中考數(shù)學(xué)幾何專項沖刺專題30三角形綜合練習(xí)（基礎(chǔ)）含答案及解析

專題30三角形綜合練習(xí)（基礎(chǔ)）一．選擇題1．如圖，在△ABC中，AD⊥BC于點D，BF平分∠ABC交AD于點E，交AC于點F，AC＝13，AD＝12，BC＝14，則AE的長等于（）A．5 B．6 C．7 D．152．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，E、F為線段AB上兩動點，且∠ECF＝45°，過點E、F分別作BC、AC的垂線相交于點M，垂足分別為H、G．現(xiàn)有以下結(jié)論：①AB=2；②當(dāng)點E與點B重合時，MH=12；③AF+BE＝EF；④MG?A．1 B．2 C．3 D．43．如圖，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，連接CE交AD于點F，連接BD交CE于點G，連接BE．下列結(jié)論中，正確的結(jié)論有（）①CE＝BD；②△ADC是等腰直角三角形；③∠ADB＝∠AEB；④S四邊形BCDE=12BD?⑤BC2+DE2＝BE2+CD2．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個4．如圖，△ABC中，∠ABC＝45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，與CD相交于點F，H是BC邊的中點，連接DH與BE相交于點G，下列結(jié)論正確的有（）個．①BF＝AC；②AE=12BF；③∠A＝67.5°；④△DGF是等腰三角形；⑤S四邊形ADGE＝S四邊形A．5個 B．2個 C．4個 D．3個5．如圖，射線AB∥射線CD，∠CAB與∠ACD的平分線交于點E，AC＝4，點P是射線AB上的一動點，連接PE并延長交射線CD于點Q．給出下列結(jié)論：①△ACE是直角三角形；②S四邊形APQC＝2S△ACE；③設(shè)AP＝x，CQ＝y(tǒng)，則y關(guān)于x的函數(shù)表達式是y＝﹣x+4（0≤x≤4），其中正確的是（）A．①②③ B．①② C．①③ D．②③6．如圖，C為線段AE上一動點（不與點A，E重合），在AE同側(cè)分別作正三角形ABC和正三角形CDE，AD與BE交于點O，AD與BC交于點P，BE與CD交于點Q，連接PQ，以下五個結(jié)論：①AD＝BE；②PQ∥AE；③AP＝BQ；④DE＝DP；⑤∠DOE＝60°，其中正確的結(jié)論數(shù)是（）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個7．如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，直角∠EPF的頂點P是BC的中點，兩邊PE，PF分別交AB，AC于點E，F(xiàn)，連接EF交AP于點G，給出以下五個結(jié)論：①∠B＝∠C＝45°；②AE＝CF，③AP＝EF，④△EPF是等腰直角三角形，⑤四邊形AEPF的面積是△ABC面積的一半．其中正確的結(jié)論是（）A．只有① B．①②④ C．①②③④ D．①②④⑤8．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝4，D是AB的中點，點E、F分別在AC、BC邊上運動（點E不與點A、C重合），且保持AE＝CF，連接DE、DF、EF．在此運動變化的過程中，有下列結(jié)論：①△DFE是等腰直角三角形；②四邊形CEDF不可能為正方形；③四邊形CEDF的面積隨點E位置的改變而發(fā)生變化；④點C、E、D、F四點在同一個圓上，且該圓的面積最小為4π．其中錯誤結(jié)論的個數(shù)是（）個．A．1 B．2 C．3 D．49．如圖，C為線段AE上一動點（不與A、E重合），在AE同側(cè)分別作等邊△ABC和等邊△CDE，AD與BE交于點O，AD與BC交于點P，BE與CD交于點Q，連接PQ，以下五個結(jié)論：①AD＝BE；②PQ∥AE；③CP＝CQ；④BO＝OE；⑤∠AOB＝60°，恒成立的結(jié)論有（）A．①③⑤ B．①③④⑤ C．①②③⑤ D．①②③④⑤10．如圖所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，AB上有一動點D以每秒4個單位的速度從點A向點B運動，當(dāng)點D運動到點B時停止運動．過點D作DE⊥AB，垂足為點D，過點E作EF∥AB交BC于點F，連接BE交DF于點G，設(shè)點D運動的時間為t，當(dāng)S△BDG＝4S△EFG時，t的值為（）A．t=1417 B．t=1210 C．t=11．如圖，D為等腰Rt△ABC的斜邊AC的中點，E為BC邊上一動點，連接ED并延長交BA的延長線于點F，過D作DH⊥EF交AB于G，交CB的延長線于H，則以下結(jié)論：①DE＝DG；②BE＝DG；③DF＝DH；④BG＝CE．其中正確的是（）A．②③ B．③④ C．①③④ D．①③12．在等腰Rt△ABC中，∠A＝90°，AC＝AB＝2，D是BC邊上的點且BD=13CD，連接AD．AD⊥AE，AE＝AD，連接①△ADC≌△AEB；②BE⊥CB；③點B到直線AD的距離為105④四邊形AEBC的周長是72⑤S四邊形ADBE＝2．其中正確的有（）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個二．填空題13．如圖，在△ABC中，BA＝BC，∠ABC＝90°，BN平分∠ABC，AE平分∠BAC，AE交BN于G，EF⊥AC于F，連接GF．①△AEB≌△AEF；②∠EFG＝∠AFG；③圖中有3對全等三角形；④EF＝GF；⑤S△AEF＝2S△AGN．上述結(jié)論正確的序號有．14．如圖，△ABC的內(nèi)部有一點P，且點D，E，F(xiàn)是點P分別以AB，BC，AC為對稱軸的對稱點．若△ABC的內(nèi)角∠BAC＝70°，∠ABC＝60°，∠ACB＝50°，PD、PE恰好分別為邊AB、BC的中垂線，則下列命題中正確的是．（1）A，C兩點關(guān)于直線PF對稱；（2）PF＝BE；（3）∠ADB+∠BEC+∠CFA＝360°；（4）∠DBA+∠FAC＝∠BAC．15．如圖所示，已知△ABC中，∠B＝90°，BC＝16cm，AC＝20cm，點P是△ABC邊上的一個動點，點P從點A開始沿A→B→C→A方向運動，且速度為每秒4cm，設(shè)出發(fā)的時間為t（s），當(dāng)點P在邊CA上運動時，若△ABP為等腰三角形，則運動時間t＝．16．如圖，∠ABC＝90°，P為射線BC上任意一點（點P和點B不重合），分別以AB，AP為邊在∠ABC內(nèi)部作等邊△ABE和等邊△APQ，連接QE并延長交BP于點F，連接EP，若FQ＝11，AE＝43，則EP＝．17．如圖，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是AB上的一個動點（不與點A，B重合），連接CD，將CD繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90°得到CE，連接DE，DE與AC相交于點F，連接AE．下列結(jié)論：①△ACE≌△BCD；②若∠BCD＝25°，則∠AED＝65°；③DE2＝2CF?CA；④若AB＝32，AD＝2BD，則AF=5其中正確的結(jié)論是．（填寫所有正確結(jié)論的序號）18．如圖，在Rt△ABC中，BC＝2，∠BAC＝30°，斜邊AB的兩個端點分別在相互垂直的射線OM、ON上滑動，下列結(jié)論：①若C、O兩點關(guān)于AB對稱，則OA＝23；②C、O兩點距離的最大值為4；③若AB平分CO，則AB⊥CO；④斜邊AB的中點D運動路徑的長為π2其中正確的是（把你認(rèn)為正確結(jié)論的序號都填上）．19．如圖，△ABC，∠ACB＝90°，點D，E分別在AB，BC上，AC＝AD，∠CDE＝45°，CD與AE交于點F，若∠AEC＝∠DEB，CE=7104，則CF20．如圖，已知△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝90°，直角∠EPF的頂點P是BC的中點，兩邊PE、PF分別交AB、AC于點E、F，給出以下四個結(jié)論：①圖中只有2對全等三角形②AE＝CF；③△EPF是等腰直角三角形；④S四邊形AEPF=12S△⑤EF的最小值為2．上述結(jié)論始終正確的有（填序號）．21．如圖，D、E分別是△ABC的邊BC和AB上的點，△ABD與△ACD的周長相等，△CAE與△CBE的周長相等，設(shè)BC＝a，AC＝b，AB＝c，給出以下幾個結(jié)論：①如果AD是BC邊中線，那么CE是AB邊中線；②AE的長度為c+a?b2③BD的長度為b+a?c2④若∠BAC＝90°，△ABC的面積為S，則S＝AE?BD．其中正確的結(jié)論是（將正確結(jié)論的序號都填上）22．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，E、F為線段AB上兩動點，且∠ECF＝45°，過點E、F分別作BC、AC的垂線相交于點M，垂足分別為H、G．現(xiàn)有以下結(jié)論：①AB=2；②當(dāng)點E與點B重合時，MH=12；③AF+BE＝EF；④MG?MH=三．解答題23．如圖，等腰Rt△AOB在平面直角坐標(biāo)系xOy上，∠B＝90°，OA＝4．點C從原點O出發(fā)，以每秒1個單位的速度沿x軸的正方向運動，過點C作直線l⊥OA，直線l與射線OB相交于點N．（1）點B的坐標(biāo)為；（2）點C的運動時間是t秒．①當(dāng)2≤t≤4時，△AOB在直線l右側(cè)部分的圖形的面積為S，求S（用含t的式子表示）；②當(dāng)t＞0時，點M在直線l上且△ABM是以AB為底的等腰三角形，若CN=32CM，求24．如圖1，∠ACB＝∠AED＝90°，AC＝BC，AE＝DE．（1）若D為AC的中點，求BDCE（2）將圖1中的△ADE繞點A順時針旋轉(zhuǎn)，使點D落任AB上，如圖2，F(xiàn)為DB的中點．①畫出△DEF關(guān)于點F成中心對稱的圖形，②求EFCE（3）如圖3，將△ADE繞點A順時針旋轉(zhuǎn)，F(xiàn)為BD的中點，當(dāng)AC＝6，AD＝4時，則CF的最大值為（直接寫出結(jié)果）．25．如圖，△ABC中，AB＝AC，tanB=12，作AD⊥AC交BC于E，且AD＝AC（1）若CD＝42，求BE的長度；（2）如圖2，∠BAD的角平分線交BC于F，作CG⊥AF的反向延長線于點G，求證：2BF+AG＝CG；（3）如圖3，將“tanB=12”改為“sinB=12”，作AD⊥AC，且AD＝AC，連接BD，CD，延長DA交BC于E，∠BAD的角平分線的反向延長線交BC于F，作CG⊥AF于26．（1）問題探究①如圖1，在直角△ABC中，∠BAC＝90°，BC＝13，AB＝5，若P是BC邊上一動點，連接AP，則AP的最小值為．②如圖2，在等腰直角△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝a，求邊AB的長度（用含a的代數(shù)式表示）．（2）問題解決如圖3，在等腰直角△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝4，D是邊BC的中點，若P是AB邊上一動點，E是AC邊上一動點，試求PD+PE的最小值．27．如圖，點O是等邊△ABC內(nèi)一點，∠AOB＝105°，∠BOC＝α，點D是等邊△ABC外一點，∠OCD＝60°，OC＝OD，連接OD、AD．（1）求∠AOD的度數(shù)（用含α的式子表示）；（2）求證：△BOC≌△ADC；（3）探究：當(dāng)α為多少度時，△AOD是等腰三角形？28．如圖，△ABC是等邊三角形．（1）如圖1，AH⊥BC于H，點P從A點出發(fā)，沿高線AH向下移動，以CP為邊在CP的下方作等邊三角形CPQ，連接BQ．求∠CBQ的度數(shù)；（2）如圖2，若點D為△ABC內(nèi)任意一點，連接DA，DB，DC．證明：以DA，DB，DC為邊一定能組成一個三角形；（3）在（1）的條件下，在P點的移動過程中，設(shè)x＝AP+2PC，點Q的運動路徑長度為y，當(dāng)x取最小值時，寫出x，y的關(guān)系，并說明理由．29．如圖，已知A（a，0）、B（0，b），且a、b滿足a2﹣6a+9+a?b（1）求A、B兩點的坐標(biāo)；（2）如圖1，若C（5，0），連CB，過B點作BD⊥BC，且BD＝BC，求點D的坐標(biāo)；（3）如圖2，若點M是AB的中點，E為線段AO上一動點，F(xiàn)點在y軸負(fù)半軸上，當(dāng)∠EMF＝45°時，試判斷線段AE、OF、EF具有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請說明理由．30．在△ABC與△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，延長DE交BC于點F，連接DC，BE．（1）如圖1，當(dāng)點B，A，D在同一直線上時，且∠ABE＝30°，AE＝2，求BF的長．（2）如圖2，當(dāng)∠BEA＝90°時，求證：BF＝CF．（3）如圖3，當(dāng)點E在∠ABC的平分線上時，BE交DC于點G，請直接寫出EG、DG、CG之間的數(shù)量關(guān)系．專題30三角形綜合練習(xí)（基礎(chǔ)）一．選擇題1．如圖，在△ABC中，AD⊥BC于點D，BF平分∠ABC交AD于點E，交AC于點F，AC＝13，AD＝12，BC＝14，則AE的長等于（）A．5 B．6 C．7 D．15【分析】利用勾股定理可得DC和AB的長，由角平分線定理可得EG＝ED，證明Rt△BDE≌Rt△BGE（HL），可得BG＝BD＝9，設(shè)AE＝x，則ED＝12﹣x，根據(jù)勾股定理列方程可得結(jié)論．【解答】解：∵AD⊥BC，∴∠ADC＝∠ADB＝90°，∵AD＝12，AC＝13，∴DC=A∵BC＝14，∴BD＝14﹣5＝9，由勾股定理得：AB=9過點E作EG⊥AB于G，∵BF平分∠ABC，AD⊥BC，∴EG＝ED，在Rt△BDE和Rt△BGE中，∵EG=EDBE=BE∴Rt△BDE≌Rt△BGE（HL），∴BG＝BD＝9，∴AG＝15﹣9＝6，設(shè)AE＝x，則ED＝12﹣x，∴EG＝12﹣x，Rt△AGE中，x2＝62+（12﹣x）2，x=15∴AE=15故選：D．【點評】本題考查了角平分線性質(zhì)、勾股定理、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．2．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，E、F為線段AB上兩動點，且∠ECF＝45°，過點E、F分別作BC、AC的垂線相交于點M，垂足分別為H、G．現(xiàn)有以下結(jié)論：①AB=2；②當(dāng)點E與點B重合時，MH=12；③AF+BE＝EF；④MG?A．1 B．2 C．3 D．4【分析】①由題意知，△ABC是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形即可作出判斷；②如圖1，當(dāng)點E與點B重合時，點H與點B重合，可得MG∥BC，四邊形MGCB是矩形，進一步得到FG是△ACB的中位線，從而作出判斷；③如圖2所示，SAS可證△ECF≌△ECD，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和勾股定理即可作出判斷；④根據(jù)AA可證△ACE∽△BFC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得AF?BF＝AC?BC＝1，由題意知四邊形CHMG是矩形，再根據(jù)平行線的性質(zhì)和等量代換得到MG?MH=22AE×22BF=12AE?BF【解答】解：①由題意知，△ABC是等腰直角三角形，∴AB=AC2②如圖1，當(dāng)點E與點B重合時，點H與點B重合，∴MB⊥BC，∠MBC＝90°，∵MG⊥AC，∴∠MGC＝90°＝∠C＝∠MBC，∴MG∥BC，四邊形MGCB是矩形，∴MH＝MB＝CG，∵∠FCE＝45°＝∠ABC，∠A＝∠ACF＝45°，∴CF＝AF＝BF，∴FG是△ACB的中位線，∴GC=12AC＝MH，故③如圖2所示，∵AC＝BC，∠ACB＝90°，∴∠A＝∠5＝45°．將△ACF順時針旋轉(zhuǎn)90°至△BCD，則CF＝CD，∠1＝∠4，∠A＝∠6＝45°；BD＝AF；∵∠2＝45°，∴∠1+∠3＝∠3+∠4＝45°，∴∠DCE＝∠2．在△ECF和△ECD中，CF=CD∠2=∠DCE∴△ECF≌△ECD（SAS），∴EF＝DE．∵∠5＝45°，∴∠DBE＝90°，∴DE2＝BD2+BE2，即EF2＝AF2+BE2，故③錯誤；④∵∠7＝∠1+∠A＝∠1+45°＝∠1+∠2＝∠ACE，∵∠A＝∠5＝45°，∴△ACE∽△BFC，∴AEBC∴AE?BF＝AC?BC＝1，由題意知四邊形CHMG是矩形，∴MG∥BC，MH＝CG，MG＝CH，MH∥AC，∴CHBC=AE即MG1=AE∴MG=22AE；MH=∴MG?MH=22AE×22BF=12AE?BF=1故選：C．【點評】此題考查了三角形綜合題，涉及的知識點有：等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，三角形中位線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，綜合性較強，有一定的難度．3．如圖，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，連接CE交AD于點F，連接BD交CE于點G，連接BE．下列結(jié)論中，正確的結(jié)論有（）①CE＝BD；②△ADC是等腰直角三角形；③∠ADB＝∠AEB；④S四邊形BCDE=12BD?⑤BC2+DE2＝BE2+CD2．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【分析】根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得AB＝AC，AD＝AE，然后求出∠BAD＝∠CAE，再利用“邊角邊”證明△ABD和△ACE全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得CE＝BD，判斷①正確；根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得∠ABD＝∠ACE，從而求出∠BCG+∠CBG＝∠ACB+∠ABC＝90°，再求出∠BGC＝90°，從而得到BD⊥CE，根據(jù)四邊形的面積判斷出④正確；根據(jù)勾股定理表示出BC2+DE2，BE2+CD2，得到⑤正確；再求出AE∥CD時，∠ADC＝90°，判斷出②錯誤；∠AEC與∠BAE不一定相等判斷出③錯誤．【解答】解：∵，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∴AB＝AC，AD＝AE，∵∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝90°+∠CAD，∠CAE＝∠DAE+∠CAD＝90°+∠CAD，∴∠BAD＝∠CAE，在△ABD和△ACE中，AB=AC∠BAD=∠CAE∴△ABD≌△ACE（SAS），∴CE＝BD，故①正確；∠ABD＝∠ACE，∴∠BCG+∠CBG＝∠ACB+∠ABC＝90°，在△BCG中，∠BGC＝180°﹣（∠BCG+∠CBG）＝180°﹣90°＝90°，∴BD⊥CE，∴S四邊形BCDE=12BD?CE，故由勾股定理，在Rt△BCG中，BC2＝BG2+CG2，在Rt△DEG中，DE2＝DG2+EG2，∴BC2+DE2＝BG2+CG2+DG2+EG2，在Rt△BGE中，BE2＝BG2+EG2，在Rt△CDG中，CD2＝CG2+DG2，∴BE2+CD2＝BG2+CG2+DG2+EG2，∴BC2+DE2＝BE2+CD2，故⑤正確；只有AE∥CD時，∠AEC＝∠DCE，∠ADC＝∠ADB+∠BDC＝90°，無法說明AE∥CD，故②錯誤；∵△ABD≌△ACE，∴∠ADB＝∠AEC，∵∠AEC與∠AEB相等無法證明，∴∠ADB＝∠AEB不一定成立，故③錯誤；綜上所述，正確的結(jié)論有①④⑤共3個．故選：C．【點評】此題是三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，對角線互相垂直的四邊形的面積等于對角線乘積的一半的性質(zhì)，熟記各性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4．如圖，△ABC中，∠ABC＝45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，與CD相交于點F，H是BC邊的中點，連接DH與BE相交于點G，下列結(jié)論正確的有（）個．①BF＝AC；②AE=12BF；③∠A＝67.5°；④△DGF是等腰三角形；⑤S四邊形ADGE＝S四邊形A．5個 B．2個 C．4個 D．3個【分析】只要證明△BDF≌△CDA，△BAC是等腰三角形，∠DGF＝∠DFG＝67.5°，即可判斷①②③④正確，作GM⊥BD于M，只要證明GH＜DG即可判斷⑤錯誤．【解答】解：∵CD⊥AB，BE⊥AC，∴∠BDC＝∠ADC＝∠AEB＝90°，∴∠A+∠ABE＝90°，∠ABE+∠DFB＝90°，∴∠A＝∠DFB，∵∠ABC＝45°，∠BDC＝90°，∴∠DCB＝90°﹣45°＝45°＝∠DBC，∴BD＝DC，在△BDF和△CDA中∠BDF=∠CDA∠A=∠DFB∴△BDF≌△CDA（AAS），∴BF＝AC，故①正確．∵∠ABE＝∠EBC＝22.5°，BE⊥AC，∴∠A＝∠BCA＝67.5°，故③正確，∴BA＝BC，∵BE⊥AC，∴AE＝EC=12AC=12∵BE平分∠ABC，∠ABC＝45°，∴∠ABE＝∠CBE＝22.5°，∵∠BDC＝90°，BH＝HC，∴∠BHG＝90°，∴∠BDF＝∠BHG＝90°，∴∠BGH＝∠BFD＝67.5°，∴∠DGF＝∠DFG＝67.5°，∴DG＝DF，故④正確．作GM⊥AB于M．∵∠GBM＝∠GBH，GH⊥BC，∴GH＝GM＜DG，∴S△DGB＞S△GHB，∵S△ABE＝S△BCE，∴S四邊形ADGE＜S四邊形GHCE．故⑤錯誤，∴①②③④正確，故選：C．【點評】此題是三角形綜合題，考查了等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形的面積等知識點的綜合運用，第五個問題難度比較大，添加輔助線是解題關(guān)鍵，屬于中考選擇題中的壓軸題．5．如圖，射線AB∥射線CD，∠CAB與∠ACD的平分線交于點E，AC＝4，點P是射線AB上的一動點，連接PE并延長交射線CD于點Q．給出下列結(jié)論：①△ACE是直角三角形；②S四邊形APQC＝2S△ACE；③設(shè)AP＝x，CQ＝y(tǒng)，則y關(guān)于x的函數(shù)表達式是y＝﹣x+4（0≤x≤4），其中正確的是（）A．①②③ B．①② C．①③ D．②③【分析】①正確．由AB∥CD，推出∠BAC+∠DCA＝180°，由∠ACE=12∠DCA，∠CAE=12∠BAC，即可推出∠ACE+∠CAE=1②正確．首先證明AC＝AK，再證明△QCE≌△PKE，即可解決問題．③正確．只要證明AP+CQ＝AC即可解決問題．【解答】解：如圖延長CE交AB于K．∵AB∥CD，∴∠BAC+∠DCA＝180°，∵∠ACE=12∠DCA，∠CAE=1∴∠ACE+∠CAE=12（∠DCA+∠∴∠AEC＝90°，∴AE⊥CK，△AEC是直角三角形，故①正確，∵∠QCK＝∠AKC＝∠ACK，∴AC＝AK，∵AE⊥CK，∴CE＝EK，在△QCE和△PKE中，∠QCE=∠PKEEC=EK∴△QCE≌△PKE，∴CQ＝PK，S△QCE＝S△PEK，∴S四邊形APQC＝S△ACK＝2S△ACE，故②正確，∵AP＝x，CQ＝y(tǒng)，AC＝4，∴AP+CQ＝AP+PK＝AK＝AC，∴x+y＝4，∴y＝﹣x+4（0≤x≤4），故③正確，故選：A．【點評】本題考查三角形綜合題、全等三角形的判定和性質(zhì)、角平分線的定義、等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考選擇題中的壓軸題．6．如圖，C為線段AE上一動點（不與點A，E重合），在AE同側(cè)分別作正三角形ABC和正三角形CDE，AD與BE交于點O，AD與BC交于點P，BE與CD交于點Q，連接PQ，以下五個結(jié)論：①AD＝BE；②PQ∥AE；③AP＝BQ；④DE＝DP；⑤∠DOE＝60°，其中正確的結(jié)論數(shù)是（）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【分析】首先證明△ADC≌△BEC可得AD＝BE；證明△CDP≌△CEQ可得CP＝CQ，然后可得∠QPC＝∠BCA，進而可證明PQ∥AE；根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得DP＝QE，AD＝BE，進而可得AP＝BQ；根據(jù)三角形大角對大邊可得DE＞QE，進而可得DE＞DP；根據(jù)角之間的關(guān)系可得∠AOB＝∠DCE＝60°，再由對頂角相等可得∠DOE＝60°．【解答】解：①∵△ABC和△CDE是等邊三角形，∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，∵∠ACD＝∠ACB+∠BCD，∠BCE＝∠DCE+∠BCD，∴∠ACD＝∠BCE，在△ADC和△BEC中BC=AC∠ACD=∠BCE∴△ADC≌△BEC（SAS），∴AD＝BE（故①正確）；②∵∠BCA＝∠∠DCE＝60°，∴∠BCD＝60°，∵△ADC≌△BEC，∴∠ADC＝∠BEC，在△CDP和△CEQ中∠DCE=∠DCPCD=CE∴△CDP≌△CEQ（ASA）．∴CP＝CQ，∴∠CPQ＝∠CQP＝60°，∴∠QPC＝∠BCA，∴PQ∥AE，（故②正確）；③∵△CDP≌△CEQ，∴DP＝QE，∵△ADC≌△BEC∴AD＝BE，∴AD﹣DP＝BE﹣QE，∴AP＝BQ，（故③正確）；④∵DE＞QE，且DP＝QE，∴DE＞DP，（故④錯誤）；⑤∵∠AOB＝∠DAE+∠AEO＝∠DAE+∠ADC＝∠DCE＝60°，∴∠DOE＝60°，（故⑤正確）．∴正確的有：①②③⑤．故選：C．【點評】本題考查三角形綜合，同學(xué)們要熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)及全等三角形的判定和性質(zhì)；得到三角形全等是正確解答本題的關(guān)鍵．7．如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，直角∠EPF的頂點P是BC的中點，兩邊PE，PF分別交AB，AC于點E，F(xiàn)，連接EF交AP于點G，給出以下五個結(jié)論：①∠B＝∠C＝45°；②AE＝CF，③AP＝EF，④△EPF是等腰直角三角形，⑤四邊形AEPF的面積是△ABC面積的一半．其中正確的結(jié)論是（）A．只有① B．①②④ C．①②③④ D．①②④⑤【分析】根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得：∠B＝∠C＝45°，AP⊥BC，AP=12BC，AP平分∠BAC．所以可證∠C＝∠EAP；∠FPC＝∠EPA；AP＝PC．即證得△APE與△CPF全等．根據(jù)全等三角形性質(zhì)判斷結(jié)論是否正確，根據(jù)全等三角形的面積相等可得△APE的面積等于△CPF的面積相等，然后求出四邊形AEPF的面積等于△【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝90°，直角∠EPF的頂點P是BC的中點，∴①∠B＝∠C=12×（180°﹣90°）＝45°，AP⊥BC，AP=12BC＝PC，∠BAP∵∠APF+∠FPC＝90°，∠APF+∠APE＝90°，∴∠FPC＝∠EPA．∴△APE≌△CPF（ASA），∴②AE＝CF；④EP＝PF，即△EPF是等腰直角三角形；同理可證得△APF≌△BPE，∴⑤四邊形AEPF的面積是△ABC面積的一半，∵△ABC是等腰直角三角形，P是BC的中點，∴AP=12∵EF不是△ABC的中位線，∴EF≠AP，故③錯誤；④∵∠AGF＝∠EGP＝180°﹣∠APE﹣∠PEF＝180°﹣∠APE﹣45°，∠AEP＝180°﹣∠APE﹣∠EAP＝180°﹣∠APE﹣45°，∴∠AEP＝∠AGF．故正確的有①、②、④、⑤，共四個．因此選D．【點評】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)的運用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運用，中位線的性質(zhì)的運用，等腰直角三角形的判定定理的運用，三角形面積公式的運用，解答時靈活運用等腰直角三角形的性質(zhì)求解是關(guān)鍵．8．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝4，D是AB的中點，點E、F分別在AC、BC邊上運動（點E不與點A、C重合），且保持AE＝CF，連接DE、DF、EF．在此運動變化的過程中，有下列結(jié)論：①△DFE是等腰直角三角形；②四邊形CEDF不可能為正方形；③四邊形CEDF的面積隨點E位置的改變而發(fā)生變化；④點C、E、D、F四點在同一個圓上，且該圓的面積最小為4π．其中錯誤結(jié)論的個數(shù)是（）個．A．1 B．2 C．3 D．4【分析】①正確．連接CD．只要證明△ADE≌△CDF（SAS），即可解決問題．②錯誤．當(dāng)E、F分別為AC、BC中點時，四邊形CEDF為正方形．③錯誤．四邊形CEDF的面積=12S△ABC④錯誤．以EF為直徑的圓的面積的最小值＝π?（12?22）2＝2π【解答】解：連接CD，如圖1，∵∠C＝90°，AC＝BC＝4，∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠A＝∠B＝45°，∵D為AB的中點，∴CD⊥AB，CD＝AD＝BD，∴∠DCB＝∠B＝45°，∴∠A＝∠DCF，在△ADE和△CDF中AE=CF∠A=∠DCF∴△ADE≌△CDF（SAS），∴ED＝DF，∠CDF＝∠ADE，∵∠ADE+∠EDC＝90°，∴∠EDC+∠CDF＝90°，即∠EDF＝90°，∴△DFE是等腰直角三角形，所以①正確；當(dāng)E、F分別為AC、BC中點時，如圖2，則AE＝CE＝CF＝BF，DE＝AE＝CE，∴CE＝CF＝DE＝DF，而∠ECF＝90°，∴四邊形CDFE是正方形，所以②錯誤；∵△ADE≌△CDF，∴S△ADE＝S△CDF，∴S四邊形CEDF＝S△CDE+S△CDF＝S△CDE+S△ADE＝S△ADC=12S△ABC=1∵△CEF和△DEF都為直角三角形，∴點C、D在以EF為直徑的圓上，即點C、E、D、F四點在同一個圓上，∵△DEF是等腰直角三角形，∴EF=2DE當(dāng)DE⊥AC時，DE最短，此時DE=12∴EF的最小值為22，∴以EF為直徑的圓的面積的最小值＝π?（12?22）2＝2π，所以④故選：C．【點評】本題考查三角形的綜合題、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考壓軸題．9．如圖，C為線段AE上一動點（不與A、E重合），在AE同側(cè)分別作等邊△ABC和等邊△CDE，AD與BE交于點O，AD與BC交于點P，BE與CD交于點Q，連接PQ，以下五個結(jié)論：①AD＝BE；②PQ∥AE；③CP＝CQ；④BO＝OE；⑤∠AOB＝60°，恒成立的結(jié)論有（）A．①③⑤ B．①③④⑤ C．①②③⑤ D．①②③④⑤【分析】①根據(jù)全等三角形的判定方法，證出△ACD≌△BCE，即可得出AD＝BE．③先證明△ACP≌△BCQ，即可判斷出CP＝CQ，③正確；②根據(jù)∠PCQ＝60°，可得△PCQ為等邊三角形，證出∠PQC＝∠DCE＝60°，得出PQ∥AE，②正確．④沒有條件證出BO＝OE，得出④錯誤；⑤∠AOB＝∠DAE+∠AEO＝∠DAE+∠ADC＝∠DCE＝60°，⑤正確；即可得出結(jié)論．【解答】解：∵△ABC和△CDE都是等邊三角形，∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠ACB+∠BCD＝∠DCE+∠BCD，∴∠ACD＝∠BCE，在△ACD和△BCE中，AC=BC∠ACD=∠BCE∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD＝BE，結(jié)論①正確．∵△ACD≌△BCE，∴∠CAD＝∠CBE，又∵∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠BCD＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∴∠ACP＝∠BCQ＝60°，在△ACP和△BCQ中，∠ACP=∠BCQ∠CAP=∠CBQ∴△ACP≌△BCQ（AAS），∴AP＝BQ，CP＝CQ，結(jié)論③正確；又∵∠PCQ＝60°，∴△PCQ為等邊三角形，∴∠PQC＝∠DCE＝60°，∴PQ∥AE，結(jié)論②正確．∵△ACD≌△BCE，∴∠ADC＝∠AEO，∴∠AOB＝∠DAE+∠AEO＝∠DAE+∠ADC＝∠DCE＝60°，∴結(jié)論⑤正確．沒有條件證出BO＝OE，④錯誤；綜上，可得正確的結(jié)論有4個：①②③⑤．故選：C．【點評】此題是三角形綜合題目，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)的應(yīng)用、等邊三角形的性質(zhì)和應(yīng)用、平行線的判定；熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)，證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．10．如圖所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，AB上有一動點D以每秒4個單位的速度從點A向點B運動，當(dāng)點D運動到點B時停止運動．過點D作DE⊥AB，垂足為點D，過點E作EF∥AB交BC于點F，連接BE交DF于點G，設(shè)點D運動的時間為t，當(dāng)S△BDG＝4S△EFG時，t的值為（）A．t=1417 B．t=1210 C．t=【分析】首先求出AB，由△ADE∽△ACB，求出AE＝5t，DE＝3t，EC＝4﹣5t，再根據(jù)EF∥AB，得ECAC=EFAB，求出EF，由EF∥DB，推出△EGF∽△BGD，得S△EGFS△BDG=（EF【解答】解：在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，∴AB=A∵∠A＝∠A，∠EDA＝∠C＝90°，∴△ADE∽△ACB，∴ADAC∵AD＝4t，∴AE＝5t，DE＝3t，∴EC＝4﹣5t，∵EF∥AB，∴ECAC∴4?5t4∴EF=54（4﹣5∵EF∥DB，∴△EGF∽△BGD，∴S△EGFS△BDG=（EF∴BD＝2EF，∴5﹣4t=54（4﹣5∴t=10故選：C．【點評】本題考查三角形綜合題﹣動點問題、相似三角形的判定和性質(zhì)．平行線的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是利用相似三角形的性質(zhì)，解決問題，學(xué)會利用方程的思想思考問題，屬于中考常考題型．11．如圖，D為等腰Rt△ABC的斜邊AC的中點，E為BC邊上一動點，連接ED并延長交BA的延長線于點F，過D作DH⊥EF交AB于G，交CB的延長線于H，則以下結(jié)論：①DE＝DG；②BE＝DG；③DF＝DH；④BG＝CE．其中正確的是（）A．②③ B．③④ C．①③④ D．①③【分析】欲證線段相等，就證它們所在的三角形全等．證明△DCE≌△DBG，△DBH≌△DAF．【解答】解：∵△ABC是等腰直角三角形，且D點是斜邊AB的中點，∴CD＝AD＝DB，BD⊥AC，∴∠CDE＝∠BDG，∠DCE＝∠DBG＝45°，∴在△DCE與△DBG中，∠CDE=∠BDGCD=BD∴△DCE≌△DBG（ASA），∴DE＝DG，CE＝BG．故①④正確；當(dāng)DE≠BE時，BE＝DG不成立，故②錯誤；同理可證△DBH≌△DAF，∴DF＝DH．故③正確；故選：C．【點評】本題考查了三角形綜合題，重點對三角形全等的判定定理和等腰直角三角形的理解和掌握，普通兩個三角形全等共有四個定理，即AAS、ASA、SAS、SSS．12．在等腰Rt△ABC中，∠A＝90°，AC＝AB＝2，D是BC邊上的點且BD=13CD，連接AD．AD⊥AE，AE＝AD，連接①△ADC≌△AEB；②BE⊥CB；③點B到直線AD的距離為105④四邊形AEBC的周長是72⑤S四邊形ADBE＝2．其中正確的有（）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【分析】用同角的余角相等即可得出∠BAE＝∠CAD，進而判斷出△ADC≌△AEB，得出①正確；用全等三角形的性質(zhì)得出∠ABE＝∠ACD，再利用等腰直角三角形的性質(zhì)得出∠ABE＝∠ABC＝∠ACB＝45°即可得出②正確；先求出BD，AD，再用等面積法求出BM即可得出③正確；用四邊形的周長的計算方法即可得出④正確；用全等三角形的面積相等轉(zhuǎn)化即可得出⑤正確．【解答】解：∵AD⊥AE，∴∠DAE＝∠BAC＝90°，∴∠BAE＝∠CAD，在△ADC和△AEB中，AD=AE∠CAD=∠BAE∴△ADC≌△AEB故①正確；∵△ADC≌△AEB，∴∠ABE＝∠ACD，∵在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝AB＝2，∴∠ACB＝∠ABC＝45°，∴∠CBE＝∠ABC+∠ABE＝90°，∴BE⊥BC，故②正確；如圖，作AN⊥BC于N，BM⊥AD于M．∵AB＝AC＝2，∠BAC＝90°，∴BC＝22，AN＝BN＝NC=2∵BD=13∴BD＝DN=22，AD∵12BD?AN=12AD∴22?2=10∴BM=105，故∵△ADC≌△AEB，∴AE＝AD=102，BE＝CD＝3BD∴四邊形AEBC的周長是AE+EB+BC+AC=102+322+∵△ADC≌△AEB，∴S△ADC＝S△AEB，∴S四邊形ADBE＝S△ABD+S△ABE＝S△ABD+S△ACD＝S△ABC＝2，故⑤正確；即：正確的有①②③④⑤共五個，故選：D．【點評】此題是三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，四邊形的面積計算和周長的計算；解本題的關(guān)鍵是求出BM的長度．二．填空題13．如圖，在△ABC中，BA＝BC，∠ABC＝90°，BN平分∠ABC，AE平分∠BAC，AE交BN于G，EF⊥AC于F，連接GF．①△AEB≌△AEF；②∠EFG＝∠AFG；③圖中有3對全等三角形；④EF＝GF；⑤S△AEF＝2S△AGN．上述結(jié)論正確的序號有①②④⑤．【分析】首先證明△ABE≌△AFE，再證明∠BGE＝∠BEG＝67.5°，推出四邊形BGFE是菱形，由此即可判斷①②③④正確，由NG∥EF，得到△ANG∽△AFE，所以S△ANGS△AEF=（GNEF）【解答】解：∵EF⊥AC，∠ABC＝90°，∴∠ABE＝∠AFE＝90°，∵AE平分∠BAF，∴∠EAB＝∠EAF，在△AEB和△AEF中，∠ABE=∠AFE∠BAE=∠FAE∴△ABE≌△AFE，故①正確，∴BE＝EF，∵∠BGE＝∠GAB+∠ABG＝22.5°+45°＝67.5°，∠BEA＝∠C+∠EAC＝45°+22.5°＝67.5°，∴∠BGE﹣∠BEG，∴BG＝BE＝EF，∵BN⊥AC，EF⊥AC，∴BG∥EF，∴四邊形BGFE是平行四邊形，∵BG＝BE，∴四邊形BGFE是菱形，∴EF＝EG，故④正確，∠EFG＝∠EBG＝45°，∵∠EFA＝90°，∴∠GFE＝∠GFN＝45°，故②正確，∵△ABE≌△AFE，△AGB≌△AGF，△EGB≌△EGF，△ABN≌△CBN，故③錯誤，∵∠NGF＝∠NFG＝45°，∴NG＝NF，∴EF＝GF=2NG∵NG∥EF，∴△ANG∽△AFE，∴S△ANGS△AEF=（GN∴S△AEF＝2S△ANG．故⑤正確，∴①②④⑤正確，故答案為①②④⑤．【點評】本題考查三角形綜合題、全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)、菱形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是靈活運用直線知識問題，最后有關(guān)結(jié)論的判斷有點難度，用了相似三角形的面積比等于相似比的平方，屬于中考填空題中的壓軸題．14．如圖，△ABC的內(nèi)部有一點P，且點D，E，F(xiàn)是點P分別以AB，BC，AC為對稱軸的對稱點．若△ABC的內(nèi)角∠BAC＝70°，∠ABC＝60°，∠ACB＝50°，PD、PE恰好分別為邊AB、BC的中垂線，則下列命題中正確的是（1）（2）（3）（4）．（1）A，C兩點關(guān)于直線PF對稱；（2）PF＝BE；（3）∠ADB+∠BEC+∠CFA＝360°；（4）∠DBA+∠FAC＝∠BAC．【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)定理和判定定理判斷（1）；根據(jù)等邊三角形的判定定理和性質(zhì)定理、等腰三角形的性質(zhì)判斷（2）；根據(jù)軸對稱的性質(zhì)和周角的概念判斷（3）；根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)、軸對稱的性質(zhì)判斷（4）．【解答】解：連接PA、PB、PC，∵PD、PE分別為邊AB、BC的中垂線，∴PA＝PB，PC＝PB，∴PA＝PC，∴PE為AC的垂直平分線，∴A，C兩點關(guān)于直線PF對稱，A命題正確；∵∠ABC＝60°，∴∠BAC+∠BCA＝120°，∵PA＝PB，PB＝PC，∴∠PAB＝∠PBA，∠PCB＝∠PBC，∴∠PAB+∠PCB＝∠PBA+∠PBC＝60°，∴∠PAC+∠PCA＝60°，∵PA＝PC，∴∠PCA＝30°，∴∠CPF＝60°，∵CF＝PC，∴△PCF為等邊三角形，∴PF＝PC，∵PC＝PB＝BE，∴BE＝PF，B命題正確；∵點P、D關(guān)于AB對稱，∴∠ADB＝∠APB，同理可得，∠BEC＝∠BPC，∠AFC＝∠APC，∴∠ADB+∠BEC+∠CFA＝∠APB+∠BPC+∠CPA＝360°，C命題正確；∵PD是AB的垂直平分線，∴DB＝DA，∴∠DBA＝∠DAB，∵點P、D關(guān)于AB對稱，∴∠DAB＝∠PAB，同理，∠FAC＝∠PAC，∴∠DBA+∠FAC＝∠PAB+∠PAC＝∠BAC，D命題正確；故答案為：（1）（2）（3）（4）．【點評】本題考查的是軸對稱的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，掌握線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等是解題的關(guān)鍵．15．如圖所示，已知△ABC中，∠B＝90°，BC＝16cm，AC＝20cm，點P是△ABC邊上的一個動點，點P從點A開始沿A→B→C→A方向運動，且速度為每秒4cm，設(shè)出發(fā)的時間為t（s），當(dāng)點P在邊CA上運動時，若△ABP為等腰三角形，則運動時間t＝425或9或192【分析】分三種情形：AB＝AP，AB＝BP，PA＝PB，畫出圖形分別求解即可．【解答】解：如圖，過點B作BH⊥AC于H．∵∠ABC＝90°，AC＝20，BC＝16，∴AB=A∵BH⊥AC，∴S△ABC=12?AC?BH=12?∴BH=12×16∴AH=A當(dāng)BA＝BP1時，AH＝HP1=36∴AB+BC+AP1＝20+16+12?72此時t=42當(dāng)AB＝AP2時，AB+BC+CP2＝20+16+12﹣12＝36，此時t＝9，當(dāng)AP3＝BP3時，AB+BC+CP3＝20+16+12﹣10＝38，此時t=19綜上所述，滿足條件的t的值為425或9或19【點評】本題考查的是等腰三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會用分類討論的思想思考問題，屬于中考常考題型．16．如圖，∠ABC＝90°，P為射線BC上任意一點（點P和點B不重合），分別以AB，AP為邊在∠ABC內(nèi)部作等邊△ABE和等邊△APQ，連接QE并延長交BP于點F，連接EP，若FQ＝11，AE＝43，則EP＝13．【分析】連接EP，過點E作EM⊥BC，由題意可得△AEQ≌△ABP，可得QE＝BP，∠AEQ＝∠ABC＝90°，可求∠EBF＝∠BEF＝30°，根據(jù)勾股定理可求BE＝2EM＝43，BM=3EM，EF＝BF＝2FM，EM=3FM，可求BF＝EF＝4，EM＝23，F(xiàn)M＝2，由QF＝11，EF＝4，可得BP＝EQ＝7，可求MP的長，根據(jù)勾股定理可求【解答】解：如圖：連接EP，過點E作EM⊥BC∵△AEB，△APQ是等邊三角形∴AB＝AE＝BE＝43，AQ＝AP，∠ABE＝∠BAE＝∠QAP＝60°＝∠AEB∴∠BAP＝∠QAE且AQ＝AP，AB＝AE∴△ABP≌△AEQ∴QE＝BP，∠AEQ＝∠ABC＝90°∵∠AEQ＝∠ABC＝90°，∠ABE＝∠AEB＝60°∴∠BEF＝∠EBF＝30°∴BF＝EF，∠EFM＝60°∵EM⊥BC∴∠FEM＝30°∴EF＝2FM＝BF，EM=3∵∠EBM＝30°，EM⊥BC∴BE＝2EM，BM=3∵EB＝43∴EM＝23，BM＝6∵BF+FM＝BM∴FM＝2，BF＝EF＝4∵QF＝EQ+EF∴EQ＝11﹣4＝7∴BP＝7∴MP＝BP﹣BM＝1在Rt△EMP中，EP=故答案為13【點評】本題考查了三角形綜合題，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，構(gòu)造直角三角形用勾股定理求線段的長度是本題的關(guān)鍵．17．如圖，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是AB上的一個動點（不與點A，B重合），連接CD，將CD繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90°得到CE，連接DE，DE與AC相交于點F，連接AE．下列結(jié)論：①△ACE≌△BCD；②若∠BCD＝25°，則∠AED＝65°；③DE2＝2CF?CA；④若AB＝32，AD＝2BD，則AF=5其中正確的結(jié)論是①②③．（填寫所有正確結(jié)論的序號）【分析】先判斷出∠BCD＝∠ACE，即可判斷出①正確；先求出∠BDC＝110°，進而得出∠AEC＝110°，即可判斷出②正確；先判斷出∠CAE＝∠CEF，進而得出△CEF∽△CAE，即可得出CE2＝CF?AC，最后用勾股定理即可得出③正確；先求出BC＝AC＝3，再求出BD=2，進而求出CE＝CD=5，求出CF=5【解答】解：∵∠ACB＝90°，由旋轉(zhuǎn)知，CD＝CE，∠DCE＝90°＝∠ACB，∴∠BCD＝∠ACE，在△BCD和△ACE中，BC=AC∠BCD=∠ACE∴△BCD≌△ACE，故①正確；∵∠ACB＝90°，BC＝AC，∴∠B＝45°∵∠BCD＝25°，∴∠BDC＝180°﹣45°﹣25°＝110°，∵△BCD≌△ACE，∴∠AEC＝∠BDC＝110°，∵∠DCE＝90°，CD＝CE，∴∠CED＝45°，則∠AED＝∠AEC﹣∠CED＝65°，故②正確；∵△BCD≌△ACE，∴∠CAE＝∠CBD＝45°＝∠CEF，∵∠ECF＝∠ACE，∴△CEF∽△CAE，∴CEAC∴CE2＝CF?AC，在等腰直角三角形CDE中，DE2＝2CE2＝2CF?AC，故③正確；如圖，過點D作DG⊥BC于G，∵AB＝32，∴AC＝BC＝3，∵AD＝2BD，∴BD=13AB∴DG＝BG＝1，∴CG＝BC﹣BG＝3﹣1＝2，在Rt△CDG中，根據(jù)勾股定理得，CD=C∵△BCD≌△ACE，∴CE=5∵CE2＝CF?AC，∴CF=C∴AF＝AC﹣CF＝3?53=故答案為：①②③．【點評】此題是三角形綜合題，主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，判斷出△BCD≌△ACE是解本題的關(guān)鍵．18．如圖，在Rt△ABC中，BC＝2，∠BAC＝30°，斜邊AB的兩個端點分別在相互垂直的射線OM、ON上滑動，下列結(jié)論：①若C、O兩點關(guān)于AB對稱，則OA＝23；②C、O兩點距離的最大值為4；③若AB平分CO，則AB⊥CO；④斜邊AB的中點D運動路徑的長為π2其中正確的是①②（把你認(rèn)為正確結(jié)論的序號都填上）．【分析】①先根據(jù)直角三角形30°的性質(zhì)和勾股定理分別求AC和AB，由對稱的性質(zhì)可知：AB是OC的垂直平分線，所以O(shè)A＝AC；②當(dāng)OC經(jīng)過AB的中點E時，OC最大，則C、O兩點距離的最大值為4；③如圖2，當(dāng)∠ABO＝30°時，易證四邊形OACB是矩形，此時AB與CO互相平分，但所夾銳角為60°，明顯不垂直，或者根據(jù)四點共圓可知：A、C、B、O四點共圓，則AB為直徑，由垂徑定理相關(guān)推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于這條弦，但當(dāng)這條弦也是直徑時，即OC是直徑時，AB與OC互相平分，但AB與OC不一定垂直；④如圖3，半徑為2，圓心角為90°，根據(jù)弧長公式進行計算即可．【解答】解：在Rt△ABC中，∵BC＝2，∠BAC＝30°，∴AB＝4，AC=42?①若C、O兩點關(guān)于AB對稱，如圖1，∴AB是OC的垂直平分線，則OA＝AC＝23；所以①正確；②如圖1，取AB的中點為E，連接OE、CE，∵∠AOB＝∠ACB＝90°，∴OE＝CE=12當(dāng)OC經(jīng)過點E時，OC最大，則C、O兩點距離的最大值為4；所以②正確；③如圖2，當(dāng)∠OBC＝∠AOB＝∠ACB＝90°，∴四邊形AOBC是矩形，∴AB與OC互相平分，但AB與OC的夾角為60°、120°，不垂直，所以③不正確；④如圖3，斜邊AB的中點D運動路徑是：以O(shè)為圓心，以2為半徑的圓周的14則：90π×2180=所以④不正確；綜上所述，本題正確的有：①②；故答案為：①②．【點評】本題是三角形的綜合題，考查了直角三角形30°的性質(zhì)、直角三角形斜邊中線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、軸對稱的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)、動點運動路徑問題、弧長公式，熟練掌握直角三角形斜邊中線等于斜邊一半是本題的關(guān)鍵，難度適中．19．如圖，△ABC，∠ACB＝90°，點D，E分別在AB，BC上，AC＝AD，∠CDE＝45°，CD與AE交于點F，若∠AEC＝∠DEB，CE=7104，則CF【分析】作輔助線，構(gòu)建特殊的四邊形ACGH，設(shè)∠AEC＝α，則∠DEB＝α，①根據(jù)SAS證明△AEC≌△DEB，得AC＝CH，∠ACE＝∠EGH＝90°，證明四邊形ACGH是矩形；②設(shè)∠ACD＝∠ADC＝β，根據(jù)三角形的內(nèi)角和表示∠CAD＝180°﹣2β，根據(jù)平角∠ADB＝180°列式：β+45°+∠BDE＝180°，在△BDE中根據(jù)三角形的內(nèi)角和列式為：α+∠BDE+∠ABC＝180°，兩式綜合可得：∠BDE＝α；③證明四邊形ACGH是正方形，得出AD＝AC＝4BE＝4BD；④設(shè)BE＝x，則BD＝x，在Rt△ACB中，由勾股定理列方程可求出x的值；⑤過F作FM⊥BC于M，設(shè)EM＝y(tǒng)，則FM＝2y，EF=5y，根據(jù)EF的長列方程可求出y⑥在Rt△CFM中，利用勾股定理可求CF的長．【解答】解：延長CE至G，使EC＝EG，延長ED至H，使EH＝AE，過D作DT∥BC，交AE于T，連接GH、AH，設(shè)∠AEC＝α，則∠DEB＝α，∵∠AEC＝∠DEB＝α，∴△AEC≌△DEB，∴AC＝GH，∠ACE＝∠EGH＝90°，∴AC∥GH，∴四邊形ACGH是矩形，∴AH∥CG，∴∠AHE＝∠HEG＝α，∵AC＝AD，∴∠ACD＝∠ADC，設(shè)∠ACD＝∠ADC＝β，∵∠CDE＝45°，∴β+45°+∠BDE＝180°，∴β＝135°﹣∠BDE①，∵△ACD是等腰三角形，∴∠CAD＝180°﹣2β，∵△ACB是直角三角形，∴∠ABC＝90°﹣∠CAD＝90°﹣（180°﹣2β）＝2β﹣90°，在△BDE中，由內(nèi)角和得：α+∠BDE+∠ABC＝180°，α+∠BDE+2β﹣90°＝180°②，把①代入②得：α+∠BDE+2（135°﹣∠BDE）﹣90°＝180°，∠BDE＝α，∴∠ADH＝∠BDE＝α，∴AD＝AH＝AC，∴四邊形ACGH是正方形，∴AH＝AC＝2CE=7∴AD＝AC=7∵∠BED＝∠BDE＝α，∴BE＝BD，設(shè)BE＝x，則BD＝x，在Rt△ACB中，由勾股定理得：AC2+BC2＝AB2，∴(7解得：x=7∴BE＝BD=7∴CE＝2BE＝2BD，∴AD＝4BD，∴ADAB∵DT∥BC，∴△ADT∽△ABE，∴DTEB∵CE＝2BE，∴DTCE∵DT∥CE，∴TFEF在Rt△ACE中，由勾股定理得：AE=A∴ET=15AE∴EF=57ET過F作FM⊥BC于M，tanα=AC設(shè)EM＝y(tǒng)，則FM＝2y，EF=5y∴5y=5y=10∴FM＝2y=102，EM＝y(tǒng)∴CM＝CE﹣EM=7在Rt△CFM中，由勾股定理得：CF=C故答案為：5．【點評】本題是三角形和四邊形的綜合題，考查了矩形、正方形的性質(zhì)和判定，平行相似及平行線分線段成比例定理，三角函數(shù)，勾股定理等知識，比較麻煩，計算量較大；注意線段的比的關(guān)系，利用線段的比和未知數(shù)，根據(jù)勾股定理計算邊的長，從而使問題得以解決．20．如圖，已知△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝90°，直角∠EPF的頂點P是BC的中點，兩邊PE、PF分別交AB、AC于點E、F，給出以下四個結(jié)論：①圖中只有2對全等三角形②AE＝CF；③△EPF是等腰直角三角形；④S四邊形AEPF=12S△⑤EF的最小值為2．上述結(jié)論始終正確的有②③④⑤（填序號）．【分析】根據(jù)全等三角形的判定定理、等腰直角三角形的判定定理、全等三角形的性質(zhì)定理判斷即可．【解答】解：∵AB＝AC＝2，∠BAC＝90°，∴∠B＝∠C＝45°，∵點P是BC的中點，∴∠BAP＝∠CAP＝45°，∵∠EPF＝90°，∴∠BPE+∠EPA＝90°，∴∠BPE＝∠APF，∠EPA＝∠FPC，在△BPE和△APF中，∠BPE=∠APF∠B=∠PAF∴△BPE≌△APF，∴△EPA≌△FPC，△APC≌△APB，有3對全等三角形，①錯誤；∵△EPA≌△FPC，∴AE＝CF，②；∵△BPE≌△APF，∴PE＝PF，又∠EPF＝90°，∴△EPF是等腰直角三角形，③正確；∵△BPE≌△APF，∴S四邊形AEPF＝S△ABP=12S△ABC，由②知，△EPF是等腰直角三角形，則EF=2EP．當(dāng)EP⊥AB時，EP取最小值，此時EP=12AB，則EF最小值=22故答案為：②③④⑤．【點評】本題考查的是全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．21．如圖，D、E分別是△ABC的邊BC和AB上的點，△ABD與△ACD的周長相等，△CAE與△CBE的周長相等，設(shè)BC＝a，AC＝b，AB＝c，給出以下幾個結(jié)論：①如果AD是BC邊中線，那么CE是AB邊中線；②AE的長度為c+a?b2③BD的長度為b+a?c2④若∠BAC＝90°，△ABC的面積為S，則S＝AE?BD．其中正確的結(jié)論是②③④（將正確結(jié)論的序號都填上）【分析】由中線的定義，可得到AB＝AC，但AB＝AC時未必有AC＝BC，可判斷①；△ABD與△ACD的周長相等，我們可得出：AB+BD＝AC+CD，等式的左右邊正好是三角形ABC周長的一半，有AB，AC的值，那么就能求出BD的長了，同理可求出AE的長，可判斷②③；把AE和BD代入計算，結(jié)合勾股定理可求得S，可判斷④；則可得出答案．【解答】解：當(dāng)AD是BC邊中線時，則BD＝CD，∵△ABD與△ACD的周長相等，∴AB＝AC，但此時，不能得出AC＝BC，即不能得出CE是AB的中線，故①不正確；∵△ABD與△ACD的周長相等，BC＝a，AC＝b，AB＝c，∴AB+BD+AD＝AC+CD+AD，∴AB+BD＝AC+CD，∵AB+BD+CD+AC＝a+b+c，∴AB+BD＝AC+CD=a+b+c∴BD=a+b+c2?同理AE=a+c?b故②③都正確；當(dāng)∠BAC＝90°時，則b2+c2＝a2，∴AE?BE=a+c?b2×a+b?c2=14[a+（c﹣b）][a﹣（c﹣b）]=14[a2﹣（c﹣b）2]=14[a2﹣（c2+b故④正確；綜上可知正確的結(jié)論②③④，故答案為：②③④．【點評】本題為三角形的綜合應(yīng)用，主要考查了三角形各邊之間的關(guān)系問題及三角形的面積，在列式子的時候要注意找出等量關(guān)系，難度適中．22．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，E、F為線段AB上兩動點，且∠ECF＝45°，過點E、F分別作BC、AC的垂線相交于點M，垂足分別為H、G．現(xiàn)有以下結(jié)論：①AB=2；②當(dāng)點E與點B重合時，MH=12；③AF+BE＝EF；④MG?MH=12【分析】①由題意知，△ABC是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形即可作出判斷；②如圖1，當(dāng)點E與點B重合時，點H與點B重合，可得MG∥BC，四邊形MGCB是矩形，進一步得到FG是△ACB的中位線，從而作出判斷；③如圖2所示，SAS可證△ECF≌△ECD，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和勾股定理即可作出判斷；④根據(jù)AA可證△ACE∽△BFC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得AF?BF＝AC?BC＝1，由題意知四邊形CHMG是矩形，再根據(jù)平行線的性質(zhì)和等量代換得到MG?MH=22AE×22BF=12AE?BF【解答】解：①由題意知，△ABC是等腰直角三角形，∴AB=AC2②如圖1，當(dāng)點E與點B重合時，點H與點B重合，∴MB⊥BC，∠MBC＝90°，∵MG⊥AC，∴∠MGC＝90°＝∠C＝∠MBC，∴MG∥BC，四邊形MGCB是矩形，∴MH＝MB＝CG，∵∠FCE＝45°＝∠ABC，∠A＝∠ACF＝45°，∴CF＝AF＝BF，∴FG是△ACB的中位線，∴GC=12AC＝MH，故③如圖2所示，∵AC＝BC，∠ACB＝90°，∴∠A＝∠5＝45°．將△ACF順時針旋轉(zhuǎn)90°至△BCD，則CF＝CD，∠1＝∠4，∠A＝∠6＝45°；BD＝AF；∵∠2＝45°，∴∠1+∠3＝∠3+∠4＝45°，∴∠DCE＝∠2．在△ECF和△ECD中，CF=CD∴△ECF≌△ECD（SAS），∴EF＝DE．∵∠5＝45°，∴∠BDE＝90°，∴DE2＝BD2+BE2，即EF2＝AF2+BE2，故③錯誤；④∵∠7＝∠1+∠A＝∠1+45°＝∠1+∠2＝∠ACE，∵∠A＝∠5＝45°，∴△ACE∽△BFC，∴AEBC∴AE?BF＝AC?BC＝1，由題意知四邊形CHMG是矩形，∴MG∥BC，MH＝CG，MG∥BC，MH∥AC，∴CHBC=AE即MG1=AE∴MG=22AE；MH=∴MG?MH=22AE×22BF=12AE?BF故④正確．故答案為①②④．【點評】此題是三角形綜合題，主要考查了相似形綜合題，涉及的知識點有：等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，三角形中位線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，綜合性較強，有一定的難度．三．解答題23．如圖，等腰Rt△AOB在平面直角坐標(biāo)系xOy上，∠B＝90°，OA＝4．點C從原點O出發(fā)，以每秒1個單位的速度沿x軸的正方向運動，過點C作直線l⊥OA，直線l與射線OB相交于點N．（1）點B的坐標(biāo)為（2，2）；（2）點C的運動時間是t秒．①當(dāng)2≤t≤4時，△AOB在直線l右側(cè)部分的圖形的面積為S，求S（用含t的式子表示）；②當(dāng)t＞0時，點M在直線l上且△ABM是以AB為底的等腰三角形，若CN=32CM，求【分析】（1）過B點作BD⊥OA于點D，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求得OD與BD的長度，便可寫出B點的坐標(biāo)；（2）①證明△ACM為等腰直角三角形，再由三角形的面積公式求得結(jié)果；②過AB的中點D，作線段AB的垂直平分線DE，求出直線OB與DE的解析式，再用t表示C、M、N的坐標(biāo)，進而用t表示CN與CM，根據(jù)已知條件CN=32CM，列出【解答】解：（1）過B點作BD⊥OA于點D，如圖1，∵∠OBA＝90°，OB＝AB，OA＝4．∴BD＝OD＝AD=12∴B（2，2），故答案為（2，2）；（2）①當(dāng)2≤t≤4時，如圖2，則AC＝OA﹣OC＝4﹣t，∵∠OBA＝90°，OB＝AB，∴∠OAB＝45°，∵直線l⊥OA，∴∠ACM＝90°，∴∠AMC＝45°＝∠CAM，∴AC＝CM＝4﹣t，∴S=S②過AB的中點D，作線段AB的垂直平分線DE，如圖3，∵△ABM是以AB為底的等腰三角形，∴MA＝MB，∴點M在直線DE上，∵點M在直線l上，∴點M為直線l與直線DE的交點，設(shè)直線OB的解析式為y＝kx（k≠0），由（1）知，B（2，2），∴2＝2k，∴k＝1，∴直線OB的解析式為：y＝x，∵∠ABO＝∠ADM＝90°，∴DE∥OB，∴設(shè)直線DE的解析式為y＝x+n，∵A（4，0），B（2，2），D為AB的中點，∴D（3，1），把D（3，1）代入y＝x+n中，得1＝3+n，∴n＝﹣2，∴直線DE的解析式為：y＝x﹣2，∵OC＝t，∴C（t，0），N（t，t），M（t，t﹣2），∵CN=32CM，∴t=32|∴t=32（t﹣2），或t=3解得，t＝6，或t=6【點評】本題主要考查了點的坐標(biāo)，待定系數(shù)法，求函數(shù)的解析式，等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形的面積公式，難度不大，第（3）題關(guān)鍵是求出AB的垂直平分線的解析式和正確列出t的方程．24．如圖1，∠ACB＝∠AED＝90°，AC＝BC，AE＝DE．（1）若D為AC的中點，求BDCE（2）將圖1中的△ADE繞點A順時針旋轉(zhuǎn)，使點D落任AB上，如圖2，F(xiàn)為DB的中點．①畫出△DEF關(guān)于點F成中心對稱的圖形，②求EFCE（3）如圖3，將△ADE繞點A順時針旋轉(zhuǎn)，F(xiàn)為BD的中點，當(dāng)AC＝6，AD＝4時，則CF的最大值為32+2【分析】（1）如圖1中，作EQ⊥AC于Q．設(shè)EQ＝QA＝QD＝a，利用勾股定理求出BD、CE即可解決問題；（2）①如圖2中，△DEF關(guān)于點F對稱的△FBH如圖所示；②只要證明△CAE≌△CBH，推出△ECH是等腰直角三角形即可解決問題；（3）如圖3中，延長EF到H，使得EF＝FH．連接CF、CH，延長ED交BC于K．想辦法證明△ECH是等腰直角三角形，可得EC=2CF，由此可知，CE最大時，CF【解答】解：（1）如圖1中，作EQ⊥AC于Q．∵△ADE是等腰直角三角形，∴EQ＝QA＝QD，設(shè)EQ＝QA＝QD＝a，∵AD＝DC，∴AD＝DC＝2a，BC＝AC＝4a，∴在Rt△CDB中，BD=CD2+B在Rt△CQE中，EC=CQ∴BDCE（2）①如圖2中，△DEF關(guān)于點F對稱的△FBH如圖所示；②連接CF、CH．∵△FDE≌△FBH，∴DE＝BH＝AE，∠EDF＝∠FBH＝135°，EF＝FH，∵∠ABC＝45°，∴∠CBH＝90°＝∠CAE，∵CA＝CB，∴△CAE≌△CBH，∴EC＝CH，∠ACE＝∠BCH，∴∠ECH＝∠ACB＝90°，∴△ECH是等腰直角三角形．∵EF＝FH，∴CF⊥EH，CF＝EF＝FH，∴△ECF是等腰直角三角形，∴EC=2EF∴EFEC（3）如圖3中，延長EF到H，使得EF＝FH．連接CF、CH，延長ED交BC于K．∵∠ACK＝∠AEK＝90°，∴∠CAE+∠EKC＝180°，∵∠EKC+∠EKB＝180°，∴∠CAE＝∠EKB，∵DF＝FB，∠DFE＝∠BFH，F(xiàn)E＝FH，∴△DFE≌△BFH，∴DE＝BH＝QE，∠DEF＝∠FHB，∴EK∥BH，∴∠EKB＝∠CBH，∴∠CAE＝∠CBH，∵CA＝CB，∴△CAE≌△CBH，∴EC＝CH，∠ACE＝∠BCH，∴∠ECH＝∠ACB＝90°，∴△ECH是等腰直角三角形．∵EF＝FH，∴CF⊥EH，CF＝EF＝FH，∴△ECF是等腰直角三角形，∴EC=2CF∴當(dāng)EC的值最大時，CF的值也最大，∵EC的最大值＝AC+AE＝6+22，∴6+22=2∴CF的最大值＝32+故答案為32+【點評】本題考查三角形綜合題、全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考壓軸題．25．如圖，△ABC中，AB＝AC，tanB=12，作AD⊥AC交BC于E，且AD＝AC（1）若CD＝42，求BE的長度；（2）如圖2，∠BAD的角平分線交BC于F，作CG⊥AF的反向延長線于點G，求證：2BF+AG＝CG；（3）如圖3，將“tanB=12”改為“sinB=12”，作AD⊥AC，且AD＝AC，連接BD，CD，延長DA交BC于E，∠BAD的角平分線的反向延長線交BC于F，作CG⊥AF于【分析】（1）如圖1中，過A作AF⊥BC于F，根據(jù)Rt△ACD中，AC＝4，可得Rt△ACE中，AE＝2，CE＝25，再根據(jù)BC＝2CG，求得BC=1655，最后根據(jù)BE＝BC（2）如圖2中，連接DF，延長AF交BD于M．首先證明△BFD是等腰直角三角形，再證明△AMD≌△CGA，推出AG＝DM＝BM＝FM，CG＝AM，由△BFD是等腰直角三角形，F(xiàn)M⊥BD，推出∠BFM＝∠AFN＝45°，推出2BF=2AN＝AF（3）如圖3中，作AM⊥BC于M，連接DF，F(xiàn)A的延長線交BD于N．首先證明BD=2BF，由sin∠ABC=12，推出∠ABC＝∠ACB＝∠EAM＝30°，設(shè)EM＝m，則AE＝2m＝BE，EC＝2AE＝4m，AM＝FM=3m，CF＝CM﹣FM＝3m?3【解答】解：（1）如圖1，過A作AF⊥BC于H，∵AD⊥AC，AD＝AC，CD＝42，∴等腰直角三角形ACD中，AC＝4，BC＝2CH，∵AB＝AC，tanB=1∴tan∠ACB=1∴Rt△ACE中，AE＝2，∴CE=22+∵tan∠ACH=1∴AH=455，∴BC＝2×8∴BE＝BC﹣CE=1655（2）證明：如圖2，連接DF，延長AF交BD于M．∵AB＝AD＝AC，∴點B、D、C在以A為圓心的圓上，∵DA⊥AC，∴∠DAC＝90°，∴∠DBC=12∠∵AF平分∠BAD，∴∠FAB＝∠FAD，在△FAB和△FAD中，AB=AD∠FAB=∠FAD∴△FAB≌△FAD（SAS），∴BF＝DF，∴∠DBF＝∠FDB＝45°，∴DF⊥BC，∵AB＝AD，MA平分∠BAD，∴BM＝DM，AM⊥BD，∵∠DAM+∠CAG＝90°，∠CAG+∠ACG＝90°，∴∠MAD＝∠ACG，在△AMD和△CGA中，∠AMD=∠G=90°∠MAD=∠ACG∴△AMD≌△CGA（AAS），∴AG＝DM＝BM＝FM，CG＝AM，∵△BFD是等腰直角三角形，F(xiàn)M⊥BD，∴∠BFM＝∠AFH＝45°，∴AH＝FH=12∴BF＝FH＝AH，∴2BF=2AH＝AF∴CG＝AM＝FM+AF＝AG+2BF即2BF+AG＝CG；（3）如圖3，作AM⊥BC于M，連接DF，延長FA交BD于N．∵AB＝AD，AN平分∠BAD，∴AN⊥BD，BN＝DN，∴FB＝FD，∵AB＝AC＝AD，∴∠CBD=12∠∴∠FBD＝∠FDB＝45°，∴△BDF是等腰直角三角形，∴BD=2BF∵sin∠ABC=1∴∠ABC＝∠ACB＝∠EAM＝30°，∠BAM＝60°，∵∠BAC＝120°，∠DAC＝90°，∴∠BAD＝150°，∴∠BAN＝75°，∠MAF＝180°﹣75°﹣60°＝45°＝∠AFM，∴AM＝FM，∠GFC＝∠GCF＝45°，∴FG＝CG，∵∠AEC＝60°，∠ABE＝30°，∴∠ABE＝∠BAE＝30°，∴AE＝BE，設(shè)EM＝m，則AE＝2m＝BE，EC＝2AE＝4m，AM＝FM=3m，CF＝CM﹣FM＝3m?3m，CG∴BF?GCBD?BE=BF【點評】本題屬于三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理等知識的綜合應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是添加輔助線，構(gòu)造全等三角形和直角三角形，利用含30°角的直角三角形以及等腰直角三角形的邊角關(guān)系來解決問題．26．（1）問題探究①如圖1，在直角△ABC中，∠BAC＝90°，BC＝13，AB＝5，若P是BC邊上一動點，連接AP，則AP的最小值為6013②如圖2，在等腰直角△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝a，求邊AB的長度（用含a的代數(shù)式表示）．（2）問題解決如圖3，在等腰直角△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝4，D是邊BC的中點，若P是AB邊上一動點，E是AC邊上一動點，試求PD+PE的最小值．【分析】（1）①過A作AE⊥CB于E，依據(jù)三角形面積相等可求出AE=6013，再根據(jù)垂線段最短可知當(dāng)AP與AE重合時②根據(jù)勾股定理求解即可；（2）作AH⊥AC，PE′⊥AH，DF′⊥AH交AB于T，可得PD+PE的最小值為DF′的長，由勾股定理求出DT和TF′的長即可得到結(jié)論．【解答】解：（1）①如圖1，過A作AE⊥CB于E，在Rt△ABC中，∵∠BAC＝90°，AB＝5，BC＝13，∴AC=B∵S△ABC∴AE=AB?AC根據(jù)垂線段最短可知當(dāng)AP與AE重合時AP的值最小，最小值為6013故答案為6013②如圖2，∵∠ABC＝90°，AB＝AC，∴AB2+BC2＝AC2，∵AC＝a，∴AB∴AB=22a∴AB=2（2）作AH⊥AC，PE′⊥AH于E′，DF′⊥AH交AB于T，作TQ⊥AC于點Q，如圖3，∵△ABC是等腰直角三角形，AC＝4，∴AB＝BC=22，∠BAC＝∠BC