2024年四川省德陽(yáng)市高考數(shù)學(xué)質(zhì)檢試卷（二）（理科）（含答案）

第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2024年四川省德陽(yáng)市高考數(shù)學(xué)質(zhì)檢試卷（二）（理科）一、單選題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.若z=1+3i，則|A.12 B.1 C.3 2.已知集合A={x|x2?x?6≤0}，B={x|1lnxA.{x|1<x≤2} B.{x|1≤x≤2} C.{x|1<x≤3} D.{x|1≤x≤3}3.若x，y滿足約束條件2x+y?2≥0x?2y?2≤0y≤1，則z=4x+3y的最大值為(

)A.19 B.13 C.9 D.54.已知A(9,m)為拋物線C：y2=2px(p>0)上一點(diǎn)，點(diǎn)A到C的焦點(diǎn)的距離為12，則p=(

)A.2 B.3 C.6 D.95.質(zhì)數(shù)(primenumber)又稱素?cái)?shù)，一個(gè)大于1的自然數(shù)，除了1和它本身外，不能被其他自然數(shù)整除，則這個(gè)數(shù)為質(zhì)數(shù)，數(shù)學(xué)上把相差為2的兩個(gè)素?cái)?shù)叫做“孿生素?cái)?shù)”.如：3和5，5和7……，在1900年的國(guó)際數(shù)學(xué)大會(huì)上，著名數(shù)學(xué)家希爾伯特提出了23個(gè)問題，其中第8個(gè)就是大名鼎鼎的孿生素?cái)?shù)猜想：即存在無(wú)窮多對(duì)孿生素?cái)?shù).我國(guó)著名數(shù)學(xué)家張益唐2013年在《數(shù)學(xué)年刊》上發(fā)表論文《素?cái)?shù)間的有界距離》，破解了困擾數(shù)學(xué)界長(zhǎng)達(dá)一個(gè)半世紀(jì)的難題，證明了孿生素?cái)?shù)猜想的弱化形式.那么，如果我們?cè)诓怀^30的自然數(shù)中，隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)，記事件A，這兩個(gè)數(shù)都是素?cái)?shù)；事件B：這兩個(gè)數(shù)不是孿生素?cái)?shù)，則P(B|A)=(

)A.1115 B.3745 C.13156.一個(gè)球與正四面體的六條棱都相切，若正四面體的棱長(zhǎng)為a，則這個(gè)球的體積為(

)A.212πa3 B.27.已知各項(xiàng)不相等的等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S5?SA.?116 B.116 C.?648.已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，且滿足f(x)=cos(2x+φ)+2x?2?x，則“A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件9.已知平面向量a，b，c滿足|a|=|b|=1，|c|=2，若b，c共線，且A.5 B.7 C.1110.已知雙曲線C：x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為C的右焦點(diǎn)，以F為圓心，|OF|為半徑的圓與C的漸近線在第一象限的交點(diǎn)為A.52 B.2 C.11.若函數(shù)f(x)=x+1x+m|x?3|在[2,+∞)上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是A.(?∞,34] B.(?∞,89]12.已知三棱錐P?ABC的三條側(cè)棱PA、PB、PC兩兩互相垂直，O是△ABC的垂心.若S△OBC=1，S△ABC=4，則A.85 B.2 C.52 二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13.在(3x?1)(x+1)6的展開式中，x314.已知數(shù)列{an}滿足a1=1，且對(duì)任意n∈N?，有15.已知函數(shù)f(x)=lna?lnx?bx在x=1處取得極大值，則ba16.已知正實(shí)數(shù)x，y，z滿足x2+xy+yz+xz+x+z=6，則3x+2y+z的最小值是______．三、解答題：本題共7小題，共82分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。17.(本小題12分)

在△ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，且sinC=c3cosB2，b=3．

(1)求B；

(2)若18.(本小題12分)

輕食是餐飲的一種形態(tài)、輕的不僅僅是食材分量，更是食材烹飪方式簡(jiǎn)約，保留食材本來的營(yíng)養(yǎng)和味道，近年來隨著消費(fèi)者健康意識(shí)的提升及美顏經(jīng)濟(jì)的火熱，輕食行業(yè)迎來快速發(fā)展.某傳媒公司為了獲得輕食行業(yè)消費(fèi)者行為數(shù)據(jù)，對(duì)中國(guó)輕食消費(fèi)者進(jìn)行抽樣調(diào)查.統(tǒng)計(jì)其中400名中國(guó)輕食消費(fèi)者(表中4個(gè)年齡段的人數(shù)各100人)食用輕食的頻率與年齡得到如下的頻數(shù)分布表．使用頻率[12,25)[25,38)[38,51)[51,64]偶爾1次3015510每周1～3次40403050每周4～6次25404530每天1次及以上552010(1)若把年齡在[12,38)的消費(fèi)者稱為青少年，年齡在[38,64]的消費(fèi)者稱為中老年，每周食用輕食的頻率不超過3次的稱為食用輕食頻率低，不低于4次的稱為食用輕食頻率高，根據(jù)小概率值α=0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)判斷食用輕食頻率的高低與年齡是否有關(guān)聯(lián)；

(2)從每天食用輕食1次及以上的樣本消費(fèi)者中按照表中年齡段采用按比例分配的分層隨機(jī)抽樣，從中抽取8人，再?gòu)倪@8人中隨機(jī)抽取3人，記這3人中年齡在[25,38)與[51,64]的人數(shù)分別為X，Y，ξ=|X?Y|，求ξ的分布列與期望；

(3)已知小李每天早餐、晚餐都食用輕食，且早餐與晚餐在低卡甜品、全麥夾心吐司、果蔬汁3種輕食中選擇一種，已知小李在某天早餐隨機(jī)選擇一種輕食，如果早餐選擇低卡甜品、全麥夾心吐司、果蔬汁，則晚餐選擇低卡甜品的概率分別為15,25,23，求小李晚餐選擇低卡甜品的概率．

參考公式：α0.100.050.010.0050.001x2.7063.8416.6357.87910.82819.(本小題12分)

如圖，已知四棱臺(tái)ABCD?A1B1C1D1的上、下底面分別是邊長(zhǎng)為2和4的正方形，A1A=4，且A1A⊥底面ABCD，點(diǎn)P、Q分別在棱DD1、BC上．

(1)若P是DD1的中點(diǎn)，證明：A20.(本小題12分)

已知圓C：x2+y2+23x?13=0，點(diǎn)P是圓C上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F(3,0)是圓C內(nèi)一點(diǎn)，線段PF的垂直平分線交CP于點(diǎn)M，當(dāng)點(diǎn)P在圓C上運(yùn)動(dòng)時(shí)點(diǎn)M的軌跡為E．

(1)求E的方程；

(2)T為直線l：x=4上的動(dòng)點(diǎn)，A、B為曲線E與x軸的左右交點(diǎn)，TA、TB分別與曲線E21.(本小題12分)

f(x)=cosx+mx2?1(x∈R)．

(1)當(dāng)m≥12時(shí)，證明：f(x)≥0；

(2)22.(本小題10分)

在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為x=t?cosαy=1+t?sinα(t為參數(shù)).以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ?(1?cos2θ)?23cosθ=0．

(1)寫出直線l的普通方程及曲線C的直角坐標(biāo)方程；

(2)已知點(diǎn)P(0,1),Q(3,0)，直線l過點(diǎn)23.(本小題12分)

已知關(guān)于x的不等式|x+2|?|2x?6|?|1?m|≥m有解．

(1)求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

(2)若a、b、c均為正數(shù)，n為m的最大值，且a+3b+4c=n.求證：a2+2ab+5b參考答案1.B

2.C

3.A

4.C

5.D

6.B

7.C

8.A

9.B

10.A

11.D

12.B

13.25

14.?10

15.(0,116.417.解：(1)因?yàn)閟inC=c3cosB2，b=3，

所以sinBsinC=sinCcosB2，

因?yàn)閟inC≠0，

所以sinB=cosB2，則2sinB2cosB2=cosB2，

因?yàn)閏osB2≠0，

所以sinB2=12，由B∈(0,π)，則B2∈(0,π2)，則B2=π6，

所以B=π3；

(2)設(shè)△ABC的外接圓半徑為R，則2R=bsinB=23，

所以18.解：(1)補(bǔ)全的2×2列聯(lián)表如下：青少年中老年合計(jì)食用輕食頻率低12595220食用輕食頻率高75105180合計(jì)200200400所以χ2=400×(125×105?75×95)2200×200×220×180≈9.091>6.635，

所以有99%的把握認(rèn)為食用輕食頻率的高低與年齡有關(guān)；

(2)由數(shù)表知，利用分層抽樣的方法抽取的8人中，年齡在[25,38)，[51,64]內(nèi)的人數(shù)分別為1，2，

依題意，ξ的所有可能取值分別為0，1，2，

所以P(ξ=0)=P(X=0,Y=0)+P(X=1,Y=1)=C53C8ξ012P20315所以ξ的數(shù)學(xué)期望為E(ξ)=0×2056+1×3156+2×556=4156；

(3)記小李在某天早餐選擇低卡甜品、全麥夾心吐司、果蔬汁，分別為事件A，B，C，

晚餐選擇低卡甜品為事件D，

則P(A)=119.(1)證明：由題意，A1A，AB，AD兩兩垂直，

故以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，

則A(0,0,0)，B1(2,0,4)，D(0,4,0)，D1(0,2,4)，Q(4,m,0)，其中m=BQ，0≤m≤4，

因?yàn)镻是DD1的中點(diǎn)，

則P(0,3,2)，

所以PQ=(4,m?3,?2)，

又AB1=(2,0,4)，

所以AB1?PQ=2×4+0×(m?3)+4×(?2)=0，

故AB1⊥PQ，

所以AB1⊥PQ；

(2)解：由題意可知，DQ=(4,m?4,0),DD1=(0,?2,4)，

設(shè)平面PQD的法向量為n=(x,y,z)，

則n?DQ=0n?DD1=0，即4x+(m?4)y=0?2y+4z=0，

令y=4，則x=4?m，z=2，

故n=(4?m,4,2)，

又平面AQD的一個(gè)法向量為m=(0,0,1)，

所以|cos<m,n>|=|m?n||m||n|=2(4?m)2+16+4，

又二面角P?QD?A的余弦值為49，

所以2(4?m)2+16+420.解：(1)如圖所示：連接MF，

由x2+y2+23x?13=0?(x+3)2+y2=16，

∴圓心C(?3,0)，半徑為4，

∵線段PF的垂直平分線交CP于點(diǎn)M，

∴|MP|=|MF|，

由|MC|+|MP|=|PC|=4?|MC|+|MF|=4>|CF|，

∴點(diǎn)M的軌跡是以C，F(xiàn)為焦點(diǎn)的橢圓，

即2a=4,2c=23?a=2,c=3?b=a2?c2=4?3=1，

∴E的方程為x24+y2=1；

(2)證明：設(shè)T(4,m)，A(?2,0)，B(2,0)，

∵直線TA的斜率為m6，

∴直線TA的方程為y=m6(x+2)，

代入橢圓方程中，得(9+m2)x2+4m2x+4m2?36=0，

顯然有?221.證明：(1)當(dāng)m≥12時(shí)，f(x)=cosx+mx2?1≥cosx+12x2?1，

令g(x)=cosx+12x2?1，g(?x)=cos(?x)+12(?x)2?1=cosx+12x2?1=g(x)，

故g(x)=cosx+12x2?1為偶函數(shù)，則g′(x)=?sinx+x，

令?(x)=g′(x)=?sinx+x，則?(?x)=?sin(?x)+(?x)=sinx?x=??(x)，

故?(x)=g′(x)=?sinx+x為奇函數(shù)，其中?′(x)=1?cosx≥0恒成立，

故?(x)=g′(x)=?sinx+x在[0,+∞)上單調(diào)遞增，

其中?(0)=0，故?(x)≥0在[0,+∞)恒成立，

故g(x)=cosx+12x2?1在[0,+∞)上單調(diào)遞增，

其中g(shù)(0)=cos0+0?1=0，故g(x)≥0在[0,+∞)上恒成立，

結(jié)合g(x)=cosx+12x2?1為偶函數(shù)，故g(x)≥0在R上恒成立，

故f(x)=cosx+mx2?1≥0在R上恒成立．

(2)由(1)知，cosx+12x2?1≥0，

即cosx≥1?12x222.解：(1)由題意，在l：x=t?cosαy=1+t?sinα(t為參數(shù))中，

xy?1=cosαsinα，即：xsinα?ycosα+cosα=0，

在ρ?(1?cos2θ)?23cosθ=0中，ρ2?(1?cos2θ)?23ρcosθ=0，

∵sin2θ+cos2θ=1，x=ρcosθ，y=ρsinθ，

∴ρ2?(1?cos2θ)?23ρcosθ=ρ2?sin2θ?23ρcosθ=y2?23x=0，

∴曲線C的直角坐標(biāo)方程為：y23.解：(1)由題意可得，|x+2|?|2x?6|?|1?m|≥m，即|x+2|?|2x?6|≥m+|1?m|，

令f(x)=|x+2|?|2x?6|=x?8,x≤?23x?4,?2<x<3?x+8,x≥3，

當(dāng)x∈(?∞,?2]時(shí)，f(x)∈(?∞,?10]，

當(dāng)x∈(?2,3)時(shí)，f(x)∈(?10,5)，

當(dāng)x∈[3,+∞)，f(x)∈(?∞,