山東專用2025版高考數(shù)學一輪復習第七章立體幾何第二講空間幾何體的表面積與體積學案含解析

PAGE14-其次講空間幾何體的表面積與體積ZHISHISHULISHUANGJIZICE學問梳理·雙基自測eq\x(知)eq\x(識)eq\x(梳)eq\x(理)學問點一柱、錐、臺和球的側(cè)面積和體積側(cè)面積體積圓柱S側(cè)＝2πrhV＝__S底·h__＝πr2h圓錐S側(cè)＝__πrl__V＝eq\f(1,3)S底·h＝eq\f(1,3)πr2h＝eq\f(1,3)πr2eq\r(l2－r2)圓臺S側(cè)＝π(r1＋r2)lV＝eq\f(1,3)(S上＋S下＋eq\r(S上·S下))·h＝eq\f(1,3)π(req\o\al(2,1)＋req\o\al(2,2)＋r1r2)h直棱柱S側(cè)＝__ch__V＝__S底h__正棱錐S側(cè)＝eq\f(1,2)ch′V＝eq\f(1,3)S底h正棱臺S側(cè)＝eq\f(1,2)(c＋c′)h′V＝eq\f(1,3)(S上＋S下＋eq\r(S上·S下))h球S球面＝__4πR2__V＝eq\f(4,3)πR3學問點二幾何體的表面積(1)棱柱、棱錐、棱臺的表面積就是__各面面積之和__．(2)圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面綻開圖分別是__矩形__、__扇形__、__扇環(huán)形__；它們的表面積等于__側(cè)面積__與底面面積之和．eq\x(重)eq\x(要)eq\x(結)eq\x(論)1．長方體的外接球：球心：體對角線的交點；半徑：r＝eq\f(\r(a2＋b2＋c2),2)(a，b，c為長方體的長、寬、高)．2．正方體的外接球、內(nèi)切球及與各條棱相切的球：(1)外接球：球心是正方體中心；半徑r＝eq\f(\r(3),2)a(a為正方體的棱長)；(2)內(nèi)切球：球心是正方體中心；半徑r＝eq\f(a,2)(a為正方體的棱長)；(3)與各條棱都相切的球：球心是正方體中心；半徑r＝eq\f(\r(2),2)a(a為正方體的棱長)．3．正四面體的外接球與內(nèi)切球(正四面體可以看作是正方體的一部分)：(1)外接球：球心是正四面體的中心；半徑r＝eq\f(\r(6),4)a(a為正四面體的棱長)；(2)內(nèi)切球：球心是正四面體的中心；半徑r＝eq\f(\r(6),12)a(a為正四面體的棱長)．eq\x(雙)eq\x(基)eq\x(自)eq\x(測)題組一走出誤區(qū)1．(多選題)下列結論正確的是(ABC)A．多面體的表面積等于各個面的面積之和B．臺體的體積可轉(zhuǎn)化為兩個錐體的體積之差C．已知球O的半徑為R，其內(nèi)接正方體的棱長為a，則R＝eq\f(\r(3),2)aD．圓柱的一個底面積為S，側(cè)面綻開圖是一個正方形，那么這個圓柱的側(cè)面積是2πS題組二走進教材2．(必修2P27T1)已知圓錐的表面積等于12πcm2，其側(cè)面綻開圖是一個半圓，則底面圓的半徑為(B)A．1cm B．2cmC．3cm D．eq\f(3,2)cm[解析]由條件得：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(πrl＋πr2＝12π,\f(2πr,l)＝π))，∴3r2＝12，∴r＝2．題組三考題再現(xiàn)3．(2024·天津紅橋區(qū))某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是(C)A．eq\f(2\r(2)π,3) B．eq\f(π,2)C．eq\f(\r(2)π,3) D．π[解析]由三視圖知，幾何體是半徑為1，母線長為3的半圓錐，幾何體的體積V＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×π×12×eq\r(32－12)＝eq\f(\r(2)π,3).故選C．4．(2024·課標全國Ⅰ)已知圓柱的上、下底面的中心分別為O1，O2，過直線O1O2的平面截該圓柱所得的截面是面積為8的正方形，則該圓柱的表面積為(B)A．12eq\r(2)π B．12πC．8eq\r(2)π D．10π[解析]設圓柱底面半徑為r，則4r2＝8，即r2＝2.∴S圓柱表面積＝2πr2＋4πr2＝12π．5．(2024·江蘇高考)如圖，在圓柱O1O2內(nèi)有一個球O，該球與圓柱的上、下底面及母線均相切．記圓柱O1O2的體積為V1，球O的體積為V2，則eq\f(V1,V2)的值是eq\f(3,2)．[解析]設球O的半徑為r，則圓柱的底面半徑為r、高為2r，所以eq\f(V1,V2)＝eq\f(πr2·2r,\f(4,3)πr3)＝eq\f(3,2).故填eq\f(3,2)．KAODIANTUPOHUDONGTANJIU考點突破·互動探究考點一幾何體的表面積——自主練透例1(1)(2024·北京模擬)某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的表面積是(C)A．2＋eq\r(5) B．4＋eq\r(5)C．2＋2eq\r(5) D．5(2)(2024·湖南永州一模)某幾何體的三視圖如圖所示，該幾何體的表面積為(C)A．6－eq\f(4π,3) B．6－eq\f(π,2)C．6－eq\f(π,4) D．6＋eq\f(π,4)(3)(多選題)(2024·山東濰坊期末)等腰直角三角形直角邊長為1，現(xiàn)將該三角形繞其某一邊旋轉(zhuǎn)一周，則所形成的幾何體的表面積可以為(AB)A．eq\r(2)π B．(1＋eq\r(2))πC．2eq\r(2)π D．(2＋eq\r(2))π[解析](1)由三視圖知，該幾何體是底面為等腰三角形，其中一條側(cè)棱與底面垂直的三棱錐(SA⊥平面ABC)，如圖所示，由三視圖中的數(shù)據(jù)可計算得S△ABC＝eq\f(1,2)×2×2＝2，S△SAC＝eq\f(1,2)×eq\r(5)×1＝eq\f(\r(5),2)，S△SAB＝eq\f(1,2)×eq\r(5)×1＝eq\f(\r(5),2)，S△SBC＝eq\f(1,2)×2×eq\r(5)＝eq\r(5)，所以S表面積＝2＋2eq\r(5).故選C．(2)由三視圖可知幾何體是在正方體中挖去一個八分之一球，如圖，∴S表面積＝3＋3(1－eq\f(π,4))＋eq\f(1,8)×4π＝6－eq\f(π,4).故選C．(3)若繞直角邊旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體是圓錐，其表面積為π＋eq\r(2)π；若繞斜邊旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體是兩同底圓錐構成的組合體，其表面積為eq\r(2)π，故選A、B．名師點撥?空間幾何體表面積的求法(1)旋轉(zhuǎn)體的表面積問題留意其軸截面及側(cè)面綻開圖的應用．(2)多面體的表面積是各個面的面積之和；組合體的表面積留意連接部分的處理．(3)求不規(guī)則幾何體的表面積時，通常將所給幾何體分割成基本的柱、錐、臺體，先求出這些基本的柱、錐、臺體的表面積，再通過求和或作差，求出幾何體的表面積．〔變式訓練1〕(2024·河南洛陽二模)某幾何體的三視圖如圖所示，則其表面積為(B)A．eq\f(17π,2) B．9πC．eq\f(19π,2) D．10π[解析]由三視圖可知該幾何體由一個圓柱與四分之一的球組合而成．圓柱的底面半徑為1，高為3，球的半徑為1，所以幾何體的表面積為π×12＋2π×1×3＋4π×12×eq\f(1,4)＋eq\f(1,2)π×12＋eq\f(1,2)π×12＝9π.故選B．考點二幾何體的體積——師生共研例2(1)(2024·浙江高考)某幾何體的三視圖如圖所示(單位：cm)，則該幾何體的體積(單位：cm3)是(A)A．eq\f(π,2)＋1 B．eq\f(π,2)＋3C．eq\f(3π,2)＋1 D．eq\f(3π,2)＋3(2)(2024·河南中原名校質(zhì)量考評)一個幾何體三視圖如右圖所示，則該幾何體體積為(D)A．12 B．8C．6 D．4[解析](1)由三視圖可知該幾何體是由底面半徑為1cm，高為3cm的半個圓錐和三棱錐S－ABC組成的，如圖，三棱錐的高為3cm，底面△ABC中，AB＝2cm，OC＝1cm，AB⊥OC．故其體積V＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×π×12×3＋eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2×1×3＝(eq\f(π,2)＋1)cm3.故選A．(2)由三視圖可知幾何體為三棱錐，如圖，故其體積V＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2×3×4＝4.故選D．[引申]若將本例(2)中側(cè)視圖中虛線去掉，則該幾何體的體積為__8__，表面積為21＋3eq\r(5)．[解析]幾何體為如圖所示的四棱錐，用公式求解即可．名師點撥?空間幾何體體積問題的常見類型及解題策略(1)干脆利用公式進行求解．(2)用轉(zhuǎn)換法、分割法、補形法等方法進行求解．(3)以三視圖的形式給出的應先得到幾何體的直觀圖．再求解．〔變式訓練2〕(1)某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的體積為(A)A．eq\f(1,6) B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,2) D．1(2)(2024·浙北四校模擬)某幾何體的三視圖如圖所示(單位：cm)，則該幾何體的體積(單位：cm3)是(B)A．8 B．8πC．16 D．16π[解析](1)由三視圖可畫出三棱錐的直觀圖如圖所示．其底面是等腰直角三角形ACB，直角邊長為1，三棱錐的高為1，故體積V＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×1×1＝eq\f(1,6).故選A．(2)由三視圖的圖形可知，幾何體是等邊圓柱斜切一半，所求幾何體的體積為：eq\f(1,2)×22π×4＝8π.故選B．考點三球與幾何體的切、接問題——多維探究角度1幾何體的外接球例3(1)(2024·全國)已知三棱錐P－ABC的四個頂點在球O的球面上，PA＝PB＝PC，△ABC是邊長為2的正三角形，E、F分別是PA，PB的中點，∠CEF＝90°，則球O的體積為(D)A．8eq\r(6)π B．4eq\r(6)πC．2eq\r(6)π D．eq\r(6)π(2)(2024·廣東順德質(zhì)檢)已知三棱錐P－ABC的底面ABC是邊長為2的等邊三角形，PA⊥平面ABC，且PA＝2，則該三棱錐外接球的表面積為(D)A．eq\f(68π,3) B．20πC．48π D．eq\f(28π,3)[解析](1)∵PA＝PB＝PC，△ABC為邊長為2的等邊三角形，∴P－ABC為正三棱錐，∴PB⊥AC，又E，F(xiàn)分別為PA、AB中點，∴EF∥PB，∴EF⊥AC，又EF⊥CE，CE∩AC＝C，∴EF⊥平面PAC，∴PB⊥平面PAC，∴∠APB＝90°，∴PA＝PB＝PC＝eq\r(2)，∴P－ABC為正方體一部分，2R＝eq\r(2＋2＋2)＝eq\r(6)，即R＝eq\f(\r(6),2)，∴V＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(4,3)π×eq\f(6\r(6),8)＝eq\r(6)π．(2)如圖設△ABC外接圓的圓心為O1，球心為O，則OO1⊥平面ABC，又PA⊥平面ABC，連接AO1并延長交球于H，由∠PAH＝eq\f(π,2)，知O∈PH，∴OO1為Rt△PAH的中位線，∴OO1＝eq\f(1,2)PA＝1，又正△ABC邊長為2，∴eq\f(2,sin60°)＝2O1H，∴O1H＝eq\f(2\r(3),3)，∴OH＝eq\r(O1H2＋OO\o\al(2,1))＝eq\f(\r(21),3)，∴S球＝4π·(OH)2＝eq\f(28π,3)，故選D．名師點撥?幾何體外接球問題的處理(1)解題關鍵是確定球心和半徑，球心必在過球的截面外接圓的圓心且垂直于該平面的直線上，再依據(jù)R2＝h2＋r2求解(R—球半徑，r—截面圓的半徑，h—球心到截面圓心的距離)．注：若截面為非特別三角形可用正弦定理求其外接圓半徑r．(2)三條側(cè)棱兩兩垂直的三棱錐，可以補成長方體，它們是同一個外接球．留意：不共面的四點確定一個球面．角度2幾何體的內(nèi)切球例4(1)(2024·河北省石家莊市適應性考試)一個圓錐的母線長為2，圓錐的母線與底面的夾角為eq\f(π,4)，則圓錐的內(nèi)切球的表面積為(B)A．8π B．4(2－eq\r(2))2πC．4(2＋eq\r(2))2π D．eq\f(322－\r(2)2,49)π(2)(2024·山東試驗中學模擬)在側(cè)棱長為a的正三棱錐O－ABC中，側(cè)棱OA，OB，OC兩兩垂直，現(xiàn)有一小球P在該幾何體內(nèi)，則小球P最大的半徑為(B)A．eq\f(3＋\r(3),6)a B．eq\f(3－\r(3),6)aC．eq\f(2－\r(3),6)a D．eq\f(2＋\r(3),6)a[解析](1)作圓錐軸截面——等腰△PAB，則球心在底邊的高PH上，又AP＝BP＝2，∠PBH＝eq\f(π,4)，∴AH＝HB＝HP＝eq\r(2)．設內(nèi)切球的半徑為r，則利用圓錐的軸截面，依據(jù)面積法，可得eq\f(1,2)×2eq\r(2)×eq\r(2)＝eq\f(1,2)×(2＋2＋2eq\r(2))r，解得r＝2－eq\r(2)，所以該圓錐內(nèi)切球的表面積為4π×(2－eq\r(2))2＝4(2－eq\r(2))2π，故選B．(2)當小球與三個側(cè)面OAB，OAC，OBC及底面ABC都相切時，小球的體積最大，此時小球的半徑最大，該小球為正三棱錐O－ABC的內(nèi)切球，設其半徑為r，球心為P，∵OA＝OB＝OC＝a，∴AB＝AC＝BC＝eq\r(2)a，∴VO－ABC＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)a2×a＝eq\f(1,6)a3，VP－OAB＋VP－OBC＋VP－OAC＋VP－ABC＝eq\f(1,3)×[eq\f(1,2)a2＋eq\f(1,2)a2＋eq\f(1,2)a2＋eq\f(\r(3),4)(eq\r(2)a)2]r＝eq\f(3＋\r(3),6)a2r，由題可知VO－ABC＝VP－OAB＋VP－OBC＋VP－OAC＋VO－ABC，因此eq\f(1,6)a3＝eq\f(3＋\r(3),6)a2r，∴r＝eq\f(1,3＋\r(3))a＝eq\f(3－\r(3),6)a，故選B．[引申]本例(1)中圓錐外接球的體積為eq\f(8\r(2)π,3)．[解析]圓錐底面圓心即為其外接球的球心，所以外接球的半徑為eq\r(2)，∴V球＝eq\f(4π,3)(eq\r(2))3＝eq\f(8\r(2)π,3)．名師點撥?幾何體內(nèi)切球問題的處理(1)解題時常用以下結論確定球心和半徑：①球心在過切點且與切面垂直的直線上；②球心到各面距離相等．(2)利用體積法求多面體內(nèi)切球半徑．〔變式訓練3〕(1)(角度1)(2024·廣西南寧、玉林、貴港等市聯(lián)考)某幾何體的三視圖如圖所示，則此幾何體的外接球表面積為(B)A．2π B．3πC．4π D．6π(2)(角度1)(2024·四川省宜賓市二診)已知三棱錐P－ABC的四個頂點都在半徑為2的球面上，AB＝BC＝CA＝2eq\r(2)，PA⊥平面ABC，則三棱錐P－ABC的體積為(D)A．eq\r(6) B．2eq\r(2)C．eq\f(9,4) D．eq\f(8,3)(3)(角度2)(2024·廈門質(zhì)量檢查一)如圖，某棱錐的正視圖和側(cè)視圖都是等邊三角形，若該棱錐的體積為eq\f(4\r(3),3)，則該棱錐的內(nèi)切球的表面積是(C)A．eq\f(π,3) B．eq\f(2π,3)C．eq\f(4π,3) D．eq\f(8π,3)[解析](1)幾何體的直觀圖是如圖所示的四面體ABCD，四面體ABCD的外接球即正方體的外接球，外接球的直徑2R＝eq\r(3)，∴此幾何體的外接球表面積為3π，故選B．(2)如圖所示，取BC中點D，連接AD，則AD＝eq\r(2\r(2)2－\r(2)2)＝eq\r(6)，設三角形ABC的中心為G，則AG＝eq\f(2\r(6),3)，又球O得半徑為2，則OG＝eq\r(22－\f(2\r(6),3)2)＝eq\f(2\r(3),3)，則PA＝eq\f(4\r(3),3)．∴三棱錐P－ABC的體積為V＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2eq\r(2)×eq\r(6)×eq\f(4\r(3),3)＝eq\f(8,3).故選D．(3)由正視圖和側(cè)視圖知，該幾何體為正四棱錐，底面是邊長為2的正方形．因為該棱錐的體積為eq\f(4\r(3),3)，所以該棱錐的高h＝eq\r(3)，斜高h′＝2.設該棱錐的內(nèi)切球的半徑為R，則4×eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2×2×R＋eq\f(1,3)×22×R＝eq\f(4\r(3),3)，解得R＝eq\f(\r(3),3)，所以該棱錐的內(nèi)切球的表面積S＝4π×(eq\f(\r(3),3))2＝eq\f(4π,3).故選C．MINGSHIJIANGTANSUYANGTISHENG名師講壇·素養(yǎng)提升最值問題、開放性問題例5(2024·課標全國Ⅲ)設A，B，C，D是同一個半徑為4的球的球面上四點，△ABC為等邊三角形且其面積為9eq\r(3)，則三棱錐D－ABC體積的最大值為(B)A．12eq\r(3) B．18eq\r(3)C．24eq\r(3) D．54eq\r(3)[解析]設等邊