2025高考數(shù)學(xué)壓軸專項(xiàng)題型專題10圓錐曲線與向量的交匯含答案及解析

專題10圓錐曲線與向量的交匯一、考情分析平面向量與圓錐曲線的交匯是高考命題的一個(gè)顯著特征,這類試題的常規(guī)形式是用向量形式給出某些條件或結(jié)論,其難點(diǎn)往往不在向量上,對向量部分只需運(yùn)用向量基礎(chǔ)知識(shí)即可實(shí)現(xiàn)相應(yīng)轉(zhuǎn)化.平面向量作為工具可以處理圓錐曲線中的長度、角度、共線、垂直、射影等許多問題,使得這類問題成為高考命題的一個(gè)熱點(diǎn),且時(shí)常出現(xiàn)在解答題中.二、解題秘籍(一)圓錐曲線中常見的向量條件及求解圓錐曲線與向量問題的策略1.設(shè)為直線l的方向向量,若,則l斜率為k；若（m≠0）,則l斜率為；2.A、B、C是平面內(nèi)不重合的三點(diǎn),若有下列條件之一,則A、B、C共線:=1\*GB3①=;=2\*GB3②=+且+=1;=3\*GB3③=(+)/(1+)；=4\*GB3④∥.3.A、B、C是平面內(nèi)不重合的三點(diǎn),若有下列條件之一,則C為線段AB的中點(diǎn):=1\*GB3①=;=2\*GB3②=(+).4.在四邊形ABCD中,若?=0,則ABAC;若∣+∣=∣-∣,則ABAD;若?=?,則ACBD.5.圓錐曲線中涉及向量相等,通常利用橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)相等進(jìn)行轉(zhuǎn)化,涉及向量共線問題,通項(xiàng)利用非零向量共線轉(zhuǎn)化,涉及向量的數(shù)量積,通常利用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算進(jìn)行轉(zhuǎn)化.6.圓錐曲線中兩直線垂直問題,通常轉(zhuǎn)化為兩直線的方向向量的數(shù)量積為零,這樣做可避免討論直線的斜率是否存在.7.圓錐曲線中涉及數(shù)量積問題,通常利用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算把所給條件轉(zhuǎn)化為關(guān)于橫（縱）坐標(biāo)的表達(dá)式.【例1】（2023屆黑龍江省雞西市雞東縣高三上學(xué)期月考）已知兩點(diǎn),,動(dòng)點(diǎn)在軸的投影為,且,記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線.(1)求的方程.(2)過點(diǎn)的直線與曲線在軸右側(cè)相交于,兩點(diǎn),線段的垂直平分線與軸相交于點(diǎn),試問是否為定值？若是,求出該定值；若不是,請說明理由.【解析】（1）設(shè),則,,,.因?yàn)?所以,故的方程為.（2）由題可知直線的斜率一定存在,且不為0,不妨設(shè)直線的方程為,,.聯(lián)立方程組,消去整理得,則,整理得.,,則線段的垂直平分線的方程為,令,得,則,.則.故是定值,該定值為.(二)把點(diǎn)共線問題轉(zhuǎn)化為向量共線此類問題通常是把點(diǎn)共線轉(zhuǎn)化為,或點(diǎn)C在直線AB上.【例2】（2022屆新疆昌吉教育體系高三上學(xué)期診斷）已知橢圓的左?右頂點(diǎn)分別為,右焦點(diǎn)為F（1,0）,且橢圓C的離心率為,M,N為橢圓C上任意兩點(diǎn),點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4,t）（t≠0）,且滿足.（1）求橢圓C的方程；（2）證明：M,F,N三點(diǎn)共線.【解析】（1）橢圓C的右焦點(diǎn)為,且離心率為,∴a=2,c=1,則b2=a2-c2=3,∴橢圓C的方程為.（2）由（1）知,的坐標(biāo)分別為,設(shè),∴,,,,∵,,∴三點(diǎn)共線,三點(diǎn)共線,即,整理得,兩邊平方得,①又M,N在橢圓上,則,代入①并化簡得,又,,∴要證M,F,N三點(diǎn)共線,只需證,即,只需證,整理得,∴M,F,N三點(diǎn)共線.(三)利用向量共線求雙變量的關(guān)系式此類問題一般是給出形如的條件,確定關(guān)于的等式,求解思路是利用兩向量相等橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)分別相等（注意一般情況下橫坐標(biāo)相等與縱坐標(biāo)相等,使用一個(gè)即可,解題時(shí)哪一個(gè)簡單使用哪一個(gè)）,把用其他變量（若點(diǎn)的橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)）表示,再利用題中條件消去其他變量.【例3】（2023屆甘肅省張掖市高三上學(xué)期檢測）橢圓的方程為,過橢圓左焦點(diǎn)且垂直于軸的直線在第二象限與橢圓相交于點(diǎn),橢圓的右焦點(diǎn)為,已知,橢圓過點(diǎn)．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過橢圓的右焦點(diǎn)作直線交橢圓于兩點(diǎn),交軸于點(diǎn),若,,求證：為定值．【解析】（1）依題可知：,,所以,即,解得又∵橢圓過點(diǎn),則聯(lián)立可得,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）設(shè)點(diǎn)、,,由題意可知,直線的斜率存在,可設(shè)直線的方程為,聯(lián)立,可得,由于點(diǎn)在橢圓的內(nèi)部,直線與橢圓必有兩個(gè)交點(diǎn),由韋達(dá)定理可得,,,,,得,,,,．(四)利用向量加法的幾何意義構(gòu)造平行四邊形若點(diǎn)滿足,則四邊形ABCD是平行四邊形,涉及圓錐曲線中的平行四邊形要注意對邊長度相等、斜率相等,兩對角線中點(diǎn)為同一個(gè)點(diǎn)等條件的應(yīng)用.【例4】（2023屆四川省廣安市岳池縣高三上學(xué)期10月月考）已知橢圓經(jīng)過點(diǎn),左焦點(diǎn).(1)求橢圓的方程；(2)過點(diǎn)作直線與橢圓交于兩點(diǎn),點(diǎn)滿足（為原點(diǎn)）,求四邊形面積的最大值.【解析】（1）設(shè)橢圓的焦距為,則,又因?yàn)闄E圓經(jīng)過點(diǎn),所以,又,,,所以橢圓的方程為.（2）因?yàn)?所以四邊形為平行四邊形,當(dāng)直線的斜率不存在時(shí),顯然不符合題意；當(dāng)直線的斜率存在時(shí),設(shè)直線的方程為,與橢圓交于,兩點(diǎn),由.由,,,令,則（由上式知）,,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)取等號.∴當(dāng)時(shí),平行四邊形的面積最大值為2.(五)把向量的數(shù)量積轉(zhuǎn)化為代數(shù)式若圓錐曲線問題有用向量數(shù)量積給出的條件,通常是利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算進(jìn)行轉(zhuǎn)化.【例5】（2023屆廣東省荔灣區(qū)高三上學(xué)期10月調(diào)研）已知雙曲線的右焦點(diǎn)為為坐標(biāo)原點(diǎn),雙曲線的兩條漸近線的夾角為．(1)求雙曲線的方程；(2)過點(diǎn)作直線交于兩點(diǎn),在軸上是否存在定點(diǎn),使為定值？若存在,求出定點(diǎn)的坐標(biāo)及這個(gè)定值；若不存在,說明理由．【解析】（1）雙曲線的漸近線為,又,,故其漸近線的傾斜角小于,而雙曲線的兩條漸近線的夾角為,則漸近線的的傾斜角為,則,即．又,則．所以雙曲線的方程是．（2）當(dāng)直線不與軸重合時(shí),設(shè)直線的方程為,代入,得,即．設(shè)點(diǎn),則．設(shè)點(diǎn),則令,得,此時(shí)．當(dāng)直線與軸重合時(shí),則點(diǎn)為雙曲線的兩頂點(diǎn),不妨設(shè)點(diǎn)．對于點(diǎn)．所以存在定點(diǎn),使為定值．(六)把垂直問題轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積為零求解圓錐曲線中的垂直問題,通?？赊D(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積為零,然后利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算進(jìn)行轉(zhuǎn)化,這種轉(zhuǎn)化可避免討論直線的斜率是否存在.【例6】已知橢圓的右焦點(diǎn)為,橢圓上的點(diǎn)到的距離的最大值和最小值分別為和．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若圓的切線與橢圓交于,兩點(diǎn),是否存在正數(shù),使得？若存在,求出的值；若不存在,請說明理由．【解析】（1）由題意可得,,解得,,則,所以橢圓方程為；（2）假設(shè)存在正數(shù),使得,即使得,當(dāng)直線的斜率不存在時(shí),設(shè)直線的方程為,可得,,因?yàn)?則有,解得,又直線為圓的切線,所以；當(dāng)直線的斜率存在時(shí),設(shè)直線的方程為,,,,,聯(lián)立,可得,則,所以,且,所以,因?yàn)?則,所以,整理可得,則,所以,因?yàn)橹本€為圓的切線,故原點(diǎn)到的距離為,所以存在正數(shù),使得．三、跟蹤檢測1.（2023屆重慶市第八中學(xué)校高三上學(xué)期月考）已知雙曲線E：（,）一個(gè)頂點(diǎn)為,直線l過點(diǎn)交雙曲線右支于M,N兩點(diǎn),記,,的面積分別為S,,.當(dāng)l與x軸垂直時(shí),的值為.(1)求雙曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若l交y軸于點(diǎn)P,,,求證：為定值；(3)在（2）的條件下,若,當(dāng)時(shí),求實(shí)數(shù)m的取值范圍.2.（2023屆江蘇省連云港市高三上學(xué)期10月聯(lián)考）已知橢圓中有兩頂點(diǎn)為,,一個(gè)焦點(diǎn)為.(1)若直線過點(diǎn)且與橢圓交于,兩點(diǎn),當(dāng)時(shí),求直線的方程；(2)若直線過點(diǎn)且與橢圓交于,兩點(diǎn),并與軸交于點(diǎn),直線與直線交于點(diǎn),當(dāng)點(diǎn)異,兩點(diǎn)時(shí),試問是否是定值？若是,請求出此定值,若不是,請說明理由.3.（2023屆四川省成都市郫都區(qū)高三上學(xué)期檢測）已知橢圓的離心率為,短軸長為4．(1)求橢圓C的方程；(2)若過點(diǎn)的直線交橢圓C于A,B兩點(diǎn),求的取值范圍．4.（2023屆江蘇省南通市如皋市高三上學(xué)期9月診斷測試）已知點(diǎn)分別是橢圓的左、右頂點(diǎn),過的右焦點(diǎn)作直線交于兩點(diǎn),(1)設(shè)直線的斜率分別為,求和的值；(2)若直線分別交橢圓的右準(zhǔn)線于兩點(diǎn),證明：以為直徑的圓經(jīng)過定點(diǎn).5.（2023屆湖南省部分校高三上學(xué)期9月月考）已知雙曲線的離心率為,點(diǎn)在上.(1)求雙曲線的方程.(2)設(shè)過點(diǎn)的直線與雙曲線交于兩點(diǎn),問在軸上是否存在定點(diǎn),使得為常數(shù)？若存在,求出點(diǎn)的坐標(biāo)以及該常數(shù)的值；若不存在,請說明理由.6.（2023屆廣東省茂名市高三上學(xué)期9月聯(lián)考）如圖,平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)為軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)滿足,又點(diǎn)滿足.(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；(2)過曲線上的點(diǎn)（）的直線與,軸的交點(diǎn)分別為和,且,過原點(diǎn)的直線與平行,且與曲線交于、兩點(diǎn),求面積的最大值.7.（2023屆福建師范大學(xué)附屬中學(xué)高三上學(xué)期月考）在平面直角坐標(biāo)系中,設(shè)點(diǎn),點(diǎn)與兩點(diǎn)的距離之和為為一動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)滿足向量關(guān)系式：．(1)求點(diǎn)的軌跡方程；(2)設(shè)與軸交于點(diǎn)(在的左側(cè)),點(diǎn)為上一動(dòng)點(diǎn)(且不與重合)．設(shè)直線軸與直線分別交于點(diǎn),取,連接,證明：為的角平分線．8.（2023屆山西省山西大學(xué)附屬中學(xué)校高三上學(xué)期9月診斷）如圖,橢圓：（,,是橢圓的左焦點(diǎn),是橢圓的左頂點(diǎn),是橢圓的上頂點(diǎn),且,點(diǎn)是長軸上的任一定點(diǎn),過點(diǎn)的任一直線交橢圓于兩點(diǎn).(1)求橢圓的方程；(2)是否存在定點(diǎn),使得為定值,若存在,試求出定點(diǎn)的坐標(biāo),并求出此定值；若不存在,請說明理由.9．（2023屆北京市第四中學(xué)高三上學(xué)期開學(xué)測試）已知中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在軸上的橢圓過點(diǎn),離心率為,點(diǎn)為其右頂點(diǎn).過點(diǎn)作直線與橢圓相交于、兩點(diǎn),直線、與直線分別交于點(diǎn)、.(1)求橢圓的方程；(2)求的取值范圍.10．（2023屆湖北省“宜荊荊恩”高三上學(xué)期考試）已知雙曲線與雙曲線有相同的漸近線,且過點(diǎn).(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知是雙曲線上不同于的兩點(diǎn),且于,證明：存在定點(diǎn),使為定值.11．（2023屆四川省達(dá)州市開江縣高三上學(xué)期考試）已知橢圓?為橢圓?的左、右焦點(diǎn),過點(diǎn)?的任意直線?交橢圓?于、?兩點(diǎn),且的周長為8,橢圓?的離心率為?.(1)橢圓?的方程；(2)若?為橢圓?上的任一點(diǎn),?為過焦點(diǎn)?的弦,且?,求?的值.12．（2022屆上海市普陀區(qū)高三一模）已知點(diǎn)與定點(diǎn)的距離是點(diǎn)到直線距離的倍,設(shè)點(diǎn)的軌跡為曲線,直線與交于、兩點(diǎn),點(diǎn)是線段的中點(diǎn),、是上關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩點(diǎn),且.（1）求曲線的方程；（2）當(dāng)時(shí),求直線的方程；（3）當(dāng)四邊形的面積時(shí),求的值.13．(2022屆內(nèi)蒙古赤峰市高三上學(xué)期11月聯(lián)考)已知橢圓的焦點(diǎn)恰為橢圓長軸的端點(diǎn),且的短軸長為2（1）求橢圓的方程．（2）若直線與直線平行,且與交于,兩點(diǎn),,求的最小值．14．（2022屆遼寧省大連市高三上學(xué)期期中）在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn),的坐標(biāo)分別為,,是動(dòng)點(diǎn),且直線與的斜率之積等于.（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；（2）已知直線與橢圓：相交于,兩點(diǎn),與軸交于點(diǎn),若存在使得,求的取值范圍.15.（2022屆河北省邢臺(tái)市“五岳聯(lián)盟”部分重點(diǎn)學(xué)校高三上學(xué)期12月聯(lián)考）已知點(diǎn)是已知橢圓的左、右焦點(diǎn),點(diǎn)在橢圓上,當(dāng)時(shí),面積達(dá)到最大,且最大值為.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過的直線與橢圓交于兩點(diǎn),且兩點(diǎn)與左右頂點(diǎn)不重合,若,求四邊形面積的取值范圍.16．（2022屆四川省成都市高三上學(xué)期期中）已知橢圓的左頂點(diǎn)為,右焦點(diǎn)為,過點(diǎn)作斜率為的直線與相交于,,且以為直徑的圓過點(diǎn),其中為坐標(biāo)原點(diǎn).（1）求橢圓的離心率；（2）若,過點(diǎn)作與直線平行的直線,與橢圓相交于,兩點(diǎn).①求的值；②點(diǎn)滿足,直線與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為,求的值.17．（2022屆廣東省江門市高三上學(xué)期10月月考）設(shè)分別是平面直角坐標(biāo)系中軸正方向上的單位向量,若向量,,且,其中.（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；（2）過點(diǎn)作直線與軌跡交于,兩點(diǎn),設(shè),是否存在直線,使得四邊形是矩形？若存在,求出直線的方程；若不存在,試說明理由.18.過雙曲線Γ：的左焦點(diǎn)F1的動(dòng)直線l與Γ的左支交于A,B兩點(diǎn),設(shè)Γ的右焦點(diǎn)為F2.(1)若是邊長為4的正三角形,求此時(shí)Γ的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若存在直線l,使得,求Γ的離心率的取值范圍.

專題10圓錐曲線與向量的交匯一、考情分析平面向量與圓錐曲線的交匯是高考命題的一個(gè)顯著特征,這類試題的常規(guī)形式是用向量形式給出某些條件或結(jié)論,其難點(diǎn)往往不在向量上,對向量部分只需運(yùn)用向量基礎(chǔ)知識(shí)即可實(shí)現(xiàn)相應(yīng)轉(zhuǎn)化.平面向量作為工具可以處理圓錐曲線中的長度、角度、共線、垂直、射影等許多問題,使得這類問題成為高考命題的一個(gè)熱點(diǎn),且時(shí)常出現(xiàn)在解答題中.二、解題秘籍(一)圓錐曲線中常見的向量條件及求解圓錐曲線與向量問題的策略1.設(shè)為直線l的方向向量,若,則l斜率為k；若（m≠0）,則l斜率為；2.A、B、C是平面內(nèi)不重合的三點(diǎn),若有下列條件之一,則A、B、C共線:=1\*GB3①=;=2\*GB3②=+且+=1;=3\*GB3③=(+)/(1+)；=4\*GB3④∥.3.A、B、C是平面內(nèi)不重合的三點(diǎn),若有下列條件之一,則C為線段AB的中點(diǎn):=1\*GB3①=;=2\*GB3②=(+).4.在四邊形ABCD中,若?=0,則ABAC;若∣+∣=∣-∣,則ABAD;若?=?,則ACBD.5.圓錐曲線中涉及向量相等,通常利用橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)相等進(jìn)行轉(zhuǎn)化,涉及向量共線問題,通項(xiàng)利用非零向量共線轉(zhuǎn)化,涉及向量的數(shù)量積,通常利用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算進(jìn)行轉(zhuǎn)化.6.圓錐曲線中兩直線垂直問題,通常轉(zhuǎn)化為兩直線的方向向量的數(shù)量積為零,這樣做可避免討論直線的斜率是否存在.7.圓錐曲線中涉及數(shù)量積問題,通常利用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算把所給條件轉(zhuǎn)化為關(guān)于橫（縱）坐標(biāo)的表達(dá)式.【例1】（2023屆黑龍江省雞西市雞東縣高三上學(xué)期月考）已知兩點(diǎn),,動(dòng)點(diǎn)在軸的投影為,且,記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線.(1)求的方程.(2)過點(diǎn)的直線與曲線在軸右側(cè)相交于,兩點(diǎn),線段的垂直平分線與軸相交于點(diǎn),試問是否為定值？若是,求出該定值；若不是,請說明理由.【解析】（1）設(shè),則,,,.因?yàn)?所以,故的方程為.（2）由題可知直線的斜率一定存在,且不為0,不妨設(shè)直線的方程為,,.聯(lián)立方程組,消去整理得,則,整理得.,,則線段的垂直平分線的方程為,令,得,則,.則.故是定值,該定值為.(二)把點(diǎn)共線問題轉(zhuǎn)化為向量共線此類問題通常是把點(diǎn)共線轉(zhuǎn)化為,或點(diǎn)C在直線AB上.【例2】（2022屆新疆昌吉教育體系高三上學(xué)期診斷）已知橢圓的左?右頂點(diǎn)分別為,右焦點(diǎn)為F（1,0）,且橢圓C的離心率為,M,N為橢圓C上任意兩點(diǎn),點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4,t）（t≠0）,且滿足.（1）求橢圓C的方程；（2）證明：M,F,N三點(diǎn)共線.【解析】（1）橢圓C的右焦點(diǎn)為,且離心率為,∴a=2,c=1,則b2=a2-c2=3,∴橢圓C的方程為.（2）由（1）知,的坐標(biāo)分別為,設(shè),∴,,,,∵,,∴三點(diǎn)共線,三點(diǎn)共線,即,整理得,兩邊平方得,①又M,N在橢圓上,則,代入①并化簡得,又,,∴要證M,F,N三點(diǎn)共線,只需證,即,只需證,整理得,∴M,F,N三點(diǎn)共線.(三)利用向量共線求雙變量的關(guān)系式此類問題一般是給出形如的條件,確定關(guān)于的等式,求解思路是利用兩向量相等橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)分別相等（注意一般情況下橫坐標(biāo)相等與縱坐標(biāo)相等,使用一個(gè)即可,解題時(shí)哪一個(gè)簡單使用哪一個(gè)）,把用其他變量（若點(diǎn)的橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)）表示,再利用題中條件消去其他變量.【例3】（2023屆甘肅省張掖市高三上學(xué)期檢測）橢圓的方程為,過橢圓左焦點(diǎn)且垂直于軸的直線在第二象限與橢圓相交于點(diǎn),橢圓的右焦點(diǎn)為,已知,橢圓過點(diǎn)．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過橢圓的右焦點(diǎn)作直線交橢圓于兩點(diǎn),交軸于點(diǎn),若,,求證：為定值．【解析】（1）依題可知：,,所以,即,解得又∵橢圓過點(diǎn),則聯(lián)立可得,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）設(shè)點(diǎn)、,,由題意可知,直線的斜率存在,可設(shè)直線的方程為,聯(lián)立,可得,由于點(diǎn)在橢圓的內(nèi)部,直線與橢圓必有兩個(gè)交點(diǎn),由韋達(dá)定理可得,,,,,得,,,,．(四)利用向量加法的幾何意義構(gòu)造平行四邊形若點(diǎn)滿足,則四邊形ABCD是平行四邊形,涉及圓錐曲線中的平行四邊形要注意對邊長度相等、斜率相等,兩對角線中點(diǎn)為同一個(gè)點(diǎn)等條件的應(yīng)用.【例4】（2023屆四川省廣安市岳池縣高三上學(xué)期10月月考）已知橢圓經(jīng)過點(diǎn),左焦點(diǎn).(1)求橢圓的方程；(2)過點(diǎn)作直線與橢圓交于兩點(diǎn),點(diǎn)滿足（為原點(diǎn)）,求四邊形面積的最大值.【解析】（1）設(shè)橢圓的焦距為,則,又因?yàn)闄E圓經(jīng)過點(diǎn),所以,又,,,所以橢圓的方程為.（2）因?yàn)?所以四邊形為平行四邊形,當(dāng)直線的斜率不存在時(shí),顯然不符合題意；當(dāng)直線的斜率存在時(shí),設(shè)直線的方程為,與橢圓交于,兩點(diǎn),由.由,,,令,則（由上式知）,,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)取等號.∴當(dāng)時(shí),平行四邊形的面積最大值為2.(五)把向量的數(shù)量積轉(zhuǎn)化為代數(shù)式若圓錐曲線問題有用向量數(shù)量積給出的條件,通常是利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算進(jìn)行轉(zhuǎn)化.【例5】（2023屆廣東省荔灣區(qū)高三上學(xué)期10月調(diào)研）已知雙曲線的右焦點(diǎn)為為坐標(biāo)原點(diǎn),雙曲線的兩條漸近線的夾角為．(1)求雙曲線的方程；(2)過點(diǎn)作直線交于兩點(diǎn),在軸上是否存在定點(diǎn),使為定值？若存在,求出定點(diǎn)的坐標(biāo)及這個(gè)定值；若不存在,說明理由．【解析】（1）雙曲線的漸近線為,又,,故其漸近線的傾斜角小于,而雙曲線的兩條漸近線的夾角為,則漸近線的的傾斜角為,則,即．又,則．所以雙曲線的方程是．（2）當(dāng)直線不與軸重合時(shí),設(shè)直線的方程為,代入,得,即．設(shè)點(diǎn),則．設(shè)點(diǎn),則令,得,此時(shí)．當(dāng)直線與軸重合時(shí),則點(diǎn)為雙曲線的兩頂點(diǎn),不妨設(shè)點(diǎn)．對于點(diǎn)．所以存在定點(diǎn),使為定值．(六)把垂直問題轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積為零求解圓錐曲線中的垂直問題,通?？赊D(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積為零,然后利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算進(jìn)行轉(zhuǎn)化,這種轉(zhuǎn)化可避免討論直線的斜率是否存在.【例6】已知橢圓的右焦點(diǎn)為,橢圓上的點(diǎn)到的距離的最大值和最小值分別為和．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若圓的切線與橢圓交于,兩點(diǎn),是否存在正數(shù),使得？若存在,求出的值；若不存在,請說明理由．【解析】（1）由題意可得,,解得,,則,所以橢圓方程為；（2）假設(shè)存在正數(shù),使得,即使得,當(dāng)直線的斜率不存在時(shí),設(shè)直線的方程為,可得,,因?yàn)?則有,解得,又直線為圓的切線,所以；當(dāng)直線的斜率存在時(shí),設(shè)直線的方程為,,,,,聯(lián)立,可得,則,所以,且,所以,因?yàn)?則,所以,整理可得,則,所以,因?yàn)橹本€為圓的切線,故原點(diǎn)到的距離為,所以存在正數(shù),使得．三、跟蹤檢測1.（2023屆重慶市第八中學(xué)校高三上學(xué)期月考）已知雙曲線E：（,）一個(gè)頂點(diǎn)為,直線l過點(diǎn)交雙曲線右支于M,N兩點(diǎn),記,,的面積分別為S,,.當(dāng)l與x軸垂直時(shí),的值為.(1)求雙曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若l交y軸于點(diǎn)P,,,求證：為定值；(3)在（2）的條件下,若,當(dāng)時(shí),求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【解析】（1）由題意得,,則當(dāng)l與x軸垂直時(shí),不妨設(shè),由,得,將代入方程,得,解得,所以雙曲線E的方程為．（2）設(shè),,,由與,得,即,,將代入E的方程得：,整理得：①,同理由可得②．由①②知,,是方程的兩個(gè)不等實(shí)根．由韋達(dá)定理知,所以為定值．（3）又,即,整理得：,又,不妨設(shè),則,整理得,又,故,而由（2）知,,故,代入,令,得,由雙勾函數(shù)在上單調(diào)遞增,得,所以m的取值范圍為．.2.（2023屆江蘇省連云港市高三上學(xué)期10月聯(lián)考）已知橢圓中有兩頂點(diǎn)為,,一個(gè)焦點(diǎn)為.(1)若直線過點(diǎn)且與橢圓交于,兩點(diǎn),當(dāng)時(shí),求直線的方程；(2)若直線過點(diǎn)且與橢圓交于,兩點(diǎn),并與軸交于點(diǎn),直線與直線交于點(diǎn),當(dāng)點(diǎn)異,兩點(diǎn)時(shí),試問是否是定值？若是,請求出此定值,若不是,請說明理由.【解析】（1）∵橢圓的焦點(diǎn)在軸上,設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為,由已知得,,所以,橢圓的方程為,當(dāng)直線與軸垂直時(shí)與題意不符,設(shè)直線的方程為,,,將直線的方程代入橢圓的方程化簡得,則,,∴,解得.∴直線的方程為；（2）當(dāng)軸時(shí),,不符合題意,當(dāng)與軸不垂直時(shí),設(shè)：,則,設(shè),,聯(lián)立方程組得,∴,,又直線：,直線：,由可得,即,,,,,,即,得,∴點(diǎn)坐標(biāo)為,∴,所以為定值.3.（2023屆四川省成都市郫都區(qū)高三上學(xué)期檢測）已知橢圓的離心率為,短軸長為4．(1)求橢圓C的方程；(2)若過點(diǎn)的直線交橢圓C于A,B兩點(diǎn),求的取值范圍．【解析】（1）,,∴,又,即,解得：,,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí),,不妨設(shè),則當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí),設(shè),由,恒成立,故,∴,綜上：,故的取值范圍為．4.（2023屆江蘇省南通市如皋市高三上學(xué)期9月診斷測試）已知點(diǎn)分別是橢圓的左、右頂點(diǎn),過的右焦點(diǎn)作直線交于兩點(diǎn),(1)設(shè)直線的斜率分別為,求和的值；(2)若直線分別交橢圓的右準(zhǔn)線于兩點(diǎn),證明：以為直徑的圓經(jīng)過定點(diǎn).【解析】（1）由已知,,,直線的斜率不存在時(shí),方程為,不妨設(shè),,,同理,,,,直線斜率存在時(shí),設(shè)直線方程為,設(shè),由,得,,,,,,,因?yàn)?所以,所以,綜上,,；（2）由已知,,,右準(zhǔn)線方程為,由（1）知直線方程為,令得,同理,由橢圓的對稱性知,以為直徑的圓有一個(gè)圓心軸上方的圓,則必定也有一個(gè)與之關(guān)于軸對稱的圓,這兩個(gè)圓的交點(diǎn)在軸上,以為直徑的圓經(jīng)過定點(diǎn),這個(gè)定點(diǎn)必在軸上,設(shè)定點(diǎn)為,則,由（1）得,或,所以以為直徑的圓經(jīng)過定點(diǎn),．5.（2023屆湖南省部分校高三上學(xué)期9月月考）已知雙曲線的離心率為,點(diǎn)在上.(1)求雙曲線的方程.(2)設(shè)過點(diǎn)的直線與雙曲線交于兩點(diǎn),問在軸上是否存在定點(diǎn),使得為常數(shù)？若存在,求出點(diǎn)的坐標(biāo)以及該常數(shù)的值；若不存在,請說明理由.【解析】（1）因?yàn)殡p曲線的離心率為,所以,化簡得.將點(diǎn)的坐標(biāo)代入,可得,解得,所以的方程為.（2）設(shè),直線的方程為,聯(lián)立方程組消去得（1-,由題可知且,即且,所以.設(shè)存在符合條件的定點(diǎn),則,所以.所以,化簡得.因?yàn)闉槌?shù),所以,解得.此時(shí)該常數(shù)的值為,所以,在軸上存在點(diǎn),使得為常數(shù),該常數(shù)為.6.（2023屆廣東省茂名市高三上學(xué)期9月聯(lián)考）如圖,平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)為軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)滿足,又點(diǎn)滿足.(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；(2)過曲線上的點(diǎn)（）的直線與,軸的交點(diǎn)分別為和,且,過原點(diǎn)的直線與平行,且與曲線交于、兩點(diǎn),求面積的最大值.【解析】（1）由題意,設(shè),,由得,且,由得,則,得,代入整理得,故動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程為.（2）如圖,設(shè)（）,又直線的斜率存在且,設(shè)直線為：,可得：,,由,則,故,,聯(lián)立,可得：,即,又,故直線的方程為,聯(lián)立,得：,即、的橫坐標(biāo)為,,點(diǎn)到直線的距離,,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)等號成立,面積的最大值為2..7.（2023屆福建師范大學(xué)附屬中學(xué)高三上學(xué)期月考）在平面直角坐標(biāo)系中,設(shè)點(diǎn),點(diǎn)與兩點(diǎn)的距離之和為為一動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)滿足向量關(guān)系式：．(1)求點(diǎn)的軌跡方程；(2)設(shè)與軸交于點(diǎn)(在的左側(cè)),點(diǎn)為上一動(dòng)點(diǎn)(且不與重合)．設(shè)直線軸與直線分別交于點(diǎn),取,連接,證明：為的角平分線．【解析】（1）設(shè)點(diǎn),,則由點(diǎn)與兩點(diǎn)的距離之和為,可得點(diǎn)G的軌跡是以為焦點(diǎn)且長軸長為的橢圓,其軌跡方程為,由,可得,代入點(diǎn)G的軌跡方程,可得：,所以點(diǎn)的軌跡方程；（2）設(shè)點(diǎn),則,即,,令,得,,則點(diǎn)到直線的距離為：,要證ER為的角平分線,只需證,又,,所以,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí),又在上,則,即,代入上式可得恒成立,為的角平分線．8.（2023屆山西省山西大學(xué)附屬中學(xué)校高三上學(xué)期9月診斷）如圖,橢圓：（,,是橢圓的左焦點(diǎn),是橢圓的左頂點(diǎn),是橢圓的上頂點(diǎn),且,點(diǎn)是長軸上的任一定點(diǎn),過點(diǎn)的任一直線交橢圓于兩點(diǎn).(1)求橢圓的方程；(2)是否存在定點(diǎn),使得為定值,若存在,試求出定點(diǎn)的坐標(biāo),并求出此定值；若不存在,請說明理由.【解析】（1）由已知知,解得,所以橢圓方程為；（2）假設(shè)存在滿足題意,設(shè),,,①當(dāng)直線與軸不垂直時(shí),設(shè)：,代入并整理得∴,（*）（*）式是與無關(guān)的常數(shù),則解得,此時(shí)為定值；②當(dāng)直線與垂直時(shí),,,,也成立,所以存在定點(diǎn),使得為定值．9．（2023屆北京市第四中學(xué)高三上學(xué)期開學(xué)測試）已知中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在軸上的橢圓過點(diǎn),離心率為,點(diǎn)為其右頂點(diǎn).過點(diǎn)作直線與橢圓相交于、兩點(diǎn),直線、與直線分別交于點(diǎn)、.(1)求橢圓的方程；(2)求的取值范圍.【解析】（1）由題意設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）,由題意,得,解得,,即橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）由（1）得,設(shè),,,聯(lián)立,得,即,則,,直線,的方程分別為,,令,則,,則,,所以因?yàn)?所以,,即的取值范圍為.10．（2023屆湖北省“宜荊荊恩”高三上學(xué)期考試）已知雙曲線與雙曲線有相同的漸近線,且過點(diǎn).(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知是雙曲線上不同于的兩點(diǎn),且于,證明：存在定點(diǎn),使為定值.【解析】（1）因?yàn)殡p曲線C與已知雙曲線有相同的漸近線,設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為代入點(diǎn)坐標(biāo),解得所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（2）（i）當(dāng)直線斜率存在時(shí),設(shè),設(shè),聯(lián)立與雙曲線,化簡得,,即,則有,又,因?yàn)?所以,所以,化簡,得,即,所以,且均滿足,當(dāng)時(shí),直線的方程為,直線過定點(diǎn),與已知矛盾,當(dāng)時(shí),直線的方程為,過定點(diǎn)（ii）當(dāng)直線斜率不存在時(shí),由對稱性不妨設(shè)直線DE：,與雙曲線方程聯(lián)立解得,此時(shí)也過點(diǎn),綜上,直線過定點(diǎn).由于,所以點(diǎn)在以為直徑的圓上,為該圓圓心,為該圓半徑,所以存在定點(diǎn),使為定值.11．（2023屆四川省達(dá)州市開江縣高三上學(xué)期考試）已知橢圓?為橢圓?的左、右焦點(diǎn),過點(diǎn)?的任意直線?交橢圓?于、?兩點(diǎn),且的周長為8,橢圓?的離心率為?.(1)橢圓?的方程；(2)若?為橢圓?上的任一點(diǎn),?為過焦點(diǎn)?的弦,且?,求?的值.【解析】（1）由題意可知,?的周長為?.所以?,又?,所以?,則?,所以橢圓?的方程為?.（2）不妨令?.所以?,即.當(dāng)?時(shí),不妨設(shè)直線?為?,其中?.直線?為?,其中?.聯(lián)立方程?,得?.所以?,即?.同理可得：?.又?.所以?.則???????,綜上所述,?.12．（2022屆上海市普陀區(qū)高三一模）已知點(diǎn)與定點(diǎn)的距離是點(diǎn)到直線距離的倍,設(shè)點(diǎn)的軌跡為曲線,直線與交于、兩點(diǎn),點(diǎn)是線段的中點(diǎn),、是上關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩點(diǎn),且.（1）求曲線的方程；（2）當(dāng)時(shí),求直線的方程；（3）當(dāng)四邊形的面積時(shí),求的值.【解析】（1）由題意可得,化簡可得,因此,曲線的方程為.（2）設(shè)點(diǎn)、,聯(lián)立,可得,,由韋達(dá)定理可得,,則,,所以點(diǎn)的坐標(biāo)為,因?yàn)?可得點(diǎn),將點(diǎn)的坐標(biāo)代入曲線的方程得,解得,因此,直線的方程為.（3）由（2）可得,則點(diǎn),則點(diǎn),因?yàn)辄c(diǎn)在曲線上,則,可得,因?yàn)?則,點(diǎn)到直線的距離為,點(diǎn)到直線的距離為,,所以,,因?yàn)?解得.13．(2022屆內(nèi)蒙古赤峰市高三上學(xué)期11月聯(lián)考)已知橢圓的焦點(diǎn)恰為橢圓長軸的端點(diǎn),且的短軸長為2（1）求橢圓的方程．（2）若直線與直線平行,且與交于,兩點(diǎn),,求的最小值．【解析】（1）由橢圓,可得其長軸的端點(diǎn)分別為,根據(jù)題意,可得,解得,故的方程為．（2）設(shè)直線的方程為,聯(lián)立方程組,整理得,設(shè),,則,,且,解得且所以因?yàn)?其中且,所以當(dāng)時(shí),取得最小值,且最小值為,故的最小值為．14．（2022屆遼寧省大連市高三上學(xué)期期中）在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn),的坐標(biāo)分別為,,是動(dòng)點(diǎn),且直線與的斜率之積等于.（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；（2）已知直線與橢圓：相交于,兩點(diǎn),與軸交于點(diǎn),若存在使得,求的取值范圍.【解析】（1）設(shè),則,所以可得動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程為.（2）設(shè)又,由得,聯(lián)立可得,即,且,又,則,,代入得,,解得.的取值范圍是15.（2022屆河北省邢臺(tái)市“五岳聯(lián)盟”部分重點(diǎn)學(xué)校高三上學(xué)期12月聯(lián)考）已知點(diǎn)是已知橢圓的左、右焦點(diǎn),點(diǎn)在橢圓上,當(dāng)時(shí),面積達(dá)到最大,且最大值為.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過的直線與橢圓交于兩點(diǎn),且兩點(diǎn)與左右頂點(diǎn)不重合,若,求四邊形面積的取