湖北省鄂東南省級示范聯(lián)盟學(xué)校2024年高三下學(xué)期5月第一次聯(lián)考（一模）數(shù)學(xué)試題 含解析

鄂東南省級示范高中教育教學(xué)改革聯(lián)盟學(xué)校2024年五月模擬考高三數(shù)學(xué)試卷試卷滿分：150一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．已知復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則（）A．3 B． C．4 D．52．已知集合，則下列表述正確的是（）A． B． C． D．3．已知向量，則向量在向量上的投影向量為（）A． B． C． D．4．被9除的余數(shù)為（）A．1 B．4 C．5 D．85．已知數(shù)列為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，，則（）A． B． C． D．6．已知拋物線的焦點為，過的直線與與交于兩點（點在軸上方），點，若，則的方程為（）A． B． C． D．7．已知點是直線上的動點，由點向圓引切線，切點分別為且，若滿足以上條件的點有且只有一個，則（）A． B． C．2 D．8．已知，則的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．下列說法正確的有（）A．“與是互斥事件”是“與互為對立事件”的必要不充分條件B．的下四分位數(shù)為95C．在經(jīng)驗回歸方程中，當(dāng)解釋變量每增加1個單位時，響應(yīng)變量將平均減少0.3個單位D．隨機(jī)變量服從二項分布，則，且的概率最大10．如圖，有一個正四面體，其棱長為1．下列關(guān)于說法中正確的是（）A．過棱的截面中，截面面積的最小值為B．若為棱（不含端點）上的動點，則存在點使得C．若分別為直線上的動點，則兩點的距離最小值為D．與該正四面體各個頂點的距離都相等的截面有10個11．已知，下列結(jié)論正確的是（）A．若的圖象向左平移個單位長度后得到的圖象關(guān)于軸對稱，則可以等于B．若在上恰有3個零點，則的取值范圍是C．若在上恰有3個零點，則的取值范圍是D．若在上單調(diào)，且，則的最小正周期為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．曲線在點處的切線為，則在軸上的截距是______．13．斜率為1的直線與雙曲線交于兩點，點是上的一點，滿足的重心分別為的外心為．記直線，的斜率為．若，則雙曲線的離心率為______．14．設(shè)是絕對值不大于10的整數(shù)，函數(shù)滿足，則的所有可能取值組成的集合為______．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．（13分）記的角的對邊分別為，已知．（1）求；（2）若點是邊上一點，且，求的值．16．（15分）如圖，四邊形是圓臺的軸截面，是圓臺的母線，點是的中點．已知，點是的中點．（1）若直線與直線所成的角是，求證：平面；（2）記直線與平面所成的角為，平面與平面的夾角為，則當(dāng)時，求的值．17．（15分）為了推動“體育助力鄉(xiāng)村振興”，豐富人民群眾的文化生活，某地決定舉辦“村超”足球友誼賽．比賽邀請本地兩支村足球隊（實力相當(dāng)）和外地兩支村足球隊（實力相當(dāng)）參加．賽事規(guī)定：（1）比賽分為兩個階段，第一階段：四支球隊分成兩組，每組進(jìn)行一場比賽；第二階段：第一階段的勝者之間、負(fù)者之間各進(jìn)行一場比賽，前者決出第一、二名，后者決出第三、四名．（2）第一階段分組方案：采取抽簽法，每組本地一支球隊、外地一支球隊．已知各場比賽的勝率和上座率均互相獨立，單場比賽的勝率和上座率如下：勝率本地隊外地隊本地隊0.50.6外地隊0.40.5上座率本地隊外地隊本地隊0.81外地隊10.8（1）第二階段兩場比賽上座率之和記為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）求本地足球隊獲得第一名的概率．18．（17分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓和圓的方程分別為和．以坐標(biāo)原點為端點作射線，與圓和圓分別交于兩點．過作軸的垂線，過作軸的垂線，兩垂線交于點，設(shè)點的軌跡為．（1）求點的軌跡的方程；（2）若曲線與軸交于兩點（點位于點上方）．已知點，直線，分別和曲線交于點，直線交軸于點，求的取值范圍．19．（17分）在數(shù)值計算中，帕德近似是一種常用的逼近方法．給定兩個正整數(shù)，若函數(shù)的階導(dǎo)數(shù)存在，函數(shù)在處的階帕德近似定義為：，且滿足：，．其中為函數(shù)的階導(dǎo)數(shù)．對于給定的正整數(shù)，函數(shù)的階帕德近似是唯一的．函數(shù)的帕德近似記為．例如，．（1）證明：當(dāng)時，；（2）當(dāng)時，比較與的大小；（3）數(shù)列滿足，記，求證：．鄂東南省級示范高中教育教學(xué)改革聯(lián)盟學(xué)校2024年五月模擬考高三數(shù)學(xué)參考答案一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．答案：B解：由，則，所以．故選：B．2．答案：C解：，所以，故正確；A，B，D均不正確．故選：C．3．答案：A解：設(shè)）因為，所以解得．向量在向量上的投影向量為．故選：A．4．答案：B．解：其中是9的整數(shù)倍．故被9除的余數(shù)為4．故選：B．5．答案：A．解：由為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，，可得．由，可得，故A正確，C錯誤．當(dāng)時，；當(dāng)時，，故B，D都錯誤．故選：A．6．答案：B解：設(shè)，則，即．由得，的方程為．由得，．故選：B．7．答案：D解：連接，則．又，所以四邊形為正方形，，于是點在以點為圓心，為半徑的圓上．又由滿足條件的點有且只有一個，則圓與直線相切，所以點到直線的距離，解得．故選：D．8．答案：C解：．設(shè)，則，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，，即．又．設(shè)，則．令，則在上單調(diào)遞減．當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，，．另法：．而，．綜上，．故選：C．二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．答案：ACD．解：對于A，與是互斥事件，與不一定互為對立事件，故充分性不成立；與互為對立事件，則與是互斥事件，故必要性成立．所以，“與是互斥事件”是“與互為對立事件”的必要不充分條件，所以A正確．對于B，共有9個數(shù)據(jù)，而，故下四分位數(shù)為從小到大排列的第3個數(shù)據(jù)，即為91，所以B錯誤．對于C，在經(jīng)驗回歸方程中，當(dāng)解釋變量每增加1個單位時，則減小0．3，即響應(yīng)變量將平均減少0.3個單位，故C正確．對于D，．而的概率最大，所以D正確．故選：ACD．10．答案：AC．解：對于A，設(shè)截面與棱的交點為．如圖1，過棱的截面為，則為棱的中點時，的面積取得最小值．等腰中，，可求得，故A正確．對于B，設(shè)，則．在中，，所以，故B錯誤．對于C，根據(jù)異面直線的距離定義，可知分別為線段的中點時，的距離最小，可求得其值為，故C正確．對于D，與正四面體各個頂點的距離都相等的截面分為以下兩類：（1）平行于正四面體的一個面，且到頂點和到底面距離相等，這樣的截面有4個；（2）平行于正四面體的兩條對棱，且到兩條對棱距離相等，這樣的截面有3個．故與正四面體各個頂點的距離都相等的截面共有7個，故D錯誤．故選：AC．11．答案：BD．解：對于A，向在平移個單位長度后，得到的函數(shù)為，即，故A錯誤．對于B，時，，故，即，故B正確．對于C，由得，的所有零點為．不妨設(shè)是在上的三個零點，則，，解得且．由得，由得，故．當(dāng)時，且；當(dāng)時，且，．綜上可知，或，故C錯誤．對于D，因為在區(qū)間上單調(diào)，，故．由，且在區(qū)間上單調(diào)，為的一個對稱中心．又，且為的一條對稱軸．而，故D正確．故選：BD．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．答案：－1．解：的方程為．令得，，故在軸上的截距是－1．13．答案：2．解：不妨取的中點．因為的重心為，且在中線上，所以．由中點弦結(jié)論知，．因為，所以．又由，可得的外心為的中點，于是由中點弦結(jié)論知，又，所以，即．由得，，解得，所以雙曲線的離心率．故答案為：2．14．答案：解：首先證明是的零點．事實上，設(shè)，其中是整數(shù)．假設(shè)，即，而是整數(shù)且是無理數(shù)，故，從而．因為，故．而，矛盾．故，即，所以．設(shè)的三個根為，其中，則，，得，所以．由及得．所以．故答案為：．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．（13分）解：（1）由及正弦定理得，即．又由余弦定理得，．（2），記，則．在Rt中，．①在中，由正弦定理得．②由①②及得，即，解得．由，解得．故．16．（15分）解：（1）連接，則四邊形是直角梯形．過作于，則四邊形是矩形，．連接為的中點．又為的中點，．平面平面．又平面，．在中，．為的中點，．又平面平面．又平面，．平面，，平面．（2）以為原點，直線分別為軸建立如圖的空間直角坐標(biāo)系．．設(shè)，則．，．設(shè)平面的法向量，則，取得．，設(shè)平面的法向量，則，取得．，解得．在Rt中，．由（1）知．17．（15分）解：（1）的取值為．當(dāng)時，第一階段比賽本地隊均勝或均負(fù)，所以．當(dāng)時，第一階段比賽本地隊一勝或一負(fù)，所以．的分布列為1.620.520.48（2）記本地兩支球隊為甲、乙，外地兩支球隊為丙、丁，則第一階段有兩種分組方法：①甲、丙一組，乙、丁一組；②甲、丁一組，乙、丙一組，分別記為事件，則．記事件“甲勝乙”為，事件“甲勝丙”為，事件“甲勝丁”為，事件“乙勝丁”為，記事件“甲獲得第一名”為，則同理．記事件“乙獲得第一名”為，同理可得．本地足球隊獲得第一名的概率為．另一種理解方式，第一問結(jié)果相同，第二問結(jié)果如下，結(jié)果正確，扣2分記本地兩支球隊為甲、乙，外地兩支球隊為丙、丁，則第一階段有兩種分組方法：①甲、丙一組，乙、丁一組；②甲、丁一組，乙、丙一組，分別記為事件，則．記事件“甲勝乙”為，事件“甲勝丙”為，事件“甲勝丁”為，事件“乙勝丁”為，記事件“甲獲得第一名”為，則同理．記事件“乙獲得第一名”為，同理可得．本地足球隊獲得第一名的概率為．18．（17分）解：（1）記以射線為終邊的角為，則．設(shè)，則．故點的軌跡的方程為．（2）由題意可知，直線的斜率存在．設(shè)，直線為．由，可知，則，因為，故，即．故將韋達(dá)定理代入（*）有，即．當(dāng)時，上式恒成立，即直線過定點，故．設(shè)，則，代入橢圓方程有，即，．則，即．故．（2）另解：由題意可知，直線的斜率存在．設(shè)，直線為．由得，，則．又．由得，所以．，即，即．將韋達(dá)定理代