中考數(shù)學幾何專項沖刺專題21直角三角形存在性問題鞏固練習（提優(yōu)）含答案及解析

直角三角形存在性問題鞏固練習1．如圖，O為坐標原點，四邊形OABC為矩形，A（10，0），C（0，8），點P在邊BC上以每秒1個單位長的速度由點C向點B運動，同時點Q在邊AB上以每秒a個單位長的速度由點A向點B運動，運動時間為t秒（t＞0）．（1）若反比例函數(shù)y=mx圖象經(jīng)過P點、Q點，求（2）若OQ垂直平分AP，求a的值；（3）當Q點運動到AB中點時，是否存在a使△OPQ為直角三角形？若存在，求出a的值，若不存在請說明理由；2．如圖，拋物線y＝ax2+bx﹣4（a≠0）與x軸交于A（4，0）、B（﹣1，0）兩點，過點A的直線y＝﹣x+4交拋物線于點C．（1）求此拋物線的解析式；（2）在直線AC上有一動點E，當點E在某個位置時，使△BDE的周長最小，求此時E點坐標；（3）當動點E在直線AC與拋物線圍成的封閉線A→C→B→D→A上運動時，是否存在使△BDE為直角三角形的情況，若存在，請直接寫出符合要求的E點的坐標；若不存在，請說明理由．3．如圖，平面直角坐標系中，點A是反比例函數(shù)y1=kx（x＞0）的圖象上一點，一次函數(shù)y2＝﹣x+2的圖象經(jīng)過點A，交y軸于點B，△（1）求點A的坐標及反比例函數(shù)解析式；（2）觀察圖象，當y1＞y2時，直接寫出x的取值范圍；（3）在y軸上是否存在點P，使△ABP為直角三角形？若存在，請直接寫出點P的坐標，若不存在請說明理由．4．如圖，二次函數(shù)y=12(x?3)2?1的圖象與x軸交于A，B兩點（點A在點B左側(cè)），與（1）求點A，B，D的坐標；（2）連接CD，過原點O作OE⊥CD，垂足為H，OE與該圖象的對稱軸交于點E，連接AE，AD，求∠DAE的大??；（3）設點E關于點D的對稱點為F，分別以E，F(xiàn)為圓心，1為半徑作兩個圓，該二次函數(shù)的圖象上是否存在一點P，使得過P向兩個圓各作一條切線PM，PN（M，N為切點），且PM，PN剛好可以作為一個斜邊為4的直角三角形的兩條直角邊？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．5．如圖所示，拋物線y＝x2+bx+c與直線y＝x﹣1交于A、B兩點，點A的縱坐標為﹣4，點B在y軸上，直線AB與x軸交于點F，點P是線段AB下方的拋物線上一動點，橫坐標為m，過點P作PC⊥x軸于C，交直線AB于D．（1）求拋物線的解析式；（2）當m為何值時，線段PD的長度取得最大值，其最大值是多少？（3）是否存在點P，使△PAD是直角三角形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由．6．如圖1，一次函數(shù)y＝﹣x+10的圖象交x軸于點A，交y軸于點B．以P（1，0）為圓心的⊙P與y軸相切，若點P以每秒2個單位的速度沿x軸向右平移，同時⊙P的半徑以每秒增加1個單位的速度不斷變大，設運動時間為t（s）（1）點A的坐標為，點B的坐標為，∠OAB＝°；（2）在運動過程中，點P的坐標為，⊙P的半徑為（用含t的代數(shù)式表示）；（3）當⊙P與直線AB相交于點E、F時①如圖2，求t=52時，弦②在運動過程中，是否存在以點P為直角頂點的Rt△PEF，若存在，請求出t的值；若不存在，請說明理由（利用圖1解題）．7．如圖，A，B是直線y＝x+4與坐標軸的交點，直線y＝﹣2x+b過點B，與x軸交于點C．（1）求A，B，C三點的坐標；（2）點D是折線A﹣B﹣C上一動點．①當點D是AB的中點時，在x軸上找一點E，使ED+EB的和最小，用直尺和圓規(guī)畫出點E的位置（保留作圖痕跡，不要求寫作法和證明），并求E點的坐標．②是否存在點D，使△ACD為直角三角形，若存在，直接寫出D點的坐標；若不存在，請說明理由．8．如圖，拋物線y＝（x﹣m）2+n的頂點P在直線y＝2x上，該拋物線與直線的另一個交點為A，與y軸的交點為Q．（1）當m＝n﹣1時，求m的值；（2）當AQ∥x軸時，試確定拋物線的解析式；（3）隨著頂點P在直線y＝2x上的運動，是否存在直角△PAQ？若存在，請直接寫出點P的坐標；若不存在，說明理由．9．如圖，當x＝2時，拋物線y＝ax2+bx+c取得最小值﹣1，并且拋物線與y軸交于點C（0，3），與x軸交于點A、B．（1）直接寫出拋物線的解析式；（2）若點M（x，y1），N（x+1，y2）都在該拋物線上，試比較y1與y2的大小；（3）D是線段AC的中點，E為線段AC上一動點（A、C兩端點除外），過點E作y軸的平行線EF與拋物線交于點F．①設點E的橫坐標為x，是否存在x，使線段EF最長？若存在，求出最長值；若不存在，請說明理由；②是否存在點E，使△DEF是直角三角形？若存在，求出點E的坐標；若不存在，請說明理由．10．如圖，已知平行四邊形ABCD，AD⊥BD，AD=25，BD＝2AD，過D點作DE⊥AB于E，以DE為直角邊作等腰直角三角形DEF，點F落在DC上，將△DEF在同一平面內(nèi)沿直線DC翻折，所得的等腰直角三角形記為△PQR，點R與D重合，點Q與F重合，如圖①，平行四邊形ABCD保持不動，將△PQR沿折線D﹣B﹣C勻速平移，點R的移動的速度為每秒5個單位，設運動時間為t，當R與C（1）當點Q落在BC邊上時，求t的值；（2）記△PQR與△DBC的重疊部分的面積為S，直接寫出S與t之間的函數(shù)關系式，并寫出相應的t的取值范圍；（3）當△PQR移動到R與B重合時，如圖②，再將△PQR繞R點沿順時針方向旋轉(zhuǎn)α（0°≤α≤360°），得到△P1Q1R，若直線P1Q1與直線BC、直線DC分別相交于M、N，問在旋轉(zhuǎn)的過程中是否存在△CMN為直角三角形，若存在，求出CN的長；若不存在，請說明理由．11．如圖，在平面直角坐標系中，∠ACB＝90°，OC＝2OB，tan∠ABC＝2，點B的坐標為（1，0）．拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過A、B兩點．（1）求拋物線的解析式；（2）點P是直線AB上方拋物線上的一點，過點P作PD垂直x軸于點D，交線段AB于點E，使PE=12①求點P的坐標和△PAB的面積；②在直線PD上是否存在點M，使△ABM為直角三角形？若存在，直接寫出符合條件的所有點M的坐標；若不存在，請說明理由．12．如圖1，點A坐標為（2，0），以OA為邊在第一象限內(nèi)作等邊△OAB，點C為x軸上一動點，且在點A右側(cè)，連接BC，以BC為邊在第一象限內(nèi)作等邊△BCD，連接AD交BC于E．（1）①直接回答：△OBC與△ABD全等嗎？②試說明：無論點C如何移動，AD始終與OB平行；（2）當點C運動到使AC2＝AE?AD時，如圖2，經(jīng)過O、B、C三點的拋物線為y1．試問：y1上是否存在動點P，使△BEP為直角三角形且BE為直角邊？若存在，求出點P坐標；若不存在，說明理由；（3）在（2）的條件下，將y1沿x軸翻折得y2，設y1與y2組成的圖形為M，函數(shù)y=3x+3m的圖象l與M有公共點．試寫出：l與M的公共點為3個時，直角三角形存在性問題鞏固練習1．如圖，O為坐標原點，四邊形OABC為矩形，A（10，0），C（0，8），點P在邊BC上以每秒1個單位長的速度由點C向點B運動，同時點Q在邊AB上以每秒a個單位長的速度由點A向點B運動，運動時間為t秒（t＞0）．（1）若反比例函數(shù)y=mx圖象經(jīng)過P點、Q點，求（2）若OQ垂直平分AP，求a的值；（3）當Q點運動到AB中點時，是否存在a使△OPQ為直角三角形？若存在，求出a的值，若不存在請說明理由；【分析】（1）先用t表示出P、Q兩點的坐標，再由反比例函數(shù)圖象上點的坐標特點即可得出結(jié)論；（2）先根據(jù)OQ垂直平分AP得出OP＝OA，求出t的值，再由PQ＝QA即可得出a的值；（3）分∠OPQ＝90°與∠POQ＝90°兩種情況進行分類討論．【解答】解：（1）∵A（10，0），C（0，8），點P在邊BC上以每秒1個單位長的速度由點C向點B運動，同時點Q在邊AB上以每秒a個單位長的速度由點A向點B運動，∴P（t，8），Q（10，at），∵反比例函數(shù)y=mx圖象經(jīng)過P點、∴8t＝10at，解得a=4（2）∵OQ垂直平分AP，∴OP＝OA，PQ＝QA，∴t2+8∴Q（10，6a），P（6，8），∵PQ＝QA，∴（10﹣6）2+（6a﹣8）2＝（6a）2，解得a=5（3）如圖，∵Q為AB的中點，∴Q（10，4），P（t，8）．當∠OPQ＝90°時，OP2+PQ2＝OQ2，即t2+82+（10﹣t）2+42＝102+42，整理得，t2﹣10t+32＝0，∵△＝（﹣10）2﹣4×32＝100﹣128＝﹣28＜0，∴此方程無解，即此種情況不存在；當∠PQO＝90°時，OQ2+PQ2＝OP2，即102+42+（10﹣t）2+42＝t2+82，整理得，﹣20t＝﹣168，解得t=42∵AQ＝4，∴at＝4，即425a＝4，解得a=【點評】本題考查的是反比例函數(shù)綜合題，涉及到反比例函數(shù)圖象上點的坐標特點、直角三角形的判定與性質(zhì)等知識，在解答（3）時要注意進行分類討論．2．如圖，拋物線y＝ax2+bx﹣4（a≠0）與x軸交于A（4，0）、B（﹣1，0）兩點，過點A的直線y＝﹣x+4交拋物線于點C．（1）求此拋物線的解析式；（2）在直線AC上有一動點E，當點E在某個位置時，使△BDE的周長最小，求此時E點坐標；（3）當動點E在直線AC與拋物線圍成的封閉線A→C→B→D→A上運動時，是否存在使△BDE為直角三角形的情況，若存在，請直接寫出符合要求的E點的坐標；若不存在，請說明理由．【分析】（1）利用待定系數(shù)法求出拋物線解析式；（2）先判斷出周長最小時BE⊥AC，即作點B關于直線AC的對稱點F，連接DF，交AC于點E，聯(lián)立方程組即可；（3）三角形BDE是直角三角形時，由于BD＞BG，因此只有∠DBE＝90°或∠BDE＝90°，兩種情況，利用直線垂直求出點E坐標．【解答】解：（1）∵拋物線y＝ax2+bx﹣4（a≠0）與x軸交于A（4，0）、B（﹣1，0）兩點，∴16a+4b?4=0a?b?4=0∴a=1b=?3∴拋物線解析式為y＝x2﹣3x﹣4，（2）如圖1，作點B關于直線AC的對稱點F，連接DF交AC于點E，由（1）得，拋物線解析式為y＝x2﹣3x﹣4①，∴D（0，﹣4），∵點C是直線y＝﹣x+4②與拋物線的交點，∴聯(lián)立①②解得，x=4y=0（舍）或x=?2∴C（﹣2，6），∵A（4，0），∴直線AC解析式為y＝﹣x+4，∵直線BF⊥AC，且B（﹣1，0），∴直線BF解析式為y＝x+1，設點F（m，m+1），∴G（m?12，m+1∵點G在直線AC上，∴?m?1∴m＝4，∴F（4，5），∵D（0，﹣4），∴直線DF解析式為y=94∵直線AC解析式為y＝﹣x+4，∴直線DF和直線AC的交點E（3213，20（3）∵BD=17由（2）有，點B到線段AC的距離為BG=12BF=12∵B（﹣1，0），D（0，﹣4），∴直線BD解析式為y＝﹣4x﹣4，∵△BDE為直角三角形，∴①∠DBE＝90°，∴BE⊥BD交AC于E，∴直線BE解析式為y=14x∵點E在直線AC：y＝﹣x+4的圖象上，∴E（3，1），②∠BDE＝90°，∴DE⊥BD交拋物線于E，∴直線DE的解析式為y=14∵點E在拋物線y＝x2﹣3x﹣4上，∴直線DE與拋物線的交點為（0，﹣4）和（134，?∴E（134，?即：滿足條件的點E的坐標為E（3，1）或（134，?【點評】此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法，極值，對稱性，直角三角形的性質(zhì)，解本題的關鍵是求函數(shù)圖象的交點坐標．3．如圖，平面直角坐標系中，點A是反比例函數(shù)y1=kx（x＞0）的圖象上一點，一次函數(shù)y2＝﹣x+2的圖象經(jīng)過點A，交y軸于點B，△（1）求點A的坐標及反比例函數(shù)解析式；（2）觀察圖象，當y1＞y2時，直接寫出x的取值范圍；（3）在y軸上是否存在點P，使△ABP為直角三角形？若存在，請直接寫出點P的坐標，若不存在請說明理由．【分析】（1）在y2＝﹣x+2中，令x＝0，則y2＝2，得到B（0，2），根據(jù)三角形的面積S△AOB＝3，求得A（3，﹣1），由點A是反比例函數(shù)y1=kx（x＞0）的圖象上，得到（2）根據(jù)圖象即可得到x的取值范圍；（3）設P（0，a），①當∠APB＝90°，由AP⊥PB，根據(jù)點A的坐標即可得到P1（0，﹣1），②當∠PAB＝90°，由勾股定理和兩點間的距離得到方程32+（a+1）2+32+32＝（2﹣a）2，于是得到結(jié)論．【解答】解：（1）在y2＝﹣x+2中，令x＝0，則y2＝2，∵一次函數(shù)y2＝﹣x+2的圖象與y軸相交于點B，∴B（0，2），又∵S△AOB＝3，設A（m，n），∴12×2×∴m＝3，將其代入y2＝﹣x+2中得n＝﹣1，∴A（3，﹣1），∵點A是反比例函數(shù)y1=kx（∴k＝﹣3，∴反比例函數(shù)解析式為：y=?3（2）由圖象知：當y1＞y2時，x＞3；（3）存在，設P（0，a），①當∠APB＝90°，則AP⊥PB，∴P1（0，﹣1），②當∠PAB＝90°，則AP2+AB2＝PB2，即32+（a+1）2+32+32＝（2﹣a）2，∴a＝﹣4，P2（0，﹣4），綜上所述：P（0，﹣1），（0，﹣4）．【點評】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題：反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點坐標滿足兩個函數(shù)的解析式，兩點間的距離公式，弄清題意，正確的識別圖形是解題的關鍵．4．如圖，二次函數(shù)y=12(x?3)2?1的圖象與x軸交于A，B兩點（點A在點B左側(cè)），與（1）求點A，B，D的坐標；（2）連接CD，過原點O作OE⊥CD，垂足為H，OE與該圖象的對稱軸交于點E，連接AE，AD，求∠DAE的大?。唬?）設點E關于點D的對稱點為F，分別以E，F(xiàn)為圓心，1為半徑作兩個圓，該二次函數(shù)的圖象上是否存在一點P，使得過P向兩個圓各作一條切線PM，PN（M，N為切點），且PM，PN剛好可以作為一個斜邊為4的直角三角形的兩條直角邊？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．【分析】（1）令y＝0，即可求出點A、B坐標，根據(jù)頂點式可以知道點D坐標．（2）先求出直線CD解析式，根據(jù)OE⊥CD求出直線OE解析式，再求出點E坐標，利用兩點間距離公式求出線段AE2，AD2，DE2，由勾股定理的逆定理證明△EAD是直角三角形即可解決問題．（3）存在．設點P為（m，n），求出PM2，PN2，根據(jù)PM2+PN2＝42，列出方程即可解決問題．【解答】解：（1）令y＝0，則12（x﹣3）2﹣1＝0，解得x＝3±∴點A坐標（3?2，0），點B坐標（3+令x＝0則y=7∴點C坐標（0，72），頂點D（2）設直線CD解析式為y＝kx+b，則3k+b=?1b=72∴直線CD解析式為y=?32x∵OE⊥CD，∴直線OE解析式為y=23∴x＝3時，y＝2，∴點E坐標（3，2），∴AE2＝（2）2+22＝6，AD2＝（2）2+12＝3，DE2＝32＝9，∴AE2+AD2＝DE2，∴∠EAD＝90°．（3）存在．理由：由題意E（3，2），F(xiàn)（3，﹣4），設點P為（m，n），∵點P在拋物線上，∴n=12（m﹣3）2∴PM2＝PE2﹣12＝（m﹣3）2+（n﹣2）2﹣1，PN2＝PF2﹣12＝（m﹣3）2+（n+4）2﹣1，∵PM2+PN2＝42，∴（m﹣3）2+（n﹣2）2﹣1+（m﹣3）2+（n+4）2﹣1＝42，整理得到（m﹣3）2+（n+1）2＝0②由①②得到m＝3，n＝﹣1，∴點P坐標（3，﹣1）．【點評】本題考查二次函數(shù)綜合題、一次函數(shù)．兩點間距離公式、勾股定理、非負數(shù)的性質(zhì)等知識，解題的關鍵是熟練掌握求拋物線與坐標軸的交點，學會理由參數(shù)解決問題，本題有一定的代數(shù)技巧，巧用非負數(shù)的性質(zhì)這個突破口，屬于中考壓軸題．5．如圖所示，拋物線y＝x2+bx+c與直線y＝x﹣1交于A、B兩點，點A的縱坐標為﹣4，點B在y軸上，直線AB與x軸交于點F，點P是線段AB下方的拋物線上一動點，橫坐標為m，過點P作PC⊥x軸于C，交直線AB于D．（1）求拋物線的解析式；（2）當m為何值時，線段PD的長度取得最大值，其最大值是多少？（3）是否存在點P，使△PAD是直角三角形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由．【分析】（1）由直線方程得到點A、B的坐標，然后把點A、B的坐標代入二次函數(shù)解析式列出關于系數(shù)的方程組，通過解方程組來求系數(shù)的值即可；（2）根據(jù)直線上點坐標特征和二次函數(shù)圖象上點的坐標特征得到：P（m，m2+4m﹣1），D（m，m﹣1）．所以由兩點間的距離和二次函數(shù)的最值的求法進行解答即可；（3）如圖2，當∠APD＝90°時，設出P點的坐標，就可以表示出D的坐標，由△APD∽△FCD列出比例式求解即可；如圖3，當∠PAD＝90°時，作AE⊥x軸于E，根據(jù)比例式表示出AD，再由△PAD∽△FEA列出比例式求解．【解答】解：（1）∵y＝x﹣1交于A、B兩點，∴當x＝0時，y＝﹣1，即B（0，﹣1）．當y＝﹣4時，x＝﹣3，即a（﹣3，﹣4）．∵拋物線y＝x2+bx+c與直線y＝x﹣1交于A、B兩點，∴?1=c?4=9?3b+c解得b=4c=?1則該拋物線的解析式為：y＝x2+4x﹣1；（2）∵點P的橫坐標是m，且點P在拋物線y＝x2+4x﹣1上，PC⊥x軸，∴P（m，m2+4m﹣1），D（m，m﹣1）．∵點P在線段AB的下方，∴﹣3＜m＜0，∴PD＝1﹣4m﹣m2﹣1+m＝﹣3m﹣m2＝﹣（m+32）2∴當m=?32時，線段PD取得最大值，最大值是（3）如圖1所示：當∠APD＝90°，設P（m，m2+4m﹣1），D（m，m﹣1）．∴AP＝m+3，CD＝1﹣m，OC＝﹣m，CP＝1﹣4m﹣m2，∴PD＝1﹣4m﹣m2﹣1+m＝﹣3m﹣m2．在直線y＝x﹣1中，當y＝0時，x＝1，∴F（1，0），∴OF＝1，∴CF＝1﹣m，AF＝42．∵PC⊥x軸于C，∴∠PCF＝∠APD，∴CF∥AP，∴△APD∽△FCD，∴APCF=DP解得m＝﹣1或m＝﹣3（舍去），∴P（﹣1，﹣4）．如圖2所示：當∠PAD＝90°時，作AE⊥x軸于E，∴∠AEF＝90°，CE＝m+3，EF＝4，AF＝42，PD＝m﹣1﹣（﹣1+4m+m2）＝﹣3m﹣m2．∵PC⊥x軸，∴∠DCF＝90°，∴∠DCF＝∠AEF，∴AE∥CD．∴43+m∴AD=2（3+m∵△PAD∽△FEA，∴PDFA=∴m＝﹣2或m＝﹣3（舍去）∴P（﹣2，﹣5）．當∠APD＝90°時∴點A與點P關于對稱軸對稱∵A（﹣3，﹣4）∴P（﹣1，﹣4）綜上，存在點P（﹣2，﹣5）或P（﹣1，﹣4）使△PAD是直角三角形．【點評】本題考查了二次函數(shù)綜合題．解題過程中，需要掌握待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，一次函數(shù)、二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，兩點間的距離以及相似三角形的判定與性質(zhì)，綜合性比較強，難度較大．解題過程中，還有注意m的取值范圍，才能正確求得點P的坐標．6．如圖1，一次函數(shù)y＝﹣x+10的圖象交x軸于點A，交y軸于點B．以P（1，0）為圓心的⊙P與y軸相切，若點P以每秒2個單位的速度沿x軸向右平移，同時⊙P的半徑以每秒增加1個單位的速度不斷變大，設運動時間為t（s）（1）點A的坐標為（10，0），點B的坐標為（0，10），∠OAB＝45°；（2）在運動過程中，點P的坐標為（1+2t，0），⊙P的半徑為1+t（用含t的代數(shù)式表示）；（3）當⊙P與直線AB相交于點E、F時①如圖2，求t=52時，弦②在運動過程中，是否存在以點P為直角頂點的Rt△PEF，若存在，請求出t的值；若不存在，請說明理由（利用圖1解題）．【分析】（1）利用待定系數(shù)法求出點A、B的坐標，即可解決問題．（2）根據(jù)題意可得P（1+2t，0），⊙O半徑為1+t．（3）①如圖1中，作PK⊥AB于K，連接PE．在Rt△APK中，由∠PKA＝90°，∠PAK＝45°，PA＝4，推出PK=22PA＝22，在Rt△PEK中，根據(jù)EK②分兩種情形a、如圖2中，當點P在點A左側(cè)時，點F與點A重合時，∠EPF＝90°；b、如圖3中，當點P在點A右側(cè)時，點F與點A重合時，∠EPF＝90°．分別列出方程求解即可，【解答】解：（1）∵y＝﹣x+10的圖象交x軸于點A，交y軸于點B，∴A（10，0），B（0，10），∴OA＝OB＝10，∵∠AOB＝90°，∴∠OAB＝∠OBA＝45°，故答案分別為（10，0），（0，10），45°．（2）由題意P（1+2t，0），⊙O半徑為1+t，故答案分別為（1+2t，0），1+t．（3）①如圖1中，作PK⊥AB于K，連接PE．當t=52時，在Rt△APK中，∵∠PKA＝90°，∠PAK＝45°，PA＝4，∴PK=22PA＝2在Rt△PEK中，EK=P∴EF＝2EK=17②存在．a(chǎn)、如圖2中，當點P在點A左側(cè)時，點F與點A重合時，∠EPF＝90°∵OP+PA＝OA，∴1+2t+1+t＝10，∴t=8b、如圖3中，當點P在點A右側(cè)時，點F與點A重合時，∠EPF＝90°．由OP﹣PF＝OA，∴1+2t﹣（1+t）＝10，∴t＝10，綜上所述，t=83s或10s時，存在以點P為直角頂點的Rt△【點評】本題考查圓的綜合題、垂徑定理、等腰直角三角形的性質(zhì)、一次函數(shù)等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，學會分類討論，學會利用方程的思想思考問題，屬于中考?？碱}型．7．如圖，A，B是直線y＝x+4與坐標軸的交點，直線y＝﹣2x+b過點B，與x軸交于點C．（1）求A，B，C三點的坐標；（2）點D是折線A﹣B﹣C上一動點．①當點D是AB的中點時，在x軸上找一點E，使ED+EB的和最小，用直尺和圓規(guī)畫出點E的位置（保留作圖痕跡，不要求寫作法和證明），并求E點的坐標．②是否存在點D，使△ACD為直角三角形，若存在，直接寫出D點的坐標；若不存在，請說明理由．【分析】（1）先利用一次函數(shù)圖象上點的坐標特點求得點A、B的坐標；然后把B點坐標代入y＝﹣2x+b求出b的值，確定此函數(shù)解析式，然后再求C點坐標；（2）①根據(jù)軸對稱﹣最短路徑問題求得點E的位置，由待定系數(shù)法確定直線DB1的解析式為y＝﹣3x﹣4，易得點E的坐標；②存在．分兩種情況：當點D在AB上時，當點D在BC上時．當點D在AB上時，不難得∠BAC＝45°，由等腰直角三角形求得D點的坐標為（﹣1，3）；當點D在BC上時，設AD交y軸于點F．證△AOF與△BOC全等，得OF＝2，點F的坐標為（0，2），求得直線AD的解析式為y=12x+2，與y＝﹣2x+4組成方程組，求得交點D的坐標為（4【解答】解：（1）在y＝x+4中，令x＝0，得y＝4，令y＝0，得x＝﹣4，∴A（﹣4，0），B（0，4）．把B（0，4）代入y＝﹣2x+b，得b＝4∴直線BC為：y＝﹣2x+4．在y＝﹣2x+4中，令y＝0，得x＝2，∴C點的坐標為（2，0）；（2）①如圖∵點D是AB的中點，A（﹣4，0），B（0，4）．∴D（﹣2，2）．點B關于x軸的對稱點B1的坐標為（0，﹣4）．設直線DB1的解析式為y＝kx+b．把D（﹣2，2），B1（0，﹣4）代入，得?2k+b=?2b=?4解得k＝﹣3，b＝﹣4．故該直線方程為：y＝﹣3x﹣4．令y＝0，得E點的坐標為（?4②存在，D點的坐標為（﹣1，3）或（45，12附：當點D在AB上時，由OA＝OB＝4得到：∠BAC＝45°，由等腰直角三角形求得D點的坐標為（﹣1，3）；當點D在BC上時，如圖，設AD交y軸于點F．在△AOF與△BOC中，∠FAO=∠CBOAO=BO∴△AOF≌△BOC（ASA）．∴OF＝OC＝2，∴點F的坐標為（0，2），易得直線AD的解析式為y=12x+2，與y＝﹣2x解得x=4∴交點D的坐標為（45，12【點評】本題是一次函數(shù)的綜合題，難度適中，考查了利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式、軸對稱的最短路徑問題、直角三角形問題，第（2）②題采用了分類討論的思想，與三角形全等結(jié)合，列比例式可解決問題．8．如圖，拋物線y＝（x﹣m）2+n的頂點P在直線y＝2x上，該拋物線與直線的另一個交點為A，與y軸的交點為Q．（1）當m＝n﹣1時，求m的值；（2）當AQ∥x軸時，試確定拋物線的解析式；（3）隨著頂點P在直線y＝2x上的運動，是否存在直角△PAQ？若存在，請直接寫出點P的坐標；若不存在，說明理由．【分析】（1）由拋物線的頂點在y＝2x上可知n＝2m，然后由m＝n﹣1可求得m的值；（2）先求得點Q、點A的坐標（用含m的式子表示），然后根據(jù)平行與x軸的直線上所有點的縱坐標相等列出關于m的方程，從而可求得m的值；（3）先求得直線AQ、PQ的一次項系數(shù)“k”的值（用含m的式子表示），然后依據(jù)相互垂直的兩條直線的一次項系數(shù)的乘積是﹣1，分別列出關m的方程求解即可．【解答】解：（1）∵拋物線的解析式為y＝（x﹣m）2+n，∴P（m，n）．∵頂點P在直線y＝2x上，∴n＝2m．又∵m＝n﹣1，∴m＝2m﹣1．解得：m＝1．（2）∵n＝2m，∴拋物線的解析式為y＝（x﹣m）2+2m．∵當x＝0時，y＝m2+2m，∴點Q的坐標為（0，m2+2m）．由y＝（x﹣m）2+2m與y＝2x得：2x＝（x﹣m）2+2m，解得：x1＝m，x2＝m+2．當x＝m時，y＝2m，即點P的坐標為（m，2m），當x＝m+2時，y＝2m+4，即點A的坐標為（m+2，2m+4）．∵AQ∥x軸，∴m2+2m＝2m+4，解得：m＝2或m＝﹣2．∵當m＝﹣2時，點A與點Q與原點重合，與AQ∥x軸不符，∴m＝﹣2不合題意．∴m＝2．∴拋物線的解析式為y＝（x﹣2）2+4．（3）∵Q（0，m2+2m），P（m，2m），A（m+2，2m+4），∴直線AQ的一次項系數(shù)=2m+4?(m2+2m)m+2?0=?m+2，直線①當∠AQP＝90°時，﹣m（﹣m+2）＝﹣1，解得m1＝m2＝1，則P（1，2）；②當∠APQ＝90°時，﹣m×2＝﹣1，解得m=12，則P（③當∠PAQ＝90°時，（﹣m+2）×2＝﹣1，解得m=52，則P（綜上所述，點P的坐標為（1，2）或（12，1）或P（5【點評】本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應用，依據(jù)平行與x軸的直線上所有點的縱坐標相等、相互垂直的兩條直線的一次項系數(shù)的乘積是﹣1列出關于m的方程是解題的關鍵．9．如圖，當x＝2時，拋物線y＝ax2+bx+c取得最小值﹣1，并且拋物線與y軸交于點C（0，3），與x軸交于點A、B．（1）直接寫出拋物線的解析式；（2）若點M（x，y1），N（x+1，y2）都在該拋物線上，試比較y1與y2的大小；（3）D是線段AC的中點，E為線段AC上一動點（A、C兩端點除外），過點E作y軸的平行線EF與拋物線交于點F．①設點E的橫坐標為x，是否存在x，使線段EF最長？若存在，求出最長值；若不存在，請說明理由；②是否存在點E，使△DEF是直角三角形？若存在，求出點E的坐標；若不存在，請說明理由．【分析】（1）由當x＝2時，拋物線y＝ax2+bx+c取得最小值﹣1，可得拋物線y＝ax2+bx+c的頂點坐標為（2，﹣1），即可得y＝ax2+bx+c＝a（x﹣2）2﹣1，又由拋物線與y軸交于點C（0，3），即可求得拋物線的解析式；（2）由y1﹣y2＝（x2﹣4x+3）﹣[（x+1）2﹣4（x+1）+3]＝3﹣2x，然后分別討論當x為何值時，y1與y2的大?。唬?）①首先求得點A與B的坐標，繼而求得直線AC的解析式，再設點E的坐標為：（x，3﹣x），則點F的坐標為：（x，x2﹣4x+3），即可求得答案；②由EF∥OC，可得∠DEF＝45°，則在△DEF中只能以點D，F(xiàn)為直角頂點，然后分別求解即可求得答案．【解答】解：（1）∵當x＝2時，拋物線y＝ax2+bx+c取得最小值﹣1，∴拋物線y＝ax2+bx+c的頂點坐標為：（2，﹣1），∴y＝ax2+bx+c＝a（x﹣2）2﹣1，∵拋物線與y軸交于點C（0，3），∴4a﹣1＝3，解得：a＝1，∴拋物線的解析式為：y＝（x﹣2）2﹣1＝x2﹣4x+3；（2）∵y1﹣y2＝（x2﹣4x+3）﹣[（x+1）2﹣4（x+1）+3]＝3﹣2x，∴當3﹣2x＞0，即x＜32時，y1＞y當3﹣2x＝0，即x=32時，y1＝y(tǒng)當3﹣2x＜0，即x＞32時，y1＜y（3）①存在x=32，使線段令y＝0，即x2﹣4x+3＝0，解得：x1＝1，x2＝3，∴點A（3，0），點B（1，0），設直線AC的解析式為：y＝mx+n，則n=33m+n=0解得：m=?1n=3∴直線AC的解析式為：y＝﹣x+3，線段AC的中點D的坐標為：（32，3設點E的坐標為：（x，3﹣x），則點F的坐標為：（x，x2﹣4x+3），∴EF＝（3﹣x）﹣（x2﹣4x+3）＝﹣x2+3x＝﹣（x?32）2∴當x=32時，EF最長，其值為②∵EF∥OC，∴∠DEF＝45°，則在△DEF中只能以點D，F(xiàn)為直角頂點，若以點F為直角頂點，則DF⊥EF，此時△DEF∽△ACO，∴DF所在直線為：y=3由x2﹣4x+3=32，解得：x1=4?102將x=4?102代入y＝﹣x+3，得點E的坐標為：（4?若點D為直角頂點，則DF⊥AC，此時△DEF∽△OCA，∵點D為線段AC的中點，∴DF所在直線過原點O，其關系式為y＝x，∴x2﹣4x+3＝x，解得：x1=5?132，x將x=5?132代入y＝﹣x+3，得點E的坐標為：（5?【點評】此題屬于二次函數(shù)的綜合題，考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式、相似三角形的判定與性質(zhì)以及二次函數(shù)的最值問題．注意方程思想與數(shù)形結(jié)合思想的應用．10．如圖，已知平行四邊形ABCD，AD⊥BD，AD=25，BD＝2AD，過D點作DE⊥AB于E，以DE為直角邊作等腰直角三角形DEF，點F落在DC上，將△DEF在同一平面內(nèi)沿直線DC翻折，所得的等腰直角三角形記為△PQR，點R與D重合，點Q與F重合，如圖①，平行四邊形ABCD保持不動，將△PQR沿折線D﹣B﹣C勻速平移，點R的移動的速度為每秒5個單位，設運動時間為t，當R與C（1）當點Q落在BC邊上時，求t的值；（2）記△PQR與△DBC的重疊部分的面積為S，直接寫出S與t之間的函數(shù)關系式，并寫出相應的t的取值范圍；（3）當△PQR移動到R與B重合時，如圖②，再將△PQR繞R點沿順時針方向旋轉(zhuǎn)α（0°≤α≤360°），得到△P1Q1R，若直線P1Q1與直線BC、直線DC分別相交于M、N，問在旋轉(zhuǎn)的過程中是否存在△CMN為直角三角形，若存在，求出CN的長；若不存在，請說明理由．【分析】（1）根據(jù)同角的三角函數(shù)設未知數(shù)，利用勾股定理求AE、DE的長度，由翻折和平移的性質(zhì)得到PD＝DF＝4，PR＝RQ＝4，利用勾股定理求BR的長，從而得到RD的長，根據(jù)速度為5求出t；（2）分四種情況分類討論，①當0＜t≤125時，如圖2，重疊部分是四邊形GRQH，根據(jù)面積公式求梯形GRQH的面積就是S；②當125＜t≤4時，如圖3，重疊部分是五邊形GRNMH，S＝S△PRQ﹣S△PGH﹣S△MNQ，代入面積公式計算即可；③如圖4，先計算當PQ經(jīng)過點C時t=143，當4＜t≤143時，如圖5，重疊部分為四邊形GRMH，根據(jù)S＝S△PRQ﹣S△PGH﹣S△RMQ（3）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的度數(shù)，分三種情況討論：①如圖7，∠CNM＝90°，CN＝PN﹣PC＝22?2；②如圖8，∠CMN＝90°，利用余弦求CN的長；③如圖9，∠CNM＝90°，CN＝PC+PN＝2+22【解答】解：（1）如圖1，當點Q落在BC邊上時，點R運動的路程就等于RD的長，∵AD⊥BD，DE⊥AB，∴∠ADB＝∠DEA＝90°，∴tan∠DAB=BD∵BD＝2AD，∴EDAE設AE＝x，則ED＝2x，由勾股定理得：x2+（2x）2＝（25）2，5x2＝20，x1＝2，x2＝﹣2（舍），∴AE＝2，DE＝4，∵△DEF是等腰直角三角形，∴DE＝DF＝4，由翻折得：PD＝DF＝4，PR＝RQ＝4，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠DBC＝∠ADB＝90°，由平移得：RQ∥DC，∴∠BRQ＝∠BDC，∴tan∠BRQ＝tan∠BDC，∴BCBD設BQ＝x，則BR＝2x，由勾股定理得：x2+（2x）2＝42，解得：x1=455，x∴BR＝2x=8∴RD＝BD﹣BR＝45?∴t=12（2）分四種情況：由勾股定理得：DC＝AB=(4①當0≤t≤125時，如圖2，重疊部分是四邊形則DR=5t在Rt△DGR中，tan∠CDB=RG設RG＝x，則DG＝2x，∴x2+（2x）2＝（5t）2，解得：x＝±t，∴RG＝t，∴GH＝PG＝4﹣t，∴S＝S梯形GRQH=12（GH+RQ）?GR=12（4﹣t+4）?t②當125＜t≤4時，如圖3，重疊部分是五邊形同理得：GR＝t，PG＝GH＝4﹣t，DR=5t∴RB＝45?5∴BN=4∵RN∥DC，∴RNDC∴RN10∴RN＝5?54∴NQ＝4﹣RN＝4﹣5+54t=過M作MT⊥RQ于T，tan∠MNQ＝tan∠RNB=MT∴MT＝2NT，∵∠Q＝45°，∠MTQ＝90°，∴MT＝TQ，∴NT=13NQ=13（54t∴MT＝2NT=56t∴S＝S△PRQ﹣S△PGH﹣S△MNQ，=12×4×4?12（4﹣t）2?12（=?4948t2+29③如圖4，當PQ經(jīng)過點C時，過C作CN⊥PQ于N，同理得：RN=43，NQ＝CN∴RC=(∴BD+BR＝BD+BC﹣RC＝45+25這時t=14當4＜t≤143時，如圖5，重疊部分為四邊形∵BD+BR=5t∴BR=5t﹣45，RC＝65?cos∠GRC=RG∴RG6∴RG＝12﹣2t，∴PG＝4﹣（12﹣2t）＝2t﹣8，∴S＝S△PRQ﹣S△PGH﹣S△RMQ，=12×4×4?12×（2t＝﹣2t2+16t?88④當143＜t≤6時，如圖6，重疊部分為三角形由③得RG＝12﹣2t，則CG＝6﹣t，∴S＝S△GRC=12CG?RG=12（12﹣2t）（6﹣t）＝t綜上所述：S=（3）存在，分三種情況：①如圖7，∠CNM＝90°，∵DN∥AG，∴∠AGM＝∠CNM＝90°，∴△BGP1是等腰直角三角形，∴BG=42=由（1）得：CP＝2，∵PN＝BG＝22，∴CN＝PN﹣PC＝22?②如圖8，∠CMN＝90°，∵BC＝25，BM＝22，∴CM＝22+25cos∠NCM=PC∴22∴CN=5（22+25）＝2③如圖9，∠CNM＝90°，∵PN＝BG＝22，PC＝2，∴CN＝PC+PN＝2+22；綜上所述：CN的長為22?2或210+10或2+2【點評】本題是幾何變換的綜合題，考查了平行四邊形、等腰直角三角形的性質(zhì)；同時還運用了同角的三角函數(shù)列比例式求邊的長，比利用三角形相似列比例式要簡單；在求重疊部分圖形的面積時，先確定特殊位置時的t值，根據(jù)重疊圖形分類討論解決，利用面積差或和求解．11．如圖，在平面直角坐標系中，∠ACB＝90°，OC＝2OB，tan∠ABC＝2，點B的坐標為（1，0）．拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過A、B兩點．（1）求拋物線的解析式；（2）點P是直線AB上方拋物線上的一點，過點P作PD垂直x軸于點D，交線段AB于點E，使PE=12①求點P的坐標和△PAB的面積；②在直線PD上是否存在點M，使△ABM為直角三角形？若存在，直接寫出符合條件的所有點M的坐標；若不存在，請說明理由．【分析】（1）先根據(jù)已知求點A的坐標，利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式；（2）①先得AB的解析式為：y＝﹣2x+2，根據(jù)PD⊥x軸，設P（x，﹣x2﹣3x+4），則E（x，﹣2x+2），根據(jù)PE=12DE，列方程可得P的坐標，先求出點E的坐標，從而得PE＝2，根據(jù)S△PAB＝S△PAE+S△PBE=12×PE×（x②先設點M的坐標，根據(jù)兩點距離公式可得AB，AM，BM的長，分三種情況：△ABM為直角三角形時，分別以A、B、M為直角頂點時，利用勾股定理列方程可得點M的坐標．【解答】解：（1）∵B（1，0），∴OB＝1，∵OC＝2OB＝2，∴C（﹣2，0），Rt△ABC中，tan∠ABC＝2，∴ACBC∴AC3∴AC＝6，∴A（﹣2，6），把A（﹣2，6）和B（1，0）代入y＝﹣x2+bx+c得：?4?2b+c=6?1+b+c=0解得：b=?3c=4∴拋物線的解析式為：y＝﹣x2﹣3x+4；（2）①∵A（﹣2，6），B（1，0），易得AB的解析式為：y＝﹣2x+2，設P（x，﹣x2﹣3x+4），則E（x，﹣2x+2），∵PE=12∴﹣x2﹣3x+4﹣（﹣2x+2）=12（﹣2x＝1（舍）或﹣1，∴P（﹣1，6）；在y＝﹣2x+2中x＝﹣1時，y＝4，即E（﹣1，4），則PE＝2，∴S△PAB＝S△PAE+S△PBE=12×PE×（xB﹣=1＝3；②∵M在直線PD上，且P（﹣1，6），設M（﹣1，y），∴AM2＝（﹣1+2）2+（y﹣6）2＝1+（y﹣6）2，BM2＝（1+1）2+y2＝4+y2，AB2＝（1+2）2+62＝45，分三種情況：i）當∠AMB＝90°時，有AM2+BM2＝AB2，∴1+（y﹣6）2+4+y2＝45，解得：y＝3±11，∴M（﹣1，3+11）或（﹣1，3?ii）當∠ABM＝90°時，有AB2+BM2＝AM2，∴45+4+y2＝1+（y﹣6）2，y＝﹣1，∴M（﹣1，﹣1），iii）當∠BAM＝90°時，有AM2+AB2＝BM2，∴1+（y﹣6）2+45＝4+y2，y=13∴M（﹣1，132綜上所述，點M的坐標為：∴M（﹣1，3+11）或（﹣1，3?11）或（﹣1，﹣1）或（﹣1，【點評】此題是二次函數(shù)的綜合題，考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，鉛直高度和勾股定理的運用，直角三角形的判定等知識．此題難度適中，解題的關鍵是注意方程思想與分類討論思想的應用．12．如圖1，點A坐標為（2，