中考數(shù)學幾何專項沖刺專題16幾何最值之瓜豆原理鞏固練習（基礎）含答案及解析

幾何最值之瓜豆原理鞏固練習（基礎）1. 如圖，ABCD是正方形場地，點E在DC的延長線上，AE與BC相交于點F，有甲、乙、丙三名同學同時從點A出發(fā)，甲沿著A﹣B﹣F﹣C的路徑行走至C，乙沿著A﹣F﹣E﹣C﹣D的路徑行走至D，丙沿著A﹣F﹣C﹣D的路徑行走至D，若三名同學行走的速度都相同，則他們到達各自的目的地的先后順序（由先至后）是（）A．甲乙丙 B．甲丙乙 C．乙丙甲 D．丙甲乙2. 如圖，點P（3，4），圓P半徑為2，A（2.8，0），B（5.6，0），點M是圓P上的動點，點C是MB的中點，則AC的最小值是_______．3. 如圖，在等腰Rt△ABC中，AC＝BC＝，點P在以斜邊AB為直徑的半圓上，M為PC的中點，當半圓從點A運動至點B時，點M運動的路徑長為________．4. 如圖，正方形ABCD中，，O是BC邊的中點，點E是正方形內一動點，OE＝2，連接DE，將線段DE繞點D逆時針旋轉90°得DF，連接AE、CF．求線段OF長的最小值．5. △ABC中，AB＝4，AC＝2，以BC為邊在△ABC外作正方形BCDE，BD、CE交于點O，則線段AO的最大值為_____________．6. 如圖，已知點A是第一象限內橫坐標為的一個定點，AC⊥x軸于點M，交直線y＝－x于點N，若點P是線段ON上的一個動點，∠APB＝30°，BA⊥PA，則點P在線段ON上運動時，A點不變，B點隨之運動．求當點P從點O運動到點N時，點B運動的路徑長是________．7. 如圖，在平面直角坐標系中，A（－3，0），點B是y軸正半軸上一動點，點C、D在x正半軸上，以AB為邊在AB的下方作等邊△ABP，點B在y軸上運動時，求OP的最小值．8. 如圖，正方形ABCD的邊長為4，E為BC上一點，且BE＝1，F(xiàn)為AB邊上的一個動點，連接EF，以EF為邊向右側作等邊△EFG，連接CG，求CG的最小值是多少？幾何最值之瓜豆原理鞏固練習（基礎）1. 如圖，ABCD是正方形場地，點E在DC的延長線上，AE與BC相交于點F，有甲、乙、丙三名同學同時從點A出發(fā)，甲沿著A﹣B﹣F﹣C的路徑行走至C，乙沿著A﹣F﹣E﹣C﹣D的路徑行走至D，丙沿著A﹣F﹣C﹣D的路徑行走至D，若三名同學行走的速度都相同，則他們到達各自的目的地的先后順序（由先至后）是（）A．甲乙丙 B．甲丙乙 C．乙丙甲 D．丙甲乙【解答】B【解析】∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝90°，甲行走的距離是AB＋BF＋CF＝AB＋BC＝2AB；乙行走的距離是AF＋EF＋EC＋CD；丙行走的距離是AF＋FC＋CD，∵∠B＝∠ECF＝90°，∴AF＞AB，EF＞CF，∴AF＋FC＋CD＞2AB，AF＋FC＋CD＜AF＋EF＋EC＋CD，∴甲比丙先到，丙比乙先到，即順序是甲丙乙，故選B．2. 如圖，點P（3，4），圓P半徑為2，A（2.8，0），B（5.6，0），點M是圓P上的動點，點C是MB的中點，則AC的最小值是_______．【解答】1.5【解析】由題意可知M點為主動點，C點為從動點，B點為定點．∵C是BM中點，可知C點軌跡為取BP中點F，以F為圓心，F(xiàn)C為半徑作圓，即為點C軌跡，如圖所示：由題中數(shù)據(jù)可知OP＝5，又∵點A、F分別是OB、BP的中點，∴AF是△BPO的中位線，∴AF＝2.5，當M運動到如圖位置時，AC的值最小，此時A、C、O三點共線，∴AC＝2.5－1＝1.5.3. 如圖，在等腰Rt△ABC中，AC＝BC＝，點P在以斜邊AB為直徑的半圓上，M為PC的中點，當半圓從點A運動至點B時，點M運動的路徑長為________．【解答】π【解析】當點P位于弧AB的中點時，M為AB的中點，，設分別為AC、BC的中點，連接交CP于點O，如圖所示：∵，當點P沿半圓從點A運動至點B時，點M的運動路徑是以O為圓心，1為半徑的半圓，如圖藍色半圓，∴點M的運動路徑長為π.4. 如圖，正方形ABCD中，，O是BC邊的中點，點E是正方形內一動點，OE＝2，連接DE，將線段DE繞點D逆時針旋轉90°得DF，連接AE、CF．求線段OF長的最小值．【解答】【解析】法一、∵OE＝2，∴點E可以看成是在以O為圓心，2為半徑的半圓上運動，延長BA至點P，使得AP＝OC，連接PE，如圖所示：∵AE＝CF，∠PAE＝∠OCF，∴△PAE≌△OCF，∴PE＝OF，當O、E、P三點共線時，PE的值最小，，，∴OF的最小值是.法二、E是主動點，F(xiàn)是從動點，D是定點，E點滿足EO＝2，故E點軌跡是以O為圓心，2為半徑的圓．考慮DE⊥DF且DE＝DF，故作DM⊥DO且DM＝DO，F(xiàn)點軌跡是以點M為圓心，2為半徑的圓．直接連接OM，與圓M交點即為F點，此時OF最?。蓸嬙烊怪比惹缶€段長，再利用勾股定理求得OM，減去MF即可得到OF的最小值．5. △ABC中，AB＝4，AC＝2，以BC為邊在△ABC外作正方形BCDE，BD、CE交于點O，則線段AO的最大值為_____________．【解答】【解析】如圖，以AO為直角邊作等腰直角三角形AOF，且∠AOF＝90o，則AO＝FO，，∵四邊形BCDE是正方形，∴BO＝CO，∠BOC＝90o，∵∠BOC＝∠AOF＝90o，∴∠AOB＝∠COF，∴△AOB≌△FOC，∴CF＝AB＝4，若點A、C、F三點不共線時，AF＜AC＋CF，若點A、C、F三點共線時，AF＝AC＋CF，∴AF≤AC＋CF＝2＋4＝6，∴AF的最大值是6，∵，∴AO的最大值是；法二、考慮到AB、AC均為定值，可以固定其中一個，比如固定AB，將AC看成動線段，由此引發(fā)正方形BCED的變化，求得線段AO的最大值．根據(jù)AC＝2，可得C點軌跡是以點A為圓心，2為半徑的圓．接下來題目求AO的最大值，所以確定O點軌跡即可，觀察△BOC是等腰直角三角形，銳角頂點C的軌跡是以點A為圓心，2為半徑的圓，所以O點軌跡也是圓，以AB為斜邊構造等腰直角三角形，直角頂點M即為點O軌跡圓圓心．連接AM并延長與圓M交點即為所求的點O，此時AO最大，根據(jù)AB先求AM，再根據(jù)BC與BO的比值可得圓M的半徑與圓A半徑的比值，得到MO，相加即得AO．6. 如圖，已知點A是第一象限內橫坐標為的一個定點，AC⊥x軸于點M，交直線y＝－x于點N，若點P是線段ON上的一個動點，∠APB＝30°，BA⊥PA，則點P在線段ON上運動時，A點不變，B點隨之運動．求當點P從點O運動到點N時，點B運動的路徑長是________．【解答】【分析】根據(jù)∠PAB＝90°，∠APB＝30°可得：AP:AB＝，故B點軌跡也是線段，且P點軌跡路徑長與B點軌跡路徑長之比也為，P點軌跡長ON為，故B點軌跡長為．7. 如圖，在平面直角坐標系中，A（－3，0），點B是y軸正半軸上一動點，點C、D在x正半軸上，以AB為邊在AB的下方作等邊△ABP，點B在y軸上運動時，求OP的最小值．【解答】【解析】求OP最小值需先作出P點軌跡，根據(jù)△ABP是等邊三角形且B點在直線上運動，故可知P點軌跡也是直線．取兩特殊時刻：（1）當點B與點O重合時，作出P點位置P1；（2）當點B在x軸上方且AB與x軸夾角為60°時，作出P點位置P2．連接P1P2，即為P點軌跡．根據(jù)∠ABP＝60°可知：與y軸夾角為60°，作OP⊥，所得OP長度即為最小值，OP2＝OA＝3，所以．8. 如圖，正方形ABCD的邊長為4，E為BC上一點，且BE＝1，F(xiàn)為AB邊上的一個動點，連接EF，以EF為邊向右側作等邊△EFG，連接CG，求CG的最小值是多少？【解答】【解析】同樣是作等邊三角形，區(qū)別于上一題求動點路徑長，本題是求CG最小值，可以將F點看成是由點B向點A運動，由此