【八年級上冊數學蘇科版】第2章 軸對稱圖形（A卷知識通關練） -【單元測試】（解析版）

班級姓名學號分數第2章軸對稱（A卷·知識通關練）核心知識1軸對稱圖形的概念1.熊貓“冰墩墩”和燈籠“雪容融”是2022年北京冬奧會和冬殘奧會的吉祥物，以下“冰墩墩”和“雪容融”簡筆畫是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】A．不是軸對稱圖形，故此選項不符合題意；B．不是軸對稱圖形，故此選項不符合題意；C．是軸對稱圖形，故此選項符合題意；D．不是軸對稱圖形，故此選項不符合題意；故本題選C。2.下列圖形不是軸對稱圖形的是（）A．線段 B．長與不相等的長方形 C．等邊三角形 D．圓【答案】C【解析】A．線段是軸對稱圖形，故本選項不符合題意；B．角是軸對稱圖形，故本選項不符合題意；C．三角形不一定是軸對稱圖形，故本選項符合題意；D．正方形是軸對稱圖形，故本選項不符合題意；故本題選C。3.下面圖形中，對稱軸最少的是（）A．正方形 B．長與不相等的長方形 C．等邊三角形 D．圓【答案】B【解析】正方形有4條對稱軸，長與寬不相等的長方形由2條對稱軸，等邊三角形由3條對稱軸，圓有無數條對稱軸，所以對稱軸最少的是長與寬不相等的長方形；故本題選B。核心知識2．翻折變換（折疊問題）4.如圖①是一個直角三角形紙片，將其折疊，使點C落在斜邊上的點C′處，折痕為BD，如圖②，如果C′為AB的中點，△BCD的面積為1，則△ABC的面積為（）A．2B．3C．4D．5【答案】B【解析】∵△ABC為直角三角形，∴∠C＝∠BC′D＝∠AC′D＝90°，由折疊的性質得：△BCD≌△BC′D，∴S△BCD＝S△BC′D＝1，∵C′為AB的中點，∴AC′＝BC′，在△ADC′與△BDC′中AC'＝BC'∴△ADC′≌△BDC′（SAS），∴S△ADC′＝S△BCD＝S△BC′D＝1，∴△ABC的面積＝∴S△ADC′＋S△BCD＋S△BC′D＝3；故本題選B。5.將邊長為1的正方形紙片按如圖所示方法進行對折，記第1次對折后得到的圖形面積為S1，第2次對折后得到的圖形面積為S2，…，第n次對折后得到的圖形面積為Sn，請根據圖2化簡，S1＋S2＋S3＋S4＋…＋S2022＝（）A．122022B．11+2【答案】C【解析】由題意可知，S1＝12，S2＝122，S3＝123，…，S2022＝1∵原來的正方形紙片面積為1，∴S1＋S2＋S3＋S4＋…＋S2022＝1?12故本題選C。6.如圖，將一張長方形紙片沿EF折疊后，點D，C分別落在點D'，C′的位置，C'D'與AD邊相交于點G，若∠FEC＝56°，則∠AGC'＝_____．【答案】22°【解析】解：根據折疊的性質得，∠D′＝∠D＝90°，∠EFD′＝∠EFD，∵AD∥BC，∴∠GFE＝∠FEC＝56°，∴∠EFD＝180°?∠FEC＝124°，∴∠EFD′＝124°，∴∠GFD′＝∠EFD′?∠GFE＝68°，∴∠D′GF＝90°?∠GFD′＝22°，∴∠AGC'＝∠D′GF＝22°；故本題答案為：22°。核心知識3．角平分線的性質與判定7.如圖，已知△ABC的周長是36cm，∠ABC和∠ACB的角平分線交于點O，OD⊥BC于點D，若OD＝3cm，則△ABC的面積是（）A．48cm2 B．54cm2 C．60cm2 D．66cm2【答案】B【解析】如圖，過點O作OE⊥AC于點E，OF⊥AB于點F，連接OA，∵OB、OC分別平分∠ABC、∠ACB，OD⊥BC，∴OD＝OE＝OF＝3（cm），∴S△ABC＝S△AOB＋S△BOC＋S△AOC＝12×AB×OF＋12×BC×OD＋12×AC×OE＝＝12×3×36＝54（cm2）；故本題選B。8.如圖，點B，C分別在∠A的兩邊上，點D是∠A內一點，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E，F，且AB＝AC，DE＝DF．求證：BD＝CD．【答案】證明過程詳見解析【解析】證明：連接AD，∵DE⊥AB，DF⊥AC，DE＝DF，∴∠BAD＝∠CAD，在△ABD和△ACD中AB＝AC∴△ABD≌△ACD，（SAS），∴BD＝CD。9.如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB于點E，點F在AC上，BD＝DF．（1）求證：CF＝EB．（2）若AB＝12，AF＝8，求CF的長．【答案】（1）證明過程詳見解析；（2）2【解析】（1）證明：∵AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB于E，∴DE＝DC，在Rt△CDF與Rt△EDB中，DF＝DB∴Rt△CDF≌Rt△EDB（HL），∴CF＝EB；（2）解：設CF＝x，則AE＝12?x，∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∴CD＝ED，在Rt△ACD與Rt△AED中，AD＝AD∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），∴AC＝AE，即8＋x＝12?x，解得x＝2，即CF＝2。核心知識4．線段垂直平分線的性質與判定10.如圖，直線a，b相交于點O，P為這兩直線外一點，且OP＝1.7，若點P關于直線a，b的對稱點分別是點P1，P2，則P1，P2之間的距離可能是（）A．0B．3C．4D．5【答案】B【解析】連接OP1，OP2，P1P2，如圖：∵點P關于直線a，b的對稱點分別是點P1，P2，∴OP1＝OP＝1.7，OP＝OP2＝1.7，∵P1P2＜OP1＋OP2，∴0＜P1P2＜3.4；故本題選B。11.在△ABC中，DE、MN分別垂直平分AB和AC，交BC于點D、M，若DM＝2，BC＝5，則AD＋AM＝_____．【答案】3或7【解析】∵DE、MN分別垂直平分AB和AC，∴AD＝BD，AM＝CM，如圖1，AD＋AM＝BD＋CM＝BC?DM＝5?2＝3，如圖2，AD＋AM＝BD＋CM＝BC＋DM＝5＋2＝7，綜上所述，AD＋AM＝3或7；故本題答案為：3或7。12.如圖，在△ABC中，邊AB，AC的垂直平分線交于點P，連接AP，BP，CP，若∠BAC＝50°，則∠BPC＝_____．【答案】100°【解析】連接AP，延長BP交AC于D，∴∠BPC＝∠PDC＋∠ACP＝∠BAC＋∠ABP＋∠ACP，∵點P是AB，AC的垂直平分線的交點，∴PA＝PB＝PC，∴∠ABP＝∠BAP，∠ACP＝∠CAP，∴∠BPC＝∠BAC＋∠BAP＋∠CAP＝∠BAC＋∠BAC＝2∠BAC＝2×50°＝100°；故本題答案為：100°。13.如圖，已知△ABC，AD是∠BAC的角平分線，DE⊥AB于點E，DF⊥AC于點F，連接EF交AD于點G．（1）求證：AD垂直平分EF；（2）若AB＋AC＝10，DE＝3，求△ABC的面積．【答案】（1）證明過程詳見解析；（2）15【解析】（1）證明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠DEA＝∠DFA＝90°，∵AD是∠BAC的角平分線，∴∠EAD＝∠FAD，在△AED和△AFD中，∠DEA＝∠DFA∴△AED≌△AFD（AAS），∴AE＝AF，∵AD是∠BAC的角平分線，∴AG⊥EF，EG＝FG，∴AD垂直平分EF；（2）解：∵△AED≌△AFD，DE＝3，∴DF＝DE=3，∵AB＋AC＝10，∴△ABC的面積＝12AB?DE＋12AC?DF＝核心知識5．最短路線問題14.如圖，在正方形網格中有M，N兩點，在直線l上求一點P使PM＋PN最短，則點P應選在（）A．A點 B．B點 C．C點 D．D點【答案】C【解析】如圖，點M′是點M關于直線l的對稱點，連接M′N，則M′N與直線l的交點，即為點P，此時PM＋PN最短，∵M′N與直線l交于點C，∴點P應選C點；故本題選C。15.如圖，已知∠O，點P為其內一定點，分別在∠O的兩邊上找點A、B，使△PAB周長最小的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】如圖，分別作點P關于∠O的兩邊的對稱點P1，P2，連接P1P2交∠O的兩邊于A，B，連接PA，PB，此時△PAB的周長最??；故本題選D。16.如圖，P、Q為△ABC的邊AB、AC上的兩定點，在BC上求作一點M，使△PQM的周長最短（不寫作法）．【答案】作圖詳見解析【解析】如圖，作點P關于BC的對稱點P′，連接P′Q，交BC于點M，點M是所求的點。17.如圖，∠MON＝50°，P為∠MON內一點，OM上有點A，ON上有點B，當△PAB的周長取最小值時，∠APB的度數為（）A．60° B．70° C．80° D．100°【答案】C【解析】如圖，分別作P關于OM、ON的對稱點P1、P2，然后連接兩個對稱點即可得到A、B兩點∴△PAB即為所求的三角形，根據對稱性可知：∠APO＝∠AP1O，∠BPO＝∠BP2O，∠P1OP2＝2∠MON，OP1＝OP2，∵∠MON＝50°，∴∠P1OP2＝2∠MON＝100°，∵OP1＝OP2，∴∠AP1O＝∠BP2O＝40°，∴APO＝∠AP1O＝40°，BPO＝∠BP1O＝40°，∴∠APB＝∠APO＋∠BPO＝80°;故本題選C。核心知識6．等腰三角形的性質與判定18.已知一個等腰三角形，其中一條腰上的高與另一條腰的夾角為25°，則該等腰三角形的頂角為_____．【答案】65°或115°【解析】①如圖，等腰三角形為銳角三角形，∵BD⊥AC，∠ABD＝25°，∴∠A＝65°，即頂角的度數為65°；②如圖，等腰三角形為鈍角三角形，∵BD⊥AC，∠DBA＝25°，∴∠BAD＝65°，∴∠BAC＝115°；故本題答案為：65°或115°。19.如圖，已知△ABC中，AB＝6，AC＝8，∠ABC和∠ACB的平分線相交于點D，過點D作BC的平行線，分別交AB，AC于E，F，則△AEF的周長是_____．【答案】14【解析】解：∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，∴∠ABD＝∠DBC，∠ACD＝∠DCB，∵EF∥BC，∴∠EDB＝∠DBC，∠FDC＝∠DCB，∴∠ABD＝∠EDB，∠ACD＝∠FDC，∴EB＝ED，FD＝FC，∵AB＝6，AC＝8，∴△AEF的周長＝AE＋EF＋AF＝AE＋ED＋DF＋AF＝AE＋EB＋AF＋FC＝AB＋AC＝14；故本題答案為：14。20.如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于點D，DE⊥AC于點E，CF⊥AB于點F，若DE＝4，則CF的長為_____．【答案】8【解析】∵△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，∴AD是△ABC的中線，∴S△ABC＝2S△ACD＝2×12∵S△ABC＝12AB?CF，∴12∵AC＝AB，∴12∵DE＝4，∴CF＝8；故本題答案為：8。21.如圖，在△ABC中，AB＝AC，點D、E、F分別在BC、AB、AC邊上，且BE＝CF，BD＝CE．（1）求證：△DEF是等腰三角形；（2）求證：∠B＝∠DEF；（3）當∠A＝40°時，求∠DEF的度數．【答案】（1）證明過程詳見解析；（2）證明過程詳見解析；（3）70°【解析】（1）證明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，在△DBE和△ECF中，BD＝CE∴△DBE≌△ECF（SAS），∴DE＝FE，∴△DEF是等腰三角形；（2）∵△BDE≌△CEF，∴∠BDE＝∠CEF，∴∠DEF＝180°?∠BED?∠CEF＝180°?∠BED?∠BDE＝∠B；（3）由（2）可知：∠DEF＝∠B，∵∠A＝40°，∴∠B＝∠DEF＝180°?40°222.如圖所示，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，D是AC上一點，AE⊥BD，垂足為E，BE交AC于D，AE＝12【答案】證明過程詳見解析【解析】證明：延長AE、BC交于點F，如圖所示；∵AE⊥BD，∴∠BEF＝90°，又∠ACF＝∠ACB＝90°＝∠BEF，∴∠FAC＋∠AFC＝∠DBC＋∠AFC＝90°，∴∠FAC＝∠DBC，在△ACF和△BCD中，∠ACF＝∠BCD∴△ACF≌△BCD（ASA），∴AF＝BD,又AE＝12BD，∴AE＝12∵BE⊥AF，∴DE是AF的垂直平分線，∴AB＝BF，∴BD是∠ABC的平分線。核心知識7．等邊三角形的性質與判定23.等邊△ABC的邊長為4，點D是BC邊上的任意一點（不與點B，C重合），過點D分別作DE∥AC，DF∥AB，交AB，AC于點E，F，則四邊形AEDF的周長是_____．【答案】8【解析】∵△ABC為等邊三角形，∴AB＝AC＝BC=4，∠A＝∠B＝∠C＝60°，∵DF∥AB，DE∥AC，∴∠FDC＝∠B＝60°＝∠C，∠EDB＝∠C＝60°＝∠B，∴△BED和△FDC都為等邊三角形，∴ED＝EB，FD＝FC，∴四邊形AEDF的周長為AE＋ED＋AF＋FD＝AE＋EB＋AF＋FC＝AB＋AC＝2AB＝8；故本題答案為：8。24.如圖，在等邊△ABC中，點D在邊BC上，過點D作DE∥AB交AC于點E，過點E作EF⊥DE，交BC的延長線于點F．（1）求∠F的度數；（2）求證：DC＝CF．【答案】（1）30°；（2）證明過程詳見解析【解析】（1）解：∵△ABC是等邊三角形，∴∠B＝60°，∵DE∥AB，∴∠EDC＝∠B＝60°，∵DE⊥EF，∴∠DEF＝90°，∴∠F＝90°?∠EDF＝90°?60°＝30°；（2）證明：∵△ABC是等邊三角形，∴∠ACB＝60°＝∠EDC，∴△DEC是等邊三角形，∴CE＝CD，∵∠ECD＝∠F＋∠CEF，∠F＝30°，∴∠CEF＝∠F＝30°，∴EC＝CF，∴C