2024年中考數學二輪題型突破題型11 綜合探究題 類型3 與折疊有關的探究題（專題訓練）（學生版）

類型三與折疊有關的探究題（專題訓練）1．（2023·山東棗莊·統(tǒng)考中考真題）問題情境：如圖1，在中，，是邊上的中線．如圖2，將的兩個頂點B，C分別沿折疊后均與點D重合，折痕分別交于點E，G，F，H．

猜想證明：(1)如圖2，試判斷四邊形的形狀，并說明理由．問題解決；(2)如圖3，將圖2中左側折疊的三角形展開后，重新沿折疊，使得頂點B與點H重合，折痕分別交于點M，N，的對應線段交于點K，求四邊形的面積．2.在我們學習過的數學教科書中，有一個數學活動，若身旁沒有量角器或三角尺，又需要作等大小的角，可以采用如下方法：操作感知：第一步：對折矩形紙片，使與重合，得到折痕，把紙片展開（如圖13-1）．第二步：再一次折疊紙片，使點落在上，并使折痕經過點，得到折痕，同時得到線段（如圖13-2）．猜想論證：（1）若延長交于點，如圖13-3所示，試判定的形狀，并證明你的結論．拓展探究：（2）在圖13-3中，若，當滿足什么關系時，才能在矩形紙片中剪出符（1）中的等邊三角形？3．（2023·遼寧大連·統(tǒng)考中考真題）綜合與實踐問題情境：數學活動課上，王老師給同學們每人發(fā)了一張等腰三角形紙片探究折疊的性質．已知，點為上一動點，將以為對稱軸翻折．同學們經過思考后進行如下探究：獨立思考：小明：“當點落在上時，．”小紅：“若點為中點，給出與的長，就可求出的長．”實踐探究：奮進小組的同學們經過探究后提出問題1，請你回答：

問題1：在等腰中，由翻折得到．（1）如圖1，當點落在上時，求證：；（2）如圖2，若點為中點，，求的長．問題解決：小明經過探究發(fā)現：若將問題1中的等腰三角形換成的等腰三角形，可以將問題進一步拓展．問題2：如圖3，在等腰中，．若，則求的長．4.（2021·山西中考真題）綜合與實踐，問題情境：數學活動課上，老師出示了一個問題：如圖①，在中，，垂足為，為的中點，連接，，試猜想與的數量關系，并加以證明；獨立思考：（1）請解答老師提出的問題；實踐探究：（2）希望小組受此問題的啟發(fā)，將沿著（為的中點）所在直線折疊，如圖②，點的對應點為，連接并延長交于點，請判斷與的數量關系，并加以證明；問題解決：（3）智慧小組突發(fā)奇想，將沿過點的直線折疊，如圖③，點A的對應點為，使于點，折痕交于點，連接，交于點．該小組提出一個問題：若此的面積為20，邊長，，求圖中陰影部分（四邊形）的面積．請你思考此問題，直接寫出結果．5．（2023·廣西·統(tǒng)考中考真題）【探究與證明】折紙，操作簡單，富有數學趣味，我們可以通過折紙開展數學探究，探索數學奧秘．【動手操作】如圖1，將矩形紙片對折，使與重合，展平紙片，得到折痕；折疊紙片，使點B落在上，并使折痕經過點A，得到折痕，點B，E的對應點分別為，，展平紙片，連接，，．

請完成：(1)觀察圖1中，和，試猜想這三個角的大小關系；(2)證明（1）中的猜想；【類比操作】如圖2，N為矩形紙片的邊上的一點，連接，在上取一點P，折疊紙片，使B，P兩點重合，展平紙片，得到折痕；折疊紙片，使點B，P分別落在，上，得到折痕l，點B，P的對應點分別為，，展平紙片，連接，．

請完成：(3)證明是的一條三等分線．6.(2022·重慶市A卷)如圖，在銳角△ABC中，∠A=60°，點D，E分別是邊AB，AC上一動點，連接BE交直線CD于點F．

(1)如圖1，若AB>AC，且BD=CE，∠BCD=∠CBE，求∠CFE的度數；

(2)如圖2，若AB=AC，且BD=AE，在平面內將線段AC繞點C順時針方向旋轉60°得到線段CM，連接MF，點N是MF的中點，連接CN.在點D，E運動過程中，猜想線段BF，CF，CN之間存在的數量關系，并證明你的猜想；

(3)若AB=AC，且BD=AE，將△ABC沿直線AB翻折至△ABC所在平面內得到△ABP，點H是AP的中點，點K是線段PF上一點，將△PHK沿直線HK翻折至△PHK所在平面內得到△QHK，連接PQ.在點D，E運動過程中，當線段PF取得最小值，且QK⊥PF時，請直接寫出PQBC的值．

7.(2022·廣東省深圳市)(1)發(fā)現：如圖①所示，在正方形ABCD中，E為AD邊上一點，將△AEB沿BE翻折到△BEF處，延長EF交CD邊于G點．求證：△BFG≌△BCG；

(2)探究：如圖②，在矩形ABCD中，E為AD邊上一點，且AD=8，AB=6.將△AEB沿BE翻折到△BEF處，延長EF交BC邊于G點，延長BF交CD邊于點H，且FH=CH，求AE的長．

(3)拓展：如圖③，在菱形ABCD中，AB=6，E為CD邊上的三等分點，∠D=60°.將△ADE沿AE翻折得到△AFE，直線EF交BC于點P，求PC的長．

8.(2021·湖北省荊州市)在矩形ABCD中，AB=2，AD=4，F是對角線AC上不與點A，C重合的一點，過F作FE⊥AD于E，將△AEF沿EF翻折得到△GEF，點G在射線AD上，連接CG．

(1)如圖1，若點A的對稱點G落在AD上，∠FGC=90°，延長GF交AB于H，連接CH．

①求證：△CDG∽△GAH；

②求tan∠GHC．

(2)如圖2，若點A的對稱點G落在AD延長線上，∠GCF=90°，判斷△GCF與△AEF是否全等，并說明理由．

9.(2022·四川省成都市)在矩形ABCD的CD邊上取一點E，將△BCE沿BE翻折，使點C恰好落在AD邊上點F處．

(1)如圖1，若BC=2BA，求∠CBE的度數；

(2)如圖2，當AB=5，且AF?FD=10時，求BC的長；

(3)如圖3，延長EF，與∠ABF的角平分線交于點M，BM交AD于點N，當NF=AN+FD時，求ABBC10.在矩形ABCD中，E為DC邊上一點，把△ADE沿AE翻折，使點D恰好落在BC邊上的點F．

(1)求證：△ABF∽△FCE；

(2)若AB=23，AD=4，求EC的長；

(3)若AE?DE=2EC，記∠BAF=α，∠FAE=β，求tanα+tanβ的值．11.已知：在矩形中，，，是邊上的一個動點，將矩形折疊，使點與點重合，點落在點處，折痕為．（1）如圖1，當點與點重合時，則線段_______________，_____________；（2）如圖2，當點與點，均不重合時，取的中點，連接并延長與的延長線交于點，連接，，．①求證：四邊形是平行四邊形：②當時，求四邊形的面積．12.（2021·湖南中考真題）如圖，在中，點為斜邊上一動點，將沿直線折疊，使得點的對應點為，連接，，，．（1）如圖①，若，證明：．（2）如圖②，若，，求的值．（3）如圖③，若，是否存在點，使得．若存在，求此時的值；若不存在，請說明理由．13.（2021·浙江中考真題）（推理）如圖1，在正方形ABCD中，點E是CD上一動點，將正方形沿著BE折疊，點C落在點F處，連結BE，CF，延長CF交AD于點G．（1）求證：．（運用）（2）如圖2，在（推理）條件下，延長BF交AD于點H．若，，求線段DE的長．（拓展）（3）將正方形改成矩形，同樣沿著BE折疊，連結CF，延長CF，BF交直線AD于G，兩點，若，，求的值（用含k的代數式表示）．

14.（2021·湖北中考真題）在矩形中，，，是對角線上不與點，重合的一點，過作于，將沿翻折得到，點在射線上，連接．（1）如圖1，若點的對稱點落在上，，延長交于，連接．①求證：；②求．（2）如圖2，若點的對稱點