2024-2025學(xué)年遼寧省沈陽(yáng)市鐵西區(qū)高一上冊(cè)期中考試數(shù)學(xué)檢測(cè)試卷（附解析）

2024-2025學(xué)年遼寧省沈陽(yáng)市鐵西區(qū)高一上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)檢測(cè)試卷一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】確定集合A中元素，根據(jù)集合的交集運(yùn)算即可求得答案.【詳解】由題意得集合，，故，故選:C.2.若“”是“”的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】利用充分不必要條件的定義，結(jié)合集合的包含關(guān)系求出的范圍.【詳解】由“”是“”的充分不必要條件，得，所以.故選：B3.函數(shù)的定義域是（）A. B.C. D.【正確答案】D【分析】利用函數(shù)有意義，列出不等式并求解即得.【詳解】函數(shù)有意義，則，解得或，所以函數(shù)的定義域是.故選：D4.函數(shù)（）的圖象大致為A. B.C. D.【正確答案】A【分析】由奇偶性排除選項(xiàng)；由,可排除選項(xiàng),從而可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以函?shù)是偶函數(shù)，函數(shù)圖象關(guān)于軸對(duì)稱，可排除選項(xiàng)；因?yàn)?可排除選項(xiàng),故選A.本題通過(guò)對(duì)多個(gè)圖象的選擇考查函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于中檔題.這類題型也是近年高考常見(jiàn)的命題方向，該題型的特點(diǎn)是綜合性較強(qiáng)、考查知識(shí)點(diǎn)較多，但是并不是無(wú)路可循.解答這類題型可以從多方面入手，根據(jù)函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、特殊點(diǎn)以及時(shí)函數(shù)圖象的變化趨勢(shì)，利用排除法，將不合題意的選項(xiàng)一一排除.5.若函數(shù)是冪函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，則（）A. B. C.2 D.4【正確答案】A【分析】根據(jù)給定條件，列式求出，進(jìn)而求出函數(shù)值.【詳解】由冪函數(shù)在上單調(diào)遞減，得，解得，因此，.故選：A6.函數(shù)的值域?yàn)椋ǎ〢. B. C. D.【正確答案】C【分析】令，，可得，利用函數(shù)單調(diào)性求值域.【詳解】令，，則，所以函數(shù)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，時(shí)，有最小值，所以函數(shù)的值域?yàn)?故選：C7.已知函數(shù)是上的增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的值可以是（）A.4 B.5 C. D.【正確答案】D【分析】利用分段函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，列式求解即可.【詳解】由函數(shù)是上增函數(shù)，得，解得，所以實(shí)數(shù)的值可以是.故選：D8.已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，對(duì)任意實(shí)數(shù)，滿足，且，當(dāng)時(shí)，．給出以下結(jié)論：①；②；③為R上的減函數(shù)；④為奇函數(shù).其中正確結(jié)論的序號(hào)是（）A.①②④ B.①② C.①③ D.①④【正確答案】D【分析】利用抽象函數(shù)的關(guān)系式，令判斷①的正誤；令，判斷②的正誤；令，可得當(dāng)時(shí)，，再令，結(jié)合單調(diào)性的定義判斷③的正誤；令判斷④的正誤；【詳解】因?yàn)?，則有：令，可得，即，解得，故①正確；令，，可得，即，解得，再令，可得，即，故②錯(cuò)誤；令，可得，即因?yàn)椋瑒t，可得，所以，令，不妨設(shè)，可得，即，因?yàn)椋瑒t，則，可得，即，所以為上增函數(shù)，故③錯(cuò)誤；令，可得，即，整理得，所以為奇函數(shù)，故④正確；故選：D．思路點(diǎn)睛：由題意采用賦值法，可解決①②，在此基礎(chǔ)上繼續(xù)對(duì)各個(gè)選項(xiàng)逐一驗(yàn)證可得答案．二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分.9.（多選）下列選項(xiàng)正確的是（）A.若，則的最小值為2B.若正實(shí)數(shù)x，y滿足，則的最小值為8C.的最小值為2D.函數(shù)（）的最大值是0【正確答案】BD【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合基本不等式的公式，即可依次求解．【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，故A錯(cuò)誤，對(duì)于B，∵，，，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)等號(hào)成立，故的最小值為8，故B正確，對(duì)于C，令，，在上單調(diào)遞增，則y的最小值為，故C錯(cuò)誤，對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故，即函數(shù)y的最大值為0，故D正確．故選：BD．10.已知命題：函數(shù)的圖象與軸有交點(diǎn)，命題：，.若，全為真命題，則實(shí)數(shù)的取值可以是（）A. B.0 C. D.【正確答案】ACD【分析】分別求出命題為真命題的值范圍即可得解.【詳解】函數(shù)的圖象與軸有交點(diǎn)，顯然，因?yàn)榈膱D象在軸下方，則，而，解得或，即命題：或；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，由，，得，解得，即命題：，由，全為真命題，得或，所以實(shí)數(shù)的取值可以是或或.故選：ACD11.已知函數(shù)的圖象過(guò)原點(diǎn)，且無(wú)限接近直線，但又不與該直線相交，則（）A.， B.的值域?yàn)镃.若，且，則 D.若，則【正確答案】AC【分析】由函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)分析可得的值，判斷選項(xiàng)A；可得函數(shù)的解析式，求函數(shù)值域，分析函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性判斷選項(xiàng)BCD．【詳解】函數(shù)的圖像過(guò)原點(diǎn)，∴，即，，由，有，時(shí)，；時(shí)，，由的圖像無(wú)限接近直線，但又不與該直線相交，∴，，，故A正確；由于，∴，故B錯(cuò)誤；，函數(shù)定義域?yàn)镽，上，單調(diào)遞減；在上，單調(diào)遞增，，為偶函數(shù)，故若，且，則，即，故C正確，由于上，單調(diào)遞減，故若，則，故D錯(cuò)誤；故選：AC．二、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.命題“，”的否定是______【正確答案】，.【分析】利用全稱量詞命題的否定直接寫出結(jié)論.【詳解】命題“，”是全稱量詞命題，其否定是存在量詞命題，所以命題“，”的否定是：，.故，.13.已知一元二次不等式的解集為，則不等式的解集為______.【正確答案】【分析】利用給定的解集求出與的關(guān)系，再代入解不等式.【詳解】由不等式的解集為，得是方程的二根，且，則，于是，不等式化為，整理得，解得或，所以不等式的解集為.故14.我們知道，設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，如果?duì)任意，都有，，且，那么函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形.若函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形，則實(shí)數(shù)的值為______；若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.【正確答案】①.2②.【分析】由題意可得，代入計(jì)算即可得，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性與對(duì)稱性即可求得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】由函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)0,1成中心對(duì)稱，得，即，整理得，解得，故函數(shù)，所以函數(shù)在R上都單調(diào)遞減，因此函數(shù)在R上單調(diào)遞減，令，由函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)0,1成中心對(duì)稱，得的圖象關(guān)于對(duì)稱，且在R上單調(diào)遞減，所以由，得即，于是，即，解得或，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故2；四、解答題：本題共5小題，共77分.請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答.解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.已知集合，集合.（1）若集合，求實(shí)數(shù)a的值；（2）若，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【正確答案】（1）或；（2）【分析】（1）利用集合交集的定義得到，，代入方程求解即可；（2）利用子集的定義，分，，，，由根與系數(shù)的關(guān)系，列式求解即可.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)榧?，又集合，所以，，將代入方程可得，解得或?dāng)時(shí)，，符合題意；當(dāng)時(shí)，，符合題意.綜上所述，或；【小問(wèn)2詳解】若，則當(dāng)時(shí)，方程無(wú)解，則，解得當(dāng)時(shí)，則，無(wú)解；當(dāng)時(shí)，則，無(wú)解；當(dāng)時(shí)，則，無(wú)解.綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍為16.（1）計(jì)算：；（2）已知，求下列各式的值：①；②【正確答案】（1）；（2）①；②.【分析】（1）利用指數(shù)運(yùn)算法則計(jì)算即得.（2）①②根據(jù)給定條件，利用指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算即得.【詳解】（1）.（2）①由，兩邊平方得，則，而，則，所以；②由①知，，，所以.17.已知函數(shù)（1）當(dāng)時(shí)，寫出函數(shù)的解析式和單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在上的最大值.【正確答案】（1），遞減區(qū)間為和，遞增區(qū)間為；（2）【分析】（1）利用分段函數(shù)表示出函數(shù)，再借助二次函數(shù)單調(diào)性求出單調(diào)區(qū)間.（2）求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再按與區(qū)間的位置及區(qū)間端點(diǎn)離的遠(yuǎn)近分類，并結(jié)合單調(diào)性求出最大值.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，,所以，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為和，遞增區(qū)間為.【小問(wèn)2詳解】依題意，，，函數(shù)上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，而，則；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，而，則；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，而，則；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，，所以函數(shù)在上的最大值.18.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且（1）求、的值及的解析式；（2）判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，并用定義證明；（3）若不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【正確答案】（1），；（2）單調(diào)遞增，證明見(jiàn)解析；（3）.【分析】（1）由求出、的值并驗(yàn)證，進(jìn)而求出的解析式.（2）借助指數(shù)函數(shù)單調(diào)性判斷單調(diào)性，再利用增函數(shù)的定義證明即可.（3）由奇函數(shù)化不等式為，再利用單調(diào)性和定義域列出關(guān)于的不等式求解.【小問(wèn)1詳解】由函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，得，由，得，解得，，，函數(shù)是在上的奇函數(shù)，所以，.【小問(wèn)2詳解】由（1）知，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，則，由，得，則，即，所以函數(shù)上單調(diào)遞增.【小問(wèn)3詳解】不等式恒成立，即，而函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，則，又函數(shù)在上單調(diào)遞增，因此，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.19.已知函數(shù)，.（1）若，，求，的最小值；（2）若恒成立，①求證