微分方程數(shù)值解法答案

包括基本概念，差分格式的構(gòu)造、截斷誤差和穩(wěn)定性，這些內(nèi)容是貫穿整個教材的主線。解答問題關(guān)鍵在過程，能夠顯示出你已經(jīng)掌握了書上的內(nèi)容，知道了解題方法。這次考試題目的類型：20分的選擇題，主要是基本概念的理解，后面有五個大題，包括差分格式的構(gòu)造、截斷誤差和穩(wěn)定性。習(xí)題一略，梯形公式：，所以，當(dāng)時，。同理可以證明預(yù)報-校正法收斂到微分方程的解.局部截斷誤差的推導(dǎo)同歐拉公式;整體截斷誤差:，這里而，所以，不妨設(shè)/2，得到：中點公式的局部截斷誤差：所以上式為中點公式的整體截斷誤差：因而，略略略（1）歐拉法：；四階Runge-Kutta方法：（2）歐拉法：；四階Runge-Kutta方法：（3）歐拉法：；四階Runge-Kutta方法：略略習(xí)題2略略略差分格式寫成矩陣形式為：矩陣的特征值為：，要使格式穩(wěn)定，則特征值須滿足，即利用泰勒展式可以得到古典隱式差分格式的截斷誤差為。古典隱式差分格式寫成矩陣形式為：特征值為：，即：，所以無條件穩(wěn)定。由Von-Neumann方法，令，代入差分格式得到增長因子為：，所以，恒不穩(wěn)定。，則原三層格式等價于：，令，可以得到格式的增長矩陣為：，特征值為＝，當(dāng)1+2〈0時，格式恒不穩(wěn)定。當(dāng)時，格式無條件穩(wěn)定。令，則可以得到差分格式的增長矩陣為：，特征值為：，，所以，格式無條件穩(wěn)定。9.（1）由Von-Neumann方法，，可以得到格式的穩(wěn)定條件為：；（2），無條件穩(wěn)定。10.解：消去便可得到與的關(guān)系為=由Von-Meuman方法可以得到增長因子=顯然無條件穩(wěn)定習(xí)題31.（1）第一個差分方程的截斷誤差為（2）第二個差分方程的截斷誤差為2.邊界條件離散為====2ln，=然后將未知點按自然順序排列=可以寫出求解的線性代數(shù)方程組用直接方法或迭代方法可求解.3.求解的關(guān)鍵是（1）邊界條件的離散應(yīng)與差分方程相適應(yīng);（2）在邊界的四個角點處差分方程的建立;（3）未知量按自然順序排列，寫出線性方程組4.解：（1）將節(jié)點以自動順序排列U=其中則Dirichlet問題的差分格式可以寫成方程組AU=b其中A，B即為題中已給形式，b為由邊界條件離散化后已確定的已知向量（2）考慮AU=即因B為對稱陣，故存在正交陣Q使用左乘以上各式記=則選取以上方程組中的每一個小方程組的第j個方程得到j(luò)=1，2…..p-1這是一齊次三對角線性方程組，若要使其有非零解，則系數(shù)行列式值為零，即=0根據(jù)三對角陣特征值公式有=1，2…q-1而于是證得=1，2…q-1m=1，2….p-1事實上由此也可以求出A的特征向量,而AU=b的求解與此類似;（3）求解AU=b的Jacobi迭代因A=D-L-R所以設(shè)X為A的對應(yīng)于的特征向量，于是GX=這說明X也是G的特征向量，對應(yīng)的特征值為=1，2…..p-1m=1，2…….q-1因在上，為減函數(shù)，于是習(xí)題4特征線為：，求解得到曲線為：，過點的特征線為：。沿特征線，原方程變?yōu)槌Ｎ⒎址匠蹋?，帶入，得到：，在點(3，19)的值為6.5。此問題給出的初始條件比較特殊，為兩條直線，因此有兩條完全不同的特征線，從而得到沿兩條不同特征線的解。特征線方程為：，特征關(guān)系為，即，對于一條初始曲線，在其上任取一點，，解在此點滿足初始條件，得到，過此點的特征線為：；對于另一條初始曲線，在其上任取一點，，解在此點滿足初始條件，得到，過此點的特征線為：。過點的值為，過點的值為。過此兩點的特征線分別為和。若上的初始條件改為，則特征線為，特征方程為，過點的特征線為，解為，故及在點的準(zhǔn)確值分別為，。略原方程化為，可以求出的特征值為：，，對應(yīng)的左特征向量為：，，因此可以得到方程的正規(guī)形式并求解(1)由VonNeumann方法，可以得到增長因子為：所以，格式無條件穩(wěn)定。(2)利用格式的泰勒展式近似可以得到。(1)由VonNeumann方法，令，可以得到增長矩陣為：，特征值為：，所以，得到當(dāng)時，格式穩(wěn)定，又為正規(guī)矩陣，即，所以穩(wěn)定性條件為充要條件。(2)同教材193頁格式(4.81)的討論。特征值為：，對應(yīng)的左特征向量為：，，則可以相應(yīng)地寫出原方程的正規(guī)形式。略令，，則原方程等價于，方程組的正規(guī)形式：