中考數(shù)學(xué)幾何專項沖刺專題06半角模型鞏固練習(xí)（提優(yōu)）含答案及解析

半角模型鞏固練習(xí)（提優(yōu)）1. 如圖，在四邊形ABCD中，∠B＋∠D＝180o，AB＝AD，E、F分別是線段BC、CD上的點，且BE＋FD＝EF，求證：∠EAF＝∠BAD.2. 已知，在正方形ABCD中，∠MAN＝45o，∠MAN繞點A順時針旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交CB、DC（或它們的延長線）于點M、N，當(dāng)∠MAN繞點A旋轉(zhuǎn)到BM＝DN時（如圖1），易證BM＋DN＝MN.（1）當(dāng)∠MAN繞點A旋轉(zhuǎn)到BM≠DN時（如圖2），線段BM、DN、和MN之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？猜想一下，并加以證明；（2）當(dāng)∠MAN繞點A旋轉(zhuǎn)到如圖3的位置時，線段BM、DN和MN之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請直接寫出你的猜想.3. 已知在中，，，于，點在直線上，，點F在線段上，是的中點，直線與直線交于點.（1）如圖1，若點在線段上，請分別寫出線段和之間的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系：___________，___________；（2）在（1）的條件下，當(dāng)點在線段上，且時，求證：；（3）當(dāng)點在線段的延長線上時，在線段上是否存在點，使得．若存在，請直接寫出的長度；若不存在，請說明理由．4. （1）如圖1，點E、F分別是正方形ABCD的邊BC、CD上的點，∠EAF=45°，連接EF，則EF、BE、FD之間的數(shù)量關(guān)系是：EF=BE+FD．連結(jié)BD，交AE、AF于點M、N，且MN、BM、DN滿足，請證明這個等量關(guān)系；（2）在△ABC中，AB＝AC，點D、E分別為BC邊上的兩點．①如圖2，當(dāng)∠BAC＝60°，∠DAE＝30°時，BD、DE、EC應(yīng)滿足的等量關(guān)系是__________________；②如圖3，當(dāng)∠BAC＝，(0°<<90°)，∠DAE＝時，BD、DE、EC應(yīng)滿足的等量關(guān)系是____________【參考：】5. 已知如圖1，四邊形ABCD是正方形，E，F(xiàn)分別在邊BC、CD上，且∠EAF＝45°，我們把這種模型稱為“半角模型”，在解決“半角模型”問題時，旋轉(zhuǎn)是一種常用的方法．（1）在圖1中，連接EF，為了證明結(jié)論“EF＝BE+DF“，小亮將△ADF繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°后解答了這個問題，請按小亮的思路寫出證明過程；（2）如圖2，當(dāng)∠EAF繞點A旋轉(zhuǎn)到圖2位置時，試探究EF與DF、BE之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？（3）如圖3，如果四邊形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠EAF＝45°，且BC＝7，DC＝13，CF＝5，求BE的長．半角模型鞏固練習(xí)（提優(yōu)）1. 如圖，在四邊形ABCD中，∠B＋∠D＝180o，AB＝AD，E、F分別是線段BC、CD上的點，且BE＋FD＝EF，求證：∠EAF＝∠BAD.【解答】見解析【解析】證明：將△ADF繞點A順時針旋轉(zhuǎn)∠DAB的度數(shù)得到△ABG，AD旋轉(zhuǎn)到AB，AF旋轉(zhuǎn)到AG，如圖：∵旋轉(zhuǎn)，∴AG＝AF，BG＝DF，∠ABG＝∠D，∠BAG＝∠DAF，∵∠B＋∠D＝180o，∴∠B＋∠ABG＝180o，∴點G、B、C三點共線，∵BE＋FD＝EF，∴BE＋BG＝GE＝EF，在△AEG與△AEF中，，∴∠EAG＝∠EAF，又∵∠BAG＝∠DAF，∴∠EAB＋∠DAF＝∠EAF，∴∠EAF＝∠BAD.2. 已知，在正方形ABCD中，∠MAN＝45o，∠MAN繞點A順時針旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交CB、DC（或它們的延長線）于點M、N，當(dāng)∠MAN繞點A旋轉(zhuǎn)到BM＝DN時（如圖1），易證BM＋DN＝MN.（1）當(dāng)∠MAN繞點A旋轉(zhuǎn)到BM≠DN時（如圖2），線段BM、DN、和MN之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？猜想一下，并加以證明；（2）當(dāng)∠MAN繞點A旋轉(zhuǎn)到如圖3的位置時，線段BM、DN和MN之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請直接寫出你的猜想.【解答】（1）猜想：BM＋DN＝MN；（2）猜想：DN－BM＝MN【解析】（1）猜想：BM＋DN＝MN.證明：如圖，將△AND繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90o，得到△ABE，則E、B、M共線，∴∠EAM＝90o－∠NAM＝90o－45o＝45o，∵∠NAM＝45o，在△AEM與△ANM中，，∴ME＝MN，∵ME＝BE＋BM＝DN＋BM，∴DN＋BM＝MN；（2）猜想：DN－BM＝MN.證明：在線段DN上截取DQ＝BM，如圖所示.在△ADQ與△ABM中，，∴∠DAQ＝∠BAM，∴∠QAN＝∠MAN，在△AMN與△AQN中，，∴MN＝QN，∴DN－BM＝MN.3. 已知在中，，，于，點在直線上，，點F在線段上，是的中點，直線與直線交于點.（1）如圖1，若點在線段上，請分別寫出線段和之間的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系：___________，___________；（2）在（1）的條件下，當(dāng)點在線段上，且時，求證：；（3）當(dāng)點在線段的延長線上時，在線段上是否存在點，使得．若存在，請直接寫出的長度；若不存在，請說明理由．【解答】（1）AE⊥CM，AE＝CM；（2）見解析；（3）AF＝8.【解析】（1）AE⊥CM，AE＝CM.如圖，延長AE交CM于點H.∵∠ACB＝90o，CA＝CB＝，CD⊥AB于點D，∴∠CAB＝∠CBA＝∠ACD＝∠BCD＝45o，AD＝BD＝CD＝AB，∵M是DB的中點，∴，∵.在△AEC與△CMB中，，∴AE＝CM，∠CAE＝∠BCM，∵∠ACM＋∠BCM＝90o，∴∠ACM＋∠CAE＝90o，∴∠ACH＝90o，∴AH⊥CM，∴AE⊥CM，AE＝CM；（2）如圖，過點A作AG⊥AB,且AG=BM,，連接CG、FG,延長AE交CM于H.∵∠CAB＝90o，CA＝CB＝，∴∠CAB=∠CBA=45°，，∴∠GAC=∠MBC=45°，∵CD⊥AB，∴CD=AD=BD=，∵M是DB的中點,∴BM＝DM＝3，∴AG＝3，∵AF＝2FD，∴AF＝4，DF＝2，∴FM＝FD＋DM＝2＋3＝5，∵AG⊥AF，，∴FG＝FM，在△CAG和△CBM中，，∴CG＝CM，∠ACG＝∠BCM，∴∠MCG＝∠ACM＝∠ACG＝∠ACM＋∠BCM＝90o，在△FCG和△FCM中，，∴∠FCG＝∠FCM，∴∠FCH＝45o，由（1）知AE⊥CM，∴∠CHN＝90o，∴∠CNE＝45o；（3）存在，如圖作BH⊥CN.由條件可得∠CHB=90o，∵CD⊥AB，∴∠ADE=90o，∠CHB=∠ADE，∵∠ACB=90CA=CB=62,∴∠CAB=∠CBA=45°AB=CA∵CD⊥AB，CD=AD=BD=1在Rt△ADE中，由勾股定理可得，∵∠CNE＝45o，∴∠CBA＝∠CNE，∵∠AFN＝∠CFB，∴∠NAF＝∠BCF，∴△ADE∽△CHB，，，設(shè),則，在Rt△CDF中,由勾股定理,得，∵∠CDF＝∠BHF＝90o，∠DFC＝∠HFB，∴△CDF∽△BHF，，解得（舍），∴AF＝6＋2＝8.4. （1）如圖1，點E、F分別是正方形ABCD的邊BC、CD上的點，∠EAF=45°，連接EF，則EF、BE、FD之間的數(shù)量關(guān)系是：EF=BE+FD．連結(jié)BD，交AE、AF于點M、N，且MN、BM、DN滿足，請證明這個等量關(guān)系；（2）在△ABC中，AB＝AC，點D、E分別為BC邊上的兩點．①如圖2，當(dāng)∠BAC＝60°，∠DAE＝30°時，BD、DE、EC應(yīng)滿足的等量關(guān)系是__________________；②如圖3，當(dāng)∠BAC＝，(0°<<90°)，∠DAE＝時，BD、DE、EC應(yīng)滿足的等量關(guān)系是____________【參考：】【解答】（1）見解析；（2）；（3）【解析】如圖，將△ABM繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90o得到△ADG，連接NG.∵旋轉(zhuǎn)，∴△ABM≌△ADG，∴DG＝BM，AG＝AM，∠ADG＝∠ABM＝45o，∠DAG＝∠BAM，∴∠ADB＋∠ADG＝45o＋45o＝90o，即∠NDG＝90o，∵∠EAF＝45o，∴∠BAM＋∠DAN＝45o，∴∠DAG＋∠DAF＝45o，即∠GAN＝45o，∴∠GAN＝∠MAN，∴△AMN≌△AGN（SAS），∴GN＝MN，∵∠NDG＝90o，∴.（2）①如圖，將△ABD逆時針旋轉(zhuǎn)60o得到△ACF，連接EF，作FG⊥EC的延長線于點G.由題意可知△ABD≌△ACF，∠FGC＝90o，∴AD＝AF，BD＝CF，∠BAD＝∠CAF，∠B＝∠ACF，∵∠BAC＝60o，AB＝AC，∴△ABC是等邊三角形，∴∠B＝∠ACB＝60o，∴∠ACF＝60o，∴∠ACF＋∠ACB＝120o，即∠ECF＝120o，∴∠FCG＝60o，∴∠CFG＝30o，，在Rt△CFG中，由勾股定理得，∴∠BAD＋∠EAC＝30o，∠CAF＋∠EAC＝30o，即∠EAF＝30o，∴∠DAE＝∠FAE，∴△ADE≌△AFE，∴DE＝EF，在Rt△EGF中，由勾股定理得，，，；②將△ABD逆時針旋轉(zhuǎn)得到△ACF，連接EF，作FG⊥EC的延長線于點G.由題意可知△ABD≌△ACF，∠FGC＝90o，∴AD＝AF，BD＝CF，∠BAD＝∠CAF，∠B＝∠ACF，∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∴∠B＋∠ACB＋∠BAC＝180o，∠ACB＋∠ACF＋∠FCG＝180o，∴∠BAC＝∠FCG＝，∴∠ACF＝60o，∴CG＝，∴∠DAE＝，∴∠BAD＋∠CAE＝，∠CAF＋∠CAE＝，即∠EAF＝，∴∠DAE＝∠FAE，∴△ADE≌△AFE，∴DE＝EF，在Rt△EGF中，由勾股定理得，，，；，.5. 已知如圖1，四邊形ABCD是正方形，E，F(xiàn)分別在邊BC、CD上，且∠EAF＝45°，我們把這種模型稱為“半角模型”，在解決“半角模型”問題時，旋轉(zhuǎn)是一種常用的方法．（1）在圖1中，連接EF，為了證明結(jié)論“EF＝BE+DF“，小亮將△ADF繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°后解答了這個問題，請按小亮的思路寫出證明過程；（2）如圖2，當(dāng)∠EAF繞點A旋轉(zhuǎn)到圖2位置時，試探究EF與DF、BE之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？（3）如圖3，如果四邊形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠EAF＝45°，且BC＝7，DC＝13，CF＝5，求BE的長．【解答】見解析【解析】（1）證明：如圖1中，由旋轉(zhuǎn)可得GB＝DF，AF＝AG，∠BAG＝∠DAF，∵四邊形ABCD為正方形，∴∠BAD＝90°，∵∠EAF＝45°，∴∠BAE+∠DAF＝45°，∴∠BAG+∠BAE＝45°＝∠EAF，在△AGE和△AFE中，AG=AF∠GAE=∠EAF∴△AGE≌△AFE（SAS），∴GE＝EF，∵GE＝GB+BE＝BE+DF，∴EF＝BE+DF．（2）結(jié)論：EF＝DF﹣BE，理由：如圖2中，把△ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°到AD，交CD于點G，同（1）可證得△AEF≌△AGF（SAS），∴EF＝GF，且DG＝BE，∴EF＝DF﹣DG＝DF﹣BE．（3）如圖3中，在DC上取一點G，使得DG＝BE，∵∠BAD＝∠BCD＝90°，∴∠ABC+∠D＝180°，∠ABE+∠ABC＝180