2024年中考數(shù)學(xué)二輪題型突破題型11 綜合探究題（復(fù)習(xí)講義）（教師版）

題型十一綜合探究題（復(fù)習(xí)講義）【考點(diǎn)總結(jié)|典例分析】命題內(nèi)容及趨勢(shì)：

(1)從數(shù)量角度反映變化規(guī)律的函數(shù)類(lèi)題型：

(2)以直角坐標(biāo)系為載體的幾何類(lèi)題型：(3)以“幾何變換”為主體的幾何類(lèi)題型：

(4)以“存在型探索性問(wèn)題”為主體的綜合探究題：

(5)以“動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題”為主的綜合探究題：

二、需要注意的問(wèn)題及建義：

(1)在復(fù)習(xí)中要更多關(guān)注“幾何變換”，強(qiáng)化對(duì)圖形變換的理解。

加強(qiáng)對(duì)圖形的旋轉(zhuǎn)、平移、對(duì)稱(chēng)多種變換的研究，對(duì)不同層次的學(xué)生進(jìn)行分層拔高，使每一個(gè)學(xué)生都有較大的提升空間。

(2)讓學(xué)生參與數(shù)學(xué)思維活動(dòng)，經(jīng)歷問(wèn)題解決的整個(gè)過(guò)程。

復(fù)習(xí)中應(yīng)多引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用“運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)”來(lái)分析圖形，要多引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)閱讀、審題、獲取信息，養(yǎng)成多角度、多側(cè)面分析問(wèn)題的習(xí)慣，逐步提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力。(3)要特別重視“函數(shù)圖像變換型”問(wèn)題教學(xué)的研究。

通過(guò)開(kāi)展“函數(shù)圖像變化”的專(zhuān)題教學(xué)，樹(shù)立函數(shù)圖像間相互轉(zhuǎn)換的思維，盡量減少學(xué)生對(duì)函數(shù)“數(shù)形”認(rèn)知的欠缺，比如，平時(shí)滲透拋物線(xiàn)的軸對(duì)稱(chēng)、旋轉(zhuǎn)等知識(shí)點(diǎn)。當(dāng)某個(gè)函數(shù)圖像經(jīng)過(guò)變換出現(xiàn)多個(gè)函數(shù)圖像時(shí)，要引導(dǎo)學(xué)生從圖形間的相互聯(lián)系中尋找切入點(diǎn)，排除識(shí)圖的干擾，對(duì)圖像所蘊(yùn)含的信息進(jìn)行橫向挖掘和縱向突破，將“有效探索”進(jìn)行到底。此類(lèi)試題考查的思路是從知識(shí)轉(zhuǎn)向能力，從傳統(tǒng)應(yīng)用轉(zhuǎn)向信息構(gòu)建，這就提醒我們課堂上重要的不是講解，而是點(diǎn)撥、引導(dǎo)、提升，一定要從重視知識(shí)積累轉(zhuǎn)向問(wèn)題探究的過(guò)程，關(guān)注學(xué)生自主探究能力的培養(yǎng)。

(4)突出數(shù)學(xué)核心概念、思想、方法的考查。

中學(xué)數(shù)學(xué)核心概念、思想方法是數(shù)學(xué)知識(shí)的精髓，也勢(shì)必會(huì)成為考查綜合應(yīng)用能力的重要載體，這包括方程、不等式、函數(shù)，以及基本幾何圖形的性質(zhì)、圖形的變化、圖形與坐標(biāo)知識(shí)之間橫縱向的聯(lián)系，也包括中學(xué)數(shù)學(xué)中常用的重要數(shù)學(xué)思想。如：函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合、分類(lèi)討論思想很化歸與轉(zhuǎn)換思想。而數(shù)學(xué)基本方法是數(shù)學(xué)的具體表現(xiàn)，具有模式化和可操作性，常用的基本方法有配方法、換元法、待定系數(shù)法、歸納法和割補(bǔ)法。

1．（2023·浙江紹興·統(tǒng)考中考真題）在平行四邊形中（頂點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蚺帕校?，為銳角，且．

(1)如圖1，求邊上的高的長(zhǎng)．(2)是邊上的一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)同時(shí)繞點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得點(diǎn)．①如圖2，當(dāng)點(diǎn)落在射線(xiàn)上時(shí)，求的長(zhǎng)．②當(dāng)是直角三角形時(shí)，求的長(zhǎng)．【答案】(1)8(2)①；②或【分析】（1）利用正弦的定義即可求得答案；（2）①先證明，再證明，最后利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列出方程即可；②分三種情況討論完成，第一種：為直角頂點(diǎn)；第二種：為直角頂點(diǎn)；第三種，為直角頂點(diǎn)，但此種情況不成立，故最終有兩個(gè)答案．【詳解】（1）在中，，在中，．（2）①如圖1，作于點(diǎn)，由（1）得，，則，作交延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)，則，

∴．∵∴．由旋轉(zhuǎn)知，∴．設(shè)，則．∵，∴，∴，∴，即，∴，∴．②由旋轉(zhuǎn)得，，又因?yàn)椋裕闆r一：當(dāng)以為直角頂點(diǎn)時(shí)，如圖2．

∵，∴落在線(xiàn)段延長(zhǎng)線(xiàn)上．∵，∴，由（1）知，，∴．情況二：當(dāng)以為直角頂點(diǎn)時(shí)，如圖3．

設(shè)與射線(xiàn)的交點(diǎn)為，作于點(diǎn)．∵，∴，∵，∴，∴．又∵，∴，∴．設(shè)，則，∴∵，∴，∴，∴，∴，化簡(jiǎn)得，解得，∴．情況三：當(dāng)以為直角頂點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)落在的延長(zhǎng)線(xiàn)上，不符合題意．綜上所述，或．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，正弦的定義，全等的判定及性質(zhì)，相似的判定及性質(zhì)，理解記憶相關(guān)定義，判定，性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2.(2022·重慶市A卷)如圖，在銳角△ABC中，∠A=60°，點(diǎn)D，E分別是邊AB，AC上一動(dòng)點(diǎn)，連接BE交直線(xiàn)CD于點(diǎn)F．

(1)如圖1，若AB>AC，且BD=CE，∠BCD=∠CBE，求∠CFE的度數(shù)；

(2)如圖2，若AB=AC，且BD=AE，在平面內(nèi)將線(xiàn)段AC繞點(diǎn)C順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°得到線(xiàn)段CM，連接MF，點(diǎn)N是MF的中點(diǎn)，連接CN.在點(diǎn)D，E運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，猜想線(xiàn)段BF，CF，CN之間存在的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；

(3)若AB=AC，且BD=AE，將△ABC沿直線(xiàn)AB翻折至△ABC所在平面內(nèi)得到△ABP，點(diǎn)H是AP的中點(diǎn)，點(diǎn)K是線(xiàn)段PF上一點(diǎn)，將△PHK沿直線(xiàn)HK翻折至△PHK所在平面內(nèi)得到△QHK，連接PQ.在點(diǎn)D，E運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)線(xiàn)段PF取得最小值，且QK⊥PF時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出PQBC的值．

【答案】解：(1)如圖1中，在射線(xiàn)CD上取一點(diǎn)K，使得CK=BE，

在△BCE和△CBK中，

BC=CB∠BCK=∠CBEBE=CK，

∴△BCE≌△CBK(SAS)，

∴BK=CE，∠BEC=∠BKD，

∵CE=BD，

∴BD=BK，

∴∠BKD=∠BDK=∠ADC=∠CEB，

∵∠BEC+∠AEF=180°，

∴∠ADF+∠AEF=180°，

∴∠A+∠EFD=180°，

∵∠A=60°，

∴∠EFD=120°，

∴∠CFE=180°?120°=60°；

(2)結(jié)論：BF+CF=2CN．

理由：如圖2中，∵AB=AC，∠A=60°，

∴△ABC是等邊三角形，

∴AB=CB，∠A=∠CBD=60°，

∵AE=BD，

∴△ABE≌△BCD(SAS)，

∴∠BCF=∠ABE，

∴∠FBC+∠BCF=60°，

∴∠BFC=120°，

如圖2?1中，延長(zhǎng)CN到Q，使得NQ=CN，連接FQ，

∵NM=NF，∠CNM=∠FNQ，CN=NQ，

∴△CNM≌△QNF(SAS)，

∴FQ=CM=BC，

延長(zhǎng)CF到P，使得PF=BF，則△PBF是等邊三角形，

∴∠PBC+∠PCB=∠PCB+∠FCM=120°，

∴∠PFQ=∠FCM=∠PBC，

∵PB=PF，

∴△PFQ≌△PBC(SAS)，

∴PQ=PC，∠CPB=∠QPF=60°，

∴△PCQ是等邊三角形，

∴BF+CF=PC=QC=2CN．

(3)由(2)可知∠BFC=120°，

∴點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)軌跡為紅色圓弧(如圖3?1中)，

∴P，F(xiàn)，O三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，PF的值最小，

此時(shí)tan∠APK=AOAP=23，

∴∠HPK>45°，

∵QK⊥PF，

∴∠PKH=∠QKH=45°，

如圖3?2中，過(guò)點(diǎn)H作HL⊥PK于點(diǎn)L，設(shè)PQ交KH題意點(diǎn)J，設(shè)HL=LK=2，PL=3，PH=7，KH=22，

∵S△PHK3．（2023·甘肅武威·統(tǒng)考中考真題）【模型建立】（1）如圖1，和都是等邊三角形，點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)在邊上．①求證：；②用等式寫(xiě)出線(xiàn)段，，的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．【模型應(yīng)用】（2）如圖2，是直角三角形，，，垂足為，點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)在邊上．用等式寫(xiě)出線(xiàn)段，，的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．【模型遷移】（3）在（2）的條件下，若，，求的值．

【答案】（1）①見(jiàn)解析；②，理由見(jiàn)解析；（2），理由見(jiàn)解析；（3）【分析】（1）①證明：，再證明即可；②由和關(guān)于對(duì)稱(chēng)，可得．證明，從而可得結(jié)論；（2）如圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，得，證明，．可得，證明，，可得，則，可得，從而可得結(jié)論；（3）由，可得，結(jié)合，求解，，如圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)．可得，，可得，再利用余弦的定義可得答案．【詳解】（1）①證明：∵和都是等邊三角形，∴，，，∴，∴，∴．∴．

②．理由如下：∵和關(guān)于對(duì)稱(chēng)，∴．∵，∴．∴．（2）．理由如下：如圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，得．

∵和關(guān)于對(duì)稱(chēng)，∴，．∵，∴，∴．∴．∵是直角三角形，，∴，，∴，∴，∴，∴，∴，∴．∴，即．（3）∵，∴，∵，∴，∴．如圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)．

∵，∴，．∴．∴．【點(diǎn)睛】本題考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的靈活應(yīng)用，本題難度較高，屬于中考?jí)狠S題，作出合適的輔助線(xiàn)是解本題的關(guān)鍵．4.(2022·廣東省深圳市)(1)發(fā)現(xiàn)：如圖①所示，在正方形ABCD中，E為AD邊上一點(diǎn)，將△AEB沿BE翻折到△BEF處，延長(zhǎng)EF交CD邊于G點(diǎn)．求證：△BFG≌△BCG；

(2)探究：如圖②，在矩形ABCD中，E為AD邊上一點(diǎn)，且AD=8，AB=6.將△AEB沿BE翻折到△BEF處，延長(zhǎng)EF交BC邊于G點(diǎn)，延長(zhǎng)BF交CD邊于點(diǎn)H，且FH=CH，求AE的長(zhǎng)．

(3)拓展：如圖③，在菱形ABCD中，AB=6，E為CD邊上的三等分點(diǎn)，∠D=60°.將△ADE沿AE翻折得到△AFE，直線(xiàn)EF交BC于點(diǎn)P，求PC的長(zhǎng)．

【答案】(1)證明：∵將△AEB沿BE翻折到△BEF處，四邊形ABCD是正方形，

∴AB=BF，∠BFE=∠A=90°，

∴∠BFG=90°=∠C，

∵AB=BC=BF，BG=BG，

∴Rt△BFG≌Rt△BCG(HL)；

(2)解：延長(zhǎng)BH，AD交于Q，如圖：

設(shè)FH=HC=x，

在Rt△BCH中，BC2+CH2=BH2，

∴82+x2=(6+x)2，

解得x=73，

∴DH=DC?HC=113，

∵∠BFG=∠BCH=90°，∠HBC=∠FBG，

∴△BFG∽△BCH，

∴BFBC=BGBH=FGHC，即68=BG6+73=FG73，

∴BG=254，F(xiàn)G=74，

∵EQ//GB，DQ//CB，

∴△EFQ∽△GFB，△DHQ∽△CHB，

∴BCDQ=CHDH，即8DQ=736?73，

∴DQ=887，

設(shè)AE=EF=m，則DE=8?m，

∴EQ=DE+DQ=8?m+887=1447?m，

∵△EFQ∽△GFB，

∴EQBG=EFFG，即1447?m254=m74，

解得m=92，

∴AE的長(zhǎng)為92；

(3)解：(Ⅰ)當(dāng)DE=13DC=2時(shí)，延長(zhǎng)FE交AD于Q，過(guò)Q作QH⊥CD于H，如圖：

設(shè)DQ=x，QE=y，則AQ=6?x，

∵CP//DQ，

∴△CPE∽△QDE，

∴CPDQ=CEDE=2，

∴CP=2x，

∵△ADE沿AE翻折得到△AFE，

∴EF=DE=2，AF=AD=6，∠QAE=∠FAE，

∴AE是△AQF的角平分線(xiàn)，

∴5．（2023·湖北隨州·統(tǒng)考中考真題）1643年，法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬曾提出一個(gè)著名的幾何問(wèn)題：給定不在同一條直線(xiàn)上的三個(gè)點(diǎn)A，B，C，求平面上到這三個(gè)點(diǎn)的距離之和最小的點(diǎn)的位置，意大利數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家托里拆利給出了分析和證明，該點(diǎn)也被稱(chēng)為“費(fèi)馬點(diǎn)”或“托里拆利點(diǎn)”，該問(wèn)題也被稱(chēng)為“將軍巡營(yíng)”問(wèn)題．(1)下面是該問(wèn)題的一種常見(jiàn)的解決方法，請(qǐng)補(bǔ)充以下推理過(guò)程：（其中①處從“直角”和“等邊”中選擇填空，②處從“兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短”和“三角形兩邊之和大于第三邊”中選擇填空，③處填寫(xiě)角度數(shù)，④處填寫(xiě)該三角形的某個(gè)頂點(diǎn)）當(dāng)?shù)娜齻€(gè)內(nèi)角均小于時(shí)，如圖1，將繞，點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，

由，可知為①三角形，故，又，故，由②可知，當(dāng)B，P，，A在同一條直線(xiàn)上時(shí)，取最小值，如圖2，最小值為，此時(shí)的P點(diǎn)為該三角形的“費(fèi)馬點(diǎn)”，且有③；已知當(dāng)有一個(gè)內(nèi)角大于或等于時(shí)，“費(fèi)馬點(diǎn)”為該三角形的某個(gè)頂點(diǎn)．如圖3，若，則該三角形的“費(fèi)馬點(diǎn)”為④點(diǎn)．(2)如圖4，在中，三個(gè)內(nèi)角均小于，且，已知點(diǎn)P為的“費(fèi)馬點(diǎn)”，求的值；

(3)如圖5，設(shè)村莊A，B，C的連線(xiàn)構(gòu)成一個(gè)三角形，且已知．現(xiàn)欲建一中轉(zhuǎn)站P沿直線(xiàn)向A，B，C三個(gè)村莊鋪設(shè)電纜，已知由中轉(zhuǎn)站P到村莊A，B，C的鋪設(shè)成本分別為a元/，a元/，元/，選取合適的P的位置，可以使總的鋪設(shè)成本最低為_(kāi)__________元．（結(jié)果用含a的式子表示）【答案】(1)①等邊；②兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短；③；④A．(2)(3)【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短進(jìn)行推理分析即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)（1）的方法將繞，點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，即可得出可知當(dāng)B，P，，A在同一條直線(xiàn)上時(shí)，取最小值，最小值為，在根據(jù)可證明，由勾股定理求即可，（3）由總的鋪設(shè)成本，通過(guò)將繞，點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，得到等腰直角，得到，即可得出當(dāng)B，P，，A在同一條直線(xiàn)上時(shí)，取最小值，即取最小值為，然后根據(jù)已知和旋轉(zhuǎn)性質(zhì)求出即可．【詳解】（1）解：∵，∴為等邊三角形；∴，，又，故，由兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短可知，當(dāng)B，P，，A在同一條直線(xiàn)上時(shí)，取最小值，最小值為，此時(shí)的P點(diǎn)為該三角形的“費(fèi)馬點(diǎn)”，∴，，∴，，又∵，∴，∴，∴；∵，∴，，∴，，∴三個(gè)頂點(diǎn)中，頂點(diǎn)A到另外兩個(gè)頂點(diǎn)的距離和最小．又∵已知當(dāng)有一個(gè)內(nèi)角大于或等于時(shí)，“費(fèi)馬點(diǎn)”為該三角形的某個(gè)頂點(diǎn)．∴該三角形的“費(fèi)馬點(diǎn)”為點(diǎn)A，故答案為：①等邊；②兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短；③；④．（2）將繞，點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，由（1）可知當(dāng)B，P，，A在同一條直線(xiàn)上時(shí)，取最小值，最小值為，

∵，∴，又∵∴，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知：，∴，∴最小值為，（3）∵總的鋪設(shè)成本∴當(dāng)最小時(shí)，總的鋪設(shè)成本最低，將繞，點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知：，，，，∴，∴，當(dāng)B，P，，A在同一條直線(xiàn)上時(shí)，取最小值，即取最小值為，

過(guò)點(diǎn)作，垂足為，∵，，∴，∴，∴，∴，∴的最小值為總的鋪設(shè)成本（元）故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了費(fèi)馬點(diǎn)求最值問(wèn)題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，以及兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短等知識(shí)點(diǎn)，讀懂題意，利用旋轉(zhuǎn)作出正確的輔助線(xiàn)是解本題的關(guān)鍵．6.(2022·重慶市B卷)在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=22，D為BC的中點(diǎn)，E，F(xiàn)分別為AC，AD上任意一點(diǎn)，連接EF，將線(xiàn)段EF繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線(xiàn)段EG，連接FG，AG．

(1)如圖1，點(diǎn)E與點(diǎn)C重合，且GF的延長(zhǎng)線(xiàn)過(guò)點(diǎn)B，若點(diǎn)P為FG的中點(diǎn)，連接PD，求PD的長(zhǎng)；

(2)如圖2，EF的延長(zhǎng)線(xiàn)交AB于點(diǎn)M，點(diǎn)N在AC上，∠AGN=∠AEG且GN=MF，求證：AM+AF=2AE；

(3)如圖3，F(xiàn)為線(xiàn)段AD上一動(dòng)點(diǎn)，E為AC的中點(diǎn)，連接BE，H為直線(xiàn)BC上一動(dòng)點(diǎn)，連接EH，將△BEH沿EH翻折至△ABC所在平面內(nèi)，得到△B'EH，連接B'G，直接寫(xiě)出線(xiàn)段B'G【答案】(1)解：如圖1，連接CP，

由旋轉(zhuǎn)知，CF=CG，∠FCG=90°，

∴△FCG為等腰直角三角形，

∵點(diǎn)P是FG的中點(diǎn)，

∴CP⊥FG，

∵點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，

∴DP=12BC，

在Rt△ABC中，AB=AC=22，

∴BC=2AB=4，

∴DP=2；

(2)證明：如圖2，

過(guò)點(diǎn)E作EH⊥AE交AD的延長(zhǎng)線(xiàn)于H，

∴∠AEH=90°，

由旋轉(zhuǎn)知，EG=EF，∠FEG=90°，

∴∠FEG=∠AEH，

∴∠AEG=∠HEF，

∵AB=AC，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，

∴∠BAD=∠CAD=12∠BAC=45°，

∴∠H=90°?∠CAD=45°=∠CAD，

∴AE=HE，

∴△EGA≌△EFH(SAS)，

∴AG=FH，∠EAG=∠H=45°，

∴∠EAG=∠BAD=45°，

∵∠AMF=180°?∠BAD?∠AFM=135°?∠AFM，

∵∠AFM=∠EFH，

∴∠AMF=135°?∠EFH，

∵∠HEF=180°?∠EFH?∠H=135°?∠EFH，

∴∠AMF=∠HEF，

∵△EGA≌△EFH，

∴∠AEG=∠HEF，

∵∠AGN=∠AEG，

∴∠AGN=∠HEF，

∴∠AGN=∠AMF，

∵GN=MF，

∴△AGN≌△AMF(AAS)，

∴AG=AM，

∵AG=FH，

∴AM=FH，

∴AF+AM=AF+FH=AH=2AE；

(3)解：∵點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，

∴AE=12AC=2，

根據(jù)勾股定理得，BE=AE2+AB2=10，

由折疊直，BE=B'E=10，

∴點(diǎn)B'是以點(diǎn)E為圓心，10為半徑的圓上，

由旋轉(zhuǎn)知，EF=EG，

∴點(diǎn)G是以點(diǎn)E為圓心，EG為半徑的圓上，

∴B'G的最小值為B'E?EG，

要B'G最小，則EG最大，即EF最大，

∵點(diǎn)7．（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）（1）[問(wèn)題探究]如圖1，在正方形中，對(duì)角線(xiàn)相交于點(diǎn)O．在線(xiàn)段上任取一點(diǎn)P（端點(diǎn)除外），連接．

①求證：；②將線(xiàn)段繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)D落在的延長(zhǎng)線(xiàn)上的點(diǎn)Q處．當(dāng)點(diǎn)P在線(xiàn)段上的位置發(fā)生變化時(shí)，的大小是否發(fā)生變化？請(qǐng)說(shuō)明理由；③探究與的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．（2）[遷移探究]如圖2，將正方形換成菱形，且，其他條件不變．試探究與的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．

【答案】（1）①見(jiàn)解析；②不變化，，理由見(jiàn)解析；③，理由見(jiàn)解析（2），理由見(jiàn)解析【分析】（1）①根據(jù)正方形的性質(zhì)證明，即可得到結(jié)論；②作，垂足分別為點(diǎn)M、N，如圖，可得，證明四邊形是矩形，推出，證明，得出，進(jìn)而可得結(jié)論；③作交于點(diǎn)E，作于點(diǎn)F，如圖，證明，即可得出結(jié)論；（2）先證明，作交于點(diǎn)E，交于點(diǎn)G，如圖，則四邊形是平行四邊形，可得，都是等邊三角形，進(jìn)一步即可證得結(jié)論．【詳解】（1）①證明：∵四邊形是正方形，∴，∵，∴，∴；②的大小不發(fā)生變化，；證明：作，垂足分別為點(diǎn)M、N，如圖，

∵四邊形是正方形，∴，，∴四邊形是矩形，，∴，∵，∴，∴，∵，∴，即；③；證明：作交于點(diǎn)E，作于點(diǎn)F，如圖，

∵四邊形是正方形，∴，，∴，四邊形是矩形，∴，∴，∵，，∴，作于點(diǎn)M，則，∴，∵，∴，∴；（2）；證明：∵四邊形是菱形，，∴，∴是等邊三角形，垂直平分，∴，∵，∴，作交于點(diǎn)E，交于點(diǎn)G，如圖，則四邊形是平行四邊形，，，∴，都是等邊三角形，∴，

作于點(diǎn)M，則，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，主要考查了正方形、菱形的性質(zhì)，矩形、平行四邊形、等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)以及解直角三角形等知識(shí)，熟練掌握相關(guān)圖形的判定和性質(zhì)、正確添加輔助線(xiàn)是解題的關(guān)鍵．8.(2021·四川省達(dá)州市)某數(shù)學(xué)興趣小組在數(shù)學(xué)課外活動(dòng)中，對(duì)多邊形內(nèi)兩條互相垂直的線(xiàn)段做了如下探究：

【觀察與猜想】

(1)如圖1，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB，AD上的兩點(diǎn)，連接DE，CF，DE⊥CF，則DECF的值為_(kāi)_____；

(2)如圖2，在矩形ABCD中，AD=7，CD=4，點(diǎn)E是AD上的一點(diǎn)，連接CE，BD，且CE⊥BD，則CEBD的值為_(kāi)_____；

【類(lèi)比探究】

(3)如圖3，在四邊形ABCD中，∠A=∠B=90°，點(diǎn)E為AB上一點(diǎn)，連接DE，過(guò)點(diǎn)C作DE的垂線(xiàn)交ED的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)G，交AD的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F，求證：DE?AB=CF?AD；

【拓展延伸】

(4)如圖4，在Rt△ABD中，∠BAD=90°，AD=9，tan∠ADB=13，將△ABD沿BD翻折，點(diǎn)A落在點(diǎn)C處得△CBD，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AB，AD上，連接DE，CF，DE⊥CF．

①求DECF的值；

②連接【答案】解：(1)如圖1，設(shè)DE與CF交于點(diǎn)G，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠A=∠FDC=90°，AD=CD，

∵DE⊥CF，

∴∠DGF=90°，

∴∠ADE+∠CFD=90°，∠ADE+∠AED=90°，

∴∠CFD=∠AED，

在△AED和△DFC中，

∠A=∠FDC∠CFD=∠AEDAD=CD，

∴△AED≌△DFC(AAS)，

∴DE=CF，

∴DECF=1；

(2)如圖2，設(shè)DB與CE交于點(diǎn)G，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠A=∠EDC=90°，

∵CE⊥BD，

∴∠DGC=90°，

∴∠CDG+∠ECD=90°，∠ADB+∠CDG=90°，

∴∠ECD=∠ADB，

∵∠CDE=∠A，

∴△DEC∽△ABD，

∴CEBD=DCAD=47，

故答案為：47．

(3)證明：如圖3，過(guò)點(diǎn)C作CH⊥AF交AF的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)H，

∵CG⊥EG，

∴∠G=∠H=∠A=∠B=90°，

∴四邊形ABCH為矩形，

∴AB=CH，∠FCH+∠CFH=∠DFG+∠FDG=90°，

∴∠FCH=∠FDG=∠ADE，∠A=∠H=90°，

∴△DEA∽△CFH，

∴DECF=ADCH，

∴DECF=ADAB，

∴DE?AB=CF?AD；

(4)①如圖4，過(guò)點(diǎn)C作CG⊥AD于點(diǎn)G，連接AC交BD于點(diǎn)H，CG與DE相交于點(diǎn)O，

∵CF⊥DE，GC⊥AD，

∴∠FCG+∠CFG=∠CFG+∠ADE=90°，

∴∠FCG=∠ADE，∠BAD=∠CGF=90°，

∴△DEA∽△CFG，

∴DECF=ADCG，

在Rt△ABD中，tan∠ADB=13，AD=9，

∴AB=3，

在Rt△ADH中，tan∠ADH=13，

∴AHDH=13，

設(shè)AH=a，則DH=3a，

∵AH2+DH2=AD2，

∴a2+(3a)2=92，

∴a=91010(負(fù)值舍去9．（2023·湖南岳陽(yáng)·統(tǒng)考中考真題）如圖1，在中，，點(diǎn)分別為邊的中點(diǎn)，連接．初步嘗試：（1）與的數(shù)量關(guān)系是_________，與的位置關(guān)系是_________．特例研討：（2）如圖2，若，先將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)（為銳角），得到，當(dāng)點(diǎn)在同一直線(xiàn)上時(shí)，與相交于點(diǎn)，連接．

（1）求的度數(shù)；（2）求的長(zhǎng)．深入探究：（3）若，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，連接，．當(dāng)旋轉(zhuǎn)角滿(mǎn)足，點(diǎn)在同一直線(xiàn)上時(shí)，利用所提供的備用圖探究與的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．【答案】初步嘗試：（1）；；（2）特例研討：（1）；（2）；（3）或【分析】（1），點(diǎn)分別為邊的中點(diǎn)，則是的中位線(xiàn)，即可得出結(jié)論；（2）特例研討：（1）連接，，證明是等邊三角形，是等邊三角形，得出；（2）連接，證明，則，設(shè)，則，在中，，則，在中，，勾股定理求得，則；（3）當(dāng)點(diǎn)在同一直線(xiàn)上時(shí)，且點(diǎn)在上時(shí)，設(shè)，則，得出，則在同一個(gè)圓上，進(jìn)而根據(jù)圓周角定理得出，表示與，即可求解；當(dāng)在上時(shí)，可得在同一個(gè)圓上，設(shè)，則，設(shè)，則，則，表示與，即可求解．【詳解】初步嘗試：（1）∵，點(diǎn)分別為邊的中點(diǎn)，∴是的中位線(xiàn)，∴；；故答案是：；（2）特例研討：（1）如圖所示，連接，，

∵是的中位線(xiàn)，∴，∴∵將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)（為銳角），得到，∴；∵點(diǎn)在同一直線(xiàn)上時(shí)，∴又∵在中，是斜邊的中點(diǎn)，∴∴∴是等邊三角形，∴，即旋轉(zhuǎn)角∴∴是等邊三角形，又∵，∴,∴,∴,∴,（2）如圖所示，連接，∵，，∴，,

∵,∴,∴,設(shè)，則，在中，，則，在中，,∴,解得：或（舍去）∴,（3）如圖所示，當(dāng)點(diǎn)在同一直線(xiàn)上時(shí)，且點(diǎn)在上時(shí)，

∵，∴，設(shè)，則，∵是的中位線(xiàn)，∴∴，∵將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，∴，，∴∴，∵點(diǎn)在同一直線(xiàn)上，∴∴，∴在同一個(gè)圓上，

∴∴∵，∴；如圖所示，當(dāng)在上時(shí)，

∵∴在同一個(gè)圓上，設(shè)，則，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，設(shè)，則，則，∴，∵,∴，∵∴∴綜上所述，或【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)，相似三角形的性質(zhì)與判定，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，中位線(xiàn)的性質(zhì)與判定，等腰三角形的性質(zhì)與判定，三角形內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．10.（2021·山西中考真題）綜合與實(shí)踐，問(wèn)題情境：數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師出示了一個(gè)問(wèn)題：如圖①，在中，，垂足為，為的中點(diǎn)，連接，，試猜想與的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；獨(dú)立思考：（1）請(qǐng)解答老師提出的問(wèn)題；實(shí)踐探究：（2）希望小組受此問(wèn)題的啟發(fā)，將沿著（為的中點(diǎn)）所在直線(xiàn)折疊，如圖②，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，請(qǐng)判斷與的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；問(wèn)題解決：（3）智慧小組突發(fā)奇想，將沿過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)折疊，如圖③，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，使于點(diǎn)，折痕交于點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)．該小組提出一個(gè)問(wèn)題：若此的面積為20，邊長(zhǎng)，，求圖中陰影部分（四邊形）的面積．請(qǐng)你思考此問(wèn)題，直接寫(xiě)出結(jié)果．【答案】（1）；見(jiàn)解析；（2），見(jiàn)解析；（3）．【分析】（1）如圖，分別延長(zhǎng)，相交于點(diǎn)P，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得，根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)可得，，利用AAS可證明△PDF≌△BCF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，根據(jù)直角三角形斜邊中線(xiàn)的性質(zhì)可得，即可得；（2）根據(jù)折疊性質(zhì)可得∠CFB=∠C′FB=∠CFC′，F(xiàn)C=FC′，可得FD=FC′，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得∠FDC′=∠FC′D，根據(jù)三角形外角性質(zhì)可得∠CFC′=∠FDC′+∠FC′D，即可得出∠C′FB=∠FC′D，可得DG//FB，即可證明四邊形DGBF是平行四邊形，可得DF=BG=，可得AG=BG；（3）如圖，過(guò)點(diǎn)M作MQ⊥A′B于Q，根據(jù)平行四邊形的面積可求出BH的長(zhǎng)，根據(jù)折疊的性質(zhì)可得A′B=AB，∠A=∠A′，∠ABM=∠MBH，根據(jù)可得A′B⊥AB，即可證明△MBQ是等腰直角三角形，可得MQ=BQ，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得∠A=∠C，即可得∠A′=∠C，進(jìn)而可證明△A′N(xiāo)H∽△CBH，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得A′H、NH的長(zhǎng)，根據(jù)NH//MQ可得△A′N(xiāo)H∽△A′MQ，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可求出MQ的長(zhǎng)，根據(jù)S陰=S△A′MB-S△A′N(xiāo)H即可得答案．【詳解】（1）．如圖，分別延長(zhǎng)，相交于點(diǎn)P，∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，,∵為的中點(diǎn)，∴，在△PDF和△BCF中，，∴△PDF≌△BCF，∴，即為的中點(diǎn)，∴，∵，∴，∴，∴．（2）．∵將沿著所在直線(xiàn)折疊，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，∴∠CFB=∠C′FB=∠CFC′，，∵為的中點(diǎn)，∴，∴，∴∠FDC′=∠FC′D，∵=∠FDC′+∠FC′D，∴，∴∠FC′D=∠C′FB，∴，∵四邊形為平行四邊形，∴，DC=AB，∴四邊形為平行四邊形，∴，∴，∴．（3）如圖，過(guò)點(diǎn)M作MQ⊥A′B于Q，∵的面積為20，邊長(zhǎng)，于點(diǎn)，∴BH=50÷5=4，∴CH=，A′H=A′B-BH=1，∵將沿過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)折疊，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，∴A′B=AB，∠A=∠A′，∠ABM=∠MBH，∵于點(diǎn)，AB//CD，∴，∴∠MBH=45°，∴△MBQ是等腰直角三角形，∴MQ=BQ，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠A=∠C，∴∠A′=∠C，∵∠A′HN=∠CHB，∴△A′N(xiāo)H∽△CBH，∴，即，解得：NH=2，∵，MQ⊥A′B，∴NH//MQ，∴△A′N(xiāo)H∽△A′MQ，∴，即，解得：MQ=，∴S陰=S△A′MB-S△A′N(xiāo)H=A′B·MQ-A′H·NH=×5×-×1×2=．【點(diǎn)睛】本題考查折疊的性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)及相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)及判定定理是解題關(guān)鍵．11．（2023·湖北黃岡·統(tǒng)考中考真題）【問(wèn)題呈現(xiàn)】和都是直角三角形，，連接，，探究，的位置關(guān)系．

(1)如圖1，當(dāng)時(shí)，直接寫(xiě)出，的位置關(guān)系：____________；(2)如圖2，當(dāng)時(shí)，（1）中的結(jié)論是否成立？若成立，給出證明；若不成立，說(shuō)明理由．【拓展應(yīng)用】(3)當(dāng)時(shí)，將繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，使三點(diǎn)恰好在同一直線(xiàn)上，求的長(zhǎng)．【答案】(1)(2)成立；理由見(jiàn)解析(3)或【分析】（1）根據(jù)，得出，，證明，得出，根據(jù)，求出，即可證明結(jié)論；（2）證明，得出，根據(jù)，求出，即可證明結(jié)論；（3）分兩種情況，當(dāng)點(diǎn)E在線(xiàn)段上時(shí)，當(dāng)點(diǎn)D在線(xiàn)段上時(shí)，分別畫(huà)出圖形，根據(jù)勾股定理求出結(jié)果即可．【詳解】（1）解：∵，∴，，∵，∴，∴，∴，∴，∵，，∴，∴；故答案為：．

（2）解：成立；理由如下：∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∴；

（3）解：當(dāng)點(diǎn)E在線(xiàn)段上時(shí)，連接，如圖所示：

設(shè)，則，根據(jù)解析（2）可知，，∴，∴，根據(jù)解析（2）可知，，∴，根據(jù)勾股定理得：，即，解得：或（舍去），∴此時(shí)；當(dāng)點(diǎn)D在線(xiàn)段上時(shí)，連接，如圖所示：

設(shè)，則，根據(jù)解析（2）可知，，∴，∴，根據(jù)解析（2）可知，，∴，根據(jù)勾股定理得：，即，解得：或（舍去），∴此時(shí)；綜上分析可知，或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，勾股定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形相似的判定方法，畫(huà)出相應(yīng)的圖形，注意分類(lèi)討論．12.（2021·北京中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，的半徑為1，對(duì)于點(diǎn)和線(xiàn)段，給出如下定義：若將線(xiàn)段繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)可以得到的弦（分別是的對(duì)應(yīng)點(diǎn)），則稱(chēng)線(xiàn)段是的以點(diǎn)為中心的“關(guān)聯(lián)線(xiàn)段”．（1）如圖，點(diǎn)的橫?縱坐標(biāo)都是整數(shù)．在線(xiàn)段中，的以點(diǎn)為中心的“關(guān)聯(lián)線(xiàn)段”是______________；（2）是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，點(diǎn)，其中．若是的以點(diǎn)為中心的“關(guān)聯(lián)線(xiàn)段”，求的值；（3）在中，．若是的以點(diǎn)為中心的“關(guān)聯(lián)線(xiàn)段”，直接寫(xiě)出的最小值和最大值，以及相應(yīng)的長(zhǎng)．【答案】（1）；（2）；（3）當(dāng)時(shí)，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，此時(shí)．【分析】（1）以點(diǎn)A為圓心，分別以為半徑畫(huà)圓，進(jìn)而觀察是否與有交點(diǎn)即可；（2）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得是等邊三角形，且是的弦，進(jìn)而畫(huà)出圖象，則根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可進(jìn)行求解；（3）由是的以點(diǎn)為中心的“關(guān)聯(lián)線(xiàn)段”，則可知都在上，且，然后由題意可根據(jù)圖象來(lái)進(jìn)行求解即可．【詳解】解：（1）由題意得：通過(guò)觀察圖象可得：線(xiàn)段能繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)90°得到的“關(guān)聯(lián)線(xiàn)段”，都不能繞點(diǎn)A進(jìn)行旋轉(zhuǎn)得到；故答案為；（2）由題意可得：當(dāng)是的以點(diǎn)為中心的“關(guān)聯(lián)線(xiàn)段”時(shí)，則有是等邊三角形，且邊長(zhǎng)也為1，當(dāng)點(diǎn)A在y軸的正半軸上時(shí)，如圖所示：設(shè)與y軸的交點(diǎn)為D，連接，易得軸，∴，∴，，∴，∴；當(dāng)點(diǎn)A在y軸的正半軸上時(shí)，如圖所示：同理可得此時(shí)的，∴；（3）由是的以點(diǎn)為中心的“關(guān)聯(lián)線(xiàn)段”，則可知都在上，且，則有當(dāng)以為圓心，1為半徑作圓，然后以點(diǎn)A為圓心，2為半徑作圓，即可得到點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)軌跡，如圖所示：由運(yùn)動(dòng)軌跡可得當(dāng)點(diǎn)A也在上時(shí)為最小，最小值為1，此時(shí)為的直徑，∴，∴，∴；由以上情況可知當(dāng)點(diǎn)三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，OA的值為最大，最大值為2，如圖所示：連接，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)P，∴，設(shè)，則有，∴由勾股定理可得：，即，解得：，∴，∴，在中，，∴；綜上所述：當(dāng)時(shí)，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，此時(shí)．【點(diǎn)睛】本題主要考查旋轉(zhuǎn)的綜合、圓的基本性質(zhì)、三角函數(shù)及等邊三角形的性質(zhì)，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、圓的基本性質(zhì)、三角函數(shù)及等邊三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．13．（2023·河北·統(tǒng)考中考真題）如圖1和圖2，平面上，四邊形中，，點(diǎn)在邊上，且．將線(xiàn)段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到的平分線(xiàn)所在直線(xiàn)交折線(xiàn)于點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)在該折線(xiàn)上運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為，連接．

(1)若點(diǎn)在上，求證：；(2)如圖2．連接．①求的度數(shù)，并直接寫(xiě)出當(dāng)時(shí)，的值；②若點(diǎn)到的距離為，求的值；(3)當(dāng)時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)到直線(xiàn)的距離．（用含的式子表示）．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)①，；②或(3)【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和角平分線(xiàn)的概念得到，，然后證明出，即可得到；（2）①首先根據(jù)勾股定理得到，然后利用勾股定理的逆定理即可求出；首先畫(huà)出圖形，然后證明出，利用相似三角形的性質(zhì)求出，，然后證明出，利用相似三角形的性質(zhì)得到，進(jìn)而求解即可；②當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，，，分別求得，根據(jù)正切的定義即可求解；②當(dāng)在上時(shí)，則，過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)，證明，得出，，進(jìn)而求得，證明，即可求解；（3）如圖所示，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，則四邊形是矩形，證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解．【詳解】（1）∵將線(xiàn)段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到，∴∵的平分線(xiàn)所在直線(xiàn)交折線(xiàn)于點(diǎn)，∴又∵∴∴；（2）①∵，，∴∵，∴，∴∴；如圖所示，當(dāng)時(shí)，

∵平分∴∴∴∴∵，∴∴，∴∵，∴∴，即∴解得∴．②如圖所示，當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，，

∵，∴，，∴，∴∴；如圖所示，當(dāng)在上時(shí)，則，過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)，

∵，∴，∴∴即∴，，∴∵∴，∴，∴∴解得：∴，綜上所述，的值為或；（3）解：∵當(dāng)時(shí)，∴在上，如圖所示，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，則四邊形是矩形，∴，，

∵，∴，∴，又，∴，又∵，∴，∴∵，，設(shè)，即∴，∴整理得即點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，相似三角形的性質(zhì)與判定，折疊的性質(zhì)，求正切值，熟練掌握以上知識(shí)且分類(lèi)討論是解題的關(guān)鍵．14.（2021·湖南中考真題）如圖，在中，點(diǎn)為斜邊上一動(dòng)點(diǎn)，將沿直線(xiàn)折疊，使得點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，連接，，，．（1）如圖①，若，證明：．（2）如圖②，若，，求的值．（3）如圖③，若，是否存在點(diǎn)，使得．若存在，求此時(shí)的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）；（3）存在，的值為或．【分析】（1）先根據(jù)平行線(xiàn)的判定與性質(zhì)可得，再根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，從而可得，然后根據(jù)平行線(xiàn)的判定可得，最后根據(jù)菱形的判定與性質(zhì)即可得證；（2）設(shè)與的交點(diǎn)為點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，設(shè)，從而可得，先證出，從而可得，設(shè)，根據(jù)線(xiàn)段的和差可得，代入可求出，從而可得，再在中，解直角三角形可得，由此可得，然后在中，根據(jù)余弦三角函數(shù)的定義即可得；（3）如圖（見(jiàn)解析），設(shè)，從而可得，分①點(diǎn)在直線(xiàn)的左側(cè)；②點(diǎn)在直線(xiàn)的右側(cè)兩種情況，再分別利用等邊三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)求解即可得．【詳解】（1）證明：，，，，由折疊的性質(zhì)得：，，，四邊形是平行四邊形，又，平行四邊形是菱形，；（2）如圖，設(shè)與的交點(diǎn)為點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，

，是等腰三角形，，設(shè)，則，，，由折疊的性質(zhì)得：，在和中，，，，設(shè)，則，，解得，，在中，，，則；（3），，設(shè)，則，由折疊的性質(zhì)得：，，由題意，分以下兩種情況：①如圖，當(dāng)點(diǎn)在直線(xiàn)的左側(cè)時(shí)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，