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文檔簡介
2.5.1向量的數(shù)量積北師大版(2019)必修第二冊第二章
平面向量及其應(yīng)用學(xué)習(xí)目標(biāo)體會平面向量數(shù)量積與投影數(shù)量的關(guān)系,會進行平面向量數(shù)量積的運算.02理解平面向量數(shù)量積的定義及幾何意義.01能運用數(shù)量積的運算性質(zhì)和運算律解決相關(guān)問題.03實例分析前面我們學(xué)習(xí)了向量的加、減、數(shù)乘運算,類比數(shù)的運算,出現(xiàn)了一個自然的問題:向量能否相乘呢?如果能,那么向量的乘法該如何定義?
θSF實例分析
θsFF1與位移方向垂直的分力F2,由于沒有物體在該分力的方向上產(chǎn)生位移,因而對物體不做功.F2
實例分析
θsFF1F2
實例分析問題:以上情境中的力、位移、功分別是數(shù)學(xué)中的什么量?這種求功的運算是一種什么樣的運算?答案:這里的力
F與位移
s都是矢量,既有大小,又有方向,也就是我們數(shù)學(xué)中的向量,而功是一個標(biāo)量,即我們數(shù)學(xué)中的數(shù)量,它由力和位移兩個向量來確定,也就是說功這個數(shù)量,是力和位移這兩個向量運算的結(jié)果.這種運算類似于“相乘”,又不同于“相乘”.抽象概括
抽象概括
抽象概括問題:對于任意兩個非零向量
a、b,他們夾角的范圍是什么呢?有哪些情況比較特殊?兩向量夾角的范圍是[0,π]:特殊情況a
ba
ba
ba與
b同向
a與
b反向問題:有了向量夾角的定義之后,我們就能模仿功的定義,給出向量“數(shù)量積”的定義了,你能嘗試描述一下嗎?定義
知識剖析
(3)兩向量的數(shù)量積,其結(jié)果是數(shù)量,而不是向量,它的值為兩向量的模與兩向量夾角的余弦值的乘積,其符號由夾角的余弦值決定.(4)向量數(shù)量積的結(jié)果是一個數(shù)量,這個數(shù)量的大小與兩個向量的長度及其夾角有關(guān),而向量的加減和實數(shù)與向量的積的結(jié)果仍是向量.問題:兩非零向量a與b數(shù)量積的符號由什么決定?
AA'BOabγ思考:a在b上的投影向量
γ的模與
a,b有怎樣的關(guān)系?|γ|=|a|cos<a,b>=.|a|cos<a,b>稱為投影向量
γ的數(shù)量,也稱為向量
a在向量
b方向上的投影數(shù)量.投影數(shù)量是數(shù)量積的特殊情況.數(shù)量積的幾何意義:數(shù)量積
a·b等于
a的長度|a|與
b在
a方向上的投影數(shù)量|b|cosθ的乘積,或
b的長度|b|與
a在
b方向上的投影數(shù)量|a|cosθ的乘積.AA'BOab|a|cosθθ問題:(1)向量b在向量a上的投影數(shù)量與向量a在向量b上的投影數(shù)量相等嗎?問題:(2)當(dāng)a≠0時,由a·b=0一定能得到b=0嗎?(1)當(dāng)且僅當(dāng)|a|=|b|時相等;(2)不一定,例如a⊥b時,即使b≠0,也有a·b=0.例1
如圖,已知向量
a與
b,其中|a|=3,|b|=4,且
a與
b的夾角θ=150°.(1)求a·b;(2)求向量
b在
a方向上的投影數(shù)量,并畫圖解釋.
則
探究:類比數(shù)的乘法運算律,結(jié)合向量的的線性運算的運算律,你能得到數(shù)量積運算的哪些運算律?類比:實數(shù)乘法的交換律實數(shù)乘法的結(jié)合律實數(shù)乘法的分配律猜想:a·b=b·a
思考:以上猜測的運算律公式是否都成立呢?你能用所學(xué)知識證明嗎?
求證:a·b=b·a
數(shù)量積的性質(zhì)
可以解決有關(guān)“向量不等式”的問題
常用于求向量的投影向量主要用于解決向量垂直的有關(guān)問題常用于求向量的模例2
已知向量
a,b,c,其中|a|=4,|b|=6,且
a與
c的夾角θ=120°,b與
c的夾角γ=60°,求
a+b在
c方向上的投影數(shù)量.解:a+b在
c方向上的投影
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