中考數(shù)學(xué)幾何專項(xiàng)沖刺專題32圓的綜合練習(xí)（基礎(chǔ)）含答案及解析

專題32圓的綜合練習(xí)（基礎(chǔ)）一．選擇題1．如圖，⊙O的半徑為1，弦AB＝1，點(diǎn)P為優(yōu)弧AB上一動(dòng)點(diǎn)，AC⊥AP交直線PB于點(diǎn)C，則△ABC的最大面積是（）A．12 B．22 C．322．如圖，△ABC中，CA＝CB，AB＝6，CD＝4，E是高線CD的中點(diǎn)，以CE為半徑⊙C．G是⊙C上一動(dòng)點(diǎn)，P是AG中點(diǎn)，則DP的最大值為（）A．72 B．352 C．233．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝4，D是AB的中點(diǎn)，經(jīng)過C、D兩點(diǎn)的圓交AC、BC于點(diǎn)E、F，且AE＝CF．當(dāng)圓變化時(shí)，點(diǎn)C到線段EF的最大距離為（）A．2 B．2 C．122 4．如圖，點(diǎn)P為正方形ABCD的邊CD上一點(diǎn)，BP的垂直平分線EF分別交BC、AD于E、F兩點(diǎn)，GP⊥EP交AD于點(diǎn)G，連接BG交EF于點(diǎn)H，下列結(jié)論：①BP＝EF；②∠FHG＝45°；③以BA為半徑⊙B與GP相切；④若G為AD的中點(diǎn)，則DP＝2CP．其中正確結(jié)論的序號(hào)是（）A．①②③④ B．只有①②③ C．只有①②④ D．只有①③④5．如圖，AB是半圓O的直徑，射線AM、BN為半圓的切線．在AM上取一點(diǎn)C，連接BC交半圓于點(diǎn)D，連接AD．過O點(diǎn)作BC的垂線ON，與BN相交于點(diǎn)N．過C點(diǎn)作半圓的切線CE，切點(diǎn)為E，與BN相交于點(diǎn)F．當(dāng)C在AM上移動(dòng)時(shí)（A點(diǎn)除外），設(shè)BFBN=n，則A．n=12 B．0＜n≤34 C．16．如圖，∠MAN＝45°，B、C為AN上的兩點(diǎn)，且AB＝BC＝2，D為射線AM上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過B、C、D三點(diǎn)作⊙O，則sin∠BDC的最大值為（）A．255 B．32 C．27．如圖，BD為⊙O的直徑，點(diǎn)A是弧BC的中點(diǎn)，AD交BC于E點(diǎn)，DF是⊙O的切線與BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，AE＝2，ED＝4，下列結(jié)論：①△ABE∽△ABD；②AB＝23；③tan∠ADB=33；④△DEF是正三角形；⑤弧AB的長(zhǎng)=A．2 B．3 C．4 D．58．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線AB經(jīng)過點(diǎn)A（﹣4，0）、B（0，4），⊙O的半徑為1（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），點(diǎn)P在直線AB上，過點(diǎn)P作⊙O的一條切線PQ，Q為切點(diǎn)，則切線長(zhǎng)PQ的最小值為（）A．6 B．7 C．22 D．39．如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)E是AB上的一點(diǎn)，將△BCE沿CE折疊至△FCE，若CF，CE恰好與以正方形ABCD的中心為圓心的⊙O相切，則⊙O的半徑為（）A．1 B．2?1 C．3?1 10．如圖，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都在⊙O上，AD、BE是△ABC的高，交于點(diǎn)H，BE的延長(zhǎng)線交⊙O于F，下列結(jié)論：①∠BAO＝∠CAD；②AO＝AH；③EH＝EF；④DH＝DC，其中正確的有（）個(gè)．A．1 B．2 C．3 D．411．如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，CD⊥AB于P，交⊙O于D，E為AC的中點(diǎn)，EP交BD于F，⊙O的直徑為d．下列結(jié)論：①EF⊥BD；②AC2+BD2的值為定值；③OE=12BD；④AB?CD＝2S其中正確的個(gè)數(shù)是（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)12．如圖，已知A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（﹣4，0）、（0，2），⊙C的圓心坐標(biāo)為（0，﹣2），半徑為2．若D是⊙C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，射線AD與y軸交于點(diǎn)E，當(dāng)△ABE的面積最大值時(shí)，△CDE的面積為（）A．1211 B．113 C．83二．填空題13．已知：如圖，AB＝BC，∠ABC＝90°，以AB為直徑的⊙O交OC于點(diǎn)D，AD的延長(zhǎng)線交BC于點(diǎn)E，過D作⊙O的切線交BC于點(diǎn)F．下列結(jié)論：①CD2＝CE?CB；②4EF2＝ED?EA；③∠OCB＝∠EAB；④DF=12CD．其中正確的結(jié)論有14．如圖，AB為半圓直徑，AC⊥AB，BF⊥AB，BF＝2，AB＝3，CA＝4，連接AF交半圓于D，連接CD，作DE⊥CD交直徑AB于E，則tan∠ACE＝．15．在四邊形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠ABC＝45°，點(diǎn)E為對(duì)角線BD的中點(diǎn)，連接AE并延長(zhǎng)交線段BC于點(diǎn)F，AE＝25，BF＝3，則AD的長(zhǎng)為．16．如圖，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BC=42，點(diǎn)D是AC邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接BD，以AD為直徑的圓交BD于點(diǎn)E，則線段CE長(zhǎng)度的最小值為17．如圖，已知直線y＝x+4與兩坐標(biāo)軸分別交于A、B兩點(diǎn)，⊙C的圓心坐標(biāo)為（2，0），半徑為2，若D是⊙C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，線段DA與y軸交于點(diǎn)E，則△ABE面積的最小值和最大值分別是．18．如圖，點(diǎn)C在以AB為直徑的半圓上，AB＝8，∠CBA＝30°，點(diǎn)D在線段AB上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)E與點(diǎn)D關(guān)于AC對(duì)稱，DF⊥DE于點(diǎn)D，并交EC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．下列結(jié)論：①CE＝CF；②線段EF的最小值為23；③當(dāng)AD＝2時(shí)，EF與半圓相切；④若點(diǎn)F恰好落在弧BC上，則AD＝25；⑤當(dāng)點(diǎn)D從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，線段EF掃過的面積是163．其中正確結(jié)論的序號(hào)是．19．如圖，平面直角坐標(biāo)系中，分別以點(diǎn)A（﹣2，3），B（3，4）為圓心，以1、2為半徑作⊙A、⊙B，M、N分別是⊙A、⊙B上的動(dòng)點(diǎn)，P為x軸上的動(dòng)點(diǎn)，則PM+PN的最小值等于．20．如圖，在平行四邊形ABCD中，以對(duì)角線AC為直徑的⊙O分別交BC，CD于M，N．若AB＝13，BC＝14，CM＝9，則MN的長(zhǎng)度為．21．如圖，AB＝4，O為AB的中點(diǎn)，⊙O的半徑為1，點(diǎn)P是⊙O上一動(dòng)點(diǎn)，以PB為直角邊的等腰直角三角形PBC（點(diǎn)P、B、C按逆時(shí)針方向排列），則線段AC的長(zhǎng)的取值范圍為．22．如圖，在⊙O中，AB是直徑，CD是弦，AB⊥CD于點(diǎn)H，DC＝AH，連接AD、AC，點(diǎn)F在弦AE上，連接DF、CF，∠DFE＝∠CAH，∠CFE＝∠CAD，CH=37，則AF長(zhǎng)為三．解答題23．⊙O經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，且與x軸交于點(diǎn)A、DC⊥x軸于點(diǎn)C，且與⊙D交于點(diǎn)B，已知⊙D的半徑為23，∠ODA＝120°．（1）求B點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）求經(jīng)過O、B、A三點(diǎn)的拋物線的解析式；（3）在拋物線上是否存在一點(diǎn)P，使△PAO和△OBA相似？若有，求出P點(diǎn)坐標(biāo)；不存在，說明理由．24．如圖，已知拋物線y＝ax2+bx﹣3與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)的圓的圓心M（1，m）恰好在此拋物線的對(duì)稱軸上，⊙M的半徑為5．設(shè)⊙M與y軸交于點(diǎn)D，拋物線的頂點(diǎn)為點(diǎn)E．（1）求m的值及拋物線的解析式；（2）求證：△BDO∽△BCE；（3）探究坐標(biāo)軸上是否存在點(diǎn)P，使得以點(diǎn)P、A、C為頂點(diǎn)的三角形與△BCE相似？若存在，請(qǐng)指出點(diǎn)P的位置，并直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．25．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中圓O1的圓心在x軸上，直徑OA＝2，直線OB交圓O1于B，且∠BOA＝15°（1）求直線OB的解析式；（2）求經(jīng)過O、A、B三點(diǎn)的拋物線y＝ax2+bx+c的表達(dá)式；（3）動(dòng)點(diǎn)Q從A點(diǎn)出發(fā)順時(shí)針在半圓AQO上運(yùn)動(dòng)，速度為π9長(zhǎng)/秒，直線BQ交x軸于P，問經(jīng)過多長(zhǎng)時(shí)間PQ26．如圖，點(diǎn)I是△ABC的內(nèi)心，線段AI的延長(zhǎng)線交△ABC的外接圓于點(diǎn)D、BC于點(diǎn)E．（1）求證：BD＝ID；（2）若ID＝4，AD＝8，求DE的長(zhǎng)；（3）延長(zhǎng)ID至點(diǎn)F，使DF＝ID．連接BF，求證：BF⊥BI．27．如圖，⊙M經(jīng)過O點(diǎn)，并且與x軸、y軸分別交與A、B兩點(diǎn)，線段OA，OB（OA＞OB）的長(zhǎng)時(shí)方程x2﹣17x+60＝0的兩根．（1）求線段OA、OB的長(zhǎng)；（2）已知點(diǎn)C在劣弧OA上，連接BC交OA于D，當(dāng)OC2＝CD?CB時(shí)，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；（3）在（2）的條件下，在⊙M上是否存在一點(diǎn)P，使S△POD＝S△ABD？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．（4）點(diǎn)C在優(yōu)弧OA上，作直線BC交x軸于D．是否存在△COB∽△CDO？若存在，直接寫出點(diǎn)C的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．28．如圖，圓M與y軸相切于點(diǎn)C，與x軸交于A（2?3，0）、B（2+3，0）兩點(diǎn)，點(diǎn)Q是圓M上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N為OQ的中點(diǎn)，連接CN，當(dāng)點(diǎn)Q在圓M上運(yùn)動(dòng)時(shí)，29．如圖（1），在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=3x+6與兩坐標(biāo)軸分別交于A、B兩點(diǎn)，M為y軸正半軸上一點(diǎn)，⊙M過A、B兩點(diǎn)，交x軸正半軸于點(diǎn)C，過B作x軸的平行線l，N點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣10，5），⊙N與直線l相切于點(diǎn)D（1）求∠ABO的度數(shù)及圓心M的坐標(biāo)；（2）若⊙M保持不動(dòng)，⊙N以每秒1個(gè)單位的速度沿直線l向右平移，同時(shí)直線AB沿x軸負(fù)方向向左勻速平移，當(dāng)⊙N第一次與⊙M相切時(shí)，直線AB也恰好與⊙N第一次相切，在這個(gè)過程中，求直線AB每秒平移了多少個(gè)單位長(zhǎng)度？（3）如圖（2），P為直線l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且在y軸的左側(cè)，過P作AB的垂線分別交線段BC、x軸于Q、R兩點(diǎn)，過P作x軸的垂線，垂足為S（S在A點(diǎn)的左側(cè)），當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，BQ﹣AS的值是否改變？若不變，請(qǐng)求其值；若改變，請(qǐng)求其值變化的范圍．30．如圖1，在⊙O中，直徑AB＝6cm，∠BAC＝30°，點(diǎn)D為⊙O上一動(dòng)點(diǎn)，連接BD，并延長(zhǎng)至點(diǎn)E，使得BD＝2DE，連接BC，AD，AE．（1）當(dāng)點(diǎn)D為劣弧AC中點(diǎn)時(shí)，求∠DBC的度數(shù)；（2）當(dāng)AD＝23cm時(shí)，判斷直線AE與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；（3）求出線段DE掃過的面積．專題32圓的綜合練習(xí)（基礎(chǔ)）一．選擇題1．如圖，⊙O的半徑為1，弦AB＝1，點(diǎn)P為優(yōu)弧AB上一動(dòng)點(diǎn)，AC⊥AP交直線PB于點(diǎn)C，則△ABC的最大面積是（）A．12 B．22 C．32【分析】連接OA、OB，如圖1，由OA＝OB＝AB＝1可判斷△OAB為等邊三角形，則∠AOB＝60°，根據(jù)圓周角定理得∠APB=12∠AOB＝30°，由于AC⊥AP，所以∠C＝60°，因?yàn)锳B＝1，則要使△ABC的面積最大，點(diǎn)C到AB的距離要最大；由∠ACB＝60°，可根據(jù)圓周角定理判斷點(diǎn)C在⊙D上，且∠ADB＝120°，如圖2，于是當(dāng)點(diǎn)C在優(yōu)弧AB的中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)C到AB的距離最大，此時(shí)△ABC為等邊三角形，從而得到△【解答】解：連接OA、OB，如圖1，∵OA＝OB＝1，AB＝1，∴△OAB為等邊三角形，∴∠AOB＝60°，∴∠APB=12∠∵AC⊥AP，∴∠C＝60°，∵AB＝1，要使△ABC的面積最大，則點(diǎn)C到AB的距離最大，∵∠ACB＝60°，點(diǎn)C在⊙D上，∴∠ADB＝120°，如圖2，作△ABC的外接圓D，當(dāng)點(diǎn)C在優(yōu)弧AB的中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)C到AB的距離最大，此時(shí)△ABC為等邊三角形，且面積為34AB2=∴△ABC的最大面積為34故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓的綜合題：熟練掌握?qǐng)A周角定理和等邊三角形的判斷與性質(zhì)；記住等邊三角形的面積公式．2．如圖，△ABC中，CA＝CB，AB＝6，CD＝4，E是高線CD的中點(diǎn)，以CE為半徑⊙C．G是⊙C上一動(dòng)點(diǎn)，P是AG中點(diǎn)，則DP的最大值為（）A．72 B．352 C．23【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，然后根據(jù)三角形中位線定理可得DP=12【解答】解：連接BG，如圖．∵CA＝CB，CD⊥AB，AB＝6，∴AD＝BD=12又∵CD＝4，∴BC＝5．∵E是高線CD的中點(diǎn)，∴CE=12∴CG＝CE＝2．根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可得：BG≤CG+CB＝2+5＝7．當(dāng)B、C、G三點(diǎn)共線時(shí)，BG取最大值為7．∵P是AG中點(diǎn)，D是AB的中點(diǎn)，∴PD=12∴DP最大值為72故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了圓的綜合題，涉及了等腰三角形的性質(zhì)、三角形中位線定理、勾股定理、兩點(diǎn)之間線段最短等知識(shí)，利用三角形中位線定理將DP轉(zhuǎn)化為BG是解決本題的關(guān)鍵．3．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝4，D是AB的中點(diǎn)，經(jīng)過C、D兩點(diǎn)的圓交AC、BC于點(diǎn)E、F，且AE＝CF．當(dāng)圓變化時(shí)，點(diǎn)C到線段EF的最大距離為（）A．2 B．2 C．122 【分析】連接CD、DE、DF，如圖，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得∠A＝45°，CD⊥AB，CD＝AD＝BD，∠DCB＝45°，易證得△ADE≌△CDF，則∠ADE＝∠CDF，DE＝DF，再判斷△EDF為等腰直角三角形，得到DE=22EF，由于S△DEF=12?DE2=14EF2，所以當(dāng)EF越小，S△DEF越小，加上S△CEF+S△EDF＝S△ADC=12S△ABC，則當(dāng)EF越小，S△DEF越小，而S△CEF越大，此時(shí)點(diǎn)C到EF的距離越大，即EF最小時(shí)，點(diǎn)C到EF的距離最大，設(shè)點(diǎn)C到EF的最大距離為h，根據(jù)圓周角定理，由∠ECF＝90°得EF為⊙O的直徑，所以當(dāng)⊙O的直徑等于CD時(shí)，⊙O【解答】解：連接CD、DE、DF，如圖，∵∠C＝90°，AC＝BC＝4，∴△ABC為等腰直角三角形，∴∠A＝45°，∵D是AB的中點(diǎn)，∴CD⊥AB，CD＝AD＝BD，∠DCB＝45°，在△ADE和△CDF中，AE=CF∠A=∠DCF∴△ADE≌△CDF（SAS），∴∠ADE＝∠CDF，DE＝DF，∵∠ADF+∠CDE＝90°，∴∠CDF+∠CDE＝90°，即∠EDF＝90°，∴△EDF為等腰直角三角形，∴DE=22∴S△DEF=12?DE2=1當(dāng)EF越小，S△DEF越小，∵S△CEF+S△EDF＝S△CDE+S△CDF＝S△CED+S△ADE＝S△ADC=12S△∴當(dāng)EF越小，S△DEF越小，而S△CEF越大，此時(shí)點(diǎn)C到EF的距離越大，即EF最小時(shí)，點(diǎn)C到EF的距離最大，設(shè)點(diǎn)C到EF的最大距離為h，∵∠ECF＝90°，∴EF為⊙O的直徑，∴當(dāng)⊙O的直徑等于CD時(shí)，⊙O的直徑最小，即EF最小，此時(shí)∠DEC＝∠DFC＝90°，則四邊形CEDF為正方形，h=12CD=12?12AB=即點(diǎn)C到線段EF的最大距離為2．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓的綜合題：熟練掌握?qǐng)A周角定理、等腰直角三角形的性質(zhì)；會(huì)運(yùn)用三角形全等解決線段相等的問題；記住三角形的面積公式．4．如圖，點(diǎn)P為正方形ABCD的邊CD上一點(diǎn)，BP的垂直平分線EF分別交BC、AD于E、F兩點(diǎn)，GP⊥EP交AD于點(diǎn)G，連接BG交EF于點(diǎn)H，下列結(jié)論：①BP＝EF；②∠FHG＝45°；③以BA為半徑⊙B與GP相切；④若G為AD的中點(diǎn)，則DP＝2CP．其中正確結(jié)論的序號(hào)是（）A．①②③④ B．只有①②③ C．只有①②④ D．只有①③④【分析】先作NF⊥BC于N，根據(jù)正方形的性質(zhì)和垂直平分線的性質(zhì)證明△BCP≌△FNE就可以得出BP＝EF，作BM⊥PG于M，GP⊥EP，通過證明兩次三角形全等就可以得出∠PBG＝45°，從而求出∠FHG＝45°，由切線的判定定理就可以求出以BA為半徑⊙B與GP相切，當(dāng)G為AD的中點(diǎn)時(shí)，設(shè)AG＝GD＝x，CP＝y(tǒng)，則GM＝x，PM＝y(tǒng)，PD＝2x﹣y，運(yùn)用勾股定理就可以求出DP與CP的關(guān)系．【解答】解：作NF⊥BC于N，∴∠FNE＝90°．∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ABC＝∠BCD＝∠ADC＝∠BAD＝90°，AB＝BC＝CD＝DA．∴NF＝AB，∴NF＝CB．∵EF垂直平分BP，∴∠2＝∠3，∠2+∠NEF＝90°．∵∠1+∠NEF＝90°，∴∠1＝∠2，在△BCP和△FNE中，∠2=∠1BC=FN∴△BCP≌△FNE（ASA），∴BP＝EF；故①正確；作BM⊥PG于M，GP⊥EP，∴BM∥EP，∠BMP＝∠BMG＝90°∴∠3＝∠5，∠BMP＝∠C．∴∠2＝∠5在△BPC和△BPM中∠C=∠BMP∠2=∠5∴△BPC≌△BPM（AAS），∴BC＝AB＝BM，∴以BA為半徑⊙B與GP相切．故③正確；在Rt△BMG和Rt△BAG中，BG=BGBM=AB∴Rt△BMG≌Rt△BAG（HL），∴∠6＝∠7．∵∠2+∠5+∠6+∠7＝90°，∴2∠5+2∠6＝90°，∴∠5+∠6＝45°即∠PBG＝45°．∴∠8＝45°．∴∠FHG＝45°故②正確；當(dāng)G為AD的中點(diǎn)時(shí)，設(shè)AG＝GD＝x，CP＝y(tǒng)，則GM＝x，PM＝y(tǒng)，PD＝2x﹣y，在Rt△PGD中由勾股定理，得（x+y）2＝x2+（2x﹣y）2，∴y=23即CP=2∴PD＝2x?23x=∴DP＝2CP故④正確．∴正確的有：①②③④．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了圓的綜合應(yīng)用以及垂直平分線的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定及性質(zhì)的而運(yùn)用、圓的切線的判定方法的運(yùn)用、勾股定理的性質(zhì)的運(yùn)用等知識(shí)，在解答中運(yùn)用作輔助線制造全等三角形是關(guān)鍵．5．如圖，AB是半圓O的直徑，射線AM、BN為半圓的切線．在AM上取一點(diǎn)C，連接BC交半圓于點(diǎn)D，連接AD．過O點(diǎn)作BC的垂線ON，與BN相交于點(diǎn)N．過C點(diǎn)作半圓的切線CE，切點(diǎn)為E，與BN相交于點(diǎn)F．當(dāng)C在AM上移動(dòng)時(shí)（A點(diǎn)除外），設(shè)BFBN=n，則A．n=12 B．0＜n≤34 C．1【分析】作FH⊥AC于H，如圖，設(shè)BN＝1，則BF＝n，半圓的半徑為r，根據(jù)切線的性質(zhì)得∠MAB＝∠NBA＝90°，易得四邊形ABFH為矩形，所以HF＝2r，AH＝BF＝n，再根據(jù)切線長(zhǎng)定理得到CE＝CA，F(xiàn)E＝FB＝n，設(shè)CA＝t，則CE＝t，CH＝t﹣AH＝t﹣n，在Rt△CHF中利用勾股定理得（t﹣n）2+（2r）2＝（t+n）2，解得t=r2n，接著證明Rt△BON∽R(shí)t△ACB，然后利用相似比得可計(jì)算出【解答】解：作FH⊥AC于H，如圖，設(shè)BN＝1，則BF＝n，半圓的半徑為r，∵AM、BN為半圓的切線，∴∠MAB＝∠NBA＝90°，∴四邊形ABFH為矩形，∴HF＝2r，AH＝BF＝n，∵CF切半圓于E點(diǎn)，∴CE＝CA，F(xiàn)E＝FB＝n，設(shè)CA＝t，則CE＝t，CH＝t﹣AH＝t﹣n，在Rt△CHF中，∵CH2+FH2＝CF2，∴（t﹣n）2+（2r）2＝（t+n）2，解得t=r∵AB是半圓O的直徑，∴∠ADB＝90°，∵ON⊥BD，∴AD∥ON，∴∠BON＝∠BAD，∵∠BAD+∠CAD＝90°，∠CAD+∠ACD＝90°，∴∠BAD＝∠ACD，∴∠BON＝∠ACB，∴Rt△BON∽R(shí)t△ACB，∴OBAC=BN∴n=1故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓的綜合題：熟練掌握?qǐng)A周角定理、切線的性質(zhì)和切線長(zhǎng)定理；會(huì)運(yùn)用相似比和勾股定理計(jì)算線段的長(zhǎng)．6．如圖，∠MAN＝45°，B、C為AN上的兩點(diǎn)，且AB＝BC＝2，D為射線AM上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過B、C、D三點(diǎn)作⊙O，則sin∠BDC的最大值為（）A．255 B．32 C．2【分析】當(dāng)⊙O與AM相切于D時(shí)，⊙O與AM有唯一的公共點(diǎn)，則∠BDC最大，此時(shí)sin∠BDC的最大，如圖，作BH⊥AD于H，可判斷△ABH為等腰直角三角形，則∠ADB＝45°，AH=22AB=2，再根據(jù)切割線定理得AD2＝AB?AC＝8，計(jì)算出AD＝22，于是可判斷BH為△ACD的中位線，則BH∥CD，所以CD⊥AM，得到∠BDC＝45°，于是有sin∠【解答】解：當(dāng)⊙O與AM相切于D時(shí)，∠BDC最大，此時(shí)sin∠BDC的最大，如圖，作BH⊥AD于H，∵∠A＝45°，∴△ABH為等腰直角三角形，∴∠ADB＝45°，AH=22AB∵AD為⊙O的切線，∴AD2＝AB?AC＝2（2+2）＝8，∴AD＝22，∴DH＝AH=2∴BH為△ACD的中位線，∴BH∥CD，∴CD⊥AM，∴∠ADC＝90°，∴∠BDC＝45°，∴sin∠BDC=2故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓的綜合題：熟練掌握切線的性質(zhì)、圓周角定理和等腰直角三角形的性質(zhì)；會(huì)利用勾股定理計(jì)算線段的長(zhǎng)．7．如圖，BD為⊙O的直徑，點(diǎn)A是弧BC的中點(diǎn)，AD交BC于E點(diǎn)，DF是⊙O的切線與BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，AE＝2，ED＝4，下列結(jié)論：①△ABE∽△ABD；②AB＝23；③tan∠ADB=33；④△DEF是正三角形；⑤弧AB的長(zhǎng)=A．2 B．3 C．4 D．5【分析】①由于A是弧BC的中點(diǎn)，故∠ADB＝∠ABC，再加上公共角∠A，即可證得所求的三角形相似．②根據(jù)△ABE∽△ADB，可知其對(duì)應(yīng)邊成比例，再由AE＝2，ED＝4即可求出答案．③由（1）的相似三角形所得比例線段，可求得AB的長(zhǎng)，進(jìn)而可在Rt△ABD中，求得∠ABD的正切值．④連接CD，由RT△BAD的邊可得∠ADB＝30°，再由點(diǎn)A是弧BC的中點(diǎn)，可得∠ADB＝∠EDC＝30°，從而得出∠CED＝60°；再利用DF是⊙O的切線，得出∠EDF＝60°，即可得出△DEF是正三角形．⑤由RT△BAD的邊角關(guān)系，可得出BD＝43，從而得出圓的半徑，由∠BOA＝60°，根據(jù)弧長(zhǎng)公式即可求解．【解答】證明：①∵點(diǎn)A是弧BC的中點(diǎn)，∴∠ABC＝∠ADB，又∵∠BAE＝∠BAE，∴△ABE∽△ADB．故①正確，②∵△ABE∽△ADB，∴ABAD∴AB2＝AD?AE＝（AE+ED）?AE＝（2+4）×2＝12，∴AB＝23．故②正確，③∵AB＝23，在Rt△ADB中，tan∠ADB=ABAD=④如圖，連接CD，則∠BCD＝90°；由AB＝23，AD＝6，∠BAD＝90°，得∠ADB＝30°，∵點(diǎn)A是弧BC的中點(diǎn)，∴∠ADB＝∠EDC＝30°，∴∠CED＝60°；∵DF是⊙O的切線，∴∠EDF＝60°，∴∠EFD＝60°，∴△DEF是正三角形；故④正確，⑤∵AB＝23，AD＝6，∠BAD＝90°，∴BD＝43，∴r＝23，∵∠BOA＝60°，∴l(xiāng)=60π×23180正確的個(gè)數(shù)為4個(gè)．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了圓的綜合題，涉及相似三角形的判定和性質(zhì)、圓周角定理、圓心角、弧的關(guān)系、等邊三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，難度適中．8．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線AB經(jīng)過點(diǎn)A（﹣4，0）、B（0，4），⊙O的半徑為1（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），點(diǎn)P在直線AB上，過點(diǎn)P作⊙O的一條切線PQ，Q為切點(diǎn)，則切線長(zhǎng)PQ的最小值為（）A．6 B．7 C．22 D．3【分析】連接OP．根據(jù)勾股定理知PQ2＝OP2﹣OQ2，當(dāng)OP⊥AB時(shí)，線段OP最短，即線段PQ最短．【解答】解：連接OP、OQ．∵PQ是⊙O的切線，∴OQ⊥PQ；根據(jù)勾股定理知PQ2＝OP2﹣OQ2，∵當(dāng)PO⊥AB時(shí)，線段PQ最短；又∵A（﹣4，0）、B（0，4），∴OA＝OB＝4，∴AB＝42∴OP=12AB＝2∴PQ=P故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的判定與性質(zhì)、坐標(biāo)與圖形性質(zhì)以及矩形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)．運(yùn)用切線的性質(zhì)來進(jìn)行計(jì)算或論證，常通過作輔助線連接圓心和切點(diǎn)，利用垂直構(gòu)造直角來解決有關(guān)問題．9．如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)E是AB上的一點(diǎn)，將△BCE沿CE折疊至△FCE，若CF，CE恰好與以正方形ABCD的中心為圓心的⊙O相切，則⊙O的半徑為（）A．1 B．2?1 C．3?1 【分析】連接AC交于點(diǎn)O，設(shè)EC與⊙O相切于點(diǎn)N，連接ON，由O為正方形的中心，得到∠DCO＝∠BCO，又CF與CE為圓O的切線，根據(jù)切線長(zhǎng)定理得到CO平分∠ECF，可得出∠DCF＝∠BCE，由折疊可得∠BCE＝∠FCE，再由正方形的內(nèi)角為直角，可得出∠ECB為30°，在直角三角形CON中，求出CO的長(zhǎng)，再利用sin∠OCN＝sin15°=1?cos30°2，即可得到【解答】解：連接AC交于點(diǎn)O，設(shè)EC與⊙O相切于點(diǎn)N，連接ON，∵O為正方形ABCD的中心，∴∠DCO＝∠BCO，又∵CF與CE都為圓O的切線，∴CO平分∠ECF，即∠FCO＝∠ECO，∴∠DCO﹣∠FCO＝∠BCO﹣∠ECO，即∠DCF＝∠BCE，又∵△BCE沿著CE折疊至△FCE，∴∠BCE＝∠ECF，∴∠BCE＝∠ECF＝∠DCF=13∠∴∠OCN＝15°，∵BC＝AB＝4，∴CO=12AC＝2∵sin∠OCN＝sin15°=1?cos30°∴ONCO即ON=2?32故選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了切線的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)以及折疊的性質(zhì)和銳角三角函數(shù)關(guān)系等知識(shí)，熟練掌握定理及性質(zhì)由半角公式求出半徑是解本題的關(guān)鍵．10．如圖，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都在⊙O上，AD、BE是△ABC的高，交于點(diǎn)H，BE的延長(zhǎng)線交⊙O于F，下列結(jié)論：①∠BAO＝∠CAD；②AO＝AH；③EH＝EF；④DH＝DC，其中正確的有（）個(gè)．A．1 B．2 C．3 D．4【分析】作OG⊥AB于G，連接OB、AF，如圖，OG⊥AB，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得∠5=12∠AOB，∠1+∠5＝90°，BG＝AG，再根據(jù)圓周角定理得∠C=12∠AOB，則∠5＝∠C，由于∠2+∠要證明AO＝AH，而∠1＝∠2，則要證明Rt△AGO≌Rt△AEH，所以要證明AG＝AE，即證明AE=12AG，而∠ABE不能確定為30°，所以不能證明AE=12AB，于是可對(duì)②進(jìn)行判斷；利用等角的余角相等得∠2＝∠4，再利用圓周角定理得到∠4＝∠3，則∠2＝∠3，加上AE⊥HF，根據(jù)等腰三角形的判定方法得到△AHF為等腰三角形，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)對(duì)③進(jìn)行判斷；要證明DH＝DC，由于∠2＝∠4，則要證明Rt△所以呀哦證明BD＝AD，由于不能確定∠ABD＝45°，不能確定BD＝AD，于是可對(duì)④進(jìn)行判斷．【解答】解：作OG⊥AB于G，連接OB、AF，如圖，∵OG⊥AB，∴∠5=12∠AOB，∠1+∠5＝90°，BG＝∵∠C=12∠∴∠5＝∠C，∵AD⊥BC，∴∠2+∠C＝90°，∴∠1＝∠2，所以①正確；∵BE⊥AC，而∠ABE不能確定為30°，∴AB≠2AE，而AB＝2AG，∴AG≠AE，而∠1＝∠2，∴不能判斷Rt△AGO和Rt△AEH全等，∴不能確定AO＝AH，所以②錯(cuò)誤；∵∠2+∠C＝90°，∠4+∠C＝90°，∴∠2＝∠4，而∠4＝∠3，∴∠2＝∠3，∵AE⊥HF，∴△AHF為等腰三角形，∴HE＝EF，所以③正確；由于不能確定∠ABD＝45°，∴不能確定BD＝AD∵∠2＝∠4，∴不能判斷Rt△ADC和Rt△BDH全等，∴不能確定DH＝CD，所以④錯(cuò)誤．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓的綜合題：熟練掌握垂徑定理、圓周角定理和等腰三角形的判定與性質(zhì)；靈活運(yùn)用三角形全等的判定與性質(zhì)；合理作輔助線是解題的關(guān)鍵．11．如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，CD⊥AB于P，交⊙O于D，E為AC的中點(diǎn)，EP交BD于F，⊙O的直徑為d．下列結(jié)論：①EF⊥BD；②AC2+BD2的值為定值；③OE=12BD；④AB?CD＝2S其中正確的個(gè)數(shù)是（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【分析】先利用PE為Rt△APC的斜邊上的中線得到PE＝CE，則∠ECP＝∠EPC，再根據(jù)對(duì)頂角相等得∠EPC＝∠DPF，根據(jù)圓周角相等得∠CAP＝∠CDB，于是有∠DPF+∠PDF＝∠ACP+∠CAP＝90°，則可對(duì)①進(jìn)行判斷；作PH⊥BD于H，連接OA、OC、OB、OD，如圖，利用等腰三角形的性質(zhì)和圓周角定理可得∠AOE＝∠ABC，∠DOH＝∠BCD，由于∠ABC+∠BCD＝90°，則∠AOE+∠DOH＝90°，然后根據(jù)等角的余角相等得到∠EAO＝∠DOH，于是可根據(jù)“AAS”證明△AOE≌△ODH，得到OE＝DH，再根據(jù)垂徑定理由OH⊥BD得到BH＝DH，所以O(shè)E=12BD，則可對(duì)在Rt△OAE中，利用勾股定理得AE2+OE2＝OA2，加上AE=12AC，OE=12BD，則AC2+BD2＝4OA利用S四邊形ADBC＝S△ABC+S△ABD和三角形面積公式可對(duì)④進(jìn)行判斷．【解答】解：∵CD⊥AB，∴∠APC＝90°，∵E為AC的中點(diǎn)，即PE為Rt△APC的斜邊上的中線，∴PE＝CE，∴∠ECP＝∠EPC，而∠EPC＝∠DPF，∠CAP＝∠CDB，∴∠DPF+∠PDF＝∠ACP+∠CAP＝90°，∴EF⊥BD，所以①正確；作PH⊥BD于H，連接OA、OC、OB、OD，如圖，∵E為AC的中點(diǎn)，∴OE⊥AC，∴∠AOE=12∠AOC，∠DOH=1∵∠ABC=12∠AOC，∠BCD=1∴∠AOE＝∠ABC，∠DOH＝∠BCD，而∠ABC+∠BCD＝90°，∴∠AOE+∠DOH＝90°，而∠AOE+∠EAO＝90°，∴∠EAO＝∠DOH，在△AOE和△ODH中，∠AEO=∠OHD∠EAO=∠HOD∴△AOE≌△ODH（AAS），∴OE＝DH，∵OH⊥BD，∴BH＝DH，∴OE=12BD，所以在Rt△OAE中，∵AE2+OE2＝OA2，而AE=12AC，OE=∴AC2+BD2＝4OA2，而OA為圓的半徑，為定值，∴AC2+BD2的值為定值，所以②正確；∵S四邊形ADBC＝S△ABC+S△ABD=12AB?CP+1=12AB（PC+=12AB?∴AB?CD＝2S四邊形ADBC，所以④正確．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓的綜合題：熟練掌握垂徑定理、圓周角定理和直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)；會(huì)運(yùn)用勾股定理和三角形面積公式計(jì)算；能運(yùn)用全等三角形的知識(shí)解決線段相等的問題．12．如圖，已知A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（﹣4，0）、（0，2），⊙C的圓心坐標(biāo)為（0，﹣2），半徑為2．若D是⊙C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，射線AD與y軸交于點(diǎn)E，當(dāng)△ABE的面積最大值時(shí)，△CDE的面積為（）A．1211 B．113 C．83【分析】當(dāng)射線AD與⊙C相切時(shí)，△ABE面積的最大．設(shè)EF＝x，由切割線定理表示出DE，可證明△CDE∽△AOE，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可求得x，然后求得△CDE面積．【解答】解：當(dāng)射線AD與⊙C相切時(shí)，△ABE面積的最大．如圖，連接AC．∵A點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣4，0），⊙C的圓心坐標(biāo)為（0，﹣2），半徑為2．∴AO＝4，OC＝2，即OC為⊙C的半徑，則AO與⊙C相切．∵AO、AD是⊙C的兩條切線，∴AD＝AO＝4．連接CD，設(shè)EF＝x，∴DE2＝EF?OE，∵CF＝2，∴DE=x(4+x)易證△CDE∽△AOE，則CDAO=CE解得x=43或∴S△CDE=12DE?CD=1故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題是一個(gè)動(dòng)點(diǎn)問題，考查了圓的綜合題，解題時(shí)，涉及到了切線的性質(zhì)和三角形面積的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是確定當(dāng)射線AD與⊙C相切時(shí)，△ABE面積的最大．二．填空題13．已知：如圖，AB＝BC，∠ABC＝90°，以AB為直徑的⊙O交OC于點(diǎn)D，AD的延長(zhǎng)線交BC于點(diǎn)E，過D作⊙O的切線交BC于點(diǎn)F．下列結(jié)論：①CD2＝CE?CB；②4EF2＝ED?EA；③∠OCB＝∠EAB；④DF=12CD．其中正確的結(jié)論有①②④【分析】先連接BD，利用相似三角形的判定以及切線的性質(zhì)定理得出DF＝FB，進(jìn)而分別得出△CDE∽△CBD以及△CDF∽△CBO，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)分別分析即可得出答案．【解答】解：①連接BD，∵AB為直徑，∴∠ADB＝90°，∴∠DBE+∠3＝90°，∵∠ABC＝90°，∴∠1+∠DBE＝90°，∴∠1＝∠3，又∵DO＝BO，∴∠1＝∠2，∴∠2＝∠3，∴∠CDB＝∠CED，∵∠DCB＝∠ECD，∴△CDE∽△CBD，∴CD2＝CE?CB，故①CD2＝CE?CB正確；②∵過D作⊙O的切線交BC于點(diǎn)F，∴FD是⊙O的切線，∵∠ABC＝90°，∴CB是⊙O的切線，∴FB＝DF，∴∠FDB＝∠FBD，∴∠1＝∠FDE，∴∠FDE＝∠3，∴DF＝EF，∴EF＝FB，∴EB＝2EF，∵在Rt△ABE中，BD⊥AE，∴EB2＝ED?EA，∴4EF2＝ED?EA，故②4EF2＝ED?EA正確；③∵AO＝DO，∴∠OAD＝∠ADO，假設(shè)③∠OCB＝∠EAB成立，則∠OCB=12∠∴∠OCB＝30°，而BOBC=BO故③∠OCB＝∠EAB不成立，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；④∵∠CDF＝∠CBO＝90°，∠DCF＝∠OCB，∴△CDF∽△CBO，∴DFBO∴DFCD∵AB＝BC，∴DFCD∴DF=12CD；故④DF=綜上正確的有①、②、④．故答案為：①②④．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了圓的切線性質(zhì)與判定、圓周角定理性質(zhì)及三角形相似的判定等知識(shí)，熟練根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出對(duì)應(yīng)邊之間關(guān)系是解題關(guān)鍵．14．如圖，AB為半圓直徑，AC⊥AB，BF⊥AB，BF＝2，AB＝3，CA＝4，連接AF交半圓于D，連接CD，作DE⊥CD交直徑AB于E，則tan∠ACE＝112【分析】首先利用圓周角定理得出∠ADB＝90°，進(jìn)而得出△ADB∽△ABF，求出BFAB=BDAD=23，再利用已知得出∠1＝∠2，即可得出△ACD∽BED，進(jìn)而求出BD【解答】解：連接BD，∵AB為半圓直徑，∴∠ADB＝90°，∵BF⊥AB，∴∠ABF＝90°，∵∠BAF＝∠DAB，∴△ADB∽△ABF，∴BFAB∵BF＝2，AB＝3，∴BFAB∵AB為半圓直徑，AC⊥AB，∴∠4+∠FAB＝90°，∵∠3+∠DAB＝90°，∴∠3＝∠4，∵∠1+∠ADE＝90°，∠2+∠ADE＝90°，∴∠1＝∠2，∴△ACD∽BED，∴BDAD∵AC＝4，∴BE=8∴AE＝3?8∴tan∠ACE=1故答案為：112【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了圓的綜合應(yīng)用以及圓周角定理和相似三角形的判定與性質(zhì)，在綜合題中經(jīng)常利用相似性解決有關(guān)圓的問題，同學(xué)們應(yīng)有意識(shí)嘗試應(yīng)用．15．在四邊形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠ABC＝45°，點(diǎn)E為對(duì)角線BD的中點(diǎn)，連接AE并延長(zhǎng)交線段BC于點(diǎn)F，AE＝25，BF＝3，則AD的長(zhǎng)為22．【分析】由于∠BAD＝∠BCD＝90°，點(diǎn)E為對(duì)角線BD的中點(diǎn)，根據(jù)圓周角定理的推論得點(diǎn)A和點(diǎn)C在以點(diǎn)E為圓心，BD為直徑的圓上，如圖，所以BD＝2AE＝45，連接EC、AC，作CH⊥AD于H，再根據(jù)圓周角定理得到∠AEC＝2∠ABC＝90°，可判斷△EAC為等腰直角三角形，所以AC=2AE＝210，∠EAC＝45°，然后證明△CAF∽△CBA，利用相似比得210：（3+CF）＝CF：210，可求得CF＝5，則BC＝CF+BF＝8；在Rt△ADC中，根據(jù)勾股定理計(jì)算出CD＝4，接著根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得∠CDH＝∠ABC＝45°，則△CDH為等腰直角三角形，則CH＝DH=22CD＝22，于是可在Rt△AHC中，利用勾股定理計(jì)算出AH＝42，所以AD＝AH﹣DH【解答】解：∵∠BAD＝∠BCD＝90°，點(diǎn)E為對(duì)角線BD的中點(diǎn)，∴點(diǎn)A和點(diǎn)C在以點(diǎn)E為圓心，BD為直徑的圓上，如圖，則BD＝2AE＝45，連接EC、AC，作CH⊥AD于H，∵∠AEC＝2∠ABC＝90°，∴△EAC為等腰直角三角形，∴AC=2AE=2?25=210∴∠CAF＝∠CBA，而∠ACF＝∠BCA，∴△CAF∽△CBA，∴CA：CB＝CF：CA，即210：（3+CF）＝CF：210，整理得CF2+3CF﹣40＝0，解得CF＝5或CF＝﹣8（舍去），∴BC＝CF+BF＝8，在Rt△ADC中，CD=B∵∠CDH＝∠ABC＝45°，∴△CDH為等腰直角三角形，∴CH＝DH=22CD=2在Rt△AHC中，AH=AC2∴AD＝AH﹣DH＝42?22=2故答案為22．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓的綜合題：熟練掌握?qǐng)A周角定理、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)和等腰直角三角形的性質(zhì)；會(huì)運(yùn)用勾股定理和相似比進(jìn)行幾何計(jì)算．16．如圖，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BC=42，點(diǎn)D是AC邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接BD，以AD為直徑的圓交BD于點(diǎn)E，則線段CE長(zhǎng)度的最小值為25?【分析】連接AE，如圖1，先根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到AB＝AC＝4，再根據(jù)圓周角定理，由AD為直徑得到∠AED＝90°，接著由∠AEB＝90°得到點(diǎn)E在以AB為直徑的⊙O上，于是當(dāng)點(diǎn)O、E、C共線時(shí)，CE最小，如圖2，在Rt△AOC中利用勾股定理計(jì)算出OC＝25，從而得到CE的最小值為25?【解答】解：連接AE，如圖1，∵∠BAC＝90°，AB＝AC，BC=42∴AB＝AC＝4，∵AD為直徑，∴∠AED＝90°，∴∠AEB＝90°，∴點(diǎn)E在以AB為直徑的⊙O上，∵⊙O的半徑為2，∴當(dāng)點(diǎn)O、E、C共線時(shí)，CE最小，如圖2，在Rt△AOC中，∵OA＝2，AC＝4，∴OC=OA2∴CE＝OC﹣OE＝25?即線段CE長(zhǎng)度的最小值為25?故答案為25?【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓的綜合題：熟練掌握?qǐng)A周角定理和等腰直角三角形的性質(zhì)；會(huì)利用勾股定理計(jì)算線段的長(zhǎng)．解決本題的關(guān)鍵是確定E點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，從而把問題轉(zhuǎn)化為圓外一點(diǎn)到圓上一點(diǎn)的最短距離問題．17．如圖，已知直線y＝x+4與兩坐標(biāo)軸分別交于A、B兩點(diǎn)，⊙C的圓心坐標(biāo)為（2，0），半徑為2，若D是⊙C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，線段DA與y軸交于點(diǎn)E，則△ABE面積的最小值和最大值分別是8﹣22和8+22．【分析】求出OA、OB值，根據(jù)已知求出BE的最大值和最小值即可，過A作⊙C的兩條切線，連接OD′，OD，求出AC，根據(jù)切線性質(zhì)設(shè)E′O＝E′D′＝x，根據(jù)sin∠CAD′=OE'AE'，代入求出x，即可求出【解答】解：y＝x+4，∵當(dāng)x＝0時(shí)，y＝4，當(dāng)y＝0時(shí)，x＝﹣4，∴OA＝4，OB＝4，∵△ABE的邊BE上的高是OA，∴△ABE的邊BE上的高是4，∴要使△ABE的面積最大或最小，只要BE取最大值或最小值即可，過A作⊙C的兩條切線，如圖，當(dāng)在D點(diǎn)時(shí)，BE最小，即△ABE面積最??；當(dāng)在D′點(diǎn)時(shí)，BE最大，即△ABE面積最大；∵x軸⊥y軸，OC為半徑，∴EE′是⊙C切線，∵AD′是⊙C切線，∴OE′＝E′D′，設(shè)E′O＝E′D′＝x，∵AC＝4+2＝6，CD′＝2，AD′是切線，∴∠AD′C＝90°，由勾股定理得：AD′＝42，∴sin∠CAD′=D'C∴26解得：x=2∴BE′＝4+2，BE＝4?∴△ABE的最小值是12×（4?2最大值是：12×（4+2故答案為：8﹣22和8+22．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的性質(zhì)和判定，三角形的面積，銳角三角函數(shù)的定義等知識(shí)點(diǎn)，解此題的關(guān)鍵是找出符合條件的D的位置，題目比較好，有一定的難度．18．如圖，點(diǎn)C在以AB為直徑的半圓上，AB＝8，∠CBA＝30°，點(diǎn)D在線段AB上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)E與點(diǎn)D關(guān)于AC對(duì)稱，DF⊥DE于點(diǎn)D，并交EC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．下列結(jié)論：①CE＝CF；②線段EF的最小值為23；③當(dāng)AD＝2時(shí)，EF與半圓相切；④若點(diǎn)F恰好落在弧BC上，則AD＝25；⑤當(dāng)點(diǎn)D從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，線段EF掃過的面積是163．其中正確結(jié)論的序號(hào)是①③⑤．【分析】（1）由點(diǎn)E與點(diǎn)D關(guān)于AC對(duì)稱可得CE＝CD，再根據(jù)DF⊥DE即可證到CE＝CF．（2）根據(jù)“點(diǎn)到直線之間，垂線段最短”可得CD⊥AB時(shí)CD最小，由于EF＝2CD，求出CD的最小值就可求出EF的最小值．（3）連接OC，易證△AOC是等邊三角形，AD＝OD，根據(jù)等腰三角形的“三線合一”可求出∠ACD，進(jìn)而可求出∠ECO＝90°，從而得到EF與半圓相切．（4）利用相似三角形的判定與性質(zhì)可證到△DBF是等邊三角形，只需求出BF就可求出DB，進(jìn)而求出AD長(zhǎng)．（5）首先根據(jù)對(duì)稱性確定線段EF掃過的圖形，然后探究出該圖形與△ABC的關(guān)系，就可求出線段EF掃過的面積．【解答】解：①連接CD，如圖1所示．∵點(diǎn)E與點(diǎn)D關(guān)于AC對(duì)稱，∴CE＝CD，∴∠E＝∠CDE，∵DF⊥DE，∴∠EDF＝90°，∴∠E+∠F＝90°，∠CDE+∠CDF＝90°，∴∠F＝∠CDF，∴CD＝CF，∴CE＝CD＝CF，∴結(jié)論“CE＝CF”正確；②當(dāng)CD⊥AB時(shí)，如圖2所示；∵AB是半圓的直徑，∴∠ACB＝90°，∵AB＝8，∠CBA＝30°，∴∠CAB＝60°，AC＝4，BC＝43．∵CD⊥AB，∠CBA＝30°，∴CD=12BC＝2根據(jù)“點(diǎn)到直線之間，垂線段最短”可得：點(diǎn)D在線段AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，CD的最小值為23，∵CE＝CD＝CF，∴EF＝2CD，∴線段EF的最小值為43，∴結(jié)論“線段EF的最小值為23”錯(cuò)誤．③當(dāng)AD＝2時(shí)，連接OC，如圖3所示．∵OA＝OC，∠CAB＝60°，∴△OAC是等邊三角形，∴CA＝CO，∠ACO＝60°，∵AO＝4，AD＝2，∴DO＝2，∴AD＝DO，∴∠ACD＝∠OCD＝30°，∵點(diǎn)E與點(diǎn)D關(guān)于AC對(duì)稱，∴∠ECA＝∠DCA，∴∠ECA＝30°，∴∠ECO＝90°，∴OC⊥EF，∵EF經(jīng)過半徑OC的外端，且OC⊥EF，∴EF與半圓相切，∴結(jié)論“EF與半圓相切”正確；④當(dāng)點(diǎn)F恰好落在BC上時(shí)，連接FB、AF，如圖4所示，∵點(diǎn)E與點(diǎn)D關(guān)于AC對(duì)稱，∴ED⊥AC，∴∠AGD＝90°，∴∠AGD＝∠ACB，∴ED∥BC，∴△FHC∽△FDE，∴FHFD∵FC=12∴FH=12∴FH＝DH，∵DE∥BC，∴∠FHC＝∠FDE＝90°，∴BF＝BD，∴∠FBH＝∠DBH＝30°，∴∠FBD＝60°，∵AB是半圓的直徑，∴∠AFB＝90°，∴∠FAB＝30°，∴FB=12∴DB＝4，∴AD＝AB﹣DB＝4，∴結(jié)論“AD＝25”錯(cuò)誤；⑤∵點(diǎn)D與點(diǎn)E關(guān)于AC對(duì)稱，點(diǎn)D與點(diǎn)F關(guān)于BC對(duì)稱，∴當(dāng)點(diǎn)D從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)路徑AM與AB關(guān)于AC對(duì)稱，點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)路徑NB與AB關(guān)于BC對(duì)稱，∴EF掃過的圖形就是圖5中陰影部分，∴S陰影＝2S△ABC＝2×12AC＝AC?BC＝4×43＝163，∴EF掃過的面積為163，∴結(jié)論“EF掃過的面積為163”正確，故答案為：①③⑤．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)、平行線的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、切線的判定、軸對(duì)稱的性質(zhì)、含30°角的直角三角形、垂線段最短等知識(shí)，綜合性強(qiáng)，有一定的難度．19．如圖，平面直角坐標(biāo)系中，分別以點(diǎn)A（﹣2，3），B（3，4）為圓心，以1、2為半徑作⊙A、⊙B，M、N分別是⊙A、⊙B上的動(dòng)點(diǎn)，P為x軸上的動(dòng)點(diǎn)，則PM+PN的最小值等于74?3【分析】作⊙A關(guān)于x軸的對(duì)稱⊙A′，連接BA′分別交⊙A′和⊙B于M、N，交x軸于P，如圖，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短得到此時(shí)PM+PN最小，再利用對(duì)稱確定A′的坐標(biāo)，接著利用兩點(diǎn)間的距離公式計(jì)算出A′B的長(zhǎng)，然后用A′B的長(zhǎng)減去兩個(gè)圓的半徑即可得到MN的長(zhǎng)，即得到PM+PN的最小值．【解答】解：作⊙A關(guān)于x軸的對(duì)稱⊙A′，連接BA′分別交⊙A′和⊙B于M、N，交x軸于P，如圖，則此時(shí)PM+PN最小，∵點(diǎn)A坐標(biāo)（﹣2，3），∴點(diǎn)A′坐標(biāo)（﹣2，﹣3），∵點(diǎn)B（3，4），∴A′B=(3+2∴MN＝A′B﹣BN﹣A′M=74?2﹣1∴PM+PN的最小值為74?故答案為74?【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓的綜合題：掌握與圓有關(guān)的性質(zhì)和關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征；會(huì)利用兩點(diǎn)之間線段最短解決線段和的最小值問題；會(huì)運(yùn)用兩點(diǎn)間的距離公式計(jì)算線段的長(zhǎng)；理解坐標(biāo)與圖形性質(zhì)．20．如圖，在平行四邊形ABCD中，以對(duì)角線AC為直徑的⊙O分別交BC，CD于M，N．若AB＝13，BC＝14，CM＝9，則MN的長(zhǎng)度為18013【分析】連接AM，AN，根據(jù)圓周角定理可知△ABM是直角三角形，利用勾股定理即可求出AC的長(zhǎng)；易證△AMN∽△ACD，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求出MN的長(zhǎng)．【解答】解：連接AM，AN，∵AC是⊙O的直徑，∴∠AMC＝90°，∠ANC＝90°，∵AB＝13，BM＝5，∴AM=A∵CM＝9，∴AC＝15，∵∠MCA＝∠MNA，∠MCA＝∠CAD，∴∠MNA＝∠CAD，∵∠AMN＝∠ACN，∴∠AMN＝∠ACN，∵△NMA∽△ACD，∴AM：MN＝CD：AC，∴12：MN＝13：15，∴MN=180故答案為：18013【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓周角定理運(yùn)用、勾股定理的運(yùn)用、相似三角形的判定和性質(zhì)，題目的綜合性較強(qiáng)，難度中等，解題的關(guān)鍵是添加輔助線構(gòu)造相似三角形．21．如圖，AB＝4，O為AB的中點(diǎn)，⊙O的半徑為1，點(diǎn)P是⊙O上一動(dòng)點(diǎn)，以PB為直角邊的等腰直角三角形PBC（點(diǎn)P、B、C按逆時(shí)針方向排列），則線段AC的長(zhǎng)的取值范圍為2≤AC≤32【分析】如圖，作OK⊥AB，在OK上截取OK＝OA＝OB，連接AK、BK、KC、OP．首先證明△OBP∽△KBC，得KCOP=BCPB=2，由OP＝1，推出KC=2【解答】解：如圖，作OK⊥AB，在OK上截取OK＝OA＝OB，連接AK、BK、KC、OP．∵OK＝OA＝OB，OK⊥AB，∴KA＝KB，∠AKB＝90°，∴△AKB是等腰直角三角形，∵∠OBK＝∠PBC，∴∠OBP＝∠KBC，∵OBBK∴△OBP∽△KBC，∴KCOP=BC∴KC=2∴點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)軌跡是以點(diǎn)K為圓心，KC為半徑的圓，AK=2OA＝22∴AC的最大值為32，AC的最小值2，∴2≤AC≤32故答案為2≤AC≤3【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓綜合題、相似三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加輔助線，構(gòu)造相似三角形解決問題，解題的突破點(diǎn)是發(fā)現(xiàn)點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)軌跡是以點(diǎn)K為圓心，KC為半徑的圓，所以中考填空題中的壓軸題．22．如圖，在⊙O中，AB是直徑，CD是弦，AB⊥CD于點(diǎn)H，DC＝AH，連接AD、AC，點(diǎn)F在弦AE上，連接DF、CF，∠DFE＝∠CAH，∠CFE＝∠CAD，CH=37，則AF長(zhǎng)為5【分析】先用垂徑定理得出CD，進(jìn)而用勾股定理求出AD，AC，再用已知角推導(dǎo)出∠FCE＝∠AEC，即可得出FE＝FC，進(jìn)而判斷出△FDE≌△FGE（ASA）即可得出DE＝EG=12CE，再用角平分線定理求出CM，DM即可得出MH，進(jìn)而利用勾股定理求出AM，再用△ADM∽△AED求出DE，最后用△DEC∽△AFC得出比例式即可求出【解答】解：如圖，∵AB是直徑，CD是弦，AB⊥CD，∴DH＝CH=12∵DC＝AH，∴AH＝CD＝2CH＝237，在Rt△ACH中，AD＝AC=AH2連接DE，CE，過點(diǎn)F作FG⊥CE，∵AB是直徑，CD是弦，AB⊥CD，∴∠ADC＝∠ACD，∠BAD＝∠BAC=12∠∵∠CFE＝∠CAD，∠ADC＝∠AEC，∴∠ACD＝∠FCE，∵∠ADC＝∠ACD，∴∠FCE＝∠AEC，∴FE＝FC，∵FG⊥CE，∴EG＝CG=12EC，∠EFG＝∠CFG=12∠EFC=1∵∠DFE＝∠CAH，∴∠EFG＝∠DEF，∵∠AED＝∠ACD＝∠ADC＝∠AEC，在△FDE和△FGE中，∠AED=∠AECEF=EF∴△FDE≌△FGE（ASA），∴DE＝EG=12∵∠AED＝∠AEC，∴DEEC∴CM＝2DM，∵CD＝2CD＝237=DM+CM＝3DM∴DM=2CM=4∴MH＝CM﹣CH=37在Rt△AHM中，AM=A∵∠ADM＝∠AED，∠DAM＝∠EAD，∴△ADM∽△AED，∴DMDE∴237∴DE＝25，∵點(diǎn)A，D，E，C四點(diǎn)共圓，∴∠DEC+∠CAD＝180°，∵∠CAD＝∠EFC，∴∠DEC+∠EFC＝180°，∵∠AFC+∠EFC＝180°，∴∠DEC＝∠AFC，∴∠CDE＝∠CAF，∴△DEC∽△AFC，∴DEAF∴AF=DE?AC故答案為5．【點(diǎn)評(píng)】此題是圓的綜合題，主要考查了垂徑定理，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，角平分線定理等知識(shí)點(diǎn)；判斷出FE＝FC和CE＝2DE是解本題的關(guān)鍵，求出DE是解本題的突破口；此題還可以拓展：如判斷點(diǎn)O在CE的垂直平分線上，DF與DE垂直等．三．解答題23．⊙O經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，且與x軸交于點(diǎn)A、DC⊥x軸于點(diǎn)C，且與⊙D交于點(diǎn)B，已知⊙D的半徑為23，∠ODA＝120°．（1）求B點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）求經(jīng)過O、B、A三點(diǎn)的拋物線的解析式；（3）在拋物線上是否存在一點(diǎn)P，使△PAO和△OBA相似？若有，求出P點(diǎn)坐標(biāo)；不存在，說明理由．【分析】（1）根據(jù)垂徑定理．由DC⊥OA得到OC＝AC，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)由DA＝DO，∠ODA＝120°得到∠DOC＝30°，則可計(jì)算出DC=12OD=3，OC=3DC＝3，所以CB＝DB﹣DC=3（2）由于OC＝AC＝3，則A點(diǎn)坐標(biāo)為（6，0），設(shè)交點(diǎn)式，利用待定系數(shù)法求出經(jīng)過O、B、A三點(diǎn)的拋物線的解析式；（3）先證明△DOB和△DAB都是等邊三角形，則BO＝BA，∠ABO＝120°，所以∠BOA＝∠BAO＝30°，若△PAO和△OBA相似，則∠PAO＝∠ABO＝120°，∠POA＝∠BOA＝30°，作PH⊥x軸于H，如圖，可計(jì)算出∠PAH＝60°，在Rt△PAH中利用∠APH＝30°，AP＝AO＝6可計(jì)算出AH=12PA＝3，PH=3AH＝33，則P然后利用拋物線的對(duì)稱性點(diǎn)（﹣3，33）也滿足要求，于是得到滿足條件的P點(diǎn)坐標(biāo)為（9，33）或（﹣3，33）．【解答】解：（1）∵DC⊥OA，∴OC＝AC，∵DA＝DO，∠ODA＝120°，∴∠DOC＝30°，在Rt△ODC中，∵OD＝23，∴DC=12OD∴OC=3DC∴CB＝DB﹣DC＝23?∴B點(diǎn)坐標(biāo)為（3，?3（2）∵OC＝AC＝3，∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（6，0），設(shè)經(jīng)過O、B、A三點(diǎn)的拋物線的解析式為y＝ax（x﹣6），把B（3，?3）代入得a?3?（3﹣6）=?3，解得a∴經(jīng)過O、B、A三點(diǎn)的拋物線的解析式為y=39x（x﹣6）=39x（3）存在．∵∠ODB＝∠ADB＝60°，∴△DOB和△DAB都是等邊三角形，∴BO＝BA，∠ABO＝60°+60°＝120°，∴∠BOA＝∠BAO＝30°，∵△PAO和△OBA相似，∴∠PAO＝∠ABO＝120°，∠POA＝∠BOA＝30°，作PH⊥x軸于H，如圖，∵∠PAO＝120°，∴∠PAH＝60°，在Rt△PAH中，∵∠APH＝30°，AP＝AO＝6，∴AH=12PA＝3，PH=3AH∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（9，33）點(diǎn)（9，33）關(guān)于直線x＝3的對(duì)稱點(diǎn)（﹣3，33）也滿足要求，∴滿足條件的P點(diǎn)坐標(biāo)為（9，33）或（﹣3，33）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓的綜合題：熟練掌握垂徑定理、等腰三角形的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)；會(huì)利用待定系數(shù)法求拋物線解析式；記住含30度的直角三角形三邊的關(guān)系；理解坐標(biāo)與圖形性質(zhì)．24．如圖，已知拋物線y＝ax2+bx﹣3與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)的圓的圓心M（1，m）恰好在此拋物線的對(duì)稱軸上，⊙M的半徑為5．設(shè)⊙M與y軸交于點(diǎn)D，拋物線的頂點(diǎn)為點(diǎn)E．（1）求m的值及拋物線的解析式；（2）求證：△BDO∽△BCE；（3）探究坐標(biāo)軸上是否存在點(diǎn)P，使得以點(diǎn)P、A、C為頂點(diǎn)的三角形與△BCE相似？若存在，請(qǐng)指出點(diǎn)P的位置，并直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【分析】（1）先求出C（0，﹣3），根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式，由MC=5得到（1﹣0）2+（m+3）2＝5，解得m1＝﹣1，m2＝﹣5，設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)為（t，0），再根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式，當(dāng)m＝﹣1時(shí)，（t﹣1）2+（0+1）2＝5，解得t1＝﹣1，t2＝3，則A（﹣1，0），B（3，0）；當(dāng)m＝﹣5時(shí)，（t﹣1）2+（0﹣5）2＝5，解得t1＝t2于是可設(shè)交點(diǎn)式y(tǒng)＝a（x+1）（x﹣3），然后把（0，﹣3）代入求出a＝1，于是得到拋物線解析式為y＝x2﹣2x﹣3；（2）作MH⊥CD于H，如圖，根據(jù)垂徑定理得到CH＝DH，利用C（0，﹣3），H（﹣1，0）得到DH＝2，則D（0，1），再利用配方法得到y(tǒng)＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，所以E（1，﹣4），接著根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式計(jì)算出CE=2，BE＝25，BC＝32，則CE2+BC2＝BE2，根據(jù)勾股定理的逆定理得△BCE為直角三角形，∠BCE＝90°，然后根據(jù)相似三角形的判定方法可得△BDO∽△BCE（3）由于以P、A、C為頂點(diǎn)的三角形與△BCE相似，利用△BCE的特征得到△PAC為直角三角形，且兩直角邊的比為1：3，然后分類討論：當(dāng)∠APC＝90°時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)O重合，得到P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，0）；當(dāng)∠PAC＝90°時(shí)，作AP1⊥AC交y軸于P1，如圖，證明Rt△AOP1∽R(shí)t△COA，利用相似比計(jì)算出OP1，得到P1的坐標(biāo)；當(dāng)∠ACP＝90°時(shí)，作CP2⊥AC交y軸于P2，如圖，證明Rt△COP2∽R(shí)t△AOC利用相似比計(jì)算出OP2，得到P2的坐標(biāo)．【解答】解：（1）當(dāng)x＝0時(shí)，y＝ax2+bx﹣3＝﹣3，則C（0，﹣3），∵M(jìn)C=5∴（1﹣0）2+（m+3）2＝5，解得m1＝﹣1，m2＝﹣5，設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)為（t，0），而MA=當(dāng)m＝﹣1時(shí)，（t﹣1）2+（0+1）2＝5，解得t1＝﹣1，t2＝3，則A（﹣1，0），B（3，0）；當(dāng)m＝﹣5時(shí)，（t﹣1）2+（0﹣5）2＝5，解得t1＝t2＝1，不合題意舍去；∴拋物線解析式為y＝a（x+1）（x﹣3），把（0，﹣3）代入得a?1?（﹣3）＝﹣3，解得a＝1，∴拋物線解析式為y＝（x+1）（x﹣3）＝x2﹣2x﹣3；（2）作MH⊥CD于H，如圖，∴CH＝DH，∵C（0，﹣3），H（﹣1，0），∴CH＝2，∴DH＝2，∴OD＝DH﹣OH＝1，∴D（0，1），∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴E（1，﹣4），∴CE=12+(?4+3)2=而BC=32+∴CE2+BC2＝BE2，∴△BCE為直角三角形，∠BCE＝90°，∵OBBC=3∴OBBC∴△BDO∽△BCE；（3）存在．∵以P、A、C為頂點(diǎn)的三角形與△BCE相似，∴△PAC為直角三角形，且兩直角邊的比為1：3，當(dāng)∠APC＝90°時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)O重合，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，0）；當(dāng)∠PAC＝90°時(shí)，作AP1⊥AC交y軸于P1，如圖，∵∠P1AO+∠CAO＝90°，∠P1AO+∠AP1O＝90°，∴∠CAO＝∠AP1O，∴Rt△AOP1∽R(shí)t△COA∴OA2＝OP1?OC，∴OP1=1∴P1的坐標(biāo)為（0，13當(dāng)∠ACP＝90°時(shí)，作CP2⊥AC交y軸于P2，如圖，同樣可證明Rt△COP2∽R(shí)t△AOC得到OC2＝OP2?OA，∴OP2＝9，∴P2的坐標(biāo)為（9，0），綜上所述，滿足條件的P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，0），（0，13【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓的綜合題：熟練掌握?qǐng)A的定義、垂徑定理和相似三角形的判定與性質(zhì)；會(huì)利用兩點(diǎn)間的距離公式計(jì)算線段的長(zhǎng)．25．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中圓O1的圓心在x軸上，直徑OA＝2，直線OB交圓O1于B，且∠BOA＝15°（1）求直線OB的解析式；（2）求經(jīng)過O、A、B三點(diǎn)的拋物線y＝ax2+bx+c的表達(dá)式；（3）動(dòng)點(diǎn)Q從A點(diǎn)出發(fā)順時(shí)針在半圓AQO上運(yùn)動(dòng)，速度為π9長(zhǎng)/秒，直線BQ交x軸于P，問經(jīng)過多長(zhǎng)時(shí)間PQ【分析】（1）連接BO1，可知∠BO1A＝30°，過B作BC⊥OA于點(diǎn)C，可求得BC=12，O1C=32，可求出OC，從而可得出（2）可求出O、A點(diǎn)的坐標(biāo)，可利用兩點(diǎn)式，再把B點(diǎn)的坐標(biāo)代入可求出拋物線的表達(dá)式；（3）因?yàn)榘霃綖?，當(dāng)PQ＝1時(shí)，則可知BQ過點(diǎn)P，此時(shí)∠PO1Q＝150°，可求得弧AQ的長(zhǎng)，再利用速度可求得時(shí)間．【解答】解：（1）如圖1，連接BO1，∴∠BOA＝15°，∴∠BO1A＝2∠BOA＝30°，過B作BC⊥OA于點(diǎn)C，∵OA＝1，∴O1B＝1，在Rt△O1BC中可求得BC=12，O1C∴OC＝1+3∴B點(diǎn)坐標(biāo)為（1+32，設(shè)直線OB解析式為y＝kx，則有12=（1+32）k，解得∴直線OB的解析式為y＝（2?3）x（2）∵OA＝2，∴A（2，0），且O（0，0），設(shè)拋物線的解析式為y＝ax（x﹣2），把B點(diǎn)坐標(biāo)代入可得12=a（32+1）（∴拋物線解析式為y＝﹣2x（x﹣2），即y＝﹣2x2+4x；（3）∵圓的半徑為1，如圖2，當(dāng)P點(diǎn)在O1右側(cè)時(shí)，∠PO1Q為銳角，此時(shí)PQ＜O1Q，當(dāng)P點(diǎn)在O1左側(cè)時(shí)，∠PO1Q為銳角，此時(shí)PQ＜O1Q，∴只有當(dāng)點(diǎn)P在O1時(shí)，PQ＝O1Q＝1，即BQ過O1點(diǎn)，此時(shí)∠QO1A＝180°﹣∠AO1B＝150°，∴AQ的長(zhǎng)為：150π180又∵Q點(diǎn)的速度為π9∴Q點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為：5π6即當(dāng)時(shí)間為7.5秒時(shí)，PQ的長(zhǎng)為1．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查待定系數(shù)法求函數(shù)解析式和圓周角定理、弧長(zhǎng)的計(jì)算等知識(shí)的綜合應(yīng)用，掌握待定系數(shù)法是求函數(shù)解析的常用方法，在（1）（2）中求出B點(diǎn)的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵；在（3）中確定出直線BQ的位置是解題的關(guān)鍵．26．如圖，點(diǎn)I是△ABC的內(nèi)心，線段AI的延長(zhǎng)線交△ABC的外接圓于點(diǎn)D、BC于點(diǎn)E．（1）求證：BD＝ID；（2）若ID＝4，AD＝8，求DE的長(zhǎng)；（3）延長(zhǎng)ID至點(diǎn)F，使DF＝ID．連接BF，求證：BF⊥BI．【分析】（1）要證明ID＝BD，只要求得∠BID＝∠IBD即可；（2）根據(jù)已知及相似三角形的判定方法得到△ABD∽△BED，由相似三角形的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)邊的比值相等即可求出DE的長(zhǎng)；（3）由（1）可知ID＝BD，所以BD＝ID＝DF，即BD=12ID，所以三角形BFI是直角三角形，進(jìn)而可證明BF⊥【解答】（1）證明：∵點(diǎn)I是△ABC的內(nèi)心，∴∠BAD＝∠CAD，∠ABI＝∠CBI，∵∠CBD＝∠CAD，∴∠BAD＝∠CBD，∴∠BID＝∠ABI+∠BAD，∴∠ABI＝∠CBI，∠BAD＝∠CAD＝∠CBD，∵∠IBD＝∠CBI+∠CBD，∴∠BID＝∠IBD，∴ID＝BD；（2）解：∵∠BAD＝∠CBD＝∠EBD，∠D＝∠D，∴△ABD∽△BED，∴BD：DE＝AD：BD，∵ID＝BD＝4，AD＝8，∴4：DE＝8：4，∴DE＝2；（3）∵ID＝BD，DF＝ID，∴BD＝ID＝DF，即BD=12∴△BFI是直角三角形，∴BF⊥BI．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的內(nèi)心的性質(zhì)，以及等腰三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形的判定和性質(zhì)，證明△ABD∽△BED是解題關(guān)鍵．27．如圖，⊙M經(jīng)過O點(diǎn)，并且與x軸、y軸分別交與A、B兩點(diǎn)，線段OA，OB（OA＞OB）的長(zhǎng)時(shí)方程x2﹣17x+60＝0的兩根．（1）求線段OA、OB的長(zhǎng)；（2）已知點(diǎn)C在劣弧OA上，連接BC交OA于D，當(dāng)OC2＝CD?CB時(shí)，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；（3）在（2）的條件下，在⊙M上是否存在一點(diǎn)P，使S△POD＝S△ABD？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．（4）點(diǎn)C在優(yōu)弧OA上，作直線BC交x軸于D．是否存在△COB∽△CDO？若存在，直接寫出點(diǎn)C的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．【分析】（1）利用因式分解法解方程x2﹣17x+60＝0，即可得到OA＝12，OB＝5；（2）連接AB、MC、AC，如圖1，根據(jù)圓周角定理得AB為⊙O的直徑，根據(jù)勾股定理計(jì)算出AB＝13，則MC=132，由于OC2＝CD?CB，根據(jù)相似的判定定理得到△COD∽△CBO，則∠1＝∠2，由同弧所對(duì)的圓周角相等得到∠2＝∠3，所以∠1＝∠3，則OC=AC，根據(jù)垂徑定理的推論得到MC⊥OA，OH＝AH=12OA＝6，易得HM=12OB=5（3）先利用待定系數(shù)法確定直線BC的解析式為y=?32x+5，再求出D點(diǎn)坐標(biāo)為（103，0），則OD=103，AD＝OA﹣OD=263，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），根據(jù)三角形面積公式得到12?103?|y|=12?26（4）連接AC，CM的延長(zhǎng)線交OA于H，如圖2，由△COB∽△CDO得到∠4＝∠5，利用等角的余角相等得到∠3＝∠1，再根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得∠3＝∠2，所以∠1＝∠2，于是利用圓周角定理有OC=AC，然后根據(jù)垂徑定理的推論得MC⊥OA，OH＝AH=12OA＝6，加上MH=52，所以CH＝【解答】解：（1）x2﹣17x+60＝0，（x﹣12）（x﹣5）＝0，解得x1＝12，x2＝5，所以O(shè)A＝12，OB＝5；（2）連接AB、MC、AC，MC交OA于H，如圖1，∵∠ACOB＝90°，∴AB為⊙O的直徑，AB=O∴MC=13∵OC2＝CD?CB，即OC：CD＝CB：OC，而∠OCD＝∠BCO，∴△COD∽△CBO，∴∠1＝∠2，∵∠2＝∠3，∴∠1＝∠3，∴OC=∴MC⊥OA，∴OH＝AH=12∴HM=12OB∴CH＝CM﹣HM=13∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（6，﹣4）；（3）不存在．理由如下：設(shè)直線BC的解析式為y＝kx+b，把B（0，5），C（6，﹣4）代入得b=56k+b=?4解得k=?3∴直線BC的解析式為y=?32當(dāng)y＝0時(shí)，?32x+5＝0，解得x則D點(diǎn)坐標(biāo)為（103∴OD=103，AD＝OA﹣OD∴設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），∵S△POD＝S△ABD，∴12?103?|y|=12?∵⊙M的直徑為13，∴⊙M上不存在點(diǎn)P，使其縱坐標(biāo)為13；（4）存在．連接AC，CM的延長(zhǎng)線交OA于H，如圖2，∵△COB∽△CDO，∴∠4＝∠5，而∠5+∠3＝90°，∠4+∠1＝90°，∴∠3＝∠1，∵∠3＝∠2，∴∠1＝∠2，∴OC=∴MC⊥OA，∴OH＝AH=12而MH=5∴CH＝CM+MH＝9，∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（6，9）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓的綜合題：熟練掌握垂徑定理、圓周角定理和相似三角形的判定與性質(zhì)．會(huì)利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，利用兩點(diǎn)間的距離公式計(jì)算線段的長(zhǎng)；理解坐標(biāo)與圖形性質(zhì)．28．如圖，圓M與y軸相切于點(diǎn)C，與x軸交于A（2?3，0）、B（2+3，0）兩點(diǎn)，點(diǎn)Q是圓M上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N為OQ的中點(diǎn)，連接CN，當(dāng)點(diǎn)Q在圓M上運(yùn)動(dòng)時(shí)，【分析】作ME⊥x軸于E，連接MC，根據(jù)垂徑定理，由ME⊥AB得AE＝BE＝，則OE＝OA+AE