《向量的數(shù)乘》教學(xué)設(shè)計

高中數(shù)學(xué)精選資源3/3《向量的數(shù)乘》教學(xué)設(shè)計教學(xué)設(shè)計教學(xué)環(huán)節(jié)教學(xué)內(nèi)容師生互動設(shè)計意圖新課引入如圖所示,已知向量,請作出和.問題:指出所得和向量與向量的模、方向有什么關(guān)系?教師提問,用多媒體演示求和向量的過程.學(xué)生自己試著作圖,交流,回答.用具體實例啟發(fā)學(xué)生思考,激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,引出向量的數(shù)乘的概念.概念形成一、向量的數(shù)乘1.定義:一般地,實數(shù)與向量的積是一個向量,記作,它的長度和方向規(guī)定如下：(1).(2)若,則當(dāng)時,與方向相同;當(dāng)時,與方向相反.實數(shù)與向量相乘的運算,叫作向量的數(shù)乘.2.特別地,當(dāng)時,;當(dāng)時,.3.向量數(shù)乘的幾何意義.當(dāng)時,把向量沿著的相同方向放大或縮小;當(dāng)時,把向量沿著的相反方向放大或縮小,如下圖.二、向量的數(shù)乘滿足的運算律1.設(shè)為向量,為實數(shù),則有：(1);(2);(3).2.特別地,有.3.向量的線性運算:向量的加法、減法和數(shù)乘統(tǒng)稱為向量的線性運算.向量的線性運算結(jié)果仍是向量.對于任意向量,以及任意實數(shù),恒有.三、向量共線定理設(shè)為非零向量,如果有一個實數(shù),使,那么與是共線向量;反之,如果與是共線向量,那么有且只有一個實數(shù),使.學(xué)生結(jié)合共線向量和向量的加減法初步歸納向量的數(shù)乘的概念.教師進行點撥與補充.教師引導(dǎo)學(xué)生從大小和方向兩個方面分析向量的數(shù)乘的特點.教師給出當(dāng)和0這兩種特殊情形下向量數(shù)乘的計算結(jié)果,學(xué)生識記.教師讓學(xué)生試著歸納向量數(shù)乘的幾何意義,并畫出對應(yīng)圖形,學(xué)生根據(jù)圖形進行解釋說明,全班訂正.教師結(jié)合實例讓學(xué)生理解向量的數(shù)乘滿足的運算律.學(xué)生閱讀教材,進行歸納,加深記憶.學(xué)生識記后教師提問：我們可以發(fā)現(xiàn)向量數(shù)乘的運算律和乘法的運算律形式上很相似,你能說說它們之間的區(qū)別嗎?教師出示左欄兩個公式,讓學(xué)生試著進行解釋說明.教師和學(xué)生重點分析向量數(shù)乘結(jié)果的方向,引導(dǎo)學(xué)生觀察結(jié)果向量和原來向量的關(guān)系.學(xué)生分小組合作,總結(jié).教師提問:我們可以如何證明這個結(jié)論?學(xué)生小組討論,完成證明過程.教師讓一名學(xué)生板演,全班訂正答案.通過對向量的數(shù)乘概念的學(xué)習(xí),提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng).通過對向量數(shù)乘的幾何意義的說明，讓學(xué)生從幾何角度理解向量的數(shù)乘概念,提升直觀想象核心素養(yǎng),增強學(xué)生的表達能力.在掌握了向量數(shù)乘的運算律之后,再與實數(shù)乘法的運算律進行比較,加深理解,強化學(xué)生對形式相似內(nèi)容的辨析能力.通過對向量共線定理的證明,讓學(xué)生對向量的數(shù)乘有更加深刻的認識,提升邏輯推理核心素養(yǎng).概念深化一、向量的數(shù)乘1.實數(shù)與向量可以相乘,但是實數(shù)和向量不可以相加或相減.2.若向量是非零向量,則向量是與向量同向的單位向量.3.注意的方向和模.二、向量的數(shù)乘滿足的運算律向量數(shù)乘的運算律可類似于多項式的運算.例如，多項式運算中的去括號、移項、合并同類項、提取公因式等變形手段在數(shù)與向量的乘積中同樣適用,但是這里的“同類項”“公因式”指向量,實數(shù)看作是向量的系數(shù).三、向量共線定理若與共線,不一定有,當(dāng)時,無解;只有當(dāng)時,才有.所以,定理中才會有條件.教師給出對向量的數(shù)乘需要注意的知識點,逐條分析說明.學(xué)生結(jié)合教師的點撥,展開討論、交流.教師把向量數(shù)乘的運算律與多項式的運算進行類比,加深學(xué)生的理解.教師給出向量共線定理中要求的原因,強調(diào)定理的嚴謹性.加深學(xué)生對向量的數(shù)乘的理解.靈活運用類比的方法,加深學(xué)生對向量數(shù)乘的運算律的掌握程度.培養(yǎng)學(xué)生的觀察歸納能力,達到培養(yǎng)邏輯推理核心素養(yǎng)的目的.應(yīng)用舉例例1如圖,已知向量和向量,求作向量和向量.作法如圖(1)所示,向量的長度是的長度的倍,方向與的方向相反.如圖(2)所示,以為起點,分別作,連接,則.課堂練習(xí):教材第16頁練習(xí)第1,3題.例2計算：(1);(2).解(1)原式.(2)原式.課堂練習(xí):教材第16頁練習(xí)第2題.例3如圖,分別為的邊的中點,求證:與共線,并用表示.證明因為分別為的中點,所以,即與共線.又,且與同向,所以.例4如圖,已知為直線外一點,點在直線上,且.求證:.證明因為,又,所以,即.又因為,即,所以.課堂練習(xí):教材第18頁練習(xí)第7題.學(xué)生自主完成例1,然后探討.教師演示答案,并引導(dǎo)學(xué)生歸納需注意的問題.教師出示例2,學(xué)生分組練習(xí),交流討論.教師巡回指導(dǎo),收集信息,及時評價,糾正錯誤.教師出示例3,學(xué)生分組練習(xí).集體訂正答案.教師指出:設(shè),若,則稱向量可以用非零向量線性表示.教師出示例4,提問:待求證的式子中的和與已知中的和如何建立聯(lián)系?學(xué)生嘗試解答,全班訂正答案.完成證明后,教師進一步提問:本題的結(jié)論可以寫成如下形式:,這說明了什么?兩個不共線的向量可以表示平面內(nèi)任一向量嗎?通過例1讓學(xué)生掌握此類向量的作法,加深對向量的數(shù)乘概念的理解,提升直觀想象核心素養(yǎng).例2旨在強化學(xué)生對向量數(shù)乘的運算律的理解，使學(xué)生能夠靈活應(yīng)用運算律進行解題,提升數(shù)學(xué)運算核心素養(yǎng).通過例4加深學(xué)生對向量共線定理的理解.最后兩個思考題可使本節(jié)內(nèi)容進一步拓展,提升邏輯.推理核心素養(yǎng).歸納總結(jié)1.知識：(1)向量的數(shù)乘.(2)向量數(shù)乘滿足的運算律.(3)向量共線定理.2.應(yīng)用：用向量共線定理證明三點共線.學(xué)生相互交流收獲與體會，并進行反思.關(guān)注學(xué)生的自主體驗，提高其歸納總結(jié)能力.布置作業(yè)1.基礎(chǔ)題：教材第18~19頁習(xí)題9.2（2）第2~6題.2.拓展題：教材第19頁習(xí)題9.2（2）第9~11題.學(xué)生課下獨立完成，教師批閱并公布學(xué)生的做題情況，有問題的給予糾正.通過分層作業(yè)使學(xué)生鞏固所學(xué)知識，并為有余力的學(xué)生提供進一步學(xué)習(xí)的機會.板書設(shè)計9.2.2向量的數(shù)乘一、向量的數(shù)乘1.定義:一般地,實數(shù)與向量的積是一個向量,記作,它的長度和方向規(guī)定如下：(1).(2)若,則當(dāng)時,與方向相同；當(dāng)時,與方向相反.實數(shù)與向量相乘的運算,叫作向量的數(shù)乘2.特別地,當(dāng)時,;當(dāng)時,3.向量數(shù)乘的幾何意義二,向量的數(shù)乘滿足的運算律1.設(shè)為向量,為實數(shù),則有：(1);;(3)2.特別地,有3.向量的線性運算:向量的加法、減法和數(shù)乘統(tǒng)稱為向量的線性運算.向量的線性運算結(jié)果仍是向量三、向量共線定理設(shè)為非零向量,如果有一個實數(shù),使,那么與是共線向量;反之,如果與是共線向量,那么有且只有一個實數(shù),使例1練習(xí)例2練習(xí)例3例4練習(xí)歸納總結(jié)教學(xué)研討此案例主要以逐一講解概念的方式進行新課,通過問題的解決,歸納推理出向