第10章　第4講　事件的獨立性、條件概率與全概率公式

第十章計數(shù)原理、概率、隨機變量及其分布第四講事件的獨立性、條件概率與全概率公式知識梳理·雙基自測名師講壇·素養(yǎng)提升考點突破·互動探究提能訓(xùn)練練案[66]知識梳理·雙基自測P(A)P(B)注：“相互獨立”與“事件互斥”的區(qū)別．兩事件互斥是指兩個事件不可能同時發(fā)生，兩事件相互獨立是指一個事件發(fā)生與否對另一事件發(fā)生的概率沒有影響．兩事件相互獨立不一定互斥．4．性質(zhì)：(1)0≤P(B|A)≤1；(2)若B與C互斥，則P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)．雙

基

自

測題組一走出誤區(qū)1．判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)若事件A，B相互獨立，則P(B|A)＝P(B)．(

)(2)P(B|A)表示在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的概率；P(BA)表示事件A，B同時發(fā)生的概率，一定有P(AB)＝P(A)·P(B)．(

)√

×(3)袋中有5個小球(3白2黑)，現(xiàn)從袋中每次取一個球，不放回地抽取兩次，則在第一次取到白球的條件下，第二次取到白球的概率是0.5.(

)(4)拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，記事件A＝“第一枚骰子奇數(shù)面朝上”，事件B＝“兩枚骰子向上點數(shù)之和為7”．則A與B獨立．(

)√

√

BCDC題組三走向高考4．(2021·新高考Ⅰ卷)有6個相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5,6，從中有放回的隨機取兩次，每次取1個球，甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是2”，丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是8”，丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是7”，則(

)A．甲與丙相互獨立

B．甲與丁相互獨立C．乙與丙相互獨立

D．丙與丁相互獨立B5．(2023·高考全國甲卷)有50人報名足球俱樂部，60人報名乒乓球俱樂部，70人報名足球或乒乓球俱樂部，若已知某人報足球俱樂部，則其報乒乓球俱樂部的概率為(

)A．0.8 B．0.4C．0.2 D．0.1A考點突破·互動探究條件概率——自主練透B2．(2024·天津河北區(qū)期中)甲、乙兩人射擊，每人射擊一次．已知甲命中的概率是0.8，乙命中的概率是0.7，兩人每次射擊是否命中互不影響．設(shè)事件A為“兩人至少命中一次”，事件B為“甲命中”，則條件概率P(B|A)的值為_______.CB相互獨立事件——多維探究角度1判斷事件的獨立性(2023·河北“五個一”名校聯(lián)盟聯(lián)考)先后拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，甲表示事件“第一枚骰子擲出的點數(shù)是1”，乙表示事件“第二枚骰子擲出的點數(shù)是2”，丙表示事件“兩枚骰子擲出的點數(shù)之和是8”，丁表示事件“兩枚骰子擲出的點數(shù)之和是7”，則下列說法正確的有(

)①甲與乙相互獨立

②乙與丁相互獨立③乙與丙不互斥但相互獨立

④甲與丙互斥但不相互獨立A．1個

B．2個

C．3個

D．4個CACD2．甲、乙兩隊進行籃球決賽，采取七場四勝制(當(dāng)一隊贏得四場勝利時，該隊獲勝，決賽結(jié)束)．根據(jù)前期比賽成績，甲隊的主客場安排依次為“主主客客主客主”，設(shè)甲隊主場取勝的概率為0.6，客場取勝的概率為0.5，且各場比賽結(jié)果相互獨立，則甲隊以4∶1獲勝的概率是____________.0.18[解析]

前四場中有一場客場輸，第五場贏時，甲隊以4∶1獲勝的概率是0.63×0.5×0.5×2＝0.108，前四場中有一場主場輸，第五場贏時，甲隊以4∶1獲勝的概率是0.4×0.62×0.52×2＝0.072，綜上所述，甲隊以4∶1獲勝的概率是P＝0.108＋0.072＝0.18.3．(2024·山西大同摸底)已知某音響設(shè)備由五個部件組成，A電視機，B影碟機，C線路，D左聲道和E右聲道，其中每個部件能否正常工作相互獨立，各部件正常工作的概率如圖所示．能聽到聲音，當(dāng)且僅當(dāng)A與B至少有一個正常工作，C正常工作，D與E中至少有一個正常工作．則聽不到聲音的概率為(

)A．0.19738 B．0.00018C．0.01092 D．0.09828A[引申]本例2中乙以4∶0獲勝的概率為______，甲以4∶2獲勝的概率為______.0.040.171求相互獨立事件概率的主要方法1．利用相互獨立事件的概率乘法公式直接求解．2．正面計算較繁瑣(如求用“至少”“至多”等表述的事件的概率)或難以入手時，可從其對立事件入手計算．【變式訓(xùn)練】1．(角度1)(2023·湖南名校仿真模擬)隨著2022年卡塔爾世界杯的舉辦，中國足球也需要重視足球教育．某市為提升學(xué)生的足球水平，特地在當(dāng)?shù)剡x拔出幾所學(xué)校作為足球特色學(xué)校，開設(shè)了“5人制”“7人制”“9人制”“11人制”四類足球體驗課程．甲、乙兩名同學(xué)各自從中任意挑選兩門課程學(xué)習(xí)，設(shè)事件A＝“甲、乙兩人所選課程恰有一門相同”，事件B＝“甲、乙兩人所選課程完全不同”，事件C＝“甲、乙兩人均未選擇‘5人制’課程”，則(

)A．A與B為對立事件

B．A與C互斥C．A與C相互獨立

D．B與C相互獨立CC全概率公式——師生共研全概率公式——師生共研(2024·江蘇常州聯(lián)盟校調(diào)研)甲箱中有兩個白球三個紅球，乙箱中有一個白球三個紅球，先從甲箱中取一球放入乙箱，再從乙箱中任取一球，則從乙箱中取得的為白球的概率為_______.【變式訓(xùn)練】(2024·廣東深圳外國語學(xué)校月考)鑰匙掉了，掉在宿舍里、掉在教室里、掉在路上的概率分別是50%、30%和20%，而掉在上述三處被找到的概率分別是0.8、0.3和0.1，則找到鑰匙的概率為_______.[解析]

記事件A1為“鑰匙掉在宿舍里”，A2為“鑰匙掉在教室里”，A3為“鑰匙掉在路上”，事件B為“找到鑰匙”，由全概率公式得P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)＝0.5×0.8＋0.3×0.3＋0.2×0.1＝0.51.0.51名師講壇·素養(yǎng)提升1.(2024·江蘇常州教育學(xué)會期中檢測)居民的某疾病發(fā)病率為1%，現(xiàn)進行普查化驗，醫(yī)學(xué)研究表明，化驗結(jié)果是可能存有誤差的．已知患有該疾病的人其化驗結(jié)果99%呈陽性，而沒有患該疾病的人其化驗結(jié)果1%呈陽性．現(xiàn)有某人的化驗結(jié)果呈陽性，則他真的患該疾病的概率是(

)A．0.99 B．0.9C．0.5 D．0.1C2．(2024·江蘇鎮(zhèn)江一中月考)第19屆杭州亞運會一電子競技作為正式體育競賽項目備受關(guān)注．已知某項賽事的季后賽后半段有四支戰(zhàn)隊參加，采取“雙敗淘汰賽制”，對陣表如圖，賽程如下：第一輪：四支隊伍分別兩兩對陣(即比賽1和2)，兩支獲勝隊伍進入勝者組，兩支失敗隊伍落入敗者組．第二輪：勝者組兩支隊伍對陣(即比賽3)，獲勝隊伍成為勝者組第一名，失敗隊伍落入敗者組；第一輪落入敗者組兩支隊伍對陣(即比賽4)，失敗隊伍(已兩敗)被淘汰(獲得殿軍)，獲勝隊伍留在敗者組．第三輪：敗者組兩支隊伍對陣(即比賽5)，失敗隊伍被淘汰(獲得季軍)；獲勝隊伍成為敗者組第一名．第四輪：敗者組第一名和勝者組第一名決賽(即比賽6)，爭奪冠軍．假設(shè)每場比賽雙方獲勝的概率均為0.5，每場比賽之間相互獨立．問：(1)若第一輪隊伍A和隊伍D對陣，則他們?nèi)阅茉跊Q賽中對陣的概率是多少？(2)已知隊伍B在上述季后賽后半段所參加的所有比賽中，敗了兩場，