解題技巧本題型通常本題型通常由對稱性考查參數(shù)值及解析式的求解，靈活運用對稱性反解函數(shù)是解題的關鍵，常以小題形式考查.例1．（全國·高考真題）設函數(shù)的圖像與的圖像關于直線對稱，且，則A． B． C． D．反解的解析式，可得，即，因為，所以，解得解得，故選C1．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預測）已知函數(shù)的圖象與的圖象關于直線對稱，且滿足，則（

）A．4 B．2 C．1 D．【答案】B【分析】根據(jù)圖象的對稱性得點，在函數(shù)的圖象上，列方程組求解即可得解.【詳解】函數(shù)的圖象與的圖象關于直線對稱，所以點，在函數(shù)的圖象上，所以，所以，所以，又，所以，所以.故選：B2．（2023·全國·高三專題練習）若函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關于直線對稱，則（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關于直線對稱，由得，∴，把互換得：，即，因為，所以．故選：B．3．（2023上·黑龍江哈爾濱·高三哈爾濱三中?？茧A段練習）已知函數(shù)和的圖象與直線交點的橫坐標分別，，則（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】作出函數(shù)和的圖象以及直線的圖象，利用反函數(shù)的性質(zhì)即可判斷【詳解】作出函數(shù)和的圖象以及直線的圖象，如圖，

由函數(shù)和的圖象與直線交點的橫坐標分別為，，由題意知，也即,由于函數(shù)和互為反函數(shù)，二者圖像關于直線對稱，而為和的圖象與直線的交點,故關于對稱，故.故選：B.4．（2023·全國·高三專題練習）若滿足，滿足，則等于（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【分析】將所給式化簡可得，，進而和是直線和曲線、曲線交點的橫坐標.再根據(jù)反函數(shù)的性質(zhì)求解即可【詳解】由題意，故有故和是直線和曲線、曲線交點的橫坐標.根據(jù)函數(shù)和函數(shù)互為反函數(shù)，它們的圖象關于直線對稱，故曲線和曲線的圖象交點關于直線對稱.即點（x1，5﹣x1）和點（x2，5﹣x2）構成的線段的中點在直線y=x上，即，求得x1+x2=5，故選：D.技法02解不等式（含分段函數(shù)）的應用及解題技巧在已知函數(shù)解析式，解抽象不等式快速求解的方法就是特值法，因此小題要學會特值法的使用來快速求解在已知函數(shù)解析式，解抽象不等式快速求解的方法就是特值法，因此小題要學會特值法的使用來快速求解例2．（全國·高考真題）設函數(shù),則使成立的的取值范圍是A． B．C． D．【特值法】當時，不成立，排除D，當時，則判斷是否成立，計算，，不成立，故排除B、C,【答案】A1．（全國·高考真題）設函數(shù)，則滿足的x的取值范圍是A． B． C． D．【答案】D【分析】分析：首先根據(jù)題中所給的函數(shù)解析式，將函數(shù)圖像畫出來，從圖中可以發(fā)現(xiàn)若有成立，一定會有，從而求得結果.詳解：將函數(shù)的圖像畫出來，觀察圖像可知會有，解得，所以滿足的x的取值范圍是，故選D.點睛：該題考查的是有關通過函數(shù)值的大小來推斷自變量的大小關系，從而求得相關的參數(shù)的值的問題，在求解的過程中，需要利用函數(shù)解析式畫出函數(shù)圖像，從而得到要出現(xiàn)函數(shù)值的大小，絕對不是常函數(shù)，從而確定出自變量的所處的位置，結合函數(shù)值的大小，確定出自變量的大小，從而得到其等價的不等式組，從而求得結果.【詳解】2．（2023·重慶沙坪壩·重慶南開中學?？寄M預測）已知函數(shù)，則的解集是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)函數(shù)解析式，作出函數(shù)圖象，繼而作出的圖象，數(shù)形結合，求得不等式的解集.【詳解】根據(jù)題意當時,，當時,,作出函數(shù)的圖象如圖，在同一坐標系中作出函數(shù)的圖象，由圖象可得不等式解集為，故選：C【點睛】關鍵點點睛：解答本題的關鍵是正確的作出函數(shù)的圖象，數(shù)形結合，求得不等式解集.3．（2024·山東淄博·山東省淄博實驗中學校聯(lián)考模擬預測）已知函數(shù)，若成立，則實數(shù)a的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】構造函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的奇偶性及復合函數(shù)的單調(diào)性可得函數(shù)為偶函數(shù)且在單調(diào)遞增，進而關于直線對稱，且在單調(diào)遞增，結合條件可得，解不等式即得.【詳解】因為的定義域為R，又，故函數(shù)為偶函數(shù)，又時，，單調(diào)遞增，故由復合函數(shù)單調(diào)性可得函數(shù)在單調(diào)遞增，函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增，所以在單調(diào)遞增，所以，所以關于直線對稱，且在單調(diào)遞增．所以，兩邊平方，化簡得，解得．故選：C．【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵是構造函數(shù)，然后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性及對稱性化簡不等式進而即得.技法03整數(shù)解的應用及解題技巧在在整數(shù)解問題中，通常我們用猜根法比較快，先找到臨界條件得到端點值，再利用整數(shù)解區(qū)間為一開一閉，能做到快速求解.例3．（2024·全國·模擬預測）已知關于x的不等式恰有一個整數(shù)解，則實數(shù)k的取值范圍為（

）A． B．C． D．【猜根法，尋找臨界條件】由題知整數(shù)解不可能為1，若整數(shù)解為2，則整數(shù)解3不可取，代入有，，根據(jù)整數(shù)解問題區(qū)間為一開一閉，則選D.1．（2023·四川內(nèi)江·統(tǒng)考三模）若關于x的不等式有且只有一個整數(shù)解，則正實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】原不等式可化簡為，設，，作出函數(shù)的圖象，由圖象可知函數(shù)的圖象應介于直線與直線之間（可以為直線，進而求得答案．【詳解】原不等式可化簡為，設，，由得，，令可得，時，，時，，易知函數(shù)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，且，作出的圖象如下圖所示，而函數(shù)恒過點，要使關于的不等式有且只有一個整數(shù)解，則函數(shù)的圖象應介于直線與直線之間（可以為直線），又，，∴，，∴，∴．故選：A．2．（2023·全國·模擬預測）已知函數(shù)，若不等式有3個整數(shù)解，則實數(shù)a的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意將不等式等價轉(zhuǎn)化為有3個整數(shù)解．利用導數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)并畫出草圖，結合圖形列出關于a的不等式組，解之即可.【詳解】函數(shù)的定義域為．由，得，則不等式有3個整數(shù)解．設，則，當時，，單調(diào)遞增，當時，，單調(diào)遞減，又，所以當時，，當時，，易知的圖象恒過點，在同一直角坐標系中，分別作出與函數(shù)的圖象，如圖所示．由圖象可知，要使不等式有3個整數(shù)解，則，解得，故選：A．3．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)，若恰有3個正整數(shù)解，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】不等式有解問題轉(zhuǎn)化為相應兩個函數(shù)圖象交點問題，根據(jù)數(shù)形結合思想，通過運算進行求解即可.【詳解】解：由題意，恰有3個正整數(shù)解，轉(zhuǎn)換為的圖象與的圖象交點問題，作出和的圖象，如圖：要使恰有3個正整數(shù)解，則需滿足：，解得：，故選：A．【點睛】方法點睛：不等式解和方程根的問題往往轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象交點問題，利用數(shù)形結合思想進行求解.4．（2022·黑龍江哈爾濱·哈九中?？级＃┡己瘮?shù)滿足，當時，，不等式在上有且只有100個整數(shù)解，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由題意得到是周期函數(shù)，且周期為，且關于對稱，轉(zhuǎn)化為不等式在上有且只有1個整數(shù)解，根據(jù)時，得到在上有一個整數(shù)解，結合對數(shù)運算及性質(zhì)，列出不等式，即可求解.【詳解】由題意，函數(shù)為偶函數(shù)，所以，所以，所以是周期函數(shù)，且周期為，且關于對稱，又由在上含有50個周期，且在每個周期內(nèi)都是對稱圖形，關于的不等式在上有且只有100個整數(shù)解，所以關于不等式在上有且只有1個整數(shù)解，當時，，則，令，解得，所以當時，，為增函數(shù)，當時，，為減函數(shù)，因為當時，，且，，，所以當時，可得，當時，在上有且只有3個整數(shù)解，不合題意；所以，由，可得或，因為，當時，令，可得，當時，，且在為增函數(shù)，所以在上無整數(shù)解，所以在上有一個整數(shù)解，因為，所以在上有一個整數(shù)解，這個整數(shù)解只能為，從而有且，解得，即實數(shù)a的取值范圍是．故選：C技法04零點的應用及解題技巧零點問題是高考中?？純?nèi)容，解決唯一零點問題在于觀察發(fā)現(xiàn)零點的具體值零點問題是高考中?？純?nèi)容，解決唯一零點問題在于觀察發(fā)現(xiàn)零點的具體值，多個零點數(shù)形結合能做到快速求解.例4-1．（全國·高考真題）已知函數(shù)有唯一零點，則A． B． C． D．1通過觀察發(fā)現(xiàn)關于對稱，也關于對稱，則唯一零點為1，解得解得.故選：C.例4-2．（2023·山東濟南·統(tǒng)考三模）已知函數(shù)若函數(shù)有四個不同的零點，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【詳解】

依題意，函數(shù)有四個不同的零點，即有四個解，轉(zhuǎn)化為函數(shù)與圖象由四個交點，由函數(shù)函數(shù)可知，當時，函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù)，；當時，函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，；當時，函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù)，；當時，函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，；結合圖象，可知實數(shù)的取值范圍為.故選：A1．（2023·貴州畢節(jié)·校考模擬預測）若函數(shù)有唯一零點，則實數(shù)（

）A．2 B． C．4 D．1【答案】A【分析】由函數(shù)解析式推導出函數(shù)的對稱性，然后結合只有唯一的零點求出參數(shù)的值.【詳解】由，得，即函數(shù)的圖象關于對稱，要使函數(shù)有唯一的零點，則，即，得．故選：A．2．（2023·安徽蚌埠·統(tǒng)考模擬預測）已知函數(shù)有唯一零點，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】分析可知函數(shù)存在極小值且滿足，由此可得出，構造函數(shù)，其中，利用導數(shù)分析得出函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，可求得的值，進而可求得的值.【詳解】函數(shù)的定義域為，則，，則，所以，函數(shù)在上為增函數(shù)，當時，，當時，，則存在，使得，則，當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減，當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增，，由于函數(shù)有唯一零點，則，由，解得，所以，，令，其中，，，則，，，則，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，，從而可得，解得.故選：C.【點睛】方法點睛：利用導數(shù)解決函數(shù)零點問題的方法：（1）直接法：先對函數(shù)求導，根據(jù)導數(shù)的方法求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值，根據(jù)函數(shù)的基本性質(zhì)作出圖象，然后將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與軸的交點問題，突出導數(shù)的工具作用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結合思想和分類討論思想的應用；（2）構造新函數(shù)法：將問題轉(zhuǎn)化為研究兩函數(shù)圖象的交點問題；（3）參變量分離法：由分離變量得出，將問題等價轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)的圖象的交點問題.3．（2022上·云南曲靖·高三曲靖一中校考階段練習）已知函數(shù)有唯一零點，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】將函數(shù)變形，換元后得到，研究得到為偶函數(shù)，由有唯一零點，得到函數(shù)的圖象與有唯一交點，結合為偶函數(shù)，可得此交點的橫坐標為0，代入后求出.【詳解】有零點，則，令，則上式可化為，因為恒成立，所以，令，則，故為偶函數(shù)，因為有唯一零點，所以函數(shù)的圖象與有唯一交點，結合為偶函數(shù)，可得此交點的橫坐標為0，故.故選：D4．（2023·湖南岳陽·統(tǒng)考二模）若函數(shù)有兩個不同的零點，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)與圖象有兩個不同的交點，根據(jù)換元法將函數(shù)轉(zhuǎn)化為，利用導數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的值域，進而得出參數(shù)的取值范圍.【詳解】函數(shù)的定義域為，，設，則，令，令，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，所以，所以，函數(shù)有兩個不同的零點等價于方程有兩個不同的解，則，等價于函數(shù)與圖象有兩個不同的交點.令，，則函數(shù)與圖象有一個交點，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，且趨向于正無窮時，趨向于正無窮，所以，解得.故選：A.【點睛】方法點睛：與函數(shù)零點有關的參數(shù)范圍問題，往往利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值點，并結合特殊點，從而判斷函數(shù)的大致圖象，討論其圖象與x軸的位置關系，進而確定參數(shù)的取值范圍；或通過對方程等價變形轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象的交點問題．對于不適合分離參數(shù)的等式，常常將參數(shù)看作常數(shù)直接構造函數(shù)，常用分類討論法，利用導數(shù)研究單調(diào)性、最值，從而得出參數(shù)范圍.5．（全國·高考真題）已知函數(shù)．若g（x）存在2個零點，則a的取值范圍是A．[–1，0） B．[0，+∞） C．[–1，+∞） D．[1，+∞）【答案】C【詳解】分析：首先根據(jù)g（x）存在2個零點，得到方程有兩個解，將其轉(zhuǎn)化為有兩個解，即直線與曲線有兩個交點，根據(jù)題中所給的函數(shù)解析式，畫出函數(shù)的圖像（將去掉），再畫出直線，并將其上下移動，從圖中可以發(fā)現(xiàn)，當時，滿足與曲線有兩個交點，從而求得結果.詳解：畫出函數(shù)的圖像，在y軸右側的去掉，再畫出直線，之后上下移動，可以發(fā)現(xiàn)當直線過點A時，直線與函數(shù)圖像有兩個交點，并且向下可以無限移動，都可以保證直線與函數(shù)的圖像有兩個交點，即方程有兩個解，也就是函數(shù)有兩個零點，此時滿足，即，故選C.點睛：該題考查的是有關已知函數(shù)零點個數(shù)求有關參數(shù)的取值范圍問題，在求解的過程中，解題的思路是將函數(shù)零點個數(shù)問題轉(zhuǎn)化為方程解的個數(shù)問題，將式子移項變形，轉(zhuǎn)化為兩條曲線交點的問題，畫出函數(shù)的圖像以及相應的直線，在直線移動的過程中，利用數(shù)形結合思想，求得相應的結果.6．（2023·貴州貴陽·校聯(lián)考三模）已知函數(shù)，其中，若在區(qū)間內(nèi)恰好有4個零點，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)參數(shù)的范圍，討論兩段函數(shù)的零點情況，利用二次函數(shù)與三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，結合端點滿足的條件，即可求解.【詳解】由函數(shù)，其中，當時，對任意，函數(shù)在內(nèi)最多有1個零點，不符題意，所以，當時，，由可得或，則在上，有一個零點，所以在內(nèi)有3個零點，即在內(nèi)有3個零點，因為，所以，，所以，解得，綜上所述，實數(shù)的取值范圍為.故選：C.【點睛】方法技巧：已知函數(shù)零點（方程根）的個數(shù)，求參數(shù)的取值范圍問題的三種常用方法：1、直接法，直接根據(jù)題設條件構建關于參數(shù)的不等式（組），再通過解不等式（組）確定參數(shù)的取值范圍；2、分離參數(shù)法，先分離參數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決；3、數(shù)形結合法，先對解析式變形，在同一平面直角坐標系中作出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結合求解.技法05切線與公切線的應用及解題技巧對于切線及公切線問題，熟練掌握導數(shù)的幾何意義及其應用，能做到基本題型求解，熟練解方程也有助于快速解題對于切線及公切線問題，熟練掌握導數(shù)的幾何意義及其應用，能做到基本題型求解，熟練解方程也有助于快速解題.例5-1．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）若過點可以作曲線的兩條切線，則（

）A． B．C． D．畫出函數(shù)曲線的圖象如圖所示，根據(jù)直觀即可判定點在曲線下方和軸上方時才可以作出兩條切線.由此可知.

故選：D.例5-2．（全國·高考真題）若直線是曲線的切線，也是曲線的切線，則．對函數(shù)求導得，對求導得，設直線與曲線相切于點，與曲線相切于點，則，由點在切線上得，由點在切線上得，這兩條直線表示同一條直線，所以，解得.1．（2023·全國·高三專題練習）若兩曲線與存在公切線，則正實數(shù)a的取值范圍是．【答案】【分析】求出函數(shù)的導數(shù)，根據(jù)導數(shù)的幾何意義推出公共切線斜率為，結合切點坐標滿足函數(shù)解析式，可得，構造函數(shù)，利用導數(shù)求得其最大值，即可求得答案.【詳解】由題可知，，，設與曲線相切的切點為，與相切的切點為，則有公共切線斜率為，則，，又，，可得，即有，即，可得，，設，，，可得時，，在上單調(diào)遞增，當時，，在上單調(diào)遞減，,可得處取得極大值，且為最大值，則正實數(shù)a的取值范圍，故答案為：2．（2024·全國·高三專題練習）若曲線與曲線存在公切線，則實數(shù)的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】求出函數(shù)的導函數(shù)，設公切線與切于點，與曲線切于點，，即可得到，則或，從而得到，在令，，利用導數(shù)求出函數(shù)的最小值，即可得解；【詳解】因為，，所以，，設公切線與切于點，與曲線切于點，，所以，所以，所以，所以