二項分布（1）課件高二下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版選擇性

7.4.1二項分布（1）復(fù)習(xí)引入思考：下列一次隨機試驗的共同點是什么？(1)擲一枚硬幣;(2)檢驗一件產(chǎn)品;(3)飛碟射擊;(4)醫(yī)學(xué)檢驗.正面朝上；反面朝上合格；不合格中靶；脫靶陰性；陽性只包含兩個結(jié)果探究一：伯努利試驗(1)同一個伯努利試驗重復(fù)做n次;

n重伯努利試驗具有如下共同特征：只包含兩個可能結(jié)果的試驗叫做伯努利試驗(Bernoullitrials).將一個伯努利試驗獨立地重復(fù)進行n次所組成的隨機試驗稱為n重伯努利試驗.(2)各次試驗的結(jié)果相互獨立.“重復(fù)”意味著各次試驗的條件相同,試驗成功的概率也相同.

思考：下面3個隨機試驗是否為n重伯努利試驗?如果

是，那么其中的伯努利試驗是什么?對于每個試驗，

定義“成功”

的

事件為A，那么A的概率是多大?重

復(fù)試驗的次數(shù)是多少?(1)拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣10次.(2)某飛碟運動員每次射擊中靶的概率為0.8，連續(xù)射擊3次.(3)一批產(chǎn)品的次品率為5%，有放回地隨機抽取20件.探究二：二項分布隨機試驗是否為n重伯努利試驗伯努利試驗事件AP(A)重復(fù)試驗的次數(shù)n(1)(2)(3)擲硬幣正面朝上0.510是射擊中靶0.83是有放回抽產(chǎn)品抽到次品0.0520是追問:(1)伯努利試驗與n重伯努利試驗有何不同？(2)在伯努利試驗中，我們關(guān)注什么？在n重伯努利試驗中呢？分析：(1)

伯努利試驗做一次試驗,

n重伯努利試驗做n次試驗.(2)在伯努利試驗中,我們關(guān)注某個事件A是否發(fā)生;

在n重伯努利試驗中,我們關(guān)注事件A發(fā)生的次數(shù)X

.探究二：二項分布探究：某飛碟運動員每次射擊中靶的概率為0.8.連續(xù)3次射擊，中靶次數(shù)X的概率分布列是怎樣的?用Ai表示“第i次射擊中靶”(i＝1,2,3)，用下圖的樹狀圖表示試驗的可能結(jié)果：試驗結(jié)果X的值由分步乘法計數(shù)原理，3次獨立重復(fù)試驗共有23=8種可能結(jié)果，它們兩兩互斥，每個結(jié)果都是3個相互獨立事件的積.思考：可以利用組合數(shù)來簡化表示嗎？為了簡化表示，每次射擊用1表示中靶，用0表示脫靶，那么3次射擊恰好2次中靶的所有可能結(jié)果可表示為011，110，101，這三個結(jié)果發(fā)生的概率都相等，均為0.82×0.2，并且與哪兩次中靶無關(guān).同理可求中靶0次、1次、3次的概率.因此，3次射擊恰好2次中靶的概率為.即于是，中靶次數(shù)X的分布列可表示為分析：連續(xù)射擊4次，中靶次數(shù)X＝2的結(jié)果有中靶次數(shù)X的分布列為思考：如果連續(xù)射擊4次，類比上面的分析，表示中靶次數(shù)X等于2的結(jié)果有哪些?寫出中靶次數(shù)X的分布列.我們把上面這種分布稱為二項分布.于是，中靶次數(shù)X的分布列可表示為歸納總結(jié)一般地，在n重伯努利試驗中，設(shè)每次試驗中事件A發(fā)生的概率為p(0<p<1)，用X表示事件A發(fā)生的次數(shù)，則X的分布列為

二項分布的定義：如果隨機變量X的分布列具有上式的形式，則稱隨機變量X服從二項分布，記作X~B(n,p).追問1：對比二項分布和二項式定理，你能看出它們之間的聯(lián)系嗎？如果把p看成b

，1-p看成a

，則就是二項式定理[(1-p)+p]n的展開式的第k＋1項，由此才稱為二項分布.由二項式定理，可得二項分布的分布列如下表：追問2：二項分布和兩點分布有什么聯(lián)系？二項分布的分布列如下表：當(dāng)n=1時，可以得到二項分布的分布列如下表：兩點分布是一種特殊的二項分布，即是n=1的二項分布：X~B(1,p).X01P例1：將一枚質(zhì)地均勻的硬幣重復(fù)拋擲10次，求:(1)恰好出現(xiàn)5次正面朝上的概率；(2)正面朝上出現(xiàn)的頻率在[0.4,0.6]內(nèi)的概率.例題分析:拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣,出現(xiàn)“正面朝上”和“反面朝上”兩種結(jié)果且可能性相等,這是一個10重伯努利試驗,因此,正面朝上的次數(shù)服從二項分布.解:設(shè)A=“正面朝上”,則P(A)=0.5.用X表示事件A發(fā)生的次數(shù),則X~B(10,0.5).(1)恰好出現(xiàn)5次正面朝上等價于X=5,于是P(X=5)=×0.55×(1-0.5)5=×0.510課本P74例1：將一枚質(zhì)地均勻的硬幣重復(fù)拋擲10次，求:(2)正面朝上出現(xiàn)的頻率在[0.4,0.6]內(nèi)的概率.例題解：正面朝上出現(xiàn)的頻率在[0.4,0.6]內(nèi)等價于4≤X≤6,于是解:設(shè)A=“正面朝上”,則P(A)=0.5.用X表示事件A發(fā)生的次數(shù),則X~B(10,0.5).P(4≤X≤6)=

課本P74=×0.510+×0.510+×0.5102.一般含有“恰好”“恰有”等字樣的問題往往考慮獨立重復(fù)試驗的模型.反思歸納1.隨機變量X服從二項分布的三個前提條件：(1)每次試驗都是在同一條件下進行的；(2)每一次試驗都彼此相互獨立；(3)每次試驗出現(xiàn)的結(jié)果只有兩個，即某事件要么發(fā)生，要么不發(fā)生.只有這三個條件均滿足時才能說明隨機變量X服從二項分布，其事件A在n次獨立重復(fù)試驗中恰好發(fā)生k次的概率可用下面公式計算.1.雞接種一種疫苗后,有80%不會染某種病毒.如果5只雞接種了疫苗,求：(1)沒有雞感染病毒的概率;(2)恰好有1只雞感染病毒的概率.解：課本P77練習(xí)2.某射手射擊擊中目標(biāo)的概率是0.8，求這名射手在5次射擊中:(1)恰有3次擊中目標(biāo)的概率；(2)至少有4次擊中目標(biāo)的概率.解：設(shè)A＝“擊中目標(biāo)”，則P(A)＝0.8.用X表示事件A發(fā)生的次數(shù)，則X~B(5,0.8).(2)至少有4次擊中目標(biāo)的概率為(1)恰有3次擊中目標(biāo)的概率為1.某一批花生種子，如果每1粒發(fā)芽的概率為，那么播下3粒種子至少有1粒發(fā)芽的概率是()解：隨堂檢測2.有8件產(chǎn)品，其中4件是次品，從中有放回地取3次(每次1件)，若X表示取得次品的次數(shù)，則P(X≤2)等于（

）P(X≤2)＝P(X＝2)＋P(X＝1)＋P(X＝0)解析：事件A在一次試驗中發(fā)生的概率為p，(1)求甲射擊3次，至少有1次未擊中目標(biāo)的概率；解：記“甲射擊3次至少有1次未擊中目標(biāo)”為事件A1，由題意，知射擊3次，相當(dāng)于3重伯努利試驗，(2)求兩人各射擊2次，甲恰好擊中目標(biāo)2次且乙恰好擊中目標(biāo)1次的概率.解：記“甲射擊2次，恰有2次擊中目標(biāo)”為事件A2，“乙射擊2次，恰有1次擊中目標(biāo)”為事件B2，5.高二(1)班的一個研究性學(xué)習(xí)小組在網(wǎng)上查知，某珍稀植物種子在一定條件下發(fā)芽成功的概率為

，該研究性學(xué)習(xí)小組又分成兩個小組進行驗證性試驗.(1)第一小組做了5次這種植物種子的發(fā)芽試驗(每次均種下一粒種子)，求他們的試驗中至少有3次發(fā)芽成功的概率；解：至少有3次發(fā)芽成功，即有3次、4次、5次發(fā)芽成功.設(shè)5次試驗中種子發(fā)芽成功的次數(shù)為隨機變量X.所以至少有3次發(fā)芽成功的概率為(2)第二小組做了若干次發(fā)芽試驗(每次均種下一粒種子)，如果在一次試驗中種子發(fā)芽成功就停止試驗，否則將繼續(xù)進行下次試驗，直到種子發(fā)芽成功為止，但試驗的次數(shù)最多不超過5次，求第二小組所做種子發(fā)芽試驗的次數(shù)ξ的分布列.解：隨機變量ξ的可能取值為1,2,3,4,5.所以ξ的分布列為28(1)同一個伯努利試驗重復(fù)做n次;

n重伯努利試驗具有如下共同特征：伯努利試驗——只包含兩個可能結(jié)果的試驗.將一個伯努利試驗獨立地重復(fù)進行n次所組成的隨機試驗稱為n重伯努利試驗.(2)各次試驗的結(jié)果相互獨立.如果隨機變量X的分布列具有上式的形式,則稱隨機變量X服從二項分布,記作X~B(n,p).一般地,在n重伯努利試驗中,設(shè)每次試驗中事件A發(fā)生的概率為p(0<p<1),用X表示事件A發(fā)生的次數(shù),則X的分布列為二點分布是特殊的二項分布.課堂