2023-2024學(xué)年菏澤市定陶一中高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考試卷附答案解析

-2024學(xué)年菏澤市定陶一中高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考試卷一、單選題1．記遞增的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為．若，則（

）A． B．125 C．155 D．1852．已知有100個(gè)半徑互不相等的同心圓，其中最小圓的半徑為1，在每相鄰的兩個(gè)圓中，小圓的切線被大圓截得的弦長都為2，則這100個(gè)圓中最大圓的半徑是（

）A．8 B．9 C．10 D．1003．已知雙曲線分別為的左焦點(diǎn)和右頂點(diǎn)，點(diǎn)是上的點(diǎn)，若的面積為，則的離心率為（

）A． B．2 C． D．4．若直線經(jīng)過點(diǎn)和圓C：的圓心,并且與直線垂直,則m的值為（

）A．-1 B．1 C．-4 D．45．如圖所示，在四面體中，，，，點(diǎn)在上，且，為的中點(diǎn)，則（

）A． B．C． D．6．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，則下列說法正確的是（

）A． B． C． D．7．已知橢圓，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線l交橢圓于A，B兩點(diǎn)，M為AB的中點(diǎn).若直線l與OM的斜率之積為，則C的離心率為（

）A． B． C． D．8．如圖，在空間四邊形中，若向量，，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為線段的中點(diǎn)，則的坐標(biāo)為（

）A．B．C． D．二、多選題9．過拋物線的焦點(diǎn)作直線交拋物線于，兩點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，過點(diǎn)作拋物線的切線，則下列說法正確的是（

）A．的最小值為B．當(dāng)時(shí)，C．以線段為直徑的圓與直線相切D．當(dāng)最小時(shí)，切線與準(zhǔn)線的交點(diǎn)坐標(biāo)為10．瑞士數(shù)學(xué)家伯努利于1694年發(fā)現(xiàn)了雙紐線，即在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之積等于的點(diǎn)的軌跡稱為雙紐線，則當(dāng)時(shí)，下列結(jié)論正確是（

）A．點(diǎn)在雙紐線上B．點(diǎn)的軌跡方程為C．雙紐線關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱D．滿足的點(diǎn)有1個(gè)11．如圖，在正方體中，P為的中點(diǎn)，，，則下列說法正確的是（

）

A．B．當(dāng)時(shí)，平面C．當(dāng)時(shí)，PQ與CD所成角的余弦值為D．當(dāng)時(shí)，平面12．1202年，意大利數(shù)學(xué)家斐波那契出版了他的《算盤全書》，在書中收錄了一個(gè)有關(guān)兔子繁殖的問題.他從兔子繁殖規(guī)律中發(fā)現(xiàn)了“斐波那契數(shù)列”，具體數(shù)列為：1，1，2，3，5，8，13，…，即從數(shù)列的第三項(xiàng)開始，每個(gè)數(shù)字都等于前兩個(gè)相鄰數(shù)字之和．已知數(shù)列為斐波那契數(shù)列，其前n項(xiàng)和為，并且滿足，，，則關(guān)于斐波那契數(shù)列，以下結(jié)論正確的是（

）A．B．C．D．三、填空題13．已知向量，，，若向量與所成角為銳角，則實(shí)數(shù)的范圍是.14．若直線過直線和的交點(diǎn)，且在軸的截距是軸截距的2倍，則直線的方程是.15．已知正項(xiàng)等差數(shù)列中，，其中，6，構(gòu)成等比數(shù)列，，數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.16．已知一個(gè)酒杯是由一個(gè)拋物線繞其對(duì)稱軸旋轉(zhuǎn)一周形成的，拋物線的方程為：，現(xiàn)在將一個(gè)半徑為的小球放入酒杯中，若小球能觸及杯子的最底部，則小球的半徑的取值范圍是.四、解答題17．?dāng)?shù)列為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，公比.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.18．已知數(shù)列滿足，.(1)證明：數(shù)列為等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若記為滿足不等式的正整數(shù)k的個(gè)數(shù)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求關(guān)于n的不等式的最大正整數(shù)解.19．已知圓C過點(diǎn)且圓心在直線上(1)求圓C的方程，并求過點(diǎn)的切線方程．(2)若過點(diǎn)的直線與圓C交于A，B兩點(diǎn)，且三角形ABC的面積為10，求直線l的方程．20．如圖，在四棱錐中，底面ABCD為梯形，，.

(1)求點(diǎn)到平面ABCD的距離；(2)在棱上是否存在點(diǎn)，使得平面DBF與平面PBC夾角的余弦值為？若存在，求出點(diǎn)的位置；若不存在，請(qǐng)說明理由.21．已知拋物線，為的焦點(diǎn)，直線與交于不同的兩點(diǎn)、，且點(diǎn)位于第一象限.(1)若直線經(jīng)過的焦點(diǎn)，且，求直線的方程；(2)若直線經(jīng)過點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)的面積為，的面積為，求的最小值.22．已知橢圓C:的離心率為長軸的右端點(diǎn)為.(1)求C的方程；(2)不經(jīng)過點(diǎn)A的直線與橢圓C分別相交于兩點(diǎn)，且以MN為直徑的圓過點(diǎn)，試證明直線過一定點(diǎn)，并求出此定點(diǎn)；參考答案：1．C【詳解】設(shè)遞增的等差數(shù)列的公差為，則．因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，即①，當(dāng)時(shí)，，即②．聯(lián)立①②，結(jié)合，解得，.所以.故選：C2．C【詳解】設(shè)這100個(gè)圓的半徑從小到大依次為，則由題知，每相鄰的兩個(gè)圓中，小圓的切線被大圓截得的弦長都為2，有，則是首項(xiàng)為1公差為1的等差數(shù)列，，所以，得.故選：C.3．B【詳解】設(shè)雙曲線的焦距為，由題設(shè)知，，則，所以，且，易知，又因?yàn)辄c(diǎn)在上，所以，所以，

因?yàn)?，所以，則，化簡得，解得或（舍去）.所以，，故C的離心率為.故選：B4．A【詳解】解：圓C：的圓心坐標(biāo)為，因?yàn)橹本€經(jīng)過點(diǎn)和圓C：的圓心,所以直線的斜率為，又因?yàn)樵撝本€與直線垂直,所以，解得，故選：A5．B【詳解】因?yàn)?，所以，所?故選：B6．D【詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以不滿足的情況，所以，對(duì)于A：當(dāng)時(shí)，由指數(shù)函數(shù)單調(diào)性可知：，所以，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：因?yàn)?，所以，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：當(dāng)時(shí)，，滿足；當(dāng)時(shí)，，不滿足，故不恒成立，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：當(dāng)時(shí)，，滿足；當(dāng)時(shí)，由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知為遞減數(shù)列，此時(shí)，且恒成立，所以，也滿足；所以，故D正確；故選：D.7．D【詳解】設(shè)，，，將A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓C的方程可得，，兩式相減可得.又因?yàn)镸為AB的中點(diǎn)，所以，所以，所以，，又直線l與OM的斜率之積為，所以，即，所以橢圓C的離心率.故選：D.8．B【詳解】因?yàn)镋，F(xiàn)分別為線段的中點(diǎn)，所以，，.因?yàn)?，，，所以，，所以?故選：B.9．ACD【詳解】對(duì)于A，依題意可設(shè)直線的方程為，，，，則，，聯(lián)立，消整理得，則，代入得，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為，故A正確；對(duì)于B，結(jié)合A可得，，由，得，解得，，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由題意得拋物線的準(zhǔn)線方程為，焦點(diǎn)，設(shè)，，在準(zhǔn)線上的射影為，，，則，，，所以以線段為直徑的圓與直線相切，故C正確；對(duì)于D，結(jié)合A可得，當(dāng)最小時(shí)，不妨取，則可設(shè)切線的方程為，聯(lián)立，消整理得，則，解得，所以切線的方程為，聯(lián)立，解得，，即切線與準(zhǔn)線的交點(diǎn)坐標(biāo)為，故D正確．故選：ACD．10．BCD【詳解】由雙紐線的定義可得：，即，化簡得：，則當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡方程為，故B正確；當(dāng)時(shí)代入方程得，顯然不滿足方程，所以點(diǎn)不在雙紐線上故A錯(cuò)誤；把x換成，y換成，方程不變，所以雙紐線關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱，故C正確；因?yàn)椋魸M足，則點(diǎn)P在y軸上，在方程中令，解得，所以滿足的點(diǎn)為，故D正確；故選：BCD.11．ABC【詳解】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長為1，則，所以，，所以，所以，A正確；當(dāng)時(shí)，，所以，又平面，平面，從而平面，B正確；當(dāng)時(shí)，，，所以PQ與CD所成角的余弦值為，C正確；當(dāng)時(shí)，，，，所以不垂直于，所以不垂直于平面，D錯(cuò)誤．

故選：ABC.12．BC【詳解】斐波那契數(shù)列中，，，，，A錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，，三個(gè)式子相加，得：，B正確；當(dāng)時(shí)，，則，C正確；當(dāng)時(shí)，，則，D錯(cuò)誤.故選：BC13．【詳解】由向量，，可得，因?yàn)?，可得，解得，所以，所以與，又因?yàn)橄蛄颗c所成角為銳角，所以，解得，若向量與共線，則，解得，所以實(shí)數(shù)的范圍是.故答案為：.14．或【詳解】聯(lián)立，解得，故交點(diǎn)坐標(biāo)為，當(dāng)在軸的截距與在軸的截距為0時(shí)，設(shè)直線方程為，將代入得，解得，故直線的方程為；當(dāng)在軸的截距與在軸的截距不為0時(shí)，設(shè)直線方程為，將代入得，解得，故直線方程為，即，所以直線的方程為或.故答案為：或15．【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則.因?yàn)?，且?，構(gòu)成等比數(shù)列，所以，整理得，解得或（舍去）.所以，則，所以.由，?.當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，即；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，.即.（或當(dāng)時(shí).由，等；當(dāng)時(shí)，由，得）綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為：16．【詳解】取軸截面進(jìn)行分析，設(shè)小球?qū)?yīng)的圓心為，拋物線上任意一點(diǎn)，且，所以，當(dāng)?shù)淖钚≈翟谔幦〉綍r(shí)，此時(shí)小球能觸及杯底，由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，，所以，故此時(shí)半徑的取值范圍是，故答案為：.17．(1)(2)【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列得公差為d，聯(lián)立，即，解得，或，又，所以，故，（2）令，則，兩邊乘以得，，錯(cuò)位相減整理得，，所以.18．【詳解】（1）由取倒數(shù)得，即，又，所以，所以為首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，則，故.（2）由，得，則，則，所以這樣的有個(gè)，故，則，所以，則，兩式相減得：，所以，易知為遞增數(shù)列，又因?yàn)椋?，，所以，故，則最大正整數(shù)解為8.19．【詳解】（1）由對(duì)稱性可知圓心C在線段的垂直平分線上，線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，又，故的垂直平分線的斜率為，故的垂直平分線方程為，即，聯(lián)立與，解得，故圓心坐標(biāo)為，半徑為，故圓C的方程為，當(dāng)過點(diǎn)的直線斜率不存在時(shí)，不是圓C的切線，設(shè)過點(diǎn)的切線方程為，則，解得，故過點(diǎn)的切線方程為，即；（2）將代入圓C，，故點(diǎn)在圓C外，當(dāng)過點(diǎn)的直線斜率不存在時(shí)，此時(shí)直線與圓無交點(diǎn)，舍去，設(shè)過點(diǎn)的直線方程為，則圓心到直線的距離，又半徑，故由垂徑定理得，又三角形ABC的面積為10，所以，解得或，由于，故或均滿足要求，當(dāng)時(shí)，，解得或，當(dāng)時(shí)，，解得，綜上，直線l的方程為或或.20．【詳解】（1）由題設(shè)，知，所以.又，所以為等邊三角形，所以.在中，，所以.即，則.所以，即，又，且平面，所以平面.因?yàn)槠矫?，所以平面平?如圖1，設(shè)為的中點(diǎn)，連接，因?yàn)?，所?又因?yàn)槠矫嫫矫妫矫?所以平面，所以即為點(diǎn)到平面的距離.在中，，所以.即點(diǎn)到平面的距離為.

（2）如圖2，連接OC，則，且平面ABCD，所以，所以PO，BD，OC兩兩互相垂直.以O(shè)為原點(diǎn)，OB，OC，OP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz.則，所以.若上存在點(diǎn)滿足題意，不妨設(shè)，則，所以.設(shè)是平面的法向量，則，解得，不妨取，則平面的一個(gè)法向量為.同理，設(shè)是平面的法向量，則，解得，不妨取，則，所以平面的一個(gè)法向量為，所以，化簡整理得，解得或.即或.故在的三等分點(diǎn)處存在點(diǎn)，可使得平面與平面夾角的余弦值為.

21．【詳解】（1）解：依題意知，.若直線與軸重合，此時(shí)，直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，不合乎題意，設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，聯(lián)立，可得，則，由韋達(dá)定理可得，所以，，解得，所以，直線的方程為或，即或.（2）解：若直線與軸重合，此時(shí)，直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，不合乎題意，設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，聯(lián)立，可得，則，由韋達(dá)定理可得，則，即