2024-2025學年內(nèi)蒙古赤峰市高一上冊期中考試數(shù)學質(zhì)量檢測試卷（含解析）

2024-2025學年內(nèi)蒙古赤峰市高一上學期期中考試數(shù)學質(zhì)量檢測試卷一、單選題1.若集合，則集合的子集的個數(shù)為（）A.2 B.3 C.4 D.82.已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點，則＝（）A. B.9 C. D.3.函數(shù)的圖象大致為（）A. B. C. D.4.無字證明即無需語言的證明（proofwithoutwords），本質(zhì)上是一種數(shù)學語言，形式上是隱含數(shù)學命題或定理的證明的圖象或圖形，可能包含數(shù)學符號、記號、方程，但不附帶文字．如圖，C為線段AB上的點，且，，O為AB的中點，以AB為直徑做半圓．過點C作AB的垂線交半圓于D．連結(jié)OD，AD，BD．過點C作OD的垂線，垂足為E．則下面可由進行無字證明的不等式為（）A. B.C. D.5.已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，在上有單調(diào)性，且，則下列不等式成立的是（）A. B.C. D.6.使不等式成立的一個充分不必要條件是（）A. B. C. D.7.若二次函數(shù)在上為減函數(shù)，則的取值范圍為（）A. B. C. D.8.已知定義在上的函數(shù)，若函數(shù)為偶函數(shù)，且對任意，，都有，若，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.二、多選題9.下列選項正確的是（）A.若，則B.若，則C.若且，則D.若，則10.已知不等式的解集是，則（）A. B.C. D.11.定義，設，則（）A.有最大值，無最小值B.當?shù)淖畲笾禐镃.不等式的解集為D.的單調(diào)遞增區(qū)間為三、填空題12.若關(guān)于x不等式在區(qū)間上有解，則實數(shù)m的最小值是__________.13.已知函數(shù)是一次函數(shù)，滿足，則的解析式____14.已知是偶函數(shù)，是奇函數(shù)，它們的定義域都是，且它們在上的圖象如圖所示，則不等式的解集是_______．四、解答題15.已知全集，已知函數(shù)定義域為集合，.（1）當時，求；（2）已知：①“”是“”的充分條件；②“”是“”的必要不充分條件；從這兩個條件中任選一個，補充到橫線處，若，求實數(shù)的取值范圍.16.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且當時，.（1）求函數(shù)的解析式；（2）寫出函數(shù)的增區(qū)間（不需要證明）；（3）若函數(shù)，求函數(shù)的最小值.17.通過前面一個月的學習，大家認識了一個朋友：基本不等式.即當時有（當且僅當時不等式取“＝”）.我們稱為正數(shù)a，b的算術(shù)平均數(shù)，為它們的幾何平均數(shù)，兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于他們的幾何平均數(shù).這只是均值不等式的一個簡化版本.均值不等式的歷史可以追溯到19世紀，由Chebycheff在1882年發(fā)表的論文中首次提出.均值不等式，也稱為平均值不等式或平均不等式，是數(shù)學中的一個重要公式.它的基本形式包括調(diào)和平均數(shù)、幾何平均數(shù)、算術(shù)平均數(shù)和平方平均數(shù)之間的關(guān)系.它表明：個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)，且當這些數(shù)全部相等時，算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)相等.（1）寫出時算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)之間的關(guān)系，并寫出取等號的條件（無需證明）；（2）利用你寫出的式子，求的最小值；（3）如圖，把一塊長為6的正方形鐵片的各角切去大小相同的小正方形，再將它的邊沿虛線折轉(zhuǎn)做成一個無蓋的方底盒子.問切去的正方形邊長是多少時，才能使盒子的容積最大？18.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且.（1）求，的值；（2）判斷在上單調(diào)性，并用定義證明；（3）設，若對任意，總存在，使得成立，求實數(shù)的取值范圍．19.2023年10月20日，國務院新聞辦舉辦了2023年三季度工業(yè)和信息化發(fā)展情況新聞發(fā)布會工業(yè)和信息化部表示，2023年前三季度，我國新能源汽車產(chǎn)業(yè)發(fā)展保持強勁的發(fā)展勢頭．在這個重要的乘用車型升級時期，某公司科研人員努力攻克了動力電池單體能量密度達到300Wh/kg的關(guān)鍵技術(shù)，在技術(shù)水平上使得純電動乘用車平均續(xù)駛里程超過460公里．該公司通過市場分析得出，每生產(chǎn)1千塊動力電池，將收入萬元，且該公司每年最多生產(chǎn)1萬塊此種動力電池，預計2024年全年成本總投入2.5x萬元，全年利潤為Fx萬元．由市場調(diào)研知，該種動力電池供不應求．（利潤＝收入－成本總投入）（1）求函數(shù)Fx（2）當2024年動力電池產(chǎn)量為多少塊時，該企業(yè)利潤最大？最大利潤是多少？2024-2025學年內(nèi)蒙古赤峰市高一上學期期中考試數(shù)學質(zhì)量檢測試卷一、單選題1.若集合，則集合的子集的個數(shù)為（）A.2 B.3 C.4 D.8【正確答案】C【分析】先將集合A化簡，再判斷得解.【詳解】，所以集合A的子集的個數(shù)為4．故選：C.2.已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點，則＝（）A. B.9 C. D.【正確答案】D【分析】求出冪函數(shù)的解析式，再代入求值.【詳解】設，由的圖象經(jīng)過點，得，解得，即，所以.故選：D3.函數(shù)的圖象大致為（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】根據(jù)函數(shù)定義域，以及指定范圍內(nèi)函數(shù)值正負排除部分選項后，即可選出正確選項.【詳解】由函數(shù)定義域相關(guān)知識可知分母不為零，則，即，即fx的定義域為，可排除A；當時，，可排除CD．故選.4.無字證明即無需語言的證明（proofwithoutwords），本質(zhì)上是一種數(shù)學語言，形式上是隱含數(shù)學命題或定理的證明的圖象或圖形，可能包含數(shù)學符號、記號、方程，但不附帶文字．如圖，C為線段AB上的點，且，，O為AB的中點，以AB為直徑做半圓．過點C作AB的垂線交半圓于D．連結(jié)OD，AD，BD．過點C作OD的垂線，垂足為E．則下面可由進行無字證明的不等式為（）A. B.C. D.【正確答案】A分析】利用射影定理求得，結(jié)合整理得出正確答案.【詳解】由于是圓的直徑，所以，圓的半徑為，而，由射影定理得.在直角三角形中，，由射影定理得，由，所以.故選：A這道題的設計較為經(jīng)典，結(jié)合了幾何和代數(shù)的知識點，對考生的基礎(chǔ)知識要求較高,有助于考查學生的綜合能力.題目的解題過程按照邏輯順序展開，先利用射影定理，再結(jié)合圓和直角三角形的性質(zhì)，這樣的分析過程符合數(shù)學解題的思路.5.已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，在上有單調(diào)性，且，則下列不等式成立的是（）A. B.C. D.【正確答案】B【分析】根據(jù)偶函數(shù)的定義和性質(zhì)可得且在上有單調(diào)性，所以在上單調(diào)遞增，再逐一判斷四個選項的正誤即可得正確選項.【詳解】因為函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，所以，由可得，因為在上有單調(diào)性，所以在上有單調(diào)性，因為，所以在上單調(diào)遞增，對于A：，故選項A不正確；對于B：，故選項B正確；對于C：，故選項C不正確；對于D：，，，所以，故選項D不正確；故選：B.6.使不等式成立的一個充分不必要條件是（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】先求出不等式的等價條件，然后根據(jù)充分條件和必要條件的定義，由集合法求解.【詳解】因為，所以，解得若使不等式成立的一個充分不必要條件，則x的范圍是的一個真子集，故選：A7.若二次函數(shù)在上為減函數(shù)，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】根據(jù)題意，由求解.【詳解】解：因為二次函數(shù)在上為減函數(shù)，所以，解得，所以的取值范圍為，故選：D8.已知定義在上的函數(shù)，若函數(shù)為偶函數(shù)，且對任意，，都有，若，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】根據(jù)題意，分析可得函數(shù)的圖象關(guān)于對稱且在2,+∞上為減函數(shù)，則不等式等價于，解得的取值范圍，即可得答案.【詳解】解:因為函數(shù)為偶函數(shù)，所以函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，因為對任意，，都有，所以函數(shù)在2,+∞上為減函數(shù)，則，解得.即實數(shù)的取值范圍是.故選：A.本題考查函數(shù)的對稱性與單調(diào)性的綜合應用，涉及不等式的解法，屬于綜合題.二、多選題9.下列選項正確的是（）A.若，則B.若，則C.若且，則D.若，則【正確答案】BC【分析】根據(jù)時不成立說明選項A錯誤，利用不等式的性質(zhì)判斷選項B，結(jié)合題目條件和作差法判斷選項C和D.【詳解】A.當時，，故選項A錯誤.B.∵，，∴，∵，，∴，∴.故選項B正確.C.∵，∴，∵，∴，∴.故選項C正確.D.∵，∴,∴.故選項D錯誤.故選：BC.10.已知不等式的解集是，則（）A. B.C. D.【正確答案】BCD【分析】根據(jù)題意，得到和是方程的兩個實數(shù)根，且，結(jié)合韋達定理，可得判定A正確，C正確，D正確，再令，可得判定B正確.【詳解】由不等式的解集是，可得和是方程的兩個實數(shù)根，且，則，可得，所以A錯誤，C正確；由，可得，所以D正確；又由，令，可得，所以B正確.故選：BCD.11.定義，設，則（）A.有最大值，無最小值B.當?shù)淖畲笾禐镃.不等式的解集為D.的單調(diào)遞增區(qū)間為【正確答案】BC【分析】作出函數(shù)圖象，根據(jù)圖象逐項判斷即可.【詳解】作出函數(shù)的圖象，如圖實線部分，對于A，根據(jù)圖象，可得無最大值，無最小值，故A錯誤；對于B，根據(jù)圖象得，當時，的最大值為，故B正確；對于C，由，解得，結(jié)合圖象，得不等式的解集為，故C正確；對于D，由圖象得，的單調(diào)遞增區(qū)間為，故D錯誤.故選：BC.三、填空題12.若關(guān)于x的不等式在區(qū)間上有解，則實數(shù)m的最小值是__________.【正確答案】【分析】分離參數(shù)得，再設新函數(shù)，求出其最小值即可.【詳解】因為關(guān)于不等式在區(qū)間上有解，所以在區(qū)間上有解，令，因為在區(qū)間上單調(diào)遞減，則在區(qū)間上也單調(diào)遞減，所以，所以，則實數(shù)m的最小值是.故答案為.13.已知函數(shù)是一次函數(shù)，滿足，則的解析式____【正確答案】或【分析】根據(jù)題意設設，進而利用待定系數(shù)法求解即可.【詳解】解：設，由題意可知，所以，解得或，所以或.故或14.已知是偶函數(shù)，是奇函數(shù)，它們的定義域都是，且它們在上的圖象如圖所示，則不等式的解集是_______．【正確答案】【分析】不等式轉(zhuǎn)化為或，再結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)和圖象，即可求解.【詳解】或，得或，解得：或，或，所以不等式的解集為.故四、解答題15.已知全集，已知函數(shù)的定義域為集合，.（1）當時，求；（2）已知：①“”是“”的充分條件；②“”是“”的必要不充分條件；從這兩個條件中任選一個，補充到橫線處，若，求實數(shù)的取值范圍.【正確答案】（1）或x>5（2）條件選擇見解析，【分析】（1）求函數(shù)定義域得集合，解分式不等式得集合，然后由集合的運算法則計算；（2）解含有參數(shù)的不等式得集合，選①得集合是集合的子集，根據(jù)包含關(guān)系得不等式組求解；選項②得集合是集合的真子集，根據(jù)包含關(guān)系得不等式組求解．小問1詳解】由題意，由得，，-當時，，-∵全集，∴或，或，∴或.【小問2詳解】由題意，，∵對任意實數(shù)，都有，∴集合.-選①：因為“”是“”的充分條件，則集合是集合的子集，所以，解得：，因此，實數(shù)的取值范圍是；選②：因為“”是“”的必要不充分條件，所以集合是集合的真子集，所以且等號不同時取得，解得：，因此，實數(shù)的取值范圍是.16.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且當時，.（1）求函數(shù)的解析式；（2）寫出函數(shù)的增區(qū)間（不需要證明）；（3）若函數(shù)，求函數(shù)的最小值.【正確答案】（1）（2）和（3）【分析】（1）根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)，即可求出函數(shù)的解析式；（2）由（1）直接可寫出函數(shù)的增區(qū)間；（3）求出函數(shù)函數(shù)的對稱軸，在分別根據(jù)，，三種情況，結(jié)合二次函數(shù)的單調(diào)性即可求出函數(shù)的最小值.【小問1詳解】解：設，則，所以又，所以又函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，所以當時，；所以；【小問2詳解】解：由（1）可知，函數(shù)的增區(qū)間和【小問3詳解】解：因為所以所以函數(shù)的對稱軸為；當時，即時，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增函數(shù)，所以；當時，即時，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減函數(shù)，所以；當時，即時，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以；綜上，17.通過前面一個月的學習，大家認識了一個朋友：基本不等式.即當時有（當且僅當時不等式取“＝”）.我們稱為正數(shù)a，b的算術(shù)平均數(shù)，為它們的幾何平均數(shù)，兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于他們的幾何平均數(shù).這只是均值不等式的一個簡化版本.均值不等式的歷史可以追溯到19世紀，由Chebycheff在1882年發(fā)表的論文中首次提出.均值不等式，也稱為平均值不等式或平均不等式，是數(shù)學中的一個重要公式.它的基本形式包括調(diào)和平均數(shù)、幾何平均數(shù)、算術(shù)平均數(shù)和平方平均數(shù)之間的關(guān)系.它表明：個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)，且當這些數(shù)全部相等時，算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)相等.（1）寫出時算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)之間關(guān)系，并寫出取等號的條件（無需證明）；（2）利用你寫出的式子，求的最小值；（3）如圖，把一塊長為6的正方形鐵片的各角切去大小相同的小正方形，再將它的邊沿虛線折轉(zhuǎn)做成一個無蓋的方底盒子.問切去的正方形邊長是多少時，才能使盒子的容積最大？【正確答案】（1）答案見解析（2）（3）切去的正方形邊長為時，才能使盒子的容積最大，【分析】（1）由題意得，當，，即可求解；（2）由（1），當時，，即可求解；（3）設小正方形的邊長為，得到盒子的容積為則，利用不等式，即可求解.【小問1詳解】解：由題意，當時，若，可得，即算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)的關(guān)系為，當且僅當時，等號成立.【小問2詳解】解：由（1）中，當，可得，可得時，，當且僅當時，即時，等號成立，所以的最小值為.【小問3詳解】解：設小正方形的邊長為，則盒子高為，底邊邊長為，可得盒子的容積為，其中，則，當且僅當時，即時，等號成立，所以切去的正方形邊長為時，才能使盒子的容積最大，最大容積為.18.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且.（1）求，的值；（2）判斷在上的單調(diào)性，并用定義證明；（3）設，若對任意的，總存在，使得成立，求實數(shù)的取值范圍．【正確答案】（1），；（2）單調(diào)遞增，證明見解析（3）【分析】（1）由題可得圖象過點結(jié)合可得，的值；（2）由單調(diào)性證明步驟可證得結(jié)論；（3）由題可得，后討論k結(jié)合單調(diào)性可得，即可得范圍.【小問1詳解】)因為函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且，則，解得，.所以函數(shù)，經(jīng)檢驗，函數(shù)為奇函數(shù)，所以，；【小問2詳解】在上單調(diào)遞增.證明如下：設則，其中，，所以，即，故函數(shù)上單調(diào)遞增；【小問3詳解】因為對任意的，總存在，使得