二次根式二次根式的乘除法

學(xué)習(xí)必備歡迎下載學(xué)習(xí)必備歡迎下載學(xué)習(xí)必備歡迎下載二次根式二次根式的乘除法一、知識(shí)概述1、二次根式的定義形如的式子，叫做二次根式．注意：二次根式有意義的條件是a≥0．2、二次根式的基本性質(zhì)(1)是一個(gè)非負(fù)數(shù)；(2)；(3)．3、二次根式的乘法法則即兩個(gè)二次根式相乘，把被開方數(shù)相乘，根指數(shù)不變．4、積的算術(shù)平方根的性質(zhì)即兩個(gè)非負(fù)數(shù)的積的算術(shù)平方根，等于這兩個(gè)因數(shù)的算術(shù)平方根的乘積．5、二次根式的除法法則即兩個(gè)二次根式相除，把被開方數(shù)相除，根指數(shù)不變．6、商的算術(shù)平方根的性質(zhì)7、最簡(jiǎn)二次根式滿足下列條件：(1)被開方數(shù)不含分母；(2)被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式的二次根式稱為最簡(jiǎn)二次根式．二、重難點(diǎn)知識(shí)歸納1、從二次根式的定義看出，二次根式的被開方數(shù)可以是一個(gè)數(shù)，也可以是一個(gè)式子，且被開方數(shù)必須是非負(fù)數(shù)．2、二次根式的性質(zhì)具有雙重非負(fù)性，即二次根式中被開方數(shù)非負(fù)（a≥0）,算術(shù)平方根非負(fù)(≥0).3、利用得到成立，可以把任意一個(gè)非負(fù)數(shù)寫成一個(gè)數(shù)的平方的形式．如．4、注意逆用二次根式的乘除法則，即，，利用這兩個(gè)性質(zhì)可以對(duì)二次根式進(jìn)行化簡(jiǎn)．5、二次根式的運(yùn)算中，最后結(jié)果中的二次根式要化為最簡(jiǎn)二次根式或整式．最簡(jiǎn)二次根式必須滿足兩個(gè)條件：(1)被開方數(shù)不含分母；(2)被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式．化簡(jiǎn)方法有多樣，但都要化簡(jiǎn)．如化簡(jiǎn)．方法1：．方法2：．方法3：．方法4：6、二次根式的分母有理化當(dāng)被開方式中含有分母時(shí)，要把分母中的根號(hào)化去，這個(gè)運(yùn)算過(guò)程叫分母有理化．如分母含時(shí)，分子分母同乘以；分母為形式，分子分母同乘以，以便運(yùn)用平方差公式，化去分母中的根號(hào)．三、典型例題講解例1、已知，化簡(jiǎn).解析：因?yàn)?，由二次根式的被平方?shù)為非負(fù)性知：x－2≥0且x-2≤0，從而x=2。所以。故有。例2、已知等式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)成立，其中x、y、a是兩兩不同的實(shí)數(shù)，試求代數(shù)式的值．解：由題意得∴由①③得a≥0，由②④得a≤0．∴a=0．故：原等式可化為，∴x=－y．∴例3、計(jì)算下列各題．解：例4、已知求二次根式的值.分析：將作為一個(gè)整體，逐步平方得到的值.例5、已知x、y為實(shí)數(shù)，且實(shí)數(shù)m適合關(guān)系式，試確定m的值．分析：∵x－199＋y與199－x－y互為相反數(shù)，且x－199＋y≥0，199－x－y≥0同時(shí)成立，∴x－199＋y=0，即x＋y=199，又由算術(shù)平方根是非負(fù)數(shù)，可得到關(guān)于x、y、m的方程組，從而求出m的值．解：由二次根式有意義的條件知，∴x＋y=199將其代入已知等式得．又根據(jù)算術(shù)平方根為非負(fù)實(shí)數(shù)有②×2－①得x＋y－m＋2=0，結(jié)合③得m=x＋y＋2=199＋2=201．總結(jié)：當(dāng)兩個(gè)二次根式的被開方數(shù)互為相反數(shù)時(shí)，可用“夾逼”的方法推出，兩個(gè)被開方數(shù)同時(shí)為零．例6、把下列各式化成最簡(jiǎn)二次根式：分析：（1）～（4）題均不含分母，因此要將其化為最簡(jiǎn)二次根式，即是將被開方數(shù)中能開得盡方的因數(shù)或因式運(yùn)用積的算術(shù)平方根的性質(zhì)，將其移至根號(hào)外，（5）～（8）題都含有分母，應(yīng)首先根據(jù)分式的基本性質(zhì)，將分母化為能開得盡方的，然后再運(yùn)用商的算術(shù)平方根的性質(zhì)將其化簡(jiǎn)，但不要忽視分子中含有能開得盡方的因式或因數(shù)也要化簡(jiǎn)．總結(jié)：（1）當(dāng)被開方數(shù)中不含有分母，則用積的算術(shù)平方根性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)；（2）當(dāng)被開方數(shù)中含有分母，化簡(jiǎn)時(shí)既要用到商的算術(shù)平方根，也要用到積的算術(shù)平方根．中考解析：例1、（2006年.廣州）若代數(shù)式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍為（）．A．x>0B．x≥0C．x≠0D．x≥0且x≠1分析：代數(shù)式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則被開方數(shù)x≥0,又分母不能為零，即x－1≠0,所以x≥0且x≠1．答案：D例2、（2005年，紹興）化簡(jiǎn)得（）A．2B．－4x＋4C．－2D．4x－4分析：要注意題目中的隱含條件：2x－3≥0，∴2x－1>0.由二次根式的雙重非負(fù)性化簡(jiǎn)，所以．答案：A課外拓展：例1、已知，求a＋b＋c的值．分析：已知條件是一個(gè)含三個(gè)未知量的等式，三個(gè)未知量，一個(gè)等式如何才能確定未知量的值呢？由二次根式的基本性質(zhì)考慮配方．解：原等式變形為，配方得則得a=2，b=6，c=12，故a＋b＋c=20．例2、若a=－1，求(a5＋2a4－17a3－a2＋18a－17)99的值．思路：本題若將a=－1代入，確實(shí)繁雜，聯(lián)想到以前學(xué)過(guò)的整體求值，因此應(yīng)在a=－1上做文章．解：∵a=－1，∴(a＋1)2=()2即a2＋2a＋1=17．又∵a5＋2a4－17a3－a2＋18a－17=a5＋2a4－(a2＋2a＋1)·a3－a2＋(a2＋2a＋1＋1)a－(a2＋2a＋1)=a5＋2a4－a5－2a4－a3－a2＋a3＋2a2＋2a－a2－2a－1=－1．∴原式=－1．總結(jié)：本題是構(gòu)造出值為17的代數(shù)式，然后依據(jù)待求式中多次出現(xiàn)17的特點(diǎn)，采用賓主置換的方法，得到簡(jiǎn)捷的解法，也可以用降次的方法，即將a2=16－2a代入降次求解A卷一、選擇題1、若=x－1，則x的取值范圍是（）A．x≥1B．x≤1C．x>1D．x<12、二次根式中，最簡(jiǎn)二次根式的個(gè)數(shù)為（）A．5個(gè)B．4個(gè)C．3個(gè)D．2個(gè)3、設(shè)a為實(shí)數(shù)，則的最小值是（）A．1B．0C．D．4、若1≤a≤3，化簡(jiǎn)|a－1|＋的結(jié)果為（）A．2B．－2C．2a＋2D．2a－45、當(dāng)x≤2時(shí)，下列等式一定成立的是（）A．B．C．D．6、化簡(jiǎn)的結(jié)果為（）A．B．C．D．7、計(jì)算=（）A．1B．－1C．D．－8、已知，則的值為（）A．3B．－3C．±3D．9B卷二、解答題9、已知實(shí)數(shù)a滿足，求a－20052的值．10、設(shè)a、b、c都是實(shí)數(shù)，且滿足，求x2＋x＋1的值．11、化簡(jiǎn)：．12、計(jì)算下列各題；；；．13、化簡(jiǎn)下列各式．14、若實(shí)數(shù)x，y滿足，試求x＋y的值．選擇題A2.D3.D4.A5.C6.C7.D8.A解答題9.解：由知a≥2006，∴原式可化為即a－2006=20052，∴a－20052=200610.解：∵(2－a)2≥0，，|c＋6|≥0.