2025高考數(shù)學壓軸專項題型專題8利用均值不等式求圓錐曲線中的最值含答案及解析

專題8利用均值不等式求圓錐曲線中的最值一、考情分析與圓錐曲線有關的最值問題,在高考中常以解答題形式考查，且難度較大，它能綜合應用函數(shù)、三角、不等式等有關知識,因而備受命題者青睞，其中利用均值不等式求圓錐曲線中的最值是一類常見問題，求解時常涉及函數(shù)與方程、化歸轉(zhuǎn)化等數(shù)學思想．二、解題秘籍(一)利用均值不等式求圓錐曲線中最值的方法與策略利用均值不等式求圓錐曲線中的最值，一是直接根據(jù)圓錐曲線中的和（積）為定值的性質(zhì)求積（和）的最大（?。┲担绺鶕?jù)橢圓中為定值，可求的最大值，二是利用代數(shù)法，即把要求最值的幾何量或代數(shù)表達式表示為某個(些)參數(shù)的函數(shù)(解析式)，然后利用基本不等式求最值，求解這類問題的核心是建立參數(shù)之間的等量關系.【例1】（2023屆湖北省荊荊宜三校高三上學期9月聯(lián)考）設橢圓：，，是橢圓的左、右焦點，點在橢圓上，點在橢圓外，且．(1)求橢圓的方程；(2)若，點為橢圓上橫坐標大于1的一點，過點的直線與橢圓有且僅有一個交點，并與直線，交于M，N兩點，為坐標原點，記，的面積分別為，，求的最小值．【解析】（1）因為點在橢圓上，所以，①因為點在橢圓外，且，所以，即，②由①②解得，，故橢圓的方程為．（2）設點，，設直線：，由橢圓性質(zhì)以及點的橫坐標大于1可知，，將直線代入方程并化簡可得，，即，因為直線與橢圓有且僅有一個交點，所以，即．直線的方程為：；直線的方程為：，聯(lián)立方程得，同理得，所以，所以，，所以，令，則，當且僅當，即時，不等式取等號，故當時，取得最小值．【例2】已知橢圓：的離心率為，且過點.(1)求橢圓的方程；(2)若直線被圓截得的弦長為，設直線與橢圓交于A，兩點，為坐標原點，求面積的最大值.【解析】（1），，由橢圓過點得，解得，，∴橢圓的方程為.（2）直線被圓截得的弦長為，則圓心到直線l的距離d滿足，解得，當?shù)男甭蚀嬖跁r，設：，，，圓心為原點則有，∴.將方程代入橢圓方程中整理得：，∴，，，∴，當且僅當，即時取等號.當?shù)男甭什淮嬖跁r，則：，過橢圓的左、右頂點，此時直線與橢圓只有一個交點，不符合題意.∴面積的最大值為2.(二)把距離或長度用單變量表示，然后利用均值不等式求最值.此類問題通常利用兩點間距離或弦長公式，把距離或長度表示成關于直線斜率、截距或點的橫坐標（縱坐標）的函數(shù)，然后利用均值不等式求最值.【例3】已知圓C過定點A（0，p）(p＞0)，圓心C在拋物線x2＝2py上運動，若MN為圓C在x軸上截得的弦，設｜AM｜＝m，｜AN｜＝n，∠MAN＝θ.(1)當點C運動時，｜MN｜是否變化？試證明你的結(jié)論；(2)求的最大值.【解析】（1）設，則，故圓的方程，令有，故，解得，，故不變化，為定值（2）由（1）不妨設，故，，故，當且僅當，即時取等號.故的最大值為(三)把面積表示為單變量函數(shù)，然后利用基本不等式求值該類問題求解的基本思路是把三角形面積表示成關于直線斜率與截距的函數(shù)，然后利用均值不等式求最值.【例4】（2022屆陜西省漢中市高三上學期質(zhì)量檢測）已知橢圓的左，右焦點分別為且經(jīng)過點.(1)求橢圓C的標準方程；(2)若斜率為1的直線與橢圓C交于A，B兩點，求面積的最大值（O為坐標原點）【解析】（1）由橢圓的定義，可知解得，又.橢圓C的標準方程為.（2）設直線l的方程為，聯(lián)立橢圓方程，得，，得設，則，，點到直線的距離，.當且僅當，即時取等號；面積的最大值為.(四)把面積用雙變量表示，然后利用均值不等式求最值求解該類問題通常先建立兩個變量之間的等量關系，然后利用和或積為定值，借助均值不等式求最值.【例5】（2022屆湖南省長沙市高三上學期11月月考）已知橢圓的離心率為，為橢圓上一點.直線不經(jīng)過原點，且與橢圓交于兩點.（1）求橢圓的方程；（2）求面積的最大值，并求當面積最大時的取值范圍.【解析】（1），.將代入得，橢圓方程為.（2）設，與橢圓聯(lián)立得：，所以.則，因為，故，所以當且僅當時取等號，此時，符合題意.所以，即面積的最大值為.當不存在時，設，則，當時取等號.綜上，面積的最大值為1當面積最大時：若存在，則此時，則，若不存在，則此時.綜上，.．(五)與斜率有關的最值問題與斜率有關的最值問題的思路一是設出動點.是利用斜率定義表示出斜率，然后利用函數(shù)或不等式知識求解，二是設出直線的點斜式或斜截式方程，利用根與系數(shù)之間的關系或題中條件整理關于斜率的等式或不等式求解.【例6】（2022屆福建省福州第十八中學高三上學期考試）已知拋物線的焦點到準線的距離為2．(1)求的方程；(2)已知為坐標原點，點在上，點滿足，求直線斜率的最大值．【解析】（1）拋物線的焦點，準線方程為，由題意，該拋物線焦點到準線的距離為，所以該拋物線的方程為；（2）設，則，所以，由在拋物線上可得，即，據(jù)此整理可得點的軌跡方程為，所以直線的斜率，當時，；當時，，當時，因為，此時，當且僅當，即時，等號成立；當時，；綜上，直線的斜率的最大值為.(六)與數(shù)量積有關的最值問題求解與數(shù)量積有關的最值問題，通常利用數(shù)量積的定義或坐標運算，把數(shù)量積表示成某個變量的函數(shù)，然后再利用均值不等式求最值.【例7】設橢圓的兩條互相垂直的切線的交點軌跡為C，曲線C的兩條切線PA、PB交于點P，且與C分別切于A、B兩點，求的最小值．【解析】設橢圓的兩切線為，．①當軸或軸時，對應軸或軸，可知切點為；②當與x軸不垂直且不平行時，，設的斜率為k，則，的斜率為，并設的交點為，則的方程為，聯(lián)立，得：，∵直線與橢圓相切，∴，得，∴，∴k是方程的一個根，同理是方程的另一個根，∴得，其中，∴交點的軌跡方程為：，∵也滿足上式；綜上知：軌跡C方程為；設，，則在與中應用余弦定理知，，即，即，，令，則，，當且僅當，即時，取得最??；綜上，的最小為.三、跟蹤檢測1．（2023屆山東省青島市高三上學期檢測）在平面直角坐標系中，動圓與圓內(nèi)切，且與圓外切，記動圓的圓心的軌跡為.(1)求軌跡的方程；(2)不過圓心且與軸垂直的直線交軌跡于兩個不同的點，連接交軌跡于點.（i）若直線交軸于點，證明：為一個定點；（ii）若過圓心的直線交軌跡于兩個不同的點，且，求四邊形面積的最小值.2．已知橢圓經(jīng)過點，且橢圓的離心率，過橢圓的右焦點作兩條互相垂直的直線，分別交橢圓于點及、．(1)求橢圓的方程；(2)求證：為定值；(3)求的最小值．3．（2023屆四川省隆昌市第一中學高三上學期考試）已知離心率為的橢圓過點，拋物線．(1)若拋物線的焦點恰為橢圓的右頂點，求拋物線方程；(2)若橢圓與拋物線在第一象限的交點為，過但不經(jīng)過原點的直線交橢圓于，交拋物線于，且，求的最大值，并求出此時直線的斜率．4．平面直角坐標系中，橢圓的焦距為，過焦點的最短弦長為.(1)求橢圓的標準方程；(2)斜率為的直線與橢圓交于兩點，為橢圓上異于的點，求的面積的最大值.5．平面直角坐標系中，過點的圓與直線相切．圓心的軌跡記為曲線．(1)求曲線的方程；(2)設為曲線上的兩點，記中點為，過作的垂線交軸于．①求；②當時，求的最大值．6．已知點分別為橢圓的左?右焦點，直線與橢圓有且僅有一個公共點，直線，垂足分別為點.(1)求證：；(2)求證：為定值，并求出該定值；(3)求的最大值.7.（2022屆廣東省佛山市高三上學期12月模擬）在平面直角坐標系中，橢圓的離心率，且點在橢圓上.（1）求橢圓的方程;（2）若點都在橢圓上，且中點在線段(不包括端點)上.求面積的最大值.8．（2022屆衡水金卷高三一輪復習摸底測試）已知橢圓的上頂點為，過點且與軸垂直的直線被截得的線段長為.（1）求橢圓的標準方程﹔（2）設直線交橢圓于異于點的兩點，以為直徑的圓經(jīng)過點線段的中垂線與軸的交點為，求的取值范圍.9．（2022屆河北省高三上學期12月教學質(zhì)量監(jiān)測）在平面直角坐標系中，已知點，，點滿足，點的軌跡為.（1）求的方程；（2）不過的直線與交于?兩點，若直線的斜率是直線?斜率的等差中項，直線和線段的垂直平分線與軸分別交于?，求的最小值.10．已知兩圓，動圓在圓內(nèi)部且和圓內(nèi)切，和圓外切.（1）求動圓圓心的軌跡的方程；（2）過點的直線與曲線交于兩點.關于軸的對稱點為，求面積的最大值.11．已知橢圓：（）的離心率為，分別過左、右焦點，作兩條平行直線和.（1）求和之間距離的最大值；（2）設與的一個交點為，與的一個交點為，且，位于軸同側(cè)，求四邊形面積的最大值.12．（2022屆廣西玉林市、貴港市高三12月模擬）設橢圓過，兩點，為坐標原點．（1）求橢圓的方程；（2）是否存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓恒有兩個交點，，且？若存在，寫出該圓的方程，并求的取值范圍；若不存在，說明理由．13．（2022屆上海市青浦區(qū)高三一模）已知拋物線.（1）過拋物線焦點的直線交拋物線于兩點，求的值（其中為坐標原點）；（2）過拋物線上一點，分別作兩條直線交拋物線于另外兩點?，交直線于兩點，求證：為常數(shù)（3）已知點，在拋物線上是否存在異于點的兩個不同點，使得若存在，求點縱坐標的取值范圍，若不存在，請說明理由.

專題8利用均值不等式求圓錐曲線中的最值一、考情分析與圓錐曲線有關的最值問題,在高考中常以解答題形式考查，且難度較大，它能綜合應用函數(shù)、三角、不等式等有關知識,因而備受命題者青睞，其中利用均值不等式求圓錐曲線中的最值是一類常見問題，求解時常涉及函數(shù)與方程、化歸轉(zhuǎn)化等數(shù)學思想．二、解題秘籍(一)利用均值不等式求圓錐曲線中最值的方法與策略利用均值不等式求圓錐曲線中的最值，一是直接根據(jù)圓錐曲線中的和（積）為定值的性質(zhì)求積（和）的最大（?。┲?，如根據(jù)橢圓中為定值，可求的最大值，二是利用代數(shù)法，即把要求最值的幾何量或代數(shù)表達式表示為某個(些)參數(shù)的函數(shù)(解析式)，然后利用基本不等式求最值，求解這類問題的核心是建立參數(shù)之間的等量關系.【例1】（2023屆湖北省荊荊宜三校高三上學期9月聯(lián)考）設橢圓：，，是橢圓的左、右焦點，點在橢圓上，點在橢圓外，且．(1)求橢圓的方程；(2)若，點為橢圓上橫坐標大于1的一點，過點的直線與橢圓有且僅有一個交點，并與直線，交于M，N兩點，為坐標原點，記，的面積分別為，，求的最小值．【解析】（1）因為點在橢圓上，所以，①因為點在橢圓外，且，所以，即，②由①②解得，，故橢圓的方程為．（2）設點，，設直線：，由橢圓性質(zhì)以及點的橫坐標大于1可知，，將直線代入方程并化簡可得，，即，因為直線與橢圓有且僅有一個交點，所以，即．直線的方程為：；直線的方程為：，聯(lián)立方程得，同理得，所以，所以，，所以，令，則，當且僅當，即時，不等式取等號，故當時，取得最小值．【例2】已知橢圓：的離心率為，且過點.(1)求橢圓的方程；(2)若直線被圓截得的弦長為，設直線與橢圓交于A，兩點，為坐標原點，求面積的最大值.【解析】（1），，由橢圓過點得，解得，，∴橢圓的方程為.（2）直線被圓截得的弦長為，則圓心到直線l的距離d滿足，解得，當?shù)男甭蚀嬖跁r，設：，，，圓心為原點則有，∴.將方程代入橢圓方程中整理得：，∴，，，∴，當且僅當，即時取等號.當?shù)男甭什淮嬖跁r，則：，過橢圓的左、右頂點，此時直線與橢圓只有一個交點，不符合題意.∴面積的最大值為2.(二)把距離或長度用單變量表示，然后利用均值不等式求最值.此類問題通常利用兩點間距離或弦長公式，把距離或長度表示成關于直線斜率、截距或點的橫坐標（縱坐標）的函數(shù)，然后利用均值不等式求最值.【例3】已知圓C過定點A（0，p）(p＞0)，圓心C在拋物線x2＝2py上運動，若MN為圓C在x軸上截得的弦，設｜AM｜＝m，｜AN｜＝n，∠MAN＝θ.(1)當點C運動時，｜MN｜是否變化？試證明你的結(jié)論；(2)求的最大值.【解析】（1）設，則，故圓的方程，令有，故，解得，，故不變化，為定值（2）由（1）不妨設，故，，故，當且僅當，即時取等號.故的最大值為(三)把面積表示為單變量函數(shù)，然后利用基本不等式求值該類問題求解的基本思路是把三角形面積表示成關于直線斜率與截距的函數(shù)，然后利用均值不等式求最值.【例4】（2022屆陜西省漢中市高三上學期質(zhì)量檢測）已知橢圓的左，右焦點分別為且經(jīng)過點.(1)求橢圓C的標準方程；(2)若斜率為1的直線與橢圓C交于A，B兩點，求面積的最大值（O為坐標原點）【解析】（1）由橢圓的定義，可知解得，又.橢圓C的標準方程為.（2）設直線l的方程為，聯(lián)立橢圓方程，得，，得設，則，，點到直線的距離，.當且僅當，即時取等號；面積的最大值為.(四)把面積用雙變量表示，然后利用均值不等式求最值求解該類問題通常先建立兩個變量之間的等量關系，然后利用和或積為定值，借助均值不等式求最值.【例5】（2022屆湖南省長沙市高三上學期11月月考）已知橢圓的離心率為，為橢圓上一點.直線不經(jīng)過原點，且與橢圓交于兩點.（1）求橢圓的方程；（2）求面積的最大值，并求當面積最大時的取值范圍.【解析】（1），.將代入得，橢圓方程為.（2）設，與橢圓聯(lián)立得：，所以.則，因為，故，所以當且僅當時取等號，此時，符合題意.所以，即面積的最大值為.當不存在時，設，則，當時取等號.綜上，面積的最大值為1當面積最大時：若存在，則此時，則，若不存在，則此時.綜上，.．(五)與斜率有關的最值問題與斜率有關的最值問題的思路一是設出動點.是利用斜率定義表示出斜率，然后利用函數(shù)或不等式知識求解，二是設出直線的點斜式或斜截式方程，利用根與系數(shù)之間的關系或題中條件整理關于斜率的等式或不等式求解.【例6】（2022屆福建省福州第十八中學高三上學期考試）已知拋物線的焦點到準線的距離為2．(1)求的方程；(2)已知為坐標原點，點在上，點滿足，求直線斜率的最大值．【解析】（1）拋物線的焦點，準線方程為，由題意，該拋物線焦點到準線的距離為，所以該拋物線的方程為；（2）設，則，所以，由在拋物線上可得，即，據(jù)此整理可得點的軌跡方程為，所以直線的斜率，當時，；當時，，當時，因為，此時，當且僅當，即時，等號成立；當時，；綜上，直線的斜率的最大值為.(六)與數(shù)量積有關的最值問題求解與數(shù)量積有關的最值問題，通常利用數(shù)量積的定義或坐標運算，把數(shù)量積表示成某個變量的函數(shù)，然后再利用均值不等式求最值.【例7】設橢圓的兩條互相垂直的切線的交點軌跡為C，曲線C的兩條切線PA、PB交于點P，且與C分別切于A、B兩點，求的最小值．【解析】設橢圓的兩切線為，．①當軸或軸時，對應軸或軸，可知切點為；②當與x軸不垂直且不平行時，，設的斜率為k，則，的斜率為，并設的交點為，則的方程為，聯(lián)立，得：，∵直線與橢圓相切，∴，得，∴，∴k是方程的一個根，同理是方程的另一個根，∴得，其中，∴交點的軌跡方程為：，∵也滿足上式；綜上知：軌跡C方程為；設，，則在與中應用余弦定理知，，即，即，，令，則，，當且僅當，即時，取得最?。痪C上，的最小為.三、跟蹤檢測1．（2023屆山東省青島市高三上學期檢測）在平面直角坐標系中，動圓與圓內(nèi)切，且與圓外切，記動圓的圓心的軌跡為.(1)求軌跡的方程；(2)不過圓心且與軸垂直的直線交軌跡于兩個不同的點，連接交軌跡于點.（i）若直線交軸于點，證明：為一個定點；（ii）若過圓心的直線交軌跡于兩個不同的點，且，求四邊形面積的最小值.【解析】（1）設動圓的半徑為，圓心的坐標為由題意可知：圓的圓心為，半徑為；圓的圓心為，半徑為.動圓與圓內(nèi)切，且與圓外切，動圓的圓心的軌跡是以為焦點的橢圓，設其方程為：，其中從而軌跡的方程為：（2）（i）設直線的方程為，則由可得：直線的方程為，令可得點的橫坐標為：為一個定點，其坐標為（ii）根據(jù)（i）可進一步求得：.，則，四邊形面積（法一）等號當且僅當時取，即時，（法二）令，則當，即時，2．已知橢圓經(jīng)過點，且橢圓的離心率，過橢圓的右焦點作兩條互相垂直的直線，分別交橢圓于點及、．(1)求橢圓的方程；(2)求證：為定值；(3)求的最小值．【解析】（1）由，得，，．①，由橢圓過點知，②．聯(lián)立①②式解得，．故橢圓的方程是．（2）為定值．證明：橢圓的右焦點為，分兩種情況．不妨設當?shù)男甭什淮嬖跁r，，則．此時，，；當直線的斜率存在時，設，則．又設點，，，．聯(lián)立方程組，消去并化簡得，，，，由題知，直線的斜率為，同理可得所以為定值．（3）解：由（2）知，，當且僅當，即，即，時取等號，的最小值為．3．（2023屆四川省隆昌市第一中學高三上學期考試）已知離心率為的橢圓過點，拋物線．(1)若拋物線的焦點恰為橢圓的右頂點，求拋物線方程；(2)若橢圓與拋物線在第一象限的交點為，過但不經(jīng)過原點的直線交橢圓于，交拋物線于，且，求的最大值，并求出此時直線的斜率．【解析】（1）由設，，所以將點代入橢圓得：橢圓，所以的右頂點為，依題意，所以拋物線方程為；（2）設直線的方程為，，，，聯(lián)立，消去整理得，顯然則，所以，；聯(lián)立，消去整理得，，且由拋物線方程得，所以點坐標為，將點代入橢圓方程有：整理得：，令，則，當且僅當即，即直線的斜率時取等號，所以，，，即的最大值為，此時直線的斜率為．4．平面直角坐標系中，橢圓的焦距為，過焦點的最短弦長為.(1)求橢圓的標準方程；(2)斜率為的直線與橢圓交于兩點，為橢圓上異于的點，求的面積的最大值.【解析】（1）由題意得，故橢圓的標準方程為；（2）設直線的方程為，則，，，設，，當時，當?shù)降木嚯x最大時，點在第二象限且過點的切線正好與平行，設切線方程為，，，由得，此時，到的距離最大為，故的面積，則，故，當且僅當時取等號.當時，當?shù)降木嚯x最大時，點在第四象限且過點的切線正好與平行，設切線方程為，，，由得，此時，到的距離最大為，故的面積，則，故，當且僅當時取等號.所以的面積的最大值為.5．平面直角坐標系中，過點的圓與直線相切．圓心的軌跡記為曲線．(1)求曲線的方程；(2)設為曲線上的兩點，記中點為，過作的垂線交軸于．①求；②當時，求的最大值．【解析】（1）設，由題意，則到的距離等于到的距離，故的軌跡為拋物線；（2）設，則，①故，，令，得，故，即，②由題意，即，故．6．已知點分別為橢圓的左?右焦點，直線與橢圓有且僅有一個公共點，直線，垂足分別為點.(1)求證：；(2)求證：為定值，并求出該定值；(3)求的最大值.【解析】（1）聯(lián)立與得：，由直線與橢圓有一個公共點可知：，化簡得：；（2）由題意得：，因為，所以∥，故，其中，，所以，為定值，該定值為1；（3），由題意得：點在直線的同側(cè)，所以，，（其中為的夾角），由此可知：，當且僅當即時，等號成立，所以的最大值為4.7.（2022屆廣東省佛山市高三上學期12月模擬）在平面直角坐標系中，橢圓的離心率，且點在橢圓上.（1）求橢圓的方程;（2）若點都在橢圓上，且中點在線段(不包括端點)上.求面積的最大值.【解析】（1）離心率，將代入橢圓方程，可得，又，∴聯(lián)立上述方程，可得：，，∴橢圓方程為；（2）設可得：，相減可得：，由題意，，即，∴直線的斜率，故可設直線為，代入橢圓方程可得：，由，解得，∴，，又到的距離為，∴面積為，當且僅當，即時，取得最大值.8．（2022屆衡水金卷高三一輪復習摸底測試）已知橢圓的上頂點為，過點且與軸垂直的直線被截得的線段長為.（1）求橢圓的標準方程﹔（2）設直線交橢圓于異于點的兩點，以為直徑的圓經(jīng)過點線段的中垂線與軸的交點為，求的取值范圍.【解析】（1）由已知條件得：，令，得，由題意知：，解得，∴橢圓的標準方程為，（2）①當直線的斜率不存在時，顯然不合題意；②當直線斜率存在時，設，當時，此時關于y軸對稱，令，∴且，則，又，∴，解得或(舍)，則符合題設.∴此時有；當時，則，得，，設，則，得，，且，由，即，∴，整理得，解得（舍去），代入得：，∴為，得：，則線段的中垂線為，∴在軸上截距，而，∴且，綜合①②:線段的中垂線在軸上的截距的取值范圍是.9．（2022屆河北省高三上學期12月教學質(zhì)量監(jiān)測）在平面直角坐標系中，已知點，，點滿足，點的軌跡為.（1）求的方程；（2）不過的直線與交于?兩點，若直線的斜率是直線?斜率的等差中項，直線和線段的垂直平分線與軸分別交于?，求的最小值.【解析】（1）由橢圓的定義知，點在以，為焦點且的橢圓上，所以其方程為：（2）由題意得直線的斜率存在且不為0.直線的方程為，，，直線方程與橢圓方程聯(lián)立得得，所以得，由題意得，即整理得∵直線不過，∴，∴，∴∵，∴，解得或線段的中點為，線段中垂線方程為當時，，直線與軸交點的縱坐標，或當時，最小，最小值為2.10．已知兩圓，動圓在圓內(nèi)部且和圓內(nèi)切，和圓外切.（1）求動圓圓心的軌跡的方程；（2）過點的直線與曲線交于兩點.關于軸的對稱點為，求面積的最大值.【解析】（1）依題意，圓的圓心，半徑，圓的圓心，半徑，設圓的半徑為，則有，，因此，，于是得點的軌跡是以為焦點，長軸長的橢圓，此時，焦距，短半軸長b有：，所以動圓圓心的軌跡的方程為：.（2）顯然直線不垂直于坐標軸，設直線的方程為，，由消去得：，則，，點關于軸的對稱點，，，如圖，顯然與在3的兩側(cè)，即與同號，于是得，當且僅當，即時取“=”，因此，當時，，所以面積的最大值.11．已知橢圓：（）的離心率為，分別過左、右焦點，作兩條平行直線和.（1）求和之間距離的