2023-2024學年八年級數學上冊舉一反三系列152 分式的運算【十大題型】（舉一反三）（人教版）含解析

2023-2024學年八年級數學上冊舉一反三系列專題15.2分式的運算

【十大題型】

【人教版】

【題型1含乘方的分式乘除混合運算】...........................................................2

【題型2分式的加減混合運算】................................................................2

【題型3整式與分式的相加減運算】............................................................3

【題型4分式加減的實際應用】................................................................3

【題型5比較分式的大小】.....................................................................4

【題型6分式的混合運算及化簡求值】...........................................................5

【題型7分式中的新定義問題】................................................................5

【題型8分式運算的規(guī)律探究】................................................................6

【題型9整數指數塞的運算】..................................................................8

【題型10科學計數法表示小數】................................................................8

舉一見三

【知識點1分式的乘除法法則】

分式是分數的擴展，因此分式的運算法則與分數的運算法則類似：

1）分式的乘法：分子的積為積的分子，分母的積為積的分母，能約分的約分。即：：'5=色

0dba

2）分式的除法：除式的分子、分母顛倒位置后，與被除數相乘。即：：+?=三'色=3

bdbcbe

3）分式的乘方：分子、分母分別乘方。（：）

DDn

4）運算順序：先乘方，后乘除，最后加減。同級從左至右依次計算。有括號的，先算括號中的，在算括號

外的。

注：上述所有計算中，結果中分子、分母可約分的，需進行約分化為最簡分式

【知識點2分式的加減法則】

1）同分母分式：分母不變，分子相加減;±?=手

2）異分母分式：先通分，變?yōu)橥帜阜质?，再加減：±2=工±削=*

bcbebebe

注：①計算結果中，分子、分母若能約分，要約分;②運算順序中，加減運算等級較低。若混合運算種有乘

除或乘方運算，先算乘除、乘方運算，最后算加減運算。

【題型1含乘方的分式乘除混合運算】

22

【例I】（2022?全國?八年級課時練習）（公）+（合）X合的結果是（）

.a-b_a+b_fa+b\2_?

A.--B.--C.（—-）D.1

a+ba-b\a-b/

【變式1/】（2022?全國?八年級課時練習）（1）-二駕=；

2m5n3-------------

⑵《齊名聲《”--------；

（3）（-3ab3c2）2+（一等）3=；

⑷（-舒.（-就+（-募）2=-------------:

（5）鼎）2?（磊）2+曲=---------

【變式1?2】（2022?全國?八年級專題練習）[-焉卜寫生+隹用?

【變式1-3]（2022?湖南長沙?七年級階段練習）已知小b,c,d,x,y,z,卬是互不相等的非零實數，且

22222

a2bzbcc2d2abedmiia,b,c.d21vlM

a2y2+bh2x2=b八22z22+，c22y22=c22w22+4d2z22=x-y-z-w--，則x2y2z2-w-2的值為-----------.

【題型2分式的加減混合運算】

【例2】（2022?浙江杭州?九年級專題練工）對于任意的X值都有會三二三+白，貝IJM,N值為（）

x2+x-2x+2x-1

A.M=l,N=3B.M=-1,N=3C.M=2,N=4D.Af=l,N=4

【變式2-1】（2022?上海市久隆模范中學七年級期中）計算：2y2+3：+2_匕了_3y2一？—s+2產？+s

y+ly+2y-2y-3

【變式2-2]（2022?全國?中考模擬）計算下列各式：

（1）J-+J-+^_+上.

a-ba+ba2+b2a4+b4'

（2）/+'區(qū)?]z2+ry

x2+（y-z）x-yzy2+（z+x）y+zxz2-（x-y）z-xy'

（）爐-1爐+i2（產+1）

）r3+2x2+2x+l+x3-2x2+2x-lx2-l

（4）（yr）（ZT）+-x-y）+（x-z）（y-z）

[x-2y+z）（x+y-2z）（x+y-2z）（y+z-2x）（y+z-2x）（x-2y+z）"

【變式2?3】（2022?河南省淮濱縣第一中學八年級期末）已知實數x,y,z滿足且，-+三+工

x+yy+zz+x6x+yy+zz+x

=11,則x+y+z的值為（)

72

A.12B.14C.D.9

7

【題型3整式與分式的相加減運算】

【例3】（2022?貴州銅仁?八年級期末）計算：1-一1一%的結果是

【變式3-1］（2022?山東臨沂?中考模擬）化簡：（a+2Q）?鋁=_______.

2-aa+3

【變式3-2］（2022?福建福州?八年級期末）已知：P=v+1,Q=三.

⑴當4>0時，判斷P-Q與0的大小關系，并說明理由；

⑵設7若x是整數，求y的整數值.

【變式3-3］（2022?河北?中考真題）由（親-；）值的正負可以比較力=親與的勺大小，下列正確的是（）

A.當c=-2時，A=\B.當c=0時，Awg

C.當cV-2時，A>\D.當CV0時，AV：

【題型4分式加減的實際應用】

【例4】（2022?全國?八年級單元測試）某飛行器在相距為小的甲、乙兩站間往返飛行.在沒有風時，飛行

器的速度為也往返所需時間為0;如果風速度為p（0Vp<u）,則飛行器順風飛行速度為3+p）,逆風飛

行速度為Q-P），往返所需時間為亡2.則G、亡2的大小關系為（）

A.口<t2B.<t2C.q>t2D.無法確定

【變式4-1］（2022?全國?八年級單元測試）課本中有一探究活動如下：“商店通常用以下方法來確定兩種糖

混合而成的什錦糖的價格：設4種糖的單價為a元/千克，8種糖的單價為b元/千克，則m千克A種糖和n千克8

種糖混合而成的什錦糖的單價為吧絲（平均價）.現有甲乙兩種什錦糖，均由A,8兩種糖混合而成.其中

m+n

甲種什錦糖由10千克A種糖和10千克8和糖混合而成；乙種什錦糖由100元A種糖和100元8種糖混合而

成.你認為哪一種什錦糖的單價較高？為什么？"請你完成下面小明同學的探究：

⑴小明同學根據題意，求出甲、乙兩種什錦糖的單價分別記為元/底乙（用a、b的代數式表示）；

⑵為了比較甲、乙兩種什錦糖的單價，小明想到了將沏與工/進行作差比較，即計算時-七的差與。比較

來確定大?。?/p>

⑶經過此探究活動，小明終于悟出了建議父親選擇哪種方式加油比較合算的道理（若石油價格經常波動.方

式一：每次都加滿；方式二：每次加200元）.選擇哪種方式？請簡要說明理由.

【變式4-2］（2022?浙江杭州?七年級期末）甲、乙兩人同時從A地出發(fā)到5地，距離為100千米.

（1）若甲從4地出發(fā)，先以20千米/小時的速度到達中點，再以2s千米/小時的速度到達N地，求走完全

程所用的時間.

（2）若甲從A地出發(fā)，先以/千米/小時的速度到達中點，再以21/千米/小時的速度到達8地.乙從4地出

發(fā)到6地的速度始終保持V千米/小時不變，請問甲、乙誰先到達B地？

（3）若甲以a千米/時的速度行走x小時，乙以b千米/時的速度行走x小時，此時甲距離終點為（100-。幻

千米，乙距離終點為（100-bx）千米.分式黑？對一切有意義的X值都有相同的值，請?zhí)剿餍應滿足的

100—DX

條件.

【變式4?3】（2022?重慶?模擬預測）一個自然數能分解成AXB,其中A,8均為兩位數，A的十位數字比5

的十位數字大1,且4,8的個位數字之和為10,則稱這個自然數為“分解數”.

例如：04819=79x61,7比6大1,1+9=10,04819是"分解數”；

又如：01496=44X34,4比3大1,4+4。10,團1496不是“分解數".

⑴判斷325,851是否是“分解數”,并說明理由;

⑵自然數M=4x8為"分解數"，若A的十位數字與B的個位數字的和為P（M）,A的個位數字與B的十位

數字的和F（M）,令G（M）=盥，當G（M）為整數時，則稱M為“整分解數若3的十位數字能被2整除，

求所有滿足條件的“整分解數〃M.

【題型5比較分式的大小】

【例5】（2022?全國?七年級單元測試）設“二空，N=上,當％>y>0時，M和N的大小關系是（）

X+1X,

A.M>NB.M=NC.M<ND.不能確定

【變式5-1］（2022?河北秦皇島?八年級期末）已知n>l,M=」），N=—,2=-三，則M、N、P的大

n-lnn+1

小關系為?

【變式5-2］（2022?全國?九年級競賽）已知x,y,z是三個互不相同的非零實數，設。=/+丫2+22,b=

xy+yz+zx,c=33g=—+—+則a與b的大小關系是_______；c與d的大小關系是______.

z，xyyzzx

【變式5-3］（2022?內蒙古?呼和浩特市國飛中學八年級期末）若a>0,M=器，X/

a+2a+3

（1）當a=3時，計算M與N的值；

（2）猜想M與N的大小關系，并證明你的猜想.

【題型6分式的混合運算及化簡求值】

【例6】（2022?天津東麗?八年級期末）計算

【變式6-1］（2022?廣東惠州?模擬預測）先化簡，再求值：1-弩勺等，其中x=-2,y甘

【變式6?2】（2022?江蘇?南京玄武外國語學校八年級期中）已知分式A=（a+1-」；）+土竽

a-la-1

（1）化簡這個分式；

（2）當a>2時，把分式A化簡結果的分子與分母同時加上4后得到分式B,問：分式B的值較原來

分式A的值是變大了還是變小了？試說明理由；

（3）若A的值是整數，且a也為整數，求出符合條件的所有a值的和.

【變式6-3］（2022?全國?八年級單元測試）已知x.y為整數，且滿足Q+；）&+或）=一式土一點），

求x+y的值.

【題型7分式中的新定義問題】

【例7】（2022?北京昌平?八年級期中）定義：如果一個分式能化成一個整式與一個分子為常數的分式的和

的形式，則稱這個分式為“和諧分式如：==*=三4+二7=1+二，則二是"和諧分式。

x-lx-1x-1x-1x-1X-1

⑴下列分式中，屬于“和諧分式〃的是（填序號）；

①乎②？③出④詈

（2）請將“和諧分式〃身管化為一個整式與一個分子為常數的分式的和的形式，并寫出化簡過程；

⑶應月：先化簡［-W）+君?品，并求X取什么整數時，該式的值為整數.

【變式7-1］（2022?江蘇?八年級）定義：若兩個分式的和為n（n為正整數），則稱這兩個分式互為”階分

式”，洌如分式三與髭互為“3階分式

X+l1+X

（1）分式提與互為“5階分式〃；

（2）設正數%,y互為倒數，求證：分式券與券互為“2階分式〃；

（3）若分式』與居:互為“1階分式”（其中a,b為正數），求好的值?

a+4bza2+2b

【變式7-2］（2022?江蘇?灌南縣揚州路實驗學校八年級階段練習）定義：若分式M與分式N的差等于它們的

積，即M-N=MN,則稱分式N是分式M的“關聯分式〃.如吃與之，因為冬-吃=一工八，吃X2二

x+lx+2x+1x+2（x+l）（x+2）x+1x+2

,，一,所以會是士的“關聯分式〃.

（X+l）（X+2）X+2X+1

⑴已知分式島，則島念的"關聯分式"（填"是〃或"不是〃）；

⑵小明在求分式壽的“關聯分式”時，用了以下方法:

設壽的，，關聯分式"為N，則奇—N=/￡XN,

團（奇+1）N=壽,

回N=-

請你仿照小明的方法求分式舄的“關聯分式〃.

⑶①觀察（1）（2）的結果，尋找規(guī)律，直接寫出分式（的“關聯分式J:

②用發(fā)現的規(guī)律解決問題：

若妥是絲學的“關聯分式“，求實數血，n的值.

mx+mmx+n

【變式7-3］（2022?江西南昌?八年級期末）定義：若兩個分式的和為〃（〃為正整數），則稱這兩個分式互

為“〃和分式〃.例如：三+鳥=5,我們稱兩個分式三與笠互為"5和分式”.解答下列問題：

x+1x+1x+1X+1

（1）分式名與分式________互為"4和分式〃；

（2）分式學與分式之互為"和分式〃；

x+yx+y----------

（3）已知xy-l,兩個分式會與士是否是‘和分式"？如果是，請求出〃的值：如果不是，請說明理由；

（4）若分式品與篇互為“3和分式”（其中x,y為正數），求xy的值?

【題型8分式運算的規(guī)律探究】

【例8】（2022?江蘇?蘇州市吳江區(qū)銅羅中學八年級期中）對于正數x,規(guī)定/（*）=士，例如：八3）=*=5

/（1）=A=1-p計算：/（白）+廣熹）+/（焉）+/（；）+/（1）+/（1）+/（2）+/O）

JJJJJJ

J31+i4J2006J200520043J2

3

+...+/（2004）+f（2005）+/（2006）=.

【變式8/】（2022?安徽安慶?七年級期末）觀察以下等式：

第1個等式：含x（2一一）.

第2個等式：￡xQ-q3=*

第3個等式：品X（2-4）.

第4個等式：島x（2一鎧/

第5個等式：言、（2-話）=也…

按照以上規(guī)律，解決下列問題：

⑴寫白第6個等式：;

（2）寫出你猜想的第九個等式：（用含幾的等式表示），并證明.

【變式8?2】（2022?江蘇泰州?八年級期中）【探究思考】

（1）探究一：

觀察分式巴的變形過程和結果，-=-+-=1--.

XXXXX

填空：若”為小于10的正整數，則當％=時，分式?的值最大.

（2）探究二：

觀察分式吐竽的變形過程和結果，

a-1

a2+2a-2（a-l）2+4a-3（a-l）2+4（a-l）+l,,,1,.1

=一工—=a-l4+44--=a+o3+—.

模仿以上分式的變形過程和結果求出分式四w二的變形結果.

【問題解決】

（3）當一2VXW1時，求分式直漕二的最小值.

M-2

【變式8-3］（2022?安徽?合肥市第四十五中學七年級階段練習）知識與方法上的類比是探索發(fā)展重要途徑,

是發(fā)現新問題、結論的重要方法.閱讀材料：利用整體思想解題，運用代數式的恒等變形，使不少依照常

規(guī)思路難以解決的問題找到簡便解決方法，常用的途徑有：（1）整體觀察；（2）整體設元；（3）整體代

入；：4）整體求和等.

例1：分解因式（3+2x）（/+2X+2）+1

解：將"7+2%"看成一個整體，令％2+2x=y

原式=y（y+2）+1=y2+2y+1=（y+l）2=（x2+2x+l）2=（x+l）4

例2：已知=1,求二-+二T的值.

Wf：---+----=-----+----=----n-----=1

1+a1+bab+a1+b1+b1+b

請根據閱讀材料利用整體思想解答下列問題：

⑴根據材料，請你模仿例1嘗試對多項式（7-6%+8）（x2-6x+10）+1進行因式分解；

（2）計算:（1—2—3—…—2021）x（2+3+…+2022）—（1—2—3——2022）x（2+3+…+

2021）=

（3）①已知ab=l,求A/+備的假

②若abc=l,直接寫出得7+餡77+告7的值.

ab+a+lbc+b+lca+c+l

【知識點3整數指數霸的運算】

1.整數負指數賽：

2.若且aKO,則m=n;反之，若a*0,且m=n,則據此，可解決某些條件求值問題。

【題型9整數指數累的運算】

【例9】（2022?湖南師大附中博才實驗中學八年級期末）（1）計算：442y.（-町2）3-丫；

（2）化簡：仔）2.6

\y/4x2

【變式9-1]（2022?甘肅隴南?八年級期末）計算：（-2a%）2“a8b3=.

【變式9-2]（2022?河北?唐山市第三十三中學八年級階段練習）已知M?（0與3=Q-4,則機的值為.

【變式9?3】（2022?貴州銅仁偉才學校八年級階段練習）化簡下列式子，使結果只含有正整數指數幕：（-2a

2b3）2（-2a4b3）=（a*0,b*0）.

【題型10科學計數法表示小數】

[?10]（2022?遼寧錦州?七年級期中）生活在海洋中的藍鯨，又叫長須鯨或剃刀鯨，它的體重達到150噸,

它體重的萬億分之一用科學記數法可表示為（）

A.1.5x10-10噸B.L5X10T1噸C.15x10—12噸D.1.5乂10一9噸

【變式10-1】（2022?江蘇鹽城?七年級階段練習）某種細菌直徑約為0.00000067mm,若將0.00000067mm

用科學記數法表示為6.7x10nmm（n為負整數），則n的值為（）

A.-5B.-6C.-7D.-8

【變式10-2]（2022?河北?盧龍縣教育和體育局教研室七年級期末）把0.00258寫成ax10〃（l<a<10,n

為整數）的形式，則a+n為（）

A.2.58B.5.58C.-0.58D.-0.42

【變式10?3】（2022?全國?九年級專題練習）地球的體積的為IOS立方千米，太陽的體積約為L4xl018立方

千米，地球的體積約是太陽體積的倍數是（用科學記數法表示，保留2位有效數字）

專題15.2分式的運算【十大題型】

【人教版】

?方媽宮巾

【題型1含乘方的分式乘除混合運算】...........................................................2

【題型2分式的加減混合運算】................................................................2

【題型3整式與分式的相加減運算】............................................................3

【題型4分式加減的實際應用】................................................................3

【題型5比較分式的大小】.....................................................................4

【題型6分式的混合運算及化簡求值】...........................................................5

【題型7分式中的新定義問題】................................................................5

【題型8分式運算的規(guī)律探究】................................................................6

【題型9整數指數基的運算】...................................................................8

【題型10科學計數法表示小數】................................................................8

聲一笈三

【知識點1分式的乘除法法則】

分式是分數的擴展，因此分式的運算法則與分數的運算法則類似：

1）分式的乘法：分子的積為積的分子，分母的積為積的分母，能約分的約分。即：=

bdbd

2）分式的除法：除式的分子、分母顛倒位置后，與被除數相乘。即：三+2=?x3=秒

bdbcbe

3）分式的乘方：分子、分母分別乘方。（，）、喧

4）運算順序：先乘方，后乘除，最后加減。同級從左至右依次計算。有括號的，先算括號中的，在算括號

外的。

注：上述所有計算中，結果中分子、分母可約分的，需進行約分化為最簡分式

【知識點2分式的加減法則】

1）同分母分式：分母不變，分子相加減3±1=世

CCC

2）異分母分式：先通分，變?yōu)橥帜阜质?，再加減：土&=￡±程=*

bcbebebe

注：①計算結果中，分子、分母若能約分，要約分;②運算順序中，加減運算等級較低。若混合運算種有乘

除或乘方運算，先算乘除、乘方運算，最后算加減運算。

【題型1含乘方的分式乘除混合運算】

22

【例I】（2022?全國?八年級課時練習）（魯）+（公）X氏的結果是（）

*2

A.?而a-bB_.力a+bC.（fa—+b）\D.1.

【答案】B

【分析】先計算分式的乘方，再把除法轉換為乘法，約分后即可得解.

【詳解】解：笛），（合），合

（Q+bp（a-b）2a+b

（a-b）2（a+b）2a—b

a+b

a-b

故選：B.

【點睛】此題主要考查了分式的混合運算，熟練掌握運算法則是解答此題的關鍵.

【變式1-1］（2022?全國?八年級課時練習）⑴一手?誓=；

2m5n3-----------------

⑵告產（學.（》=——;

（3）（-3協3c2產+（-等尸=;

⑷（一步（-粉、（-黑、-------；

C）晨）2+（W）2+C）4=-------.

,憑由12m1asc3ya2c2

L含茶J——7--7

5na338xa2

【分析】（1）根據分式的乘法法則計算即可；

（2）先算乘方，再算乘法即可;

（3）先算乘方,再算除法即可；

（4）先算乘方,再算乘除法即可;

（5）先算乘方，再算除法即可;

2m

【詳解】解:

⑴-今鬻5n

⑵/）5.弓）6舄）7=一腺累.忌=_/

(3)原式=9a2b6c44-(-=9a2Z>6c4-(-^j)=-字;

(4)y227爐、4a2y23ya2

原式二菖.(一票)+惡?IfI??

4x2,8y3，9x28x'

6846

ccaca6b2c4c2

(5)(方+(方+鈔涯+淳+苕=涯?年刀=布;

故答案為?T1asc3ya2c2

.，一丁，一飛7，靛

【點睛】本題考查了分式的乘、除、乘方的混合運算，熟練掌握運算法則是解題的關鍵

【變式1-2］(2022?全國?八年級專題練習)［一魯白?至等?隹容絲］3

*■3(a+b)」a2L2*

［卷案］8(a+J)3』2(ab)

【分析】先計算乘方，再把除法轉化成乘法，再把分子、分母分解因式，然后約分得結果.

［詳解蕊］.與富M冷用

_a7b2(a+b)4(a-d)48

~~3(a+bja6(&-a)3*

_8(a+b)3b2(a-b)

-3a?

【點睛】本題考查了分式的乘除法，把分子分母因式分解是解決本題的關鍵.

【變式1-3］(2022?湖南長沙?七年級階段練習)已知小b,c,d,x,y,z,卬是互不相等的非零實數，且

a2bzb2c2c2d2abed,ia2,b2,c2,d2^、心

a2y2+爐/=>z2+c2y2=Mw2+d2z2=訴,m則/+齊+我+正1的VlM值為------?

【答案】2

。2產2222JJ222Z

bc_cda2y2I2X2_I2Z22y2_cW(lZ

【分析】設*=g即有:c

a2y2+b2x2b2z2+c2y2c2w2+dzz2xyzwk+即=即+即=7^+海

w2xyzw,'n.x2z2

并k,化簡：3+m=1+《=詈+[=嗯=匕則有：4石'礪=匕設/=7=皿,

abedbzazczb"d，abedaz

^=^=n,即提=盤=3^=5=;.m+n=^+^=k,k=^=mn,則問題即可得解.

【詳解】結合a,b,c,d,x,y,z,w是互不相等的非零實數進行下述運算,

z222

設MI---a--b---=----b-c----=----c-2-d-2--=-a-b-ed-=—1,

a2y2+b2x2b2z2+c2y2c2w2+d2z2xyzwk

川右a2y2+.2彳2_匕2z2+c2y2_cZM+.ZzZ_x/W_,

：

人J刊~蓬—=~涼/-=一而-=abed=K

即有.把+些=空+怨=也+也=^^=%

1N,a2b2a2b2-b2c2丁b2c2-c2d2丁c2d2-abed-

化簡小+彩》彩AA器。

則有44會繇器=匕

、幾*22y22

設我=/Z=后=w后="

a2c21b2dziz2,w2.

RnT=—z=-,-2=~2=Tn+n=--=k

x￡zzmpwznc￡azt

則有：與+與+烏+《=2+2=迎回=2=2，

x2y2z2w2mnmnk

故答案為：2.

【點睛】本題主要考查分式的化簡求值，熟練掌握分式的混合運算法則和性質是解題的關鍵.

【題型2分式的加減混合運算】

【例2】(2022?浙江杭州?九年級專題練無)對于任意的x值都有要4=2；+』；，則M,N值為()

X2+X-2X+2X-1

A.M=l9N=3B.M=-1,N=3C.M=2，N=4D.M=l，N=4

【答案】B

【分析】先計算三+」;=絲絲等4絲)，根據已知可得關于乂、N的二元一次方程組［時+'=2,

x+2x-ix^x-21-M+2N=7

之可得.

【詳解】解：-三十白

x+2x-1

_M(X-l)+/V(x+2)

(x+2)(x-l)

_<M+N)X+(-M+2N)

X2+X-2

2X+；_(M+N)x+(-M+2N)

X2+X-2X2+X-2

(M+N=2

可，

(-M+2N=7

解得：［M=T,

故選B.

【點睛】本題主要考查分式的加減法，解題的關鍵是熟練掌握分式的加減法則，并根據已知等式得出關于

M、N的方程組.

2y2+3y+2y2-y-S3y2-4y-52y2-8y+5

【變式2-1］(2022?上海市久隆模范中學七年級期中)計算:

y+iy+2y-2y-3

【答案】______-8y+4______

y4-2y3-7yz+8y+12

【分析】先對每?個分式進行拆分化簡，然后再進行分式的加減計算即可.

2y2+3y+2(2y2+2y)+(y+l)+l_..,1

【詳解】解:-------==ZoV+14----,

y+1---------------------y+1-------------------Jy+1

22

y-y-5_(y+2y)-(3y+6)+l=y-3+衰

y+2~y+2

3y2紂5(3y2-6y)+(2y-4)-l

丫+竦

y-2y-2=32-

2y2一a+5=(2y2-6y)-(2y-6)-l_22_1

y-3y-3yy-3,

團原式=2y+l+★一(、-3+衰)-(37+2-六)+何-2-±)

=2、+1+*7+3-衰-3'-2+竭+2”2一青

11.11

:-T-

y+1y+2y-2y-3

島-W)+(表-W)

=------1------

(y+l)?y-3)(y-2)(y+2)

_________-8y+4________

"(y+i)>-3)(y-2)(y+2)

_-8y+4

-y4-2y3-7y2+8y+12，

【點睛】本題考查分式的加減計算，熟練掌握各運算法則是解題的關鍵.

【變式2?2】（2022?全國?中考模擬）計算下列各式:

4a3

+4；

(1)a-ba4-ba24b2a+M

y2-zx

(2)H------------1-；

x2+(y-z)x-yzy2+(z+x)y+zxz2-(x-y)z-xy'

x3+l2(爐+1)

X3+2X2+2X+1X3-2X2+2X-1

(zy)(x-y)(xz)Cyz)

(4)[x-2y+z)(x+y-2z)+(x+y-2z)(y+z-2x)+(y+z-2x)(x-2y+z)

【答案】（）(2)0(3)0(4)1

1a8-b6

【詳解】試題分析:（1）先根據異分母的分式的加減法，先把前兩個分式通分，再求和，依次計算下去即

可;

（2）先把分子添項，構成能分組分解因式的式子，把分母利用整式的乘法展開，然后把分母分子分解因式,

利用同分母的分式相加減的逆運算約分化簡即可；

（3）根據立方差和立方和公式進行分子分母的因式分解，然后再約分化簡即可;

(4)設x-y=a,y-z=b,z-x=c,利用換元法進行約分化簡即可.

J「2a+^

試題解析：(2244

1)aT>a+ba+ba+b

2a2a4a?

222244

=a-b+a+b+a+b

4a34a3

4,44.4

=a-b+a+kb

8d7

8,8

=a-b；

222

x+yzIy-zx?z+xy

(2)x2+(y-z)x-yzy2+(z+x)y+zxz2-(x-y)z-xy

x(x-z)+z(x+y)y(x+y)-x(y^z)z(y+z)-y(z-x)

=(x+y)(x-z)+(x+y)(y+z)+(z-x)(y+z)

xz_yx_z_y

=x+y+x-z+y+z-x+y-x-z-y+z

=0；

x’Tx^+l______2(x2+l)

?9+一99

(3)xJ+2x+2x+lxJ-2x^+2x-lx'-l

(xT)(x2+x+l)(x+1)(x'r+l)2(x2+l)

=(x+1)(x2+x+l)+(X-1)(x2-x+l)-(x+1)(x-l)

x-1x+12(X2+1)

=x+1+X-l-(x+1)(x-l)

(4)設x-y=a,y-z=b,z-x=c,則

(y-x)(z-x)(z-y)(x-y)(x-z)(y-z)

(x-2y+z)(x+y-2z)"(x+y-2z)(y+z-2x)"(y+z-2x)(x-2y+z)

acabcb

="(a-b)(b-c)-(b-c)(c-a)-(c-a)(a-b)

ac(c-a)+ab(a-b)+bc(b-c)

=-(a-b)(b-c)(c-a)

(a-b)(b-c)(c-a)

=(a-b)(b-c)(c-a)

=1.

【變式2-3](2022?河南省淮濱縣第一中學八年級期末)已知實數工,y,z滿足泰卡自=3,且W+素+十

=11,則x+y+z的值為()

A.12B.14C.yD.9

【答案】A

【分析】把后+W+W=11兩邊加上3,變形可得管+$+*=14,兩邊除以(％+y+z)得

到京+*+W=￡?則從而得到％+y+z的值.

6

【詳解】解…忘+W+￡=IL

1+—+1+—+1+^-=14,

x+yy+zz+x

即也上+也上+也上=1%

x+yy+zz+x

--1-d,---1--.1-1--=---1-4-,

x+yy+zz+xx+y+z

O-1.1.17

血---1--------1------=一

x+yy+zz+x6

147

x+y-iz一

???%+y+z=12.

故選：A.

【點睛】本題考查了分式的加減法，解題的關鍵是掌握同分母的分式相加減，分母不變，把分子相加減.經

過通分，異分母分式的加減就轉化為同分母分式的加減，同時解決問題的關鍵也是從后面的式子變形出％+

y+z.

【題型3整式與分式的相加減運算】

【例3】(2022?貴州銅仁?八年級期末)計算：1--1一%的結果是

【答案】鳥.

1-X

【分析】先把分式化成同分母，再根據同分母分式相加減，分母不變，分子相加減，即可得出答案.

【詳解】解：---1—X

=--1----1---x---x-(-l-x-)

1-x1-x1-x

1-1+x-x+x2

=~13^

X2

故答案為尹.

【點睛】本題考查了分式的加減.熟練掌握運算法則是解題的關鍵.

【變式3-1](2022?山東臨沂?中考模擬)化簡：(3+2+-^-)~=_______.

2-aa+3

【答案】2a-6

【分析】先計算括號，進行通分，后按同分母加減計算，再計算乘除，約分即可.

【詳解】原式="一白)?”

、a-2a-2ya+3

_a2-92(a-2)

a-2a+3

_(a4-3)(a-3)2(a-2)

Q-2a+3

=2(a-3)

=2a-6.

故答案為2a-6.

【點睛】本題考查分式的混合運算，解題的關鍵是記住分式的混合運算，先乘方，再乘除，然后加減，有

括號的先算括號里面的.

【變式3-2](2022?福建福州?八年級期末)已知：P=x+1,Q=三.

⑴當%>0時，判斷P-Q與0的大小關系，并說明理由；

⑵設丁號號，若X是整數，求y的整數值.

【答案】⑴P-80,理由見解析；

(2)y的整數值為：?7,?3,?1,3.

【分析】(1)先求差，再比較差與0的大小關系;

(2)先表示y,再求)，的整數值.

⑴

解：P-Q20,理由如下:

p-Q7+l*=*_*

=x+1x+1x+1

X2+2x4-1-4%

―x+1

_("1)2

―x+L，

(3x>0,

&r+l