2023版人教版初中數(shù)學(xué)同步講義練習(xí)8年級(jí)下冊(cè)第十七章 勾股定理 專(zhuān)題17.2 勾股定理的逆定理（學(xué)生版）

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專(zhuān)題17.2勾股定理的逆定理1、熟練掌握勾股定理逆定理判斷直角三角形，能夠運(yùn)用勾股定理逆定理解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題。2、理解勾股數(shù)的概念，并能準(zhǔn)確判斷一組數(shù)是不是勾股數(shù)。3、熟練掌握分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想。知識(shí)點(diǎn)01勾股定理的逆定理【知識(shí)點(diǎn)】1）勾股定理的逆定理：如果三角形三邊長(zhǎng)分別為a，b，c，滿(mǎn)足a2+b2=c2，則這個(gè)三角形是以c為斜邊的直角三角形。2）勾股定理逆定理的證明：如圖，AB=c，AC=b，CB=a，當(dāng)a2+b2=c2，證明：△ABC是直角三角形。證明：過(guò)點(diǎn)A作AD垂直于CB交CB于點(diǎn)D，設(shè)CD=x。根據(jù)勾股定理b2－x2=c2－（a±x）2將a2+b2=c2代入得±2ax=0∴x=0∴點(diǎn)D與點(diǎn)C重合∴AC⊥CB∴△ABC為直角三角形注：勾股定理的逆定理主要用于證明三角形是直角三角形。1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一個(gè)三角形是否是直角三角形.2）勾股定理的逆定理是把“數(shù)”轉(zhuǎn)為“形”，是通過(guò)計(jì)算來(lái)判定一個(gè)三角形是否為直角三角形.【知識(shí)拓展1】直角三角形的判定例1．（2022·安徽蕪湖·八年級(jí)期末）已知的三條邊分別為a，b，c，下列條件不能判斷是直角三角形的是（

）A． B．C．，， D．【即學(xué)即練1】1．（2022·廣西貴港·八年級(jí)期末）下列條件：①；②，，；③；④．其中能判定是直角三角形的有（

）A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)【知識(shí)拓展2】勾股定理的逆定理的應(yīng)用（1）面積問(wèn)題例2．（2022·陜西八年級(jí)期末）為迎接十四運(yùn)，我區(qū)強(qiáng)力推進(jìn)“三改一通一落地”，加速城市更新步伐．綠地廣場(chǎng)有一塊三角形空地將進(jìn)行綠化，如圖，在中，，E是上的一點(diǎn)，，，．（1）判斷的形狀，并說(shuō)明理由．（2）求線段的長(zhǎng)．【即學(xué)即練2】1．（2022·天津八年級(jí)期中）如圖，四邊形中，，，，，且，則四邊形的面積為（）A． B． C． D．2．（2022·山東聊城·八年級(jí)期末）聊城市在創(chuàng)建“全國(guó)文明城市”期間，某小區(qū)在臨街的拐角清理出了一塊可以綠化的空地．如圖，經(jīng)技術(shù)人員的測(cè)量，已知AB＝9m，BC＝12m，CD＝17m，AD＝8m，∠ABC＝90°．若平均每平方米空地的綠化費(fèi)用為150元，試計(jì)算綠化這片空地共需花費(fèi)多少元？【知識(shí)拓展3】勾股定理的逆定理的應(yīng)用（2）例3．（2022·江蘇八年級(jí)期中）臺(tái)風(fēng)是一種自然災(zāi)害，它以臺(tái)風(fēng)中心為圓心在周?chē)锨椎姆秶鷥?nèi)形成極端氣候，有極強(qiáng)的破壞力．如圖，有一臺(tái)風(fēng)中心沿東西方向AB由點(diǎn)A行駛向點(diǎn)B，已知點(diǎn)C為一海港，且點(diǎn)C與直線AB上兩點(diǎn)A，B的距離分別為300km和400km，又AB=500km，以臺(tái)風(fēng)中心為圓心周?chē)?50km以?xún)?nèi)為受影響區(qū)域．（1）海港C受臺(tái)風(fēng)影響嗎？為什么？（2）若臺(tái)風(fēng)的速度為20km/h，臺(tái)風(fēng)影響該海港持續(xù)的時(shí)間有小時(shí)．【即學(xué)即練】1．（2022·重慶·八年級(jí)期中）如圖，某港口O位于南北延伸的海岸線上，東面是大海．遠(yuǎn)洋號(hào)、長(zhǎng)峰號(hào)兩艘輪船同時(shí)離開(kāi)港O，各自沿固定方向航行，“遠(yuǎn)洋”號(hào)每小時(shí)航行12海里，“長(zhǎng)峰”號(hào)每小時(shí)航行16海里，它們離開(kāi)港口1小時(shí)后，分別到達(dá)A，B兩個(gè)位置，且AB=20海里，已知“遠(yuǎn)洋”號(hào)沿著北偏東60°方向航行，請(qǐng)判斷“長(zhǎng)峰”號(hào)航行的方向，并說(shuō)明理由．2．（2022·湖北八年級(jí)期末）如圖，在一條東西走向河流的一側(cè)有一村莊河邊原有兩個(gè)取水點(diǎn)其中由于某種原因，由到的路現(xiàn)在已經(jīng)不通，該村為方便村民取水決定在河邊新建一個(gè)取水點(diǎn)在同一條直線上），并新修一條路測(cè)得千米，千米，千米．（1）問(wèn)是否為從村莊到河邊的最近路．請(qǐng)通過(guò)計(jì)算加以說(shuō)明；（2）求新路比原路少多少千米．【知識(shí)拓展4】網(wǎng)格中的勾股定理例4．（2022·山西初二期末）如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都為，點(diǎn)在小正方形的格點(diǎn)上，連接，則________．【即學(xué)即練】1．（2022·山東鄒城初二期末）如圖，在正方形網(wǎng)格中，每一個(gè)小方格的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)．(1)在圖1中的正方形網(wǎng)格中，取A，B，C三個(gè)格點(diǎn)，連接AB，BC，CA，得到△ABC，求證：△ABC為直角三角形；

(2)按下列要求畫(huà)圖：在圖2和圖3的兩個(gè)正方形網(wǎng)格中，分別取三個(gè)格點(diǎn)，連結(jié)這三個(gè)格點(diǎn)，使之構(gòu)成直角三角形，且圖1、圖2、圖3中的三個(gè)三角形互不全等．2．（2022·浙江溫嶺）如圖，5×5網(wǎng)格中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都為1，△ABC的頂點(diǎn)均為網(wǎng)格上的格點(diǎn)（1）AB2＝．BC2＝．AC2＝．（2）∠ABC＝°（3）在格點(diǎn)上存在點(diǎn)P，使∠APC＝90°，請(qǐng)?jiān)趫D中標(biāo)出所有滿(mǎn)足條件的格點(diǎn)P（用P1、P2……表示）知識(shí)點(diǎn)02勾股數(shù)【知識(shí)點(diǎn)】1）勾股數(shù)：能構(gòu)成直角三角形三條邊的三個(gè)正整數(shù)2）常見(jiàn)的勾股數(shù)有：=1\*GB3①3，4，5；=2\*GB3②5，12，13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41……注意：這兩組勾股數(shù)的整倍數(shù)也是勾股數(shù)，如：3、4、5是勾股數(shù)，則6、8、10也必是勾股數(shù)。在考察勾股數(shù)時(shí)，若出現(xiàn)不熟悉數(shù)組，可利用勾股定理逆定理判斷，即：a2+b2=c2?！局R(shí)拓展1】勾股數(shù)例1．（2022·江蘇邗江·八年級(jí)期中）下列各組數(shù)是勾股數(shù)的是（）A．12、15、18 B．0.3、0.4、0.5 C．12、16、20 D．1.5、3、2.5【即學(xué)即練1】1．（2022·湖北八年級(jí)期末）下列四組數(shù)據(jù)中，不是勾股數(shù)的是（）A．5，12，13 B．4，7，9 C．6，8，10 D．9，40，41【知識(shí)拓展2】勾股數(shù)的相關(guān)運(yùn)用例2．（2022·北京初二期中）如果正整數(shù)a、b、c滿(mǎn)足等式，那么正整數(shù)a、b、c叫做勾股數(shù).某同學(xué)將自己探究勾股數(shù)的過(guò)程列成下表，觀察表中每列數(shù)的規(guī)律，可知的值為（）A．47 B．62 C．79 D．98【即學(xué)即練2】2．（2022·廣西八年級(jí)期末）《九章算術(shù)》提供了許多整勾股數(shù)，如（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25）等，并把一組勾股數(shù)中最大的數(shù)稱(chēng)為“弦數(shù)”．后人在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步研究，得到如下規(guī)律：若m是大于1的奇數(shù)，把它平方后拆成相鄰的兩個(gè)整數(shù)，那么m與這兩個(gè)整數(shù)構(gòu)成組勾股數(shù)；若m是大于2的偶數(shù)，把它除以2后再平方，然后把這個(gè)平方數(shù)分別減1，加1得到兩個(gè)整數(shù)，那么m與這兩個(gè)整數(shù)構(gòu)成組勾股數(shù)．由上述方法得到的勾股數(shù)稱(chēng)為“由m生成的勾股數(shù)”．根據(jù)以上規(guī)律，“由8生成的勾股數(shù)”的“弦數(shù)”為（）A．16 B．17 C．25 D．64【知識(shí)拓展3】分類(lèi)討論思想例3．（2022·湖南八年級(jí)期末）定義：如圖，點(diǎn)、把線段分割成、、，若以、、為邊的三角形是一個(gè)直角三角形，則稱(chēng)點(diǎn)、是線段的勾股分割點(diǎn)．（1）已知、把線段分割成、、，若，，，則點(diǎn)、是線段的勾股分割點(diǎn)嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．（2）已知點(diǎn)、是線段的勾股分割點(diǎn)，且為直角邊，若，，求的長(zhǎng)．【即學(xué)即練3】1．（2022·老河口市第四中學(xué)初二月考）在中，，，.設(shè)為最長(zhǎng)邊.當(dāng)時(shí)，是直角三角形；當(dāng)時(shí)，利用代數(shù)式和的大小關(guān)系，探究的形狀（按角分類(lèi)）．（1）當(dāng)三邊分別為6、8、9時(shí)，為_(kāi)_____三角形；當(dāng)三邊分別為6、8、11時(shí)，為_(kāi)_____三角形．（2）猜想，當(dāng)______時(shí)，為銳角三角形；當(dāng)______時(shí)，為鈍角三角形．（3）判斷當(dāng)，時(shí)，的形狀，并求出對(duì)應(yīng)的的取值范圍．題組A基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練1．（2022·貴州遵義市·八年級(jí)期末）下列三個(gè)數(shù)中，能組成一組勾股數(shù)的是（）A．，， B．32，42，52 C．，， D．12，15，92．（2022·河南初二期中）適合下列條件的△ABC中,直角三角形的個(gè)數(shù)為①②，∠A=45°;③∠A=32°,∠B=58°；④⑤⑥⑦⑹A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)3．（2022·安徽八年級(jí)期中）已知，是線段上的兩點(diǎn)，，，以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧；再以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧交于點(diǎn)，則一定是（）A．銳角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等邊三角形4．（2022·湖北·荊州八年級(jí)期中）如圖，在4×4方格中作以AB為一邊的Rt△ABC，要求點(diǎn)C也在格點(diǎn)上，這樣的Rt△ABC能作出（）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．6個(gè)5．（2022·山西靈石八年級(jí)期中）古埃及人曾經(jīng)用如圖所示的方法畫(huà)直角：把一根長(zhǎng)繩打上等距離的13個(gè)結(jié)，然后以3個(gè)結(jié)間距，4個(gè)結(jié)間距，5個(gè)結(jié)間距的長(zhǎng)度為邊長(zhǎng)，用木樁釘成一個(gè)三角形，其中一角便是直角，這樣做的道理是（）A．直角三角形兩個(gè)銳角互余B．三角形內(nèi)角和等于180°C．三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊D．如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個(gè)三角形是直角三角形6．（2022·湖北八年級(jí)期末）如圖，某港口P位于東西方向的海岸線上，“遠(yuǎn)航”號(hào)、“海天”號(hào)輪船同時(shí)離開(kāi)港口，各自沿一固定方向航行，“遠(yuǎn)航”號(hào)每小時(shí)航行12nmile，“海天”號(hào)每小時(shí)航行9nmile，它們離開(kāi)港口兩個(gè)小時(shí)后分別位于點(diǎn)Q，R處，且相距30nmile．如果知道“遠(yuǎn)航”號(hào)沿北偏東50°方向航行，那么“海天”號(hào)沿______的方向航行．7．（2022·江蘇蘇州中學(xué)八年級(jí)期中）如圖，每個(gè)小方格都是邊長(zhǎng)為1的正方形．（1）求圖中格點(diǎn)四邊形ABCD的面積；（2）求四邊形ABCD的周長(zhǎng)；（3）求∠ADC的度數(shù)．8．（2022·綏德縣德群中學(xué)八年級(jí)期末）某中學(xué)、兩棟教學(xué)樓之間有一塊如圖所示的四邊形空地，學(xué)校為了綠化環(huán)境，計(jì)劃在空地上種植花草，經(jīng)測(cè)量，米，米，米，米．（1）求出四邊形空地的面積；（2）若每種植1平方米的花草需要投入120元，求學(xué)校共需投入多少元．題組B能力提升練1．（2022·成都市八年級(jí)期中）某航空公司經(jīng)營(yíng)中有A、B、C、D這四個(gè)城市之間的客運(yùn)業(yè)務(wù)．它的部分機(jī)票價(jià)格如下：A﹣B為2000元；A﹣C為1600元；A﹣D為2500元；B﹣C為1200元；C﹣D為900元．現(xiàn)在已知這家公司所規(guī)定的機(jī)票價(jià)格與往返城市間的直線距離成正比，則B﹣D的機(jī)票價(jià)格（）A．1400元 B．1500元 C．1600元 D．1700元2．（2022·浙江紹興·一模）同一平面內(nèi)有，，三點(diǎn)，，兩點(diǎn)之間的距離為，點(diǎn)到直線的距離為，且為直角三角形，則滿(mǎn)足上述條件的點(diǎn)有______個(gè)．3．（2022·四川廣元·八年級(jí)期末）如圖，四邊形是我縣某校在校園一角開(kāi)辟的一塊四邊形的“試驗(yàn)田”，經(jīng)過(guò)測(cè)量得知．求四邊形的面積．4．（2022·江蘇邳州·八年級(jí)期中）觀察下列各組勾股數(shù)（1）3，4，5（2）5，12，13；（3）7，24，25：（4）9，40，41照此規(guī)律，將第n組勾股數(shù)按從小到大的順序排列，排在中間的數(shù)，用含n的代數(shù)式可表示為_(kāi)__．5．（2022·河南內(nèi)鄉(xiāng)初二期中）如圖（1）是超市的兒童玩具購(gòu)物車(chē)，圖（2）為其側(cè)面簡(jiǎn)化示意圖，測(cè)得支架AC=24cm，CB=18cm，兩輪中心的距離AB=30cm，求點(diǎn)C到AB的距離.（結(jié)果保留整數(shù)）6．（2022·河南·八年級(jí)階段練習(xí)）我國(guó)在防控新冠疫情上取得重大成績(jī)，但新冠疫情在國(guó)外開(kāi)始蔓延，為了防止境外輸入病例的增加，我國(guó)暫時(shí)停止了一切國(guó)際航班、水運(yùn)．如圖，在我國(guó)沿海有一艘不明國(guó)籍的輪船進(jìn)入我國(guó)海域，我國(guó)海軍甲、乙兩艘巡邏艇立即從相距13海里的A、B兩個(gè)基地前去攔截，6分鐘后同時(shí)到達(dá)C地將其攔截．已知甲巡邏艇每小時(shí)航行120海里，乙巡邏艇每小時(shí)航行50海里，乙巡航艇的航向?yàn)楸逼鳎?）求甲巡邏艇的航行方向（用含n的式子表示）;（2）成功攔截后，甲、乙兩艘巡邏艇同時(shí)沿原方向返回且速度不變，3分鐘后甲、乙兩艘巡邏艇相距多少海里？7．（2022·錦江區(qū)八年級(jí)月考）閱讀下列內(nèi)容：設(shè)a，b，c是一個(gè)三角形的三條邊的長(zhǎng)，且a是最長(zhǎng)邊，我們可以利用a，b，c三條邊長(zhǎng)度之間的關(guān)系來(lái)判斷這個(gè)三角形的形狀：①若，則該三角形是直角三角形；②若，則該三角形是鈍角三角形；③若，則該三角形是銳角三角形．例如：若一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別是4，5，6，則最長(zhǎng)邊是6，，故由③可知該三角形是銳角三角形，請(qǐng)解答以下問(wèn)題：（1）若一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別是7，8，9，則該三角形是________三角形．（2）若一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別是5，12，x．且這個(gè)三角形是直角三角形，求的值．（3）當(dāng)，時(shí)，判斷的形狀，并求出對(duì)應(yīng)的的取值范圍．8．（2022·江西宜春·八年級(jí)期中）在學(xué)習(xí)了勾股定理后，數(shù)學(xué)興使小組在江老師的引導(dǎo)下，利用正方形網(wǎng)格和勾股定理運(yùn)用構(gòu)圖法進(jìn)行了一系列探究活動(dòng)：(1)在中，、、三邊的長(zhǎng)分別為、、，求的面積．如圖1，在正方形網(wǎng)格（每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1）中，畫(huà)出格點(diǎn)（即三個(gè)頂點(diǎn)都在小正方形的頂點(diǎn)處），不需要求的高，借用網(wǎng)格就能計(jì)算出它的面積，這種方法叫做構(gòu)圖法．則的面積為_(kāi)__________．(2)在平面直角坐標(biāo)系中，①若點(diǎn)A為，點(diǎn)B為，則線段的長(zhǎng)為_(kāi)__________；②若點(diǎn)A為，點(diǎn)B為，則線段的長(zhǎng)可表示為_(kāi)_________∶(3)在圖2中運(yùn)用構(gòu)圖法畫(huà)出圖形，比較大?。篲______（填“>”或“<”）；(4)若三邊的長(zhǎng)分別為、、（，．且），請(qǐng)?jiān)谌鐖D3的長(zhǎng)方形網(wǎng)格中（設(shè)每個(gè)小長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為m，寬為n），運(yùn)用構(gòu)圖法畫(huà)出，并求出它的面積（結(jié)果用m，n表示）．題組C培優(yōu)拔尖練1．（2022·江蘇贛榆·八年級(jí)期末）如圖，點(diǎn)P是等邊△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，PA＝6，PB＝8，PC＝10，若點(diǎn)P′是△ABC外的一點(diǎn)，且△P′AB≌△PAC，則∠APB的度數(shù)為_(kāi)__．2．（2022·江蘇常州·八年級(jí)期中）如圖，在△ABC中，AB＝12，AC＝16，BC＝20．將△ABC沿射線BM折疊，使點(diǎn)A與BC邊上的點(diǎn)D重合，E為射線BM上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△CDE周長(zhǎng)最小時(shí)，CE的長(zhǎng)為_(kāi)__．3．（2022·合肥市八年級(jí)期中）如圖，點(diǎn)C為直線l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，于D點(diǎn)，于E點(diǎn)，，，當(dāng)長(zhǎng)為_(kāi)_______________為直角三角形．4．（2022·全國(guó)·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）勾股定理是一個(gè)基本的幾何定理，盡在我國(guó)西漢時(shí)期算書(shū)《周髀算經(jīng)》就有“勾三股四弦五”的記載．如果一個(gè)直角三角形三邊長(zhǎng)都是正整數(shù)，這樣的直角三角形叫“整數(shù)直角三角形”，這三個(gè)整數(shù)叫做一組“勾股數(shù)”．如：等等都是勾股數(shù)．【探究1】（1）如果是一組勾股數(shù)，即滿(mǎn)足，則為正整數(shù)）也是一組勾股數(shù)．如；是一組勾股數(shù)，則___也是一組勾股數(shù)；（2）另外利用一些構(gòu)成勾股數(shù)的公式也可以寫(xiě)出許多勾股數(shù)，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派就曾提出公式為正整數(shù)）是一組勾股數(shù)，證明滿(mǎn)足以上公式的是一組勾股數(shù)；（3）值得自豪的是，世界上第一次給出的勾股數(shù)公式，收集在我國(guó)的《九章算術(shù)》中，書(shū)中提到：當(dāng)，為正整數(shù)，時(shí)，構(gòu)成一組勾股數(shù)；請(qǐng)根據(jù)這一結(jié)論直接寫(xiě)出一組符合條件的勾股數(shù)___．【探究2】觀察；…，可以發(fā)現(xiàn)這些勾股數(shù)的勾都是奇數(shù)，且從起就沒(méi)有間斷過(guò)，并且勾為時(shí)股，弦；勾為時(shí)，股，弦；請(qǐng)仿照上面兩組樣例，用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律填空：（1）如果勾為7，則股____；弦____；（2）如果用且為奇數(shù))表示勾，請(qǐng)用含有的式子表示股和弦，則股___；弦___；（3）觀察；…，可以發(fā)現(xiàn)各組的第一個(gè)數(shù)都是偶數(shù)，且從起也沒(méi)有間斷過(guò)．_；請(qǐng)你直接用為偶數(shù)且）的代數(shù)式表示直角三角形