2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-7.8-利用空間向量求空間角-專項(xiàng)訓(xùn)練【含答案】

2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-7.8-利用空間向量求空間角-專項(xiàng)訓(xùn)練【A級基礎(chǔ)鞏固】1.如圖,平行六面體ABCDA1B1C1D1中,底面ABCD是邊長為2的正方形,O為AC與BD的交點(diǎn),AA1=2,∠C1CB=∠C1CD,∠C1CO=45°.(1)證明:C1O⊥平面ABCD;(2)求二面角BAA1D的正弦值.2.如圖,矩形BCDE所在平面與△ABC所在平面垂直,∠ACB=90°,BE=2.(1)證明:DE⊥平面ACD;(2)若平面ADE與平面ABC的夾角的余弦值是55,且直線AE與平面BCDE所成角的正弦值是13.已知正方體ABCDA1B1C1D1中,點(diǎn)E,F分別是棱AA1,A1D1的中點(diǎn),過點(diǎn)D1作出正方體ABCDA1B1C1D1的截面,使得該截面平行于平面BEF.(1)作出該截面與正方體表面的交線,并說明理由;(2)求BD1與該截面所在平面所成角的正弦值.4.如圖所示的圓柱中,AB是圓O的直徑,AA1,CC1為圓柱的母線,四邊形ABCD是底面圓O的內(nèi)接等腰梯形,且AD=CD=BC=12AB=12AA1,E,F分別為A1D,CC(1)證明:EF∥平面ABCD;(2)求平面AA1D與平面C1EB所成銳二面角的余弦值.INCLUDEPICTURE"B組.TIF"INCLUDEPICTURE"E:\\大樣\\人教數(shù)學(xué)\\B組.TIF"INET【B級能力提升】5.如圖,在四棱錐PABCD中,△PAD為正三角形,底面ABCD為直角梯形,AD∥BC,AD⊥CD,AD=2BC=2,CD=3,PB=6.(1)求證:平面PAD⊥平面ABCD;(2)棱PC上是否存在點(diǎn)M,使得二面角MABD的大小為45°?若存在,求出MB的長;若不存在,請說明理由.6.如圖,在多面體ABCDEF中,四邊形ABCD與ABEF均為直角梯形,AD∥BC,AF∥BE,DA⊥平面ABEF,AB⊥AF,AD=AB=2BC=2BE=2.(1)已知點(diǎn)G為AF上一點(diǎn),AG=AD,求證:BG與平面DCE不平行;(2)已知直線BF與平面DCE所成角的正弦值為55參考答案【A級基礎(chǔ)鞏固】1.(1)證明:連接C1D,C1B(圖略),因?yàn)樗倪呅蜛BCD為正方形,且邊長為2.所以BC=CD=2,O為BD,AC的中點(diǎn),且OC=12AC=2在△C1CD和△C1CB中,因?yàn)镃所以△C1CD≌△C1CB,所以C1D=C1B.又因?yàn)镺為BD中點(diǎn).所以C1O⊥BD.在△OCC1中,因?yàn)镃C1=AA1=2,OC=2,∠C1CO=45°.所以C1O=C1C2所以C1O2+OC2=CC12,所以C因?yàn)镃1O⊥OC,OC1⊥BD,OC∩BD=O,OC,BD?平面ABCD,所以C1O⊥平面ABCD.(2)解:由(1)知AC,BD,C1O兩兩垂直,則以O(shè)為原點(diǎn),分別以O(shè)A,OB,OC1所在直線為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系(圖略),則B(0,2,0),A(2,0,0),A1(22,0,2),D(0,-2,0),AA1→=(2,02),AB→=(-2,2,0),AD→設(shè)平面BAA1的法向量為n=(x1,y1,z1),則n令x1=1,則y1=1,z1=-1,故n=(1,1,-1).設(shè)平面AA1D的法向量為m=(x2,y2,z2),則m令x2=-1,則y2=1,z2=1,故m=(-1,1,1).cos<n,m>=m·n|m|·|n|=-132.(1)證明:因?yàn)樗倪呅蜝CDE為矩形,所以DE⊥CD.因?yàn)椤螦CB=90°,即AC⊥BC,又DE∥BC,所以DE⊥AC,因?yàn)锳C∩CD=C,AC,CD?平面ACD,所以DE⊥平面ACD.(2)解:由(1)可得,CA⊥CB,CA⊥CD,CD⊥CB,以點(diǎn)C為坐標(biāo)原點(diǎn),CA→,CB→,設(shè)AC=a,BC=b,則A(a,0,0),D(0,0,2),E(0,b,2),B(0,b,0),所以AD→=(-a,0,2),DE→=(0,b,0),因?yàn)镃D⊥平面ABC,所以平面ABC的一個法向量為CD→設(shè)平面AED的法向量n=(x,y,z),則AD→解得y=0,z=a,所以n=(2,0,a),所以|cos<CD→,n>|=|CD→·n因?yàn)锳C⊥平面BCDE,所以平面BCDE的一個法向量為CA→所以|cos<CA→,AE→>|=|CA→·AE→||所以DE→=(0,11,0),AB→=(-1,所以cos<DE→,AB→>即異面直線DE與AB所成角的余弦值為3363.解:(1)設(shè)G,H分別是棱BC,CC1的中點(diǎn),順次連接D1,A,G,H,則四邊形D1AGH即為所求的截面.理由如下:因?yàn)辄c(diǎn)G,H分別是棱BC,CC1的中點(diǎn),故BC1∥GH,又BC1∥D1A,所以GH∥D1A,而兩平行直線確定一個平面,所以四邊形D1AGH為平面圖形.因?yàn)辄c(diǎn)E,F分別是棱AA1,A1D1的中點(diǎn),故D1A∥EF,又D1A?平面BEF,EF?平面BEF,所以D1A∥平面BEF.因?yàn)镋B→=AB→-D1H→=DAB→=D1C1→所以EB→=D又E,B,D1,H不共線,所以EB∥D1H,又D1H?平面BEF,EB?平面BEF,所以D1H∥平面BEF,又D1A∩D1H=D1,D1A?平面D1AGH,D1H?平面D1AGH,所以平面D1AGH∥平面BEF.(2)易知BD1與該截面所在平面所成角的正弦值,即BD1與平面BEF所成角的正弦值.建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,設(shè)正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為2,則B(2,2,0),D1(0,0,2),E(2,0,1),F(1,0,2),故BD1→(0,-2,1),EF→則m令z=2,可得m=(2,1,2),所以cos<m,BD1→>=m·B故BD1與平面BEF所成角的正弦值為39即BD1與該截面所在平面所成角的正弦值為394.(1)證明:取AA1的中點(diǎn)G,連接EG,FG,AC,則EG∥AD.因?yàn)镋G∥AD,EG?平面ABCD,AD?平面ABCD,所以EG∥平面ABCD,因?yàn)锳G∥CF,AG=CF,所以四邊形AGFC是平行四邊形,所以FG∥AC,又FG?平面ABCD,AC?平面ABCD,所以FG∥平面ABCD,因?yàn)镕G∩EG=G,FG,EG?平面EFG,所以平面EFG∥平面ABCD,因?yàn)镋F?平面EFG,所以EF∥平面ABCD.(2)解:設(shè)CD=BC=12AA1=1由AD=CD=BC,得∠DAB=∠ABC=60°,易知AC⊥BC,所以AC=42-2由題意知CA,CB,CC1兩兩垂直,以C為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以CA,CB,CC1所在直線為x軸,y軸,z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則A(23,0,0),A1(23,0,4),B(0,2,0),C1(0,0,4),D(3,-1,0),E(332,-所以EC1→=(-332設(shè)平面C1EB的一個法向量為n=(x,y,z),由n·E取z=1,得n=(23連接BD,因?yàn)锽D⊥AD,BD⊥AA1,AD∩AA1=A,所以BD⊥平面AA1D,所以平面AA1D的一個法向量為DB→=(-3所以cos<DB→,n>=-2+62所以平面AA1D與平面C1EB所成銳二面角的余弦值為219INCLUDEPICTURE"B組.TIF"INCLUDEPICTURE"E:\\大樣\\人教數(shù)學(xué)\\B組.TIF"INET【B級能力提升】5.(1)證明:如圖,取AD的中點(diǎn)K,連接PK,BK,因?yàn)椤鱌AD為正三角形,AD=2,所以PK⊥AD,PK=3.因?yàn)榈酌鍭BCD為直角梯形,AD∥BC,AD⊥CD,AD=2BC=2,所以四邊形BCDK為矩形,所以BK=CD=3.又PB=6,所以PK2+BK2=PB2,所以PK⊥BK.又BK∩AD=K,BK,AD?平面ABCD,所以PK⊥平面ABCD.因?yàn)镻K?平面PAD,所以平面PAD⊥平面ABCD.(2)解:由(1)得KB,KA,KP兩兩互相垂直,則以K為坐標(biāo)原點(diǎn),KA,KB,KP所在直線分別為x軸,y軸,z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則P(0,0,3),A(1,0,0),B(0,3,0),C(-1,3,0),當(dāng)M與C重合時,二面角MABD的平面角為0,不合題意,設(shè)PM→=λPC→(0≤λ<1),得M(-λ,3λ,3-所以MA→=(1+λ,-3λ,3λ-3),AB→=(-1,設(shè)平面MAB的法向量為m=(x,y,z),由m得(令x=3,則y=3,z=31所以m=(3,3,31由題意知平面ABCD的一個法向量為n=(0,0,1),所以cos45°=|cos<n,m>|=|n·m||解得λ=12或λ=3所以M(-12,32,所以|MB→|=14+所以棱PC上存在點(diǎn)M,使得二面角MABD的大小為45°,且|MB→|=72.6.(1)證明:因?yàn)镈A⊥平面ABEF,AB,AF?平面ABEF,所以DA⊥AB,DA⊥AF.又AB⊥AF,所以以A為坐標(biāo)原點(diǎn),AF,AB,AD所在直線分別為x軸,y軸,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,則B(0,2,0),E(1,2,0),C(0,2,1),D(0,0,2),G(2,0,0),所以EC→=(-1,0,1),ED→=(-1,-2,2),設(shè)平面