江蘇專用2024新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第一章集合常用邏輯用語和不等式第1節(jié)集合的概念與運(yùn)算學(xué)案

PAGE1-第1節(jié)集合的概念與運(yùn)算考試要求1.通過實(shí)例了解集合的含義，理解元素與集合的屬于關(guān)系；針對(duì)詳細(xì)問題能在自然語言、圖形語言的基礎(chǔ)上，用符號(hào)語言刻畫集合；2.理解集合之間包含與相等的含義，能識(shí)別給定集合的子集；在詳細(xì)情境中了解全集與空集的含義；3.理解兩個(gè)集合的并集與交集的含義，能求兩個(gè)簡潔集合的并集與交集；4.理解在給定集合中一個(gè)子集的補(bǔ)集的含義，能求給定子集的補(bǔ)集；5.能運(yùn)用韋恩(Venn)圖表達(dá)集合間的基本關(guān)系及集合的基本運(yùn)算，體會(huì)圖形對(duì)理解抽象概念的作用.知識(shí)梳理1.集合的概念(1)肯定范圍內(nèi)某些確定的、不同的對(duì)象的全體構(gòu)成一個(gè)集合，集合中的每一個(gè)對(duì)象稱為該集合的元素.(2)集合中元素的三個(gè)特性：確定性、互異性、無序性.(3)集合的表示方法：列舉法、描述法、Venn圖法等.(4)集合按含有元素的個(gè)數(shù)可分為有限集、無限集、空集.(5)特殊地，自然數(shù)集記作N，正整數(shù)集記作N*或N＋，整數(shù)集記作Z，有理數(shù)集記作Q，實(shí)數(shù)集記作R，復(fù)數(shù)集記作C.2.集合間的基本關(guān)系(1)子集：假如集合A的隨意一個(gè)元素都是集合B的元素(若a∈A，則a∈B)，那么集合A稱為集合B的子集，記為A?B或B?A.(2)真子集：假如A?B，并且A≠B，那么集合A稱為集合B的真子集，記為AB或BA.(3)空集：空集是任何集合的子集.(4)相等：假如兩個(gè)集合所含的元素完全相同，那么稱這兩個(gè)集合相等.3.集合的基本運(yùn)算集合的并集集合的交集集合的補(bǔ)集符號(hào)表示A∪BA∩B若全集為S，則集合A的補(bǔ)集為?SA圖形表示集合表示{x|x∈A，或x∈B}{x|x∈A，且x∈B}{x|x∈S，且x?A}4.集合的運(yùn)算性質(zhì)(1)A∩A＝A，A∩?＝?，A∩B＝B∩A.(2)A∪A＝A，A∪?＝A，A∪B＝B∪A.(3)A∩(?SA)＝?，A∪(?SA)＝S，?S(?SA)＝A.[常用結(jié)論與微點(diǎn)提示]1.若有限集A中有n個(gè)元素，則A的子集有2n個(gè)，真子集有2n－1個(gè)，非空子集有2n－1個(gè)，非空真子集有2n－2個(gè).2.子集的傳遞性：A?B，B?C?A?C.3.留意空集：空集是任何集合的子集，是非空集合的真子集，應(yīng)時(shí)刻關(guān)注對(duì)于空集的探討.4.A?B?A∩B＝A?A∪B＝B??SA??SB.5.?S(A∩B)＝(?SA)∪(?SB)，?S(A∪B)＝(?SA)∩(?SB).診斷自測(cè)1.推斷下列結(jié)論的正誤.(在括號(hào)內(nèi)打“√”或“×”)(1)任何一個(gè)集合都至少有兩個(gè)子集.()(2){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}.()(3)若{x2，1}＝{0，1}，則x＝0，1.()(4)對(duì)于隨意兩個(gè)集合A，B，關(guān)系(A∩B)?(A∪B)恒成立.()解析(1)錯(cuò)誤.空集只有一個(gè)子集.(2)錯(cuò)誤.{x|y＝x2＋1}＝R，{y|y＝x2＋1}＝[1，＋∞)，{(x，y)|y＝x2＋1}是拋物線y＝x2＋1上的點(diǎn)集.(3)錯(cuò)誤.當(dāng)x＝1時(shí)，不滿意集合中元素的互異性.答案(1)×(2)×(3)×(4)√2.(新教材必修第一冊(cè)P9T1(1)改編)若集合P＝{x∈N|x≤eq\r(2021)}，a＝2eq\r(2)，則()A.a∈P B.{a}∈PC.{a}?P D.a?P解析因?yàn)閍＝2eq\r(2)不是自然數(shù)，而集合P是不大于eq\r(2021)的自然數(shù)構(gòu)成的集合，所以a?P，只有D正確.答案D3.(教材必修1P13練習(xí)T6)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|x，y∈R且y＝x}，則A∩B中元素的個(gè)數(shù)為________.解析集合A表示以(0，0)為圓心，1為半徑的單位圓上的點(diǎn)，集合B表示直線y＝x上的點(diǎn)，圓x2＋y2＝1與直線y＝x相交于兩點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2)))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)，－\f(\r(2),2)))，則A∩B中有兩個(gè)元素.答案24.(2024·全國Ⅲ卷)已知集合A＝{－1，0，1，2}，B＝{x|x2≤1}，則A∩B＝()A.{－1，0，1} B.{0，1}C.{－1，1} D.{0，1，2}解析因?yàn)锽＝{x|x2≤1|}＝{x|－1≤x≤1}，又A＝{－1，0，1，2}，所以A∩B＝{－1，0，1}.答案A5.(2024·全國Ⅱ卷改編)已知集合A＝{x|x2－5x＋6>0}，B＝{x|x－1≥0}，全集U＝R，則A∩(?UB)＝()A.(－∞，1) B.(－2，1)C.(－3，－1) D.(3，＋∞)解析由題意A＝{x|x<2或x>3}.又B＝{x|x≥1}，知?UB＝{x|x<1}，∴A∩(?UB)＝{x|x<1}.答案A6.(2024·青島模擬)設(shè)P和Q是兩個(gè)集合，定義集合P－Q＝{x|x∈P，且x?Q}，假如P＝{x|1<2x<4}，Q＝{y|y＝2＋sinx，x∈R}，那么P－Q＝()A.{x|0<x≤1} B.{x|0≤x<2}C.{x|1≤x<2} D.{x|0<x<1}解析由題意得P＝{x|0<x<2}，Q＝{y|1≤y≤3}，∴P－Q＝{x|0<x<1}.答案D考點(diǎn)一集合的基本概念【例1】(1)定義P⊙Q＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(z|z＝y(tǒng)x＋\f(x,y)，x∈P，y∈Q))，已知P＝{0，－2}，Q＝{1，2}，則P⊙Q＝()A.{1，－1} B.{1，－1，0}C.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(1，－1，－\f(3,4))) D.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(3,4)))(2)設(shè)集合A＝{x|(x－a)2<1}，且2∈A，3?A，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為________.解析(1)由定義，當(dāng)x＝0時(shí)，z＝1，當(dāng)x＝－2時(shí)，z＝1－2＋eq\f(－2,1)＝－1或z＝2－2－1＝－eq\f(3,4).因此P⊙Q＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(1，－1，－\f(3,4))).(2)由題意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（2－a）2<1，,（3－a）2≥1，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1<a<3，,a≤2或a≥4.))所以1<a≤2.答案(1)C(2)(1，2]規(guī)律方法1.探討集合問題時(shí)，首先要明確構(gòu)成集合的元素是什么，即弄清該集合是數(shù)集、點(diǎn)集，還是其他集合；然后再看集合的構(gòu)成元素滿意的限制條件是什么，從而精確把握集合的含義.2.利用集合元素的限制條件求參數(shù)的值或確定集合中元素的個(gè)數(shù)時(shí)，要留意檢驗(yàn)集合中的元素是否滿意互異性.【訓(xùn)練1】(1)(2024·全國Ⅱ卷)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，則A中元素的個(gè)數(shù)為()A.9 B.8 C.5 D.4(2)設(shè)A是整數(shù)集的一個(gè)非空子集，對(duì)于k∈A，假如k－1?A，且k＋1?A，那么稱k是A的一個(gè)“孤立元”.給定S＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，由S的3個(gè)元素構(gòu)成的全部集合中，不含“孤立元”的集合共有________個(gè).解析(1)由題意知A＝{(－1，0)，(0，0)，(1，0)，(0，－1)，(0，1)，(－1，－1)，(－1，1)，(1，－1)，(1，1)}，故集合A中共有9個(gè)元素.(2)依題意可知，由S的3個(gè)元素構(gòu)成的全部集合中，不含“孤立元”時(shí)，這三個(gè)元素肯定是連續(xù)的三個(gè)整數(shù).∴所求的集合為{1，2，3}，{2，3，4}，{3，4，5}，{4，5，6}，{5，6，7}，{6，7，8}，共6個(gè).答案(1)A(2)6考點(diǎn)二集合間的基本關(guān)系【例2】(1)(2024·蘇州調(diào)研)已知集合A＝{－1，1}，B＝{x|ax＋1＝0}.若B?A，則實(shí)數(shù)a的全部可能取值的集合為()A.{－1} B.{1}C.{－1，1} D.{－1，0，1}(2)(2024·蘇、錫、常、鎮(zhèn)四市調(diào)研)已知集合A＝{x|y＝log2(x2－3x－4)}，B＝{x|x2－3mx＋2m2<0(m>0)}，若B?A，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為()A.(4，＋∞) B.[4，＋∞)C.(2，＋∞) D.[2，＋∞)解析(1)當(dāng)B＝?時(shí)，a＝0，此時(shí)，B?A.當(dāng)B≠?時(shí)，則a≠0，∴B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x＝－\f(1,a))).又B?A，∴－eq\f(1,a)∈A，∴a＝±1.綜上可知，實(shí)數(shù)a全部取值的集合為{－1，0，1}.(2)由x2－3x－4>0得x<－1或x>4，所以集合A＝{x|x<－1或x>4}.由x2－3mx＋2m2<0(m>0)得m<x<2m.又B?A，所以2m≤－1(舍去)或m≥4.答案(1)D(2)B規(guī)律方法1.若B?A，應(yīng)分B＝?和B≠?兩種狀況探討.2.已知兩個(gè)集合間的關(guān)系求參數(shù)時(shí)，關(guān)鍵是將兩個(gè)集合間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為元素或區(qū)間端點(diǎn)間的關(guān)系，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為參數(shù)滿意的關(guān)系.解決這類問題經(jīng)常要合理利用數(shù)軸、Venn圖，化抽象為直觀進(jìn)行求解.確定參數(shù)所滿意的條件時(shí)，肯定要把端點(diǎn)值代入進(jìn)行驗(yàn)證，否則易增解或漏解.【訓(xùn)練2】(1)若集合M＝{x||x|≤1}，N＝{y|y＝x2，|x|≤1}，則()A.M＝N B.M?NC.M∩N＝? D.N?M(2)(2024·蘇北四市調(diào)研)已知集合A＝{x|log2(x－1)<1}，B＝{x||x－a|<2}，若A?B，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()A.(1，3) B.[1，3]C.[1，＋∞) D.(－∞，3]解析(1)易知M＝{x|－1≤x≤1}，N＝{y|y＝x2，|x|≤1}＝{y|0≤y≤1}，∴N?M.(2)由log2(x－1)<1，得0<x－1<2，所以A＝(1，3).由|x－a|<2得a－2<x<a＋2，即B＝(a－2，a＋2).因?yàn)锳?B，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a－2≤1，,a＋2≥3，))解得1≤a≤3.所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為[1，3].答案(1)D(2)B考點(diǎn)三集合的運(yùn)算多維探究角度1集合的基本運(yùn)算【例3－1】(1)(2024·全國Ⅰ卷)已知集合U＝{1，2，3，4，5，6，7}，A＝{2，3，4，5}，B＝{2，3，6，7}，則B∩(?UA)＝()A.{1，6} B.{1，7}C.{6，7} D.{1，6，7}(2)(2024·南通一模)已知全集U＝R，集合A＝{x|x－4≤0}，B＝{x|lnx<2}，則?U(A∩B)＝()A.{x|x>4} B.{x|x≤0或x>4}C.{x|0<x≤4} D.{x|x<4或x≥e2}解析(1)由題意知?UA＝{1，6，7}.又B＝{2，3，6，7}，∴B∩(?UA)＝{6，7}.(2)易知A＝{x|x≤4}，B＝{x|0<x<e2}，則A∩B＝{x|0<x≤4}，故?U(A∩B)＝{x|x≤0或x>4}.答案(1)C(2)B角度2抽象集合的運(yùn)算【例3－2】設(shè)U為全集，A，B是其兩個(gè)子集，則“存在集合C，使得A?C，B??UC”是“A∩B＝?”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件解析由圖可知，若“存在集合C，使得A?C，B??UC”，則肯定有“A∩B＝?”；反過來，若“A∩B＝?”，則肯定能找到集合C，使A?C且B??UC.答案C規(guī)律方法1.進(jìn)行集合運(yùn)算時(shí)，首先看集合能否化簡，能化簡的先化簡，再探討其關(guān)系并進(jìn)行運(yùn)算.2.數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用：(1)離散型數(shù)集或抽象集合間的運(yùn)算，常借助Venn圖求解；(2)連續(xù)型數(shù)集的運(yùn)算，常借助數(shù)軸求解，運(yùn)用數(shù)軸時(shí)要特殊留意端點(diǎn)是實(shí)心還是空心.【訓(xùn)練3】(1)(角度1)(2024·天津卷)設(shè)全集為R，集合A＝{x|0<x<2}，B＝{x|x≥1}，則A∩(?RB)＝()A.{x|0<x≤1} B.{x|0<x<1}C.{x|1≤x<2} D.{x|0<x<2}(2)(多選題)(角度1)已知集合A＝{x∈N||x|≤1}，B＝{x∈Z|y＝eq\r(x＋1)·eq\r(3－x)}，則()A.A∩B＝A B.A∪B＝BC.?BA＝{－1，2，3} D.?BA＝{x|1＜x≤3}(3)(角度2)若全集U＝{－2，－1，0，1，2}，A＝{－2，2}，B＝{x|x2－1＝0}，則圖中陰影部分所表示的集合為()A.{－1，0，1} B.{－1，0}C.{－1，1} D.{0}解析(1)因?yàn)锽＝{x|x≥1}，所以?RB＝{x|x<1}，又A＝{x|0<x<2}，所以A∩(?RB)＝{x|0<x<1}.(2)易知A＝{0，1}，B＝{－1，0，1，2，3}，所以A∩B＝{0，1}＝A，A∪B＝B，?BA＝{－1，2，3}，故A，B，C正確.(3)B＝{x|x2－1＝0}＝{－1，1}，陰影部分所表示的集合為?U(A∪B).又A∪B＝{－2，－1，1，2}，全集U＝{－2，－1，0，1，2}，所以?U(A∪B)＝{0}.答案(1)B(2)ABC(3)DA級(jí)基礎(chǔ)鞏固一、選擇題1.(2024·全國Ⅰ卷)已知集合M＝{x|－4<x<2}，N＝{x|x2－x－6<0}，則M∩N＝()A.{x|－4<x<3} B.{x|－4<x<－2}C.{x|－2<x<2} D.{x|2<x<3}解析M＝{x|－4<x<2}，N＝{x|－2<x<3}，∴M∩N＝{x|－2<x<2}.答案C2.(2024·浙江卷)已知全集U＝{－1，0，1，2，3}，集合A＝{0，1，2}，B＝{－1，0，1}，則(?UA)∩B＝()A.{－1} B.{0，1}C.{－1，2，3} D.{－1，0，1，3}解析由題意，得?UA＝{－1，3}，∴(?UA)∩B＝{－1}.答案A3.(多選題)已知集合A＝{1，2，3，4}，B＝{y|y＝2x－3，x∈A}，則集合A∩B的子集可以為()A.? B.{1} C.{3} D.{1，3}解析由題意，得B＝{－1，1，3，5}，∴A∩B＝{1，3}.故集合A∩B的子集可以為?，{1}，{3}，{1，3}.答案ABCD4.設(shè)集合M＝{x|x2－x>0}，N＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)<1))))，則()A.MN B.NMC.M＝N D.M∪N＝R解析集合M＝{x|x2－x>0}＝{x|x>1或x<0}，N＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)<1))))＝{x|x>1或x<0}，所以M＝N.答案C5.設(shè)集合A＝{x|－1<x≤2}，B＝{x|x<0}，則下列結(jié)論正確的是()A.(?RA)∩B＝{x|x<－1}B.A∩B＝{x|－1<x<0}C.A∪(?RB)＝{x|x≥0}D.A∪B＝{x|x<0}解析易求?RA＝{x|x≤－1或x>2}，?RB＝{x|x≥0}，∴(?RA)∩B＝{x|x≤－1}，A項(xiàng)不正確.A∩B＝{x|－1<x<0}，B項(xiàng)正確，檢驗(yàn)C、D錯(cuò)誤.答案B6.已知集合M＝{x|y＝eq\r(x－1)}，N＝{x|y＝log2(2－x)}，則?R(M∩N)＝()A.[1，2) B.(－∞，1)∪[2，＋∞)C.[0，1] D.(－∞，0)∪[2，＋∞)解析由題意可得M＝{x|x≥1}，N＝{x|x<2}，∴M∩N＝{x|1≤x<2}，∴?R(M∩N)＝{x|x<1或x≥2}.答案B7.(2024·日照一中月考)已知A＝[1，＋∞)，B＝[0，3a－1]，若A∩B≠?，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A.[1，＋∞) B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))C.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，＋∞)) D.(1，＋∞)解析由題意可得3a－1≥1，解得a≥eq\f(2,3)，∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，＋∞)).答案C8.設(shè)集合A＝{(x，y)|x＋y＝1}，B＝{(x，y)|x－y＝3}，則滿意M?(A∩B)的集合M的個(gè)數(shù)是()A.0 B.1 C.2 D.3解析由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝1，,x－y＝3，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝－1，))∴A∩B＝{(2，－1)}.由M?(A∩B)，知M＝?或M＝{(2，－1)}.答案C二、填空題9.(2024·江蘇卷)已知集合A＝{－1，0，1，6}，B＝{x|x>0，x∈R}，則A∩B＝________.解析由交集定義可得A∩B＝{1，6}.答案{1，6}10.已知集合A＝{1，3，4，7}，B＝{x|x＝2k＋1，k∈A}，則集合A∪B中元素的個(gè)數(shù)為________.解析由已知得B＝{3，7，9，15}，所以A∪B＝{1，3，4，7，9，15}，故集合A∪B中元素的個(gè)數(shù)為6.答案611.已知集合A＝{x|x2－5x－14≤0}，集合B＝{x|m＋1<x<2m－1}，若B?A，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為________.解析A＝{x|x2－5x－14≤0}＝{x|－2≤x≤7}.當(dāng)B＝?時(shí)，有m＋1≥2m－1，則m≤2.當(dāng)B≠?時(shí)，若B?A，如圖.則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＋1≥－2，,2m－1≤7，,m＋1<2m－1，))解得2<m≤4.綜上，m的取值范圍為(－∞，4].答案(－∞，4]12.若全集U＝R，集合A＝{x|x2－x－2≥0}，B＝{x|log3(2－x)≤1}，則A∩(?UB)＝________.解析由題意，得集合A＝{x|x2－x－2≥0}＝{x|x≤－1或x≥2}，因?yàn)閘og3(2－x)≤1＝log33，所以0<2－x≤3，解得－1≤x<2，所以B＝{x|－1≤x<2}，從而?UB＝{x|x<－1或x≥2}，故A∩(?UB)＝{x|x<－1或x≥2}.答案{x|x<－1或x≥2}B級(jí)實(shí)力提升13.(2024·啟東月考)已知集合A＝{x|x2－16<0}，B＝{x|3x2＋6x＝1}，則()A.A∪B＝? B.B?AC.A∩B＝{0} D.A?B解析由題意，得A＝{x|x2－16<0}＝{x|－4<x<4}，B＝{x|3x2＋6x＝1}＝{0，－6}，A∪B＝{x|x＝－6或－4<x<4}，A∩B＝{0}，故A錯(cuò)誤，明顯B、D錯(cuò)誤，故C正確.答案C14.已知集合A＝{x|y＝eq\r(4－x2)}，B＝{x|a≤x≤a＋1}，若A∪B＝A，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()A.(－∞，－3]∪[2，＋∞) B.[－1，2]C.[－2，1] D.[2，＋∞)解析集合A＝{x|y＝eq\r(4－x2)}＝{x|－2≤x≤2}，因A∪B＝A，則B?A.又B≠?，所以有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a≥－2，,a＋1≤2，))所以－2≤a≤1.答案C