中考數(shù)學(xué)難點(diǎn)突破與經(jīng)典模型精講練(全國用)專題14解直角三角形中的背靠背模型含答案及解析

Page專題14解直角三角形中的背靠背模型【模型展示】特點(diǎn)通過在三角形內(nèi)作高AC，構(gòu)造出兩個直角三角形求解，其中公共邊AC是解題的關(guān)鍵.在Rt△ACD和Rt△BCA中，AC為公共邊，DC+CB=DB.結(jié)論“背靠背”型的關(guān)鍵是找到兩個直角三角形內(nèi)的公共高【題型演練】一、單選題1．如圖，一艘輪船從位于燈塔C的北偏東方向，距離燈塔60海里的小島A出發(fā)，沿正南方向航行一段時間后，到達(dá)位于燈塔C的南偏東方向上的B處，這時輪船B與小島A的距離是()A．海里 B．海里 C．120海里 D．60海里2．如圖所示，從一熱氣球的探測器A點(diǎn)，看一棟高樓頂部B點(diǎn)的仰角為30°，看這棟高樓底部C點(diǎn)的俯角為60°，若熱氣球與高樓的水平距離為30m，則這棟高樓高度是（）A．60m B．40m C．30m D．60m二、填空題3．如圖，海中有個小島A，一艘輪船由西向東航行，在點(diǎn)B處測得小島A位于它的東北方向，此時輪船與小島相距20海里，繼續(xù)航行至點(diǎn)D處，測得小島A在它的北偏西60°方向，此時輪船與小島的距離為________海里．4．4月26日，2015黃河口（東營）國際馬拉松比賽拉開帷幕，中央電視臺體育頻道用直升機(jī)航拍技術(shù)全程直播．如圖，在直升機(jī)的鏡頭下，觀測馬拉松景觀大道A處的俯角為，B處的俯角為．如果此時直升機(jī)鏡頭C處的高度CD為200米，點(diǎn)A、D、B在同一直線上，則AB兩點(diǎn)的距離是____________米．5．如圖所示，輪船在處觀測燈塔位于北偏西方向上，輪船從處以每小時海里的速度沿南偏西方向勻速航行，小時后到達(dá)碼頭處，此時，觀測燈塔位于北偏西方向上，則燈塔與碼頭的距離是______海里(結(jié)果精確到個位，參考數(shù)據(jù)：，，)6．如圖，某輪船以每小時30海里的速度向正東方向航行，上午8：00，測得小島C在輪船A的北偏東45°方向上；上午10：00，測得小島C在輪船B的北偏西30°方向上，則輪船在航行中離小島最近的距離約為__海里（精確到1海里，參考數(shù)據(jù)≈1.414，≈1.732）．7．某攔水壩的橫截面為梯形，迎水坡的坡角為，且，背水坡的坡度為是指坡面的鉛直高度與水平寬度的比，壩面寬，壩高則壩底寬__________．三、解答題8．如圖，A，B兩地之間有一座山，汽車原來從A地到B地須經(jīng)C地沿折線A﹣C﹣B行駛，全長68km．現(xiàn)開通隧道后，汽車直接沿直線AB行駛．已知∠A＝30°，∠B＝45°，則隧道開通后，汽車從A地到B地比原來少走多少千米？（結(jié)果精確到0.1km）（參考數(shù)據(jù)：≈1.4，≈1.7）9．已知銳角中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，邊角總滿足關(guān)系式：．（1）如圖1，若，求b的值；（2）某公園準(zhǔn)備在園內(nèi)一個銳角三角形水池中建一座小型景觀橋（如圖2所示），若米，米，，求景觀橋的長度．10．為加強(qiáng)我市創(chuàng)建文明衛(wèi)生城市宣傳力度，需要在甲樓A處到E處懸掛一幅宣傳條幅，在乙樓頂部D點(diǎn)測得條幅頂端A點(diǎn)的仰角∠ADF=45°，條幅底端E點(diǎn)的俯角為∠FDE=30°，DF⊥AB，若甲、乙兩樓的水平距離BC為21米，求條幅的長AE約是多少米？（，結(jié)果精確到0.1米）11．如圖，是某小區(qū)的甲、乙兩棟住宅樓，小麗站在甲棟樓房的樓頂，測量對面的乙棟樓房的高度，已知甲棟樓房與乙棟樓房的水平距離米，小麗在甲棟樓房頂部B點(diǎn)，測得乙棟樓房頂部D點(diǎn)的仰角是，底部C點(diǎn)的俯角是，求乙棟樓房的高度（結(jié)果保留根號）．12．如圖，我市計(jì)劃在某工業(yè)園區(qū)內(nèi)，為相距4千米的彩印公司、包裝公司修一條筆直的公路．點(diǎn)P表示住宅小區(qū)，在彩印公司北偏東方向與包裝公司北偏西方向的交點(diǎn)，住宅小區(qū)在以P為圓心，0.8千米為半徑的范圍內(nèi)，問這條公路是否會穿越這個住宅小區(qū)？（參考數(shù)據(jù)：，）13．如圖，為了測量河寬，在河的一邊沿岸選取B、C兩點(diǎn)，對岸岸邊有一塊石頭A，在中，測得，，米，求河寬（即點(diǎn)A到邊的距離）（結(jié)果精確到0.1米）．（參考數(shù)據(jù)：，，，）14．在一次課外活動中，甲、乙兩位同學(xué)測量公園中孔子塑像的高度，他們分別在A，B兩處用高度為1.5m的測角儀測得塑像頂部C的仰角分別為30°，45°，兩人間的水平距離AB為20m，求塑像的高度CF．（結(jié)果保留根號）15．如圖，C地在A地的正東方向，因有大山阻隔，由A地到C地需要繞行B地，已知B位于A地北偏東67°方向，距離A地520km，C地位于B地南偏東30°方向，若打通穿山隧道，建成兩地直達(dá)高鐵，求A地到C地之間高鐵線路的長．（結(jié)果保留整數(shù)）參考數(shù)據(jù)：（sin67°≈；cos67°≈；tan67°≈；≈1.73）16．某次臺風(fēng)來襲時，一棵筆直且垂直于地面的大樹AB被刮傾斜后在C處折斷倒在地上，樹的頂部恰好接觸到地面D處，測得∠ACD＝60°，∠ADC＝37°，AD＝5米，求這棵大樹AB的高．（結(jié)果精確到0.1米）（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75，≈1.73）17．一滑板運(yùn)動場斜坡上的點(diǎn)處豎直立著一個旗桿，旗桿在其點(diǎn)處折斷，旗桿頂部落在斜坡上的點(diǎn)處，米，折斷部分與斜坡的夾角為75°，斜坡與水平地面的夾角為30°，求旗桿的高度．（,，精確到1米）．18．一艘輪船向正東方向航行，在A處測得燈塔P在A的北偏東60°方向，航行40海里到達(dá)B處，此時測得燈塔P在B的北偏東15°方向上．（1）求燈塔P到輪船航線的距離PD是多少海里？（結(jié)果保留根號）（2）當(dāng)輪船從B處繼續(xù)向東航行時，一艘快艇從燈塔P處同時前往D處，盡管快艇速度是輪船速度的2倍，但快艇還是比輪船晚15分鐘到達(dá)D處，求輪船每小時航行多少海里？（結(jié)果保留根號）19．如圖，在東西方向的海面線MN上，有A，B兩艘巡邏船，兩船同時收到漁船C在海面停滯點(diǎn)發(fā)出的求救信號，測得漁船分別在巡邏船A，B的北偏西30°和北偏東45°方向，巡邏船A和漁船C相距120海里．（結(jié)果取整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：≈1.41，≈1.73，≈2.45）（1）求巡邏船B與漁船C間的距離；（2）已知在A，B兩艘巡邏船間有一觀測點(diǎn)D（A，B，D在直線MN上），測得漁船C在觀測點(diǎn)D的北偏東15°方向，觀測點(diǎn)D的45海里范圍內(nèi)有暗礁．若巡邏船B沿BC方向去營救漁船C，問有沒有觸礁的危險(xiǎn)？并說明理由．20．如圖，某野外生態(tài)考察小組早晨7點(diǎn)整從A營地出發(fā)，準(zhǔn)備前往正東方向的B營地，由于一條南北向河流的阻擋（圖中陰影部分），他們需要從C處過橋．經(jīng)過測量得知，A、B之間的距離為13km，∠A和∠B的度數(shù)分別是37°和53°，橋CD的長度是0.5km，圖中的區(qū)域CDFE近似看做一個矩形區(qū)域．（1）求CE的長；（2）該考察小組希望到達(dá)B營地的時間不遲于中午12點(diǎn)，則他們的行進(jìn)速度至少是多少？（結(jié)果保留1位小數(shù)）（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）21．一艘漁船從位于A海島北偏東60°方向，距A海島60海里的B處出發(fā)，以每小時30海里的速度沿正南方向航行．已知在A海島周圍50海里水域內(nèi)有暗礁．（參考數(shù)據(jù)：）（1）這艘漁船在航行過程中是否有觸礁的危險(xiǎn)？請說明理由．（2）漁船航行3小時后到達(dá)C處，求A，C之間的距離．22．如圖，三條筆直公路兩兩相交，交點(diǎn)分別為、、，測得，，千米，求、兩點(diǎn)間的距離．（參考數(shù)據(jù)：，，結(jié)果精確到1千米）．23．共抓長江大保護(hù)，建設(shè)水墨丹青新岳陽，推進(jìn)市中心城區(qū)污水系統(tǒng)綜合治理項(xiàng)目，需要從如圖，兩地向地新建，兩條筆直的污水收集管道，現(xiàn)測得地在地北偏東方向上，在地北偏西方向上，的距離為，求新建管道的總長度．（結(jié)果精確到，，，，）24．在數(shù)學(xué)實(shí)踐與綜合課上，某興趣小組同學(xué)用航拍無人機(jī)對某居民小區(qū)的1、2號樓進(jìn)行測高實(shí)踐，如圖為實(shí)踐時繪制的截面圖．無人機(jī)從地面點(diǎn)B垂直起飛到達(dá)點(diǎn)A處，測得1號樓頂部E的俯角為67°，測得2號樓頂部F的俯角為40°，此時航拍無人機(jī)的高度為60米，已知1號樓的高度為20米，且EC和FD分別垂直地面于點(diǎn)C和D，點(diǎn)B為CD的中點(diǎn)，求2號樓的高度．（結(jié)果精確到0.1）（參考數(shù)據(jù)sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，tan67°≈2.36）25．今年由于防控疫情，師生居家隔離線上學(xué)習(xí)，AB和CD是社區(qū)兩棟鄰樓的示意圖，小華站在自家陽臺的C點(diǎn)，測得對面樓頂點(diǎn)A的仰角為30°，地面點(diǎn)E的俯角為45°．點(diǎn)E在線段BD上．測得B，E間距離為8.7米．樓AB高12米．求小華家陽臺距地面高度CD的長（結(jié)果精確到1米，1.41，1.73）26．小婷在放學(xué)路上，看到隧道上方有一塊宣傳“中國﹣南亞博覽會”的豎直標(biāo)語牌CD．她在A點(diǎn)測得標(biāo)語牌頂端D處的仰角為42°，測得隧道底端B處的俯角為30°（B，C，D在同一條直線上），AB=10m，隧道高6.5m（即BC=6.5m），求標(biāo)語牌CD的長（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位）．（參考數(shù)據(jù)：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90，≈1.73）27．如圖，一艘海輪位于燈塔P的北偏東66.1°方向，距離燈塔120海里的A處，它沿正南方向航行一段時間后，到達(dá)位于燈塔P的南偏東45°方向上的B處，求BP和BA的長（結(jié)果取整數(shù)）．參考數(shù)據(jù)：sin66.1°≈0.91，cos66.1°≈0.41，tan64°≈2.26，取1.414．Page專題14解直角三角形中的背靠背模型【模型展示】特點(diǎn)通過在三角形內(nèi)作高AC，構(gòu)造出兩個直角三角形求解，其中公共邊AC是解題的關(guān)鍵.在Rt△ACD和Rt△BCA中，AC為公共邊，DC+CB=DB.結(jié)論“背靠背”型的關(guān)鍵是找到兩個直角三角形內(nèi)的公共高【題型演練】一、單選題1．如圖，一艘輪船從位于燈塔C的北偏東方向，距離燈塔60海里的小島A出發(fā)，沿正南方向航行一段時間后，到達(dá)位于燈塔C的南偏東方向上的B處，這時輪船B與小島A的距離是()A．海里 B．海里 C．120海里 D．60海里【答案】B【分析】過點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D，先解Rt△ACD，求出AD，CD，再根據(jù)BD=CD，即可解出AB．【詳解】如圖，過點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D，則∠ACD=30°，∠BCD=45°，在Rt△ACD中，AD=CA=×60=30（海里），CD=CA·cos∠ACD=60×=（海里），∵∠BCD=45°，∠BDC=90°，∴在Rt△BCD中，BD=CD，∴AB=AD+BD=AD+CD=（30+）海里，故選：B．【點(diǎn)睛】此題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用——方向角問題，解一般三角形的問題，一般可以轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題，解題的關(guān)鍵是作高線．2．如圖所示，從一熱氣球的探測器A點(diǎn)，看一棟高樓頂部B點(diǎn)的仰角為30°，看這棟高樓底部C點(diǎn)的俯角為60°，若熱氣球與高樓的水平距離為30m，則這棟高樓高度是（）A．60m B．40m C．30m D．60m【答案】B【分析】作AD⊥BC于D，由俯仰角得出∠ADB、∠CAD的值，則由AD的長及俯仰角的正切值得出BD、CD的長，BC的長即可求出．【詳解】過A作AD⊥BC，垂足為D在Rt△ABD中，∵∠BAD＝30°，AD＝30m，∴BD＝AD?tan30°＝3010（m），在Rt△ACD中，∵∠CAD＝60°，AD＝30m，∴CD＝AD?tan60°＝3030（m），∴BC＝BD+CD＝103040（m），即這棟高樓高度是40m．故選擇：B．【點(diǎn)睛】本題考查俯角與仰角的定義，要求學(xué)生能借助俯角與仰角構(gòu)造直角三角形并會解直角三角形．二、填空題3．如圖，海中有個小島A，一艘輪船由西向東航行，在點(diǎn)B處測得小島A位于它的東北方向，此時輪船與小島相距20海里，繼續(xù)航行至點(diǎn)D處，測得小島A在它的北偏西60°方向，此時輪船與小島的距離為________海里．【答案】20【分析】過點(diǎn)A作AC⊥BD，根據(jù)方位角及三角函數(shù)即可求解．【詳解】如圖，過點(diǎn)A作AC⊥BD，依題意可得∠ABC=45°∴△ABC是等腰直角三角形，AB=20(海里)∴AC=BC=ABsin45°=10(海里)在Rt△ACD中，∠ADC=90°-60°=30°∴AD=2AC=20(海里)故答案為：20．【點(diǎn)睛】此題主要考查解直角三角形，解題的關(guān)鍵是熟知特殊角的三角函數(shù)值．4．4月26日，2015黃河口（東營）國際馬拉松比賽拉開帷幕，中央電視臺體育頻道用直升機(jī)航拍技術(shù)全程直播．如圖，在直升機(jī)的鏡頭下，觀測馬拉松景觀大道A處的俯角為，B處的俯角為．如果此時直升機(jī)鏡頭C處的高度CD為200米，點(diǎn)A、D、B在同一直線上，則AB兩點(diǎn)的距離是____________米．【答案】200（+1）【分析】在兩個直角三角形中，都是知道已知角和對邊，根據(jù)正切函數(shù)求出鄰邊后，相加求和即可．【詳解】∵∠CDA=∠CDB=90°，∠A=30°，∠B=45°，∴AD=CD=200，BD=CD=200，∴AB=AD+BD=200（+1）（米）考點(diǎn)：解直角三角形的應(yīng)用.5．如圖所示，輪船在處觀測燈塔位于北偏西方向上，輪船從處以每小時海里的速度沿南偏西方向勻速航行，小時后到達(dá)碼頭處，此時，觀測燈塔位于北偏西方向上，則燈塔與碼頭的距離是______海里(結(jié)果精確到個位，參考數(shù)據(jù)：，，)【答案】24【分析】作BD⊥AC于點(diǎn)D，在直角△ABD中，利用三角函數(shù)求得BD的長，然后在直角△BCD中，利用三角函數(shù)即可求得BC的長．【詳解】∠CBA=25°+50°=75°，作BD⊥AC于點(diǎn)D，則∠CAB=（90°﹣70°）+（90°﹣50°）=20°+40°=60°，∠ABD=30°，∴∠CBD=75°﹣30°=45°，在直角△ABD中，BD=AB?sin∠CAB=20×sin60°=20×=10，在直角△BCD中，∠CBD=45°，則BC=BD=10×=10≈10×2.4=24（海里），故答案是：24．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用——方向角問題，正確求得∠CBD以及∠CAB的度數(shù)是解決本題的關(guān)鍵．6．如圖，某輪船以每小時30海里的速度向正東方向航行，上午8：00，測得小島C在輪船A的北偏東45°方向上；上午10：00，測得小島C在輪船B的北偏西30°方向上，則輪船在航行中離小島最近的距離約為__海里（精確到1海里，參考數(shù)據(jù)≈1.414，≈1.732）．【答案】38．【分析】作CD⊥AB于點(diǎn)D，再求得AB、∠ACD、∠BCD的值，然后根據(jù)銳角三角函數(shù)求出CD的長即可解答．【詳解】解：如圖，作CD⊥AB于點(diǎn)D，根據(jù)題意可知：AB＝30×（10﹣8）＝60（海里），∠ACD＝45°，∠BCD＝30°，在Rt△ACD中，CD＝AD，在Rt△CBD中，BD＝AB﹣AD＝60﹣CD，∴tan30°＝，即＝，解得CD≈38（海里）．答：輪船在航行中離小島最近的距離約為38海里．故答案為38．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，掌握方向角的概念和解直角三角形的知識是解答本題的關(guān)鍵．7．某攔水壩的橫截面為梯形，迎水坡的坡角為，且，背水坡的坡度為是指坡面的鉛直高度與水平寬度的比，壩面寬，壩高則壩底寬__________．【答案】【分析】添一條輔助線，作BFCD，AE=12m，根據(jù)，可得CF的長，根據(jù)背水坡AD的坡度，可得DE的長，且AB=EF，壩底CD=DE+EF+FC，可得出答案．【詳解】解：如圖所示，添一條輔助線，作BFCD，∵，且，而，∴m，又∵背水坡AD的坡度，∴，故DE=30m，且，壩底，故答案為：49m．【點(diǎn)睛】本題主要考查了用正切值求邊長，坡度是坡角的正切，在直角三角形中，正切值為對邊∶斜邊，掌握定義就不會算錯．三、解答題8．如圖，A，B兩地之間有一座山，汽車原來從A地到B地須經(jīng)C地沿折線A﹣C﹣B行駛，全長68km．現(xiàn)開通隧道后，汽車直接沿直線AB行駛．已知∠A＝30°，∠B＝45°，則隧道開通后，汽車從A地到B地比原來少走多少千米？（結(jié)果精確到0.1km）（參考數(shù)據(jù)：≈1.4，≈1.7）【答案】14.0千米【分析】首先過點(diǎn)C作CD⊥AB，垂足為D，設(shè)CD＝x，即可表示出AC，BC的長，進(jìn)而求出x的值，再利用銳角三角函數(shù)關(guān)系得出AD，BD的長，即可得出答案．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)C作CD⊥AB，垂足為D，設(shè)CD＝x．在Rt△ACD中，sin∠A＝，AC＝＝2x，在Rt△BCD中，sin∠B＝，BC＝＝x，∵AC+BC＝2x+x＝68，∴x＝，在Rt△ACD中，tan∠A＝，AD＝，在Rt△BCD中，tan∠B＝，BD＝＝20，AB＝20+20≈54，AC+BC﹣AB＝68﹣54＝14.0（km）．答：隧道開通后，汽車從A地到B地比原來少走14.0千米．【點(diǎn)睛】本題主要考查了解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，準(zhǔn)確分析計(jì)算是解題的關(guān)鍵．9．已知銳角中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，邊角總滿足關(guān)系式：．（1）如圖1，若，求b的值；（2）某公園準(zhǔn)備在園內(nèi)一個銳角三角形水池中建一座小型景觀橋（如圖2所示），若米，米，，求景觀橋的長度．【答案】（1）；（2）【分析】（1）過C作于點(diǎn)D，解直角三角形即可；（2）由已知條件可知，求得，勾股定理求得，解即可求得的長【詳解】（1）如圖，過C作于點(diǎn)D,即（2），，,在中，設(shè)，則在中，即:解得：（不符題意，舍）【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形應(yīng)用，掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題關(guān)鍵．10．為加強(qiáng)我市創(chuàng)建文明衛(wèi)生城市宣傳力度，需要在甲樓A處到E處懸掛一幅宣傳條幅，在乙樓頂部D點(diǎn)測得條幅頂端A點(diǎn)的仰角∠ADF=45°，條幅底端E點(diǎn)的俯角為∠FDE=30°，DF⊥AB，若甲、乙兩樓的水平距離BC為21米，求條幅的長AE約是多少米？（，結(jié)果精確到0.1米）【答案】33.1米【分析】根據(jù)題意及解直角三角形的應(yīng)用直接列式求解即可．【詳解】解：過點(diǎn)D作DF⊥AB，如圖所示：在Rt△ADF中，DF=BC=21米，∠ADF=45°∴AF=DF=21米在Rt△EDF中，DF=21米，∠EDF=30°∴EF=DF×tan30°=米∴AE=AF+BF=+21≈33.1米．答：條幅的長AE約是33.1米．【點(diǎn)睛】本題主要考查解直角三角形的應(yīng)用，關(guān)鍵是根據(jù)題意及利用三角函數(shù)求出線段的長．11．如圖，是某小區(qū)的甲、乙兩棟住宅樓，小麗站在甲棟樓房的樓頂，測量對面的乙棟樓房的高度，已知甲棟樓房與乙棟樓房的水平距離米，小麗在甲棟樓房頂部B點(diǎn)，測得乙棟樓房頂部D點(diǎn)的仰角是，底部C點(diǎn)的俯角是，求乙棟樓房的高度（結(jié)果保留根號）．【答案】18(+1)m【分析】根據(jù)仰角與俯角的定義得到AB=BE=AC,再根據(jù)三角函數(shù)的定義即可求解．【詳解】如圖，依題意可得∠BCA=45°，∴△ABC是等腰直角三角形，∴AB=CE=∵∠DBE=30°∴DE=BE×tan30°=18∴的高度為CE+ED=18(+1)m．【點(diǎn)睛】此題主要考查解直角三角形，解題的關(guān)鍵是熟知三角函數(shù)的定義．12．如圖，我市計(jì)劃在某工業(yè)園區(qū)內(nèi)，為相距4千米的彩印公司、包裝公司修一條筆直的公路．點(diǎn)P表示住宅小區(qū)，在彩印公司北偏東方向與包裝公司北偏西方向的交點(diǎn)，住宅小區(qū)在以P為圓心，0.8千米為半徑的范圍內(nèi)，問這條公路是否會穿越這個住宅小區(qū)？（參考數(shù)據(jù)：，）【答案】不會【分析】過點(diǎn)P作于D，根據(jù)角的正切值表示出MD和ND的長，然后列方程求解PD的長度，從而做出判斷．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)P作于D．由題意得．∴在Rt△PMD中，，即在Rt△PND中，，即∵，即，∴．答：這條公路不會穿越這個住宅小區(qū)．【點(diǎn)睛】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題，正確標(biāo)注方向角、熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．13．如圖，為了測量河寬，在河的一邊沿岸選取B、C兩點(diǎn)，對岸岸邊有一塊石頭A，在中，測得，，米，求河寬（即點(diǎn)A到邊的距離）（結(jié)果精確到0.1米）．（參考數(shù)據(jù)：，，，）【答案】河寬約為33.6米【分析】過A作AD⊥BC于D，并設(shè)AD=x米，則由已知條件可以得到關(guān)于x的方程，解方程即可得到河的寬度．【詳解】解：如圖，過A作AD⊥BC于D，并設(shè)AD=x米，∵∠C=45°，∴∠DAC=90°-45°=45°，∴CD=AD=x，∵∠B=64°，∴BD=，∵BC=50米，∴，解之得：x≈33.6，答：河寬約33.6米．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義并結(jié)合方程思想求解是解題關(guān)鍵．14．在一次課外活動中，甲、乙兩位同學(xué)測量公園中孔子塑像的高度，他們分別在A，B兩處用高度為1.5m的測角儀測得塑像頂部C的仰角分別為30°，45°，兩人間的水平距離AB為20m，求塑像的高度CF．（結(jié)果保留根號）【答案】()米．【分析】在和中，求出公共邊的長度，然后可求得．【詳解】解：，，在中，，，在中，，，，則．即．．由題意知：答：塑像的高為．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)仰角構(gòu)造直角三角形，利用三角函數(shù)的知識求解．15．如圖，C地在A地的正東方向，因有大山阻隔，由A地到C地需要繞行B地，已知B位于A地北偏東67°方向，距離A地520km，C地位于B地南偏東30°方向，若打通穿山隧道，建成兩地直達(dá)高鐵，求A地到C地之間高鐵線路的長．（結(jié)果保留整數(shù)）參考數(shù)據(jù)：（sin67°≈；cos67°≈；tan67°≈；≈1.73）【答案】地到地之間高鐵線路的長約為．【分析】過點(diǎn)B作BD⊥AC于點(diǎn)D，利用銳角三角函數(shù)的定義求出AD及CD的長，進(jìn)而可得出結(jié)論．【詳解】解：如解圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，∵地位于地北偏東方向，距離地，∴，∴，．∵地位于地南偏東方向，∴，∴，∴．答：地到地之間高鐵線路的長約為．【點(diǎn)睛】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題，解題關(guān)鍵是添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形．16．某次臺風(fēng)來襲時，一棵筆直且垂直于地面的大樹AB被刮傾斜后在C處折斷倒在地上，樹的頂部恰好接觸到地面D處，測得∠ACD＝60°，∠ADC＝37°，AD＝5米，求這棵大樹AB的高．（結(jié)果精確到0.1米）（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75，≈1.73）【答案】這棵大樹AB原來的高度約是9.2米．【分析】過點(diǎn)A作AE⊥CD于點(diǎn)E，解Rt△AED，求出DE及AE的長度，再解Rt△AEC，得出CE及AC的長，進(jìn)而可得出結(jié)論．【詳解】過點(diǎn)A作AE⊥CD于點(diǎn)E，則∠AEC＝∠AED＝90°．∵在Rt△AED中，∠ADC＝37°，AD=5，∴cos37°＝＝≈0.8，∴DE≈4，∵sin37°＝＝≈0.6，∴AE≈3，在Rt△AEC中，∵∠CAE＝90°﹣∠ACE＝90°﹣60°＝30°，∴CE＝AE·tan∠CAE=AE＝，∴AC＝2CE＝2，∴AB＝AC+CE+ED＝2++4＝3+4≈9.2（米）．答：這棵大樹AB原來的高度約是9.2米．【點(diǎn)睛】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．17．一滑板運(yùn)動場斜坡上的點(diǎn)處豎直立著一個旗桿，旗桿在其點(diǎn)處折斷，旗桿頂部落在斜坡上的點(diǎn)處，米，折斷部分與斜坡的夾角為75°，斜坡與水平地面的夾角為30°，求旗桿的高度．（,，精確到1米）．【答案】旗桿的高度約為9米．【分析】根據(jù)題意過點(diǎn)作于點(diǎn)，利用解直角三角形的方法進(jìn)行分析即可求得答案．【詳解】解：過點(diǎn)作于點(diǎn)，，，，，，又，，，，，答：旗桿的高度約為9米．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形，熟練掌握并根據(jù)題意構(gòu)造直角三角形進(jìn)行分析是解題的關(guān)鍵．18．一艘輪船向正東方向航行，在A處測得燈塔P在A的北偏東60°方向，航行40海里到達(dá)B處，此時測得燈塔P在B的北偏東15°方向上．（1）求燈塔P到輪船航線的距離PD是多少海里？（結(jié)果保留根號）（2）當(dāng)輪船從B處繼續(xù)向東航行時，一艘快艇從燈塔P處同時前往D處，盡管快艇速度是輪船速度的2倍，但快艇還是比輪船晚15分鐘到達(dá)D處，求輪船每小時航行多少海里？（結(jié)果保留根號）【答案】（1）燈塔P到輪船航線的距離PD是（10+10）海里；（2）輪船每小時航行（60﹣20）海里【分析】（1）作BC⊥AP于C，根據(jù)余弦的定義求出AC，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出CP，得到AP的長，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)計(jì)算，得到答案；（2）根據(jù)余弦的定義求出AD，得到BD的長，根據(jù)題意列出分式方程，解方程得到答案．【詳解】解：（1）作BC⊥AP于C，在Rt△ABC中，∠PAB＝30°，∴BC＝AB＝20，AC＝AB?cos∠PAB＝20，∵∠NBP＝15°，∴∠PBD＝75°，∴∠CBP＝180°﹣60°﹣75°＝45°，∴PC＝BC＝20，∴AP＝AC+PC＝20+20，在Rt△ADP中，∠A＝30°，∴PD＝AP＝10+10，答：燈塔P到輪船航線的距離PD是（10+10）海里；（2）設(shè)輪船每小時航行x海里，在Rt△ADP中，AD＝AP?cosA＝10+30，∴BD＝AD﹣AB＝10﹣10，由題意得，＝，解得，x＝60﹣20，經(jīng)檢驗(yàn)，x＝60﹣20是原方程的解，答：輪船每小時航行（60﹣20）海里．【點(diǎn)睛】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題和分式方程的應(yīng)用，掌握方向角的概念、熟記銳角三角函數(shù)的定義、正確列出分式方程是解題的關(guān)鍵．19．如圖，在東西方向的海面線MN上，有A，B兩艘巡邏船，兩船同時收到漁船C在海面停滯點(diǎn)發(fā)出的求救信號，測得漁船分別在巡邏船A，B的北偏西30°和北偏東45°方向，巡邏船A和漁船C相距120海里．（結(jié)果取整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：≈1.41，≈1.73，≈2.45）（1）求巡邏船B與漁船C間的距離；（2）已知在A，B兩艘巡邏船間有一觀測點(diǎn)D（A，B，D在直線MN上），測得漁船C在觀測點(diǎn)D的北偏東15°方向，觀測點(diǎn)D的45海里范圍內(nèi)有暗礁．若巡邏船B沿BC方向去營救漁船C，問有沒有觸礁的危險(xiǎn)？并說明理由．【答案】（1）巡邏船B與漁船C間的距離為60海里；（2）沒有觸礁的危險(xiǎn)，理由詳見解析．【分析】（1）作于，由直角三角形的性質(zhì)得，，，證是等腰直角三角形，得出即可；（2）作于，由，得出是等腰直角三角形，則海里，由，即可得出沒有觸礁的危險(xiǎn)．【詳解】解：（1）作于，如圖1所示：則，，，，，，是等腰直角三角形，，，答：巡邏船與漁船間的距離為海里；（2）沒有觸礁的危險(xiǎn)；理由如下：由題意得：，，，，，，即，解得：，（海里）；作于，如圖2所示：，是等腰直角三角形，（海里），，沒有觸礁的危險(xiǎn)．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、含角直角三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識；熟練掌握直角三角形的性質(zhì)，證明三角形相似是解題的關(guān)鍵．20．如圖，某野外生態(tài)考察小組早晨7點(diǎn)整從A營地出發(fā)，準(zhǔn)備前往正東方向的B營地，由于一條南北向河流的阻擋（圖中陰影部分），他們需要從C處過橋．經(jīng)過測量得知，A、B之間的距離為13km，∠A和∠B的度數(shù)分別是37°和53°，橋CD的長度是0.5km，圖中的區(qū)域CDFE近似看做一個矩形區(qū)域．（1）求CE的長；（2）該考察小組希望到達(dá)B營地的時間不遲于中午12點(diǎn)，則他們的行進(jìn)速度至少是多少？（結(jié)果保留1位小數(shù)）（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）【答案】（1）CE的長為；（2）他們的行進(jìn)速度至少是．【分析】（1）設(shè)，先根據(jù)矩形的性質(zhì)可得，，，，再解直角三角形分別求出，，然后根據(jù)線段的和差列出等式，求解即可得；（2）先根據(jù)題（1）的結(jié)論求出AE、BF、DF的長，再利用勾股定理分別求出AC、BD的長，然后根據(jù)速度的計(jì)算公式列出不等式，求解即可得．【詳解】（1）設(shè)四邊形CDFE是矩形，，，在中，，即解得在中，，，即解得又解得故CE的長為；（2）由（1）可知，，，則設(shè)他們的行進(jìn)速度為由題意得：，即解得答：他們的行進(jìn)速度至少是．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用、勾股定理等知識點(diǎn)，掌握解直角三角形的方法是解題關(guān)鍵．21．一艘漁船從位于A海島北偏東60°方向，距A海島60海里的B處出發(fā)，以每小時30海里的速度沿正南方向航行．已知在A海島周圍50海里水域內(nèi)有暗礁．（參考數(shù)據(jù)：）（1）這艘漁船在航行過程中是否有觸礁的危險(xiǎn)？請說明理由．（2）漁船航行3小時后到達(dá)C處，求A，C之間的距離．【答案】（1）沒有危險(xiǎn)，理由見解析；（2）79.50海里【分析】（1）過A點(diǎn)作于點(diǎn)D，在中求出AD與50海里比較即可得到答案；（2）在中求出BD得到CD，再根據(jù)勾股定理求出AC.【詳解】解：（1）過A點(diǎn)作于點(diǎn)D，∴，由題意可得，∴在中，，∴漁船在航行過程中沒有觸礁的危險(xiǎn)；（2）在中，，∵，∴，在中，，即A，C之間的距離為79.50海里.【點(diǎn)睛】此題考查解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，正確理解題意，構(gòu)建直角三角形，將已知的線段和角度放在直角三角形中，利用銳角三角函數(shù)解決問題是解題的關(guān)鍵.22．如圖，三條筆直公路兩兩相交，交點(diǎn)分別為、、，測得，，千米，求、兩點(diǎn)間的距離．（參考數(shù)據(jù)：，，結(jié)果精確到1千米）．【答案】、兩點(diǎn)間的距離約為11千米．【分析】如圖（見解析），先根據(jù)直角三角形的性質(zhì)、勾股定理可求出CD、AD的長，再根據(jù)等腰直角三角形的判定與性質(zhì)可得BD的長，然后根據(jù)線段的和差即可得．【詳解】如圖，過點(diǎn)C作于點(diǎn)D在中，，千米（千米），（千米）在中，是等腰直角三角形千米（千米）答：、兩點(diǎn)間的距離約為11千米．【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)等知識點(diǎn)，通過作輔助線，構(gòu)造直角三角形是解題關(guān)鍵．23．共抓長江大保護(hù)，建設(shè)水墨丹青新岳陽，推進(jìn)市中心城區(qū)污水系統(tǒng)綜合治理項(xiàng)目，需要從如圖，兩地向地新建，兩條筆直的污水收集管道，現(xiàn)測得地在地北偏東方向上，在地北偏西方向上，的距離為，求新建管道的總長度．（結(jié)果精確到，，，，）【答案】新建管道的總長度約為．【分析】如圖（見解析），先根據(jù)方位角的定義求出，設(shè)，則，再在中，根據(jù)等腰直角三角形的判定與性質(zhì)可得AC、CD的長，然后在中，解直角三角形可得x的值，從而可得AC、BC的長，由此即可得出答案．【詳解】如圖，過點(diǎn)C作于點(diǎn)D由題意得：，設(shè)，則是等腰直角三角形在中，，即解得經(jīng)檢驗(yàn)，是所列分式方程的解，在中，，即解得則答：新建管道的總長度約為．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、方位角的定義、解直角三角形等知識點(diǎn)，掌握解直角三角形的方法是解題關(guān)鍵．24．在數(shù)學(xué)實(shí)踐與綜合課上，某興趣小組同學(xué)用航拍無人機(jī)對某居民小區(qū)的1、2號樓進(jìn)行測高實(shí)踐，如圖為實(shí)踐時繪制的截面圖．無人機(jī)從地面點(diǎn)B垂直起飛到達(dá)點(diǎn)A處，測得1號樓頂部E的俯角為67°，測得2號樓頂部F的俯角為40°，此時航拍無人機(jī)的高度為60米，已知1號樓的高度為20米，且EC和FD分別垂直地面于點(diǎn)C和D，點(diǎn)B為CD的中點(diǎn)，求2號樓的高度．（結(jié)果精確到0.1）（參考數(shù)據(jù)sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，tan67°≈2.36）【答案】45.8米【分析】通過作輔助線，構(gòu)造直角三角形，利用直角三角形的邊角關(guān)系，分別求出EM，AN，進(jìn)而計(jì)算出2號樓的高度DF即可．【詳解】解：過點(diǎn)E、F分別作EM⊥AB，F(xiàn)N⊥AB，垂足分別為M、N，由題意得，EC＝20，∠AEM＝67°，∠AFN＝40°，CB＝DB＝EM＝FN，AB＝60，∴AM＝AB﹣MB＝60﹣20＝40，在Rt△AEM中，∵tan∠AEM＝，∴EM＝＝≈16.9，在Rt△AFN中，∵tan∠AFN＝，∴AN＝tan40°×16.9≈14.2，∴FD＝NB＝AB﹣AN＝60