中考數(shù)學(xué)幾何專項沖刺專題18幾何最值之費馬點鞏固練習(xí)（基礎(chǔ)）含答案及解析

幾何最值之費馬點鞏固練習(xí)1. 已知點P是△ABC內(nèi)一點，且它到三角形的三個頂點距離之和最小，則P點叫△ABC的費馬點。已經(jīng)證明：在三個內(nèi)角均小于120°的△ABC中，當(dāng)∠APB＝∠APC＝∠BPC＝120°時，P就是△ABC的費馬點。若點P是腰長為的等腰直角三角形DEF的費馬點，則PD＋PE＋PF＝.2. 如圖，點P為銳角△ABC的費馬點，且PA＝3，PC＝4，∠ABC＝60°，則費馬距離為.3. 已知正方形ABCD內(nèi)一動點E到A、B、C三點的距離之和的最小值為，求此正方形的邊長．4. 若點P為△ABC所在平面上一點，且∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°，則點P叫做△ABC的費馬點．（1）若P為銳角△ABC的費馬點，且∠ABC＝60°，PA＝3，PC＝4，則PB的值為；（2）如圖，在銳角△ABC的外側(cè)作等邊△ACB′，連結(jié)BB′．求證：BB′過△ABC的費馬點P，且BB′＝PA＋PB＋PC．5. 如圖，向△ABC外作等邊三角形△ABD，△AEC.連接BE，DC相交于點P，連接AP.（1）證明：點P就是△ABC費馬點；（2）證明：PA＋PB＋PC＝BE＝DC；6. 如圖，在△MNG中，，點O是△MNG內(nèi)一點，則點O到△MNG三個頂點的距離和最小值是.幾何最值之費馬點鞏固練習(xí)1. 已知點P是△ABC內(nèi)一點，且它到三角形的三個頂點距離之和最小，則P點叫△ABC的費馬點。已經(jīng)證明：在三個內(nèi)角均小于120°的△ABC中，當(dāng)∠APB＝∠APC＝∠BPC＝120°時，P就是△ABC的費馬點。若點P是腰長為的等腰直角三角形DEF的費馬點，則PD＋PE＋PF＝.【解答】【解析】如圖，在等腰Rt△DEF中，，過點D作DM⊥EF于點M，過E、f分別作∠MEP＝∠MFP＝30°，則EM＝DM＝1，，解得，則，，.2. 如圖，點P為銳角△ABC的費馬點，且PA＝3，PC＝4，∠ABC＝60°，則費馬距離為.【解答】【解析】如圖所示，∵∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120，∠ABC＝60°，∴∠1＋∠3＝60°，∠1＋∠2＝60°，∠2＋∠4＝60°，∴∠1＝∠4，∠2＝∠3，∴△BPC∽△APB，，即，.3. 已知正方形ABCD內(nèi)一動點E到A、B、C三點的距離之和的最小值為，求此正方形的邊長．【解答】2【解析】如圖，連接AC，把△AEC繞著點C順時針旋轉(zhuǎn)60o得到△GFC，連接EF、BG、AG，易證△EFG、△AGC都是等邊三角形，則EF＝CE，又∵FG＝AE，∴AE＋BE＋CE＝BE＋EF＋FG，如下圖所示：∵點B、G為定點，∴線段BG即為點E到A、B、C三點距離之和的最小值，此時E、F兩點都在BG上，設(shè)正方形的邊長為，則，，∵點E到A、B、C三點的距離之和的最小值是，∴，解得.4. 若點P為△ABC所在平面上一點，且∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°，則點P叫做△ABC的費馬點．（1）若P為銳角△ABC的費馬點，且∠ABC＝60°，PA＝3，PC＝4，則PB的值為；（2）如圖，在銳角△ABC的外側(cè)作等邊△ACB′，連結(jié)BB′．求證：BB′過△ABC的費馬點P，且BB′＝PA＋PB＋PC．【解答】（1）；（2）見解析【解析】（1）∵∠PAB＋∠PBA＝180o－∠APB＝60o，∠PBC＋∠PBA＝∠ABC＝60o，∴∠PAB＝∠PBC，又∵∠APB＝∠BPC＝120o，∴△ABP∽△BCP，；（2）設(shè)點P為銳角△ABC的費馬點，即∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°如圖，把△ACP繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60°到△B′CE，連結(jié)PE，則△EPC為正三角形．∵∠B′EC＝∠APC＝120°，∠PEC＝60°∴∠B′EC＋∠PEC＝180°即P、E、B′三點在同一直線上，∵∠BPC＝120°，∠CPE＝60°，∴∠BPC＋∠CPE＝180°，即B、P、E三點在同一直線上∴B、P、E、B′四點在同一直線上，即BB′過△ABC的費馬點P．又PE＝PC，B′E＝PA，∴BB′＝EB′＋PB＋PE＝PA＋PB＋PC．5. 如圖，向△ABC外作等邊三角形△ABD，△AEC.連接BE，DC相交于點P，連接AP.（1）證明：點P就是△ABC費馬點；（2）證明：PA＋PB＋PC＝BE＝DC；【解答】（1）見解析；（2）見解析【解析】（1）作AM⊥CD于M，AN⊥BE于N，設(shè)AB交CD于O，如圖所示：∵△ADB，△ACE都是等邊三角形，∴AD＝AB，AC＝AE，∠DAB＝∠CAE＝60°，∴∠DAB＝∠BAE，∴△ADC≌△ABE（SAS），∴CD＝BE，S△DAC＝S△ABE，∠ADC＝∠ABE，∵AM⊥CD，AN⊥BE，，∴AM＝AN，∴∠APM＝∠APN，∵∠AOD＝∠POB，∴∠OPB＝∠DAO＝60°，∴∠APN＝∠APM＝60°，∴∠APC＝∠BPC＝∠APC＝120°，∴點P是就是△ABC費馬點；（2）在線段PD上取一點T，使得PA＝PT，連接AT，如圖所示：∵∠APT＝60°，PT＝PA，∴△APT是等邊三角形，∴∠PAT＝60°，AT＝AP，∵∠DAB＝∠TAP＝60°，∴∠DAT＝∠BAP，∵AD＝AB，∴△DAT≌△BAP（SAS），∴PB＝DT，∴PD＝DT＋PT＝PA＋PB，.PA＋PB＋PC＝PD＋PC＝CD＝BE.6. 如圖，在△MNG中，，點O是△MNG內(nèi)一點，則點O到△MNG三個頂點的距離和最小值是.【解答】【解析】以MG為邊作等邊三角形△MGD，以O(shè)M為邊作等邊△OME，連接ND，作DF⊥NM，交M的延長線于F，如圖所示：∵△MGD和△OME是等邊三角形∴OE＝OM＝ME，∠DMG＝∠OME＝60°，MG＝MD，∴∠GMO＝∠DME，在△GMO和△DME中，，