內(nèi)蒙古呼和浩特市第六中學(xué)2025屆高考數(shù)學(xué)一模試卷含解析

內(nèi)蒙古呼和浩特市第六中學(xué)2025屆高考數(shù)學(xué)一模試卷注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無(wú)效。4．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．設(shè)命題p:>1,n2>2n,則p為（）A． B．C． D．2．已知數(shù)列滿足，且成等比數(shù)列.若的前n項(xiàng)和為，則的最小值為（）A． B． C． D．3．某四棱錐的三視圖如圖所示，則該四棱錐的體積為（）A． B． C． D．4．雙曲線x2a2A．y=±2x B．y=±3x5．設(shè)集合，，若，則（）A． B． C． D．6．函數(shù)的圖象大致為()A． B．C． D．7．已知,則()A． B． C． D．8．存在點(diǎn)在橢圓上，且點(diǎn)M在第一象限，使得過(guò)點(diǎn)M且與橢圓在此點(diǎn)的切線垂直的直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則橢圓離心率的取值范圍是（）A． B． C． D．9．是定義在上的增函數(shù)，且滿足：的導(dǎo)函數(shù)存在，且，則下列不等式成立的是（）A． B．C． D．10．《易·系辭上》有“河出圖，洛出書”之說(shuō)，河圖、洛書是中華文化，陰陽(yáng)術(shù)數(shù)之源，其中河圖的排列結(jié)構(gòu)是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中.如圖，白圈為陽(yáng)數(shù)，黑點(diǎn)為陰數(shù).若從這10個(gè)數(shù)中任取3個(gè)數(shù)，則這3個(gè)數(shù)中至少有2個(gè)陽(yáng)數(shù)且能構(gòu)成等差數(shù)列的概率為（）A． B． C． D．11．已知函數(shù)，若，則下列不等關(guān)系正確的是（）A． B．C． D．12．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的最長(zhǎng)棱的長(zhǎng)為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設(shè)，滿足約束條件，若的最大值是10，則________.14．已知函數(shù)，則________；滿足的的取值范圍為________.15．記等差數(shù)列和的前項(xiàng)和分別為和，若，則______.16．已知，，且，則最小值為__________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知等腰梯形中（如圖1），，，為線段的中點(diǎn)，、為線段上的點(diǎn)，，現(xiàn)將四邊形沿折起（如圖2）（1）求證：平面；（2）在圖2中，若，求直線與平面所成角的正弦值.18．（12分）已知函數(shù).（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；（Ⅱ）若不等式對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.19．（12分）某超市計(jì)劃按月訂購(gòu)一種酸奶，每天進(jìn)貨量相同，進(jìn)貨成本每瓶4元，售價(jià)每瓶6元，未售出的酸奶降價(jià)處理，以每瓶2元的價(jià)格當(dāng)天全部處理完．根據(jù)往年銷售經(jīng)驗(yàn)，每天需求量與當(dāng)天最高氣溫（單位：℃）有關(guān)．如果最高氣溫不低于25，需求量為500瓶；如果最高氣溫位于區(qū)間[20，25），需求量為300瓶；如果最高氣溫低于20，需求量為200瓶．為了確定六月份的訂購(gòu)計(jì)劃，統(tǒng)計(jì)了前三年六月份各天的最高氣溫?cái)?shù)據(jù)，得下面的頻數(shù)分布表：最高氣溫[10，15）[15，20）[20，25）[25，30）[30，35）[35，40）天數(shù)216362574以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率估計(jì)最高氣溫位于該區(qū)間的概率．（1）求六月份這種酸奶一天的需求量不超過(guò)300瓶的概率；（2）設(shè)六月份一天銷售這種酸奶的利潤(rùn)為Y（單位：元），當(dāng)六月份這種酸奶一天的進(jìn)貨量為450瓶時(shí)，寫出Y的所有可能值，并估計(jì)Y大于零的概率．20．（12分）已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，焦距為4，且橢圓過(guò)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)且不平行于坐標(biāo)軸的直線交橢圓與兩點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，直線交軸于點(diǎn).（1）求的周長(zhǎng)；（2）求面積的最大值.21．（12分）若函數(shù)為奇函數(shù)，且時(shí)有極小值.（1）求實(shí)數(shù)的值與實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.22．（10分）求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：（1）（2）

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】根據(jù)命題的否定，可以寫出：，所以選C.2、D【解析】

利用等比中項(xiàng)性質(zhì)可得等差數(shù)列的首項(xiàng)，進(jìn)而求得，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)，可得當(dāng)或時(shí)，取到最小值.【詳解】根據(jù)題意，可知為等差數(shù)列，公差，由成等比數(shù)列，可得，∴，解得.∴.根據(jù)單調(diào)性，可知當(dāng)或時(shí)，取到最小值，最小值為.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列通項(xiàng)公式、等比中項(xiàng)性質(zhì)、等差數(shù)列前項(xiàng)和的最值，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力，求解時(shí)注意當(dāng)或時(shí)同時(shí)取到最值.3、B【解析】

由三視圖知該四棱錐是底面為正方形，且一側(cè)棱垂直于底面，由此求出四棱錐的體積．【詳解】由三視圖知該四棱錐是底面為正方形，且一側(cè)棱垂直于底面，畫出四棱錐的直觀圖，如圖所示：則該四棱錐的體積為.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了利用三視圖求幾何體體積的問(wèn)題，是基礎(chǔ)題．4、A【解析】分析：根據(jù)離心率得a,c關(guān)系，進(jìn)而得a,b關(guān)系，再根據(jù)雙曲線方程求漸近線方程，得結(jié)果.詳解：∵e=因?yàn)闈u近線方程為y=±bax點(diǎn)睛：已知雙曲線方程x2a25、A【解析】

根據(jù)交集的結(jié)果可得是集合的元素，代入方程后可求的值，從而可求.【詳解】依題意可知是集合的元素，即，解得，由，解得.【點(diǎn)睛】本題考查集合的交，注意根據(jù)交集的結(jié)果確定集合中含有的元素，本題屬于基礎(chǔ)題.6、A【解析】

確定函數(shù)在定義域內(nèi)的單調(diào)性，計(jì)算時(shí)的函數(shù)值可排除三個(gè)選項(xiàng)．【詳解】時(shí)，函數(shù)為減函數(shù)，排除B，時(shí)，函數(shù)也是減函數(shù)，排除D，又時(shí)，，排除C，只有A可滿足．故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查由函數(shù)解析式選擇函數(shù)圖象，可通過(guò)解析式研究函數(shù)的性質(zhì)，如奇偶性、單調(diào)性、對(duì)稱性等等排除，可通過(guò)特殊的函數(shù)值，函數(shù)值的正負(fù)，函數(shù)值的變化趨勢(shì)排除，最后剩下的一個(gè)即為正確選項(xiàng)．7、B【解析】

利用誘導(dǎo)公式以及同角三角函數(shù)基本關(guān)系式化簡(jiǎn)求解即可．【詳解】，本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．8、D【解析】

根據(jù)題意利用垂直直線斜率間的關(guān)系建立不等式再求解即可.【詳解】因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)M橢圓的切線方程為,所以切線的斜率為,由,解得,即,所以,所以.故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查了建立不等式求解橢圓離心率的問(wèn)題,屬于基礎(chǔ)題.9、D【解析】

根據(jù)是定義在上的增函數(shù)及有意義可得，構(gòu)建新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可得為上的增函數(shù)，從而可得正確的選項(xiàng).【詳解】因?yàn)槭嵌x在上的增函數(shù)，故.又有意義，故，故，所以.令，則，故在上為增函數(shù)，所以即，整理得到.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)單調(diào)性中的應(yīng)用，一般地，數(shù)的大小比較，可根據(jù)數(shù)的特點(diǎn)和題設(shè)中給出的原函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系構(gòu)建新函數(shù)，本題屬于中檔題.10、C【解析】

先根據(jù)組合數(shù)計(jì)算出所有的情況數(shù)，再根據(jù)“3個(gè)數(shù)中至少有2個(gè)陽(yáng)數(shù)且能構(gòu)成等差數(shù)列”列舉得到滿足條件的情況，由此可求解出對(duì)應(yīng)的概率.【詳解】所有的情況數(shù)有：種，3個(gè)數(shù)中至少有2個(gè)陽(yáng)數(shù)且能構(gòu)成等差數(shù)列的情況有：，共種，所以目標(biāo)事件的概率.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查概率與等差數(shù)列的綜合，涉及到背景文化知識(shí)，難度一般.求解該類問(wèn)題可通過(guò)古典概型的概率求解方法進(jìn)行分析；當(dāng)情況數(shù)較多時(shí)，可考慮用排列數(shù)、組合數(shù)去計(jì)算.11、B【解析】

利用函數(shù)的單調(diào)性得到的大小關(guān)系，再利用不等式的性質(zhì)，即可得答案.【詳解】∵在R上單調(diào)遞增，且，∴.∵的符號(hào)無(wú)法判斷，故與，與的大小不確定，對(duì)A，當(dāng)時(shí)，，故A錯(cuò)誤；對(duì)C，當(dāng)時(shí)，，故C錯(cuò)誤；對(duì)D，當(dāng)時(shí)，，故D錯(cuò)誤；對(duì)B，對(duì)，則，故B正確.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查分段函數(shù)的單調(diào)性、不等式性質(zhì)的運(yùn)用，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.12、D【解析】

先根據(jù)三視圖還原幾何體是一個(gè)四棱錐，根據(jù)三視圖的數(shù)據(jù)，計(jì)算各棱的長(zhǎng)度.【詳解】根據(jù)三視圖可知，幾何體是一個(gè)四棱錐，如圖所示：由三視圖知：，所以，所以，所以該幾何體的最長(zhǎng)棱的長(zhǎng)為故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查三視圖的應(yīng)用，還考查了空間想象和運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

畫出不等式組表示的平面區(qū)域，數(shù)形結(jié)合即可容易求得結(jié)果.【詳解】畫出不等式組表示的平面區(qū)域如下所示：目標(biāo)函數(shù)可轉(zhuǎn)化為與直線平行，數(shù)形結(jié)合可知當(dāng)且僅當(dāng)目標(biāo)函數(shù)過(guò)點(diǎn)，取得最大值，故可得，解得.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查由目標(biāo)函數(shù)的最值求參數(shù)值，屬基礎(chǔ)題.14、【解析】

首先由分段函數(shù)的解析式代入求值即可得到，分和兩種情況討論可得；【詳解】解：因?yàn)?，所以，∵，∴?dāng)時(shí)，滿足題意，∴；當(dāng)時(shí)，由，解得.綜合可知：滿足的的取值范圍為.故答案為：；.【點(diǎn)睛】本題考查分段函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，分類討論思想，屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】

結(jié)合等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式,可得,求解即可.【詳解】由題意,,,因?yàn)?所以.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式及等差中項(xiàng)的應(yīng)用,考查了學(xué)生的計(jì)算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】

首先整理所給的代數(shù)式，然后結(jié)合均值不等式的結(jié)論即可求得其最小值.【詳解】，結(jié)合可知原式，且，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.即最小值為.【點(diǎn)睛】在應(yīng)用基本不等式求最值時(shí)，要把握不等式成立的三個(gè)條件，就是“一正——各項(xiàng)均為正；二定——積或和為定值；三相等——等號(hào)能否取得”，若忽略了某個(gè)條件，就會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）見解析；（2）.【解析】

（1）先連接，根據(jù)線面平行的判定定理，即可證明結(jié)論成立；（2）在圖2中，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，連接，，證明平面平面，得到點(diǎn)在底面上的投影必落在直線上，記為點(diǎn)在底面上的投影，連接，，得出即是直線與平面所成角，再由題中數(shù)據(jù)求解，即可得出結(jié)果.【詳解】（1）連接，因?yàn)榈妊菪沃校ㄈ鐖D1），，，所以與平行且相等，即四邊形為平行四邊形；所以；又為線段的中點(diǎn)，為中點(diǎn)，易得：四邊形也為平行四邊形，所以；將四邊形沿折起后，平行關(guān)系沒(méi)有變化，仍有：，且，所以翻折后四邊形也為平行四邊形；故；因?yàn)槠矫?，平面，所以平面；?）在圖2中，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，連接，，因?yàn)?，，翻折前梯形的高為，所以，則，；所以；又，，所以，即，所以；又，且平面，平面，所以平面；因此，平面平面；所以點(diǎn)在底面上的投影必落在直線上；記為點(diǎn)在底面上的投影，連接，，則平面；所以即是直線與平面所成角，因?yàn)?，所以，因此，，故；因?yàn)?，所以，因此，故，所?即直線與平面所成角的正弦值為.【點(diǎn)睛】本題主要考查證明線面平行，以及求直線與平面所成的角，熟記線面平行的判定定理，以及線面角的求法即可，屬于?？碱}型.18、（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】試題分析：（Ⅰ）分三種情況討論，分別求解不等式組，然后求并集即可得不等式的解集；（Ⅱ）根據(jù)絕對(duì)值不等式的性質(zhì)可得，不等式對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立，等價(jià)于，解不等式即可求的取值范圍.試題解析：（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，即，①當(dāng)時(shí)，得，所以；②當(dāng)時(shí)，得，即，所以；③當(dāng)時(shí)，得成立，所以.故不等式的解集為.（Ⅱ）因?yàn)?，由題意得，則，解得，故的取值范圍是.19、（1）．（2）．【解析】

（1）由前三年六月份各天的最高氣溫?cái)?shù)據(jù)，求出最高氣溫位于區(qū)間[20，25）和最高氣溫低于20的天數(shù)，由此能求出六月份這種酸奶一天的需求量不超過(guò)300瓶的概率．（2）當(dāng)溫度大于等于25℃時(shí)，需求量為500，求出Y＝900元；當(dāng)溫度在[20，25）℃時(shí)，需求量為300，求出Y＝300元；當(dāng)溫度低于20℃時(shí)，需求量為200，求出Y＝﹣100元，從而當(dāng)溫度大于等于20時(shí)，Y＞0，由此能估計(jì)估計(jì)Y大于零的概率．【詳解】解：（1）由前三年六月份各天的最高氣溫?cái)?shù)據(jù)，得到最高氣溫位于區(qū)間[20，25）和最高氣溫低于20的天數(shù)為2+16+36＝54，根據(jù)往年銷售經(jīng)驗(yàn)，每天需求量與當(dāng)天最高氣溫（單位：℃）有關(guān)．如果最高氣溫不低于25，需求量為500瓶，如果最高氣溫位于區(qū)間[20，25），需求量為300瓶，如果最高氣溫低于20，需求量為200瓶，∴六月份這種酸奶一天的需求量不超過(guò)300瓶的概率p．（2）當(dāng)溫度大于等于25℃時(shí)，需求量為500，Y＝450×2＝900元，當(dāng)溫度在[20，25）℃時(shí)，需求量為300，Y＝300×2﹣（450﹣300）×2＝300元，當(dāng)溫度低于20℃時(shí)，需求量為200，Y＝400﹣（450﹣200）×2＝﹣100元，當(dāng)溫度大于等于20時(shí)，Y＞0，由前三年六月份各天的最高氣溫?cái)?shù)據(jù)，得當(dāng)溫度大于等于20℃的天數(shù)有：90﹣（2+16）＝72，∴估計(jì)Y大于零的概率P．【點(diǎn)睛】本題考查概率的求法，考查利潤(rùn)的所有可能取值的求法，考查函數(shù)、古典概型等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力、空間想象能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想，是中檔題．20、（1）12（2）【解析】

（1）根據(jù)焦距得焦點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合橢圓上的點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)定義；（2）求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，設(shè)，聯(lián)立直線和橢圓，結(jié)合韋達(dá)定理表示出面積，即可求解最大值.【詳解】（1）設(shè)橢園的焦距為，則，故.則橢圓過(guò)點(diǎn)，由橢圓定義知:，故，因此，的周長(zhǎng)；（2）由（1）知:，橢圓方程為:設(shè)，則，，，，，當(dāng)且僅當(dāng)在短軸頂點(diǎn)處取等，故面積的最大值為.【點(diǎn)睛】此題考查根據(jù)橢圓的焦點(diǎn)和橢圓上的點(diǎn)的坐標(biāo)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，根據(jù)直線與橢圓的交點(diǎn)關(guān)系求三角形面積的最值，涉及韋達(dá)定理