2025年菁優(yōu)高考數(shù)學壓軸訓練20

Page2025年菁優(yōu)高考數(shù)學壓軸訓練20一．選擇題（共10小題）1．（2024?海淀區(qū)校級三模）在平面直角坐標系中，已知雙曲線的左、右焦點分別為，，為雙曲線右支上一點，連接交軸于點．若△為等邊三角形，則雙曲線的離心率為A． B． C． D．2．（2024?新鄭市校級一模）已知雙曲線的左、右頂點分別為，，為的右焦點，的離心率為2，若為右支上一點，滿足，則A． B．1 C． D．23．（2024?浙江模擬）雙曲線的左、右焦點為，，直線過點且平行于的一條漸近線，交于點，若，則的離心率為A． B．2 C． D．34．（2024?江西一模）已知雙曲線的左、右焦點分別為、，點為關于漸近線的對稱點．若，且△的面積為8，則的方程為A． B． C． D．5．（2024?山西模擬）設直線與雙曲線相交于，兩點，若線段中點的坐標是，，且，則A． B． C． D．26．（2024?遼寧模擬）已知定點，動點在圓上，的垂直平分線交直線于點，若動點的軌跡是雙曲線，則的值可以是A．2 B．3 C．4 D．57．（2024?大武口區(qū)校級四模）雙曲線的左、右焦點分別為、．過作其中一條漸近線的垂線，垂足為．已知，直線的斜率為，則雙曲線的方程為A． B． C． D．8．（2024?天津模擬）如圖，已知雙曲線的左、右焦點分別為，，過的直線與分別在第一、二象限交于，兩點，內切圓半徑為，若，則的離心率為A． B． C． D．9．（2024?岳麓區(qū)校級模擬）已知，是橢圓和雙曲線的公共焦點，是它們的一個公共點，且，若橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為，則的最小值是A． B． C． D．10．（2024?臨渭區(qū)校級模擬）已知直線與雙曲線的兩條漸近線交于，兩點，且點在第一象限．為坐標原點，若，則雙曲線的離心率為A． B． C．2 D．5二．多選題（共4小題）11．（2024?屯溪區(qū)校級模擬）已知，分別為雙曲線的左、右焦點，過的直線與圓相切于點，與第二象限內的漸近線交于點，則A．雙曲線的離心率 B．若，則的漸近線方程為 C．若，則的漸近線方程為 D．若，則的漸近線方程為12．（2024?安徽模擬）已知雙曲線，過原點的直線，分別交雙曲線于，和，四點，，，四點逆時針排列），且兩直線斜率之積為，則下列結論正確的是A．四邊形一定是平行四邊形 B．四邊形可能為菱形 C．的中點可能為 D．的值可能為13．（2024?新縣校級模擬）雙曲線，左、右頂點分別為，，為坐標原點，如圖，已知動直線與雙曲線左、右兩支分別交于，兩點，與其兩條漸近線分別交于，兩點，則下列命題正確的是A．存在直線，使得 B．在運動的過程中，始終有 C．若直線的方程為，存在，使得取到最大值 D．若直線的方程為，，則雙曲線的離心率為14．（2024?灌云縣校級模擬）雙曲線具有如下光學性質：如圖，是雙曲線的左、右焦點，從右焦點發(fā)出的光線交雙曲線右支于點，經(jīng)雙曲線反射后，反射光線的反向延長線過左焦點．若雙曲線的方程為，則A．雙曲線的焦點到漸近線的距離為 B．若，則 C．當過點時，光線由所經(jīng)過的路程為8 D．反射光線所在直線的斜率為，則三．填空題（共5小題）15．（2024?浙江模擬）已知雙曲線為雙曲線的左右焦點，過作斜率為正的直線交雙曲線左支于，，，兩點，若，，則雙曲線的離心率是．16．（2024?江寧區(qū)校級三模）已知雙曲線與直線交于，兩點（點位于第一象限），點是直線上的動點，點，分別為的左、右頂點，當最大時，為坐標原點），則雙曲線的離心率．17．（2024?閔行區(qū)二模）雙曲線的左右焦點分別為、，過坐標原點的直線與相交于、兩點，若，則．18．（2024?咸安區(qū)校級模擬）已知對任意平面向量，把繞其起點沿逆時針方向旋轉角得到向量，叫做把點繞點沿逆時針方向旋轉角得到點．現(xiàn)將雙曲線上的每個點繞坐標原點沿逆時針方向旋轉后得到曲線，則曲線的方程為．19．（2024?遼寧模擬）已知雙曲線的左、右焦點分別為，，過點作斜率為的直線與的右支交于點，且點滿足，且，則的離心率是．四．解答題（共6小題）20．（2024?鹽湖區(qū)一模）已知、是雙曲線的左、右焦點，直線經(jīng)過雙曲線的左焦點，與雙曲線左、右兩支分別相交于、兩點．（1）求直線斜率的取值范圍；（2）若，求的面積．21．（2024?江西模擬）已知雙曲線的離心率為2，頂點到漸近線的距離為．（1）求的方程；（2）若直線交于，兩點，為坐標原點，且的面積為，求的值．22．（2024?浦東新區(qū)三模）已知雙曲線，點、分別為雙曲線的左、右焦點，，、，為雙曲線上的點．（1）求右焦點到雙曲線的漸近線的距離；（2）若，求直線的方程；（3）若，其中、兩點均在軸上方，且分別位于雙曲線的左、右兩支，求四邊形的面積的取值范圍．23．（2024?濮陽模擬）已知雙曲線分別是的左、右焦點．若的離心率，且點在上．（1）求的方程．（2）若過點的直線與的左、右兩支分別交于，兩點（不同于雙曲線的頂點），問：是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由．24．（2024?青島模擬）在平面內，若直線將多邊形分為兩部分，多邊形在兩側的頂點到直線的距離之和相等，則稱為多邊形的一條“等線”，已知為坐標原點，雙曲線的左，右焦點分別為，，的離心率為2．點為右支上一動點，直線與曲線相切于點，且與的漸近線交于，兩點．當軸時，直線為△的等線．（1）求的方程；（2）若是四邊形的等線，求四邊形的面積；（3）設，點的軌跡為曲線，證明：在點處的切線為△的等線．25．（2024?青羊區(qū)校級模擬）已知雙曲線經(jīng)過點，且離心率為2．（1）求的方程；（2）過點作軸的垂線，交直線于點，交軸于點．設點，為雙曲線上的兩個動點，直線，的斜率分別為，，若，求．

2025年菁優(yōu)高考數(shù)學壓軸訓練20參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題）1．（2024?海淀區(qū)校級三模）在平面直角坐標系中，已知雙曲線的左、右焦點分別為，，為雙曲線右支上一點，連接交軸于點．若△為等邊三角形，則雙曲線的離心率為A． B． C． D．【答案】【考點】雙曲線的幾何特征【專題】轉化思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質與方程；運算求解【分析】利用等邊三角形的性質以及三角形全等，結合雙曲線的幾何性質，求出雙曲線的離心率．【解答】解：由題意，因為△為等邊三角形，所以，，因為△△，所以，，即，故點，因為，則，解得．故選：．【點評】本題考查雙曲線的幾何性質的運用，雙曲線離心率的求法，考查了邏輯推理能力與化簡運算能力，屬于中檔題．2．（2024?新鄭市校級一模）已知雙曲線的左、右頂點分別為，，為的右焦點，的離心率為2，若為右支上一點，滿足，則A． B．1 C． D．2【答案】【考點】雙曲線的幾何特征【專題】方程思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質與方程；運算求解【分析】設點，，由的離心率可得、與的關系，再由，求得，將代入的方程，得，然后分類利用三角公式求解．【解答】解：設點，，由，得，，，將代入的方程得，得，當時，，故．同理可得當時，．故選：．【點評】本題考查雙曲線的簡單性質，考查運算求解能力，是中檔題．3．（2024?浙江模擬）雙曲線的左、右焦點為，，直線過點且平行于的一條漸近線，交于點，若，則的離心率為A． B．2 C． D．3【答案】【考點】雙曲線與平面向量【專題】整體思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質與方程；數(shù)學運算【分析】先求出直線的方程，聯(lián)立直線與曲線方程，結合向量數(shù)量積的性質即可求解．【解答】解：由題意得，，，直線的方程為，聯(lián)立與可得，，若，則，所以，所以，化簡得，，所以．故選：．【點評】本題主要考查了直線與雙曲線的位置關系及雙曲線性質的應用，屬于中檔題．4．（2024?江西一模）已知雙曲線的左、右焦點分別為、，點為關于漸近線的對稱點．若，且△的面積為8，則的方程為A． B． C． D．【答案】【考點】雙曲線的幾何特征【專題】轉化思想；轉化法；圓錐曲線的定義、性質與方程；數(shù)學運算【分析】根據(jù)雙曲線的性質可知，，由條件得，根據(jù)三角形中位線，可得，再結合，即可求解．【解答】解：因為關于的一條漸近線的對稱點為，令漸近線為．即，，則到的距離為，所以，又．所以，因為，所以，又因為△的面積為8，因為，且，所以，所以，即，又，所以，，所以雙曲線方程為．故選：．【點評】本題考查雙曲線方程的應用，屬于中檔題．5．（2024?山西模擬）設直線與雙曲線相交于，兩點，若線段中點的坐標是，，且，則A． B． C． D．2【答案】【考點】雙曲線的中點弦【專題】綜合法；數(shù)學運算；方程思想；圓錐曲線的定義、性質與方程【分析】聯(lián)立直線方程和雙曲線的方程，運用韋達定理和中點坐標公式，化簡整理所求值．【解答】解：將，代入直線中，得，聯(lián)立，解得，，設，，，聯(lián)立和雙曲線，消去得，則△，因此，整理得，則，所以．故選：．【點評】本題考查雙曲線的方程、直線和雙曲線的位置關系，考查方程思想和運算能力，屬于中檔題．6．（2024?遼寧模擬）已知定點，動點在圓上，的垂直平分線交直線于點，若動點的軌跡是雙曲線，則的值可以是A．2 B．3 C．4 D．5【答案】【考點】雙曲線的性質【專題】方程思想；定義法；圓錐曲線的定義、性質與方程；邏輯推理；數(shù)學運算【分析】當在圓內時，由幾何性質可得，此時點的軌跡是以，為焦點的橢圓，當點在圓上時，線段的中垂線交線段于圓心，當點在圓外時，，此時點的軌跡是以，為焦點的雙曲線的一支，從而得到答案．【解答】解：當在圓內，設與圓的另一交點為，設點為弦的中點，則，線段的中點在線段內，則線段的中垂線交線段于點，如圖1，連接，則，所以，則，此時的軌跡是以，為焦點的橢圓，當點在圓上時，線段的中垂線交線段于圓心，當點在圓外時，設與圓的另一交點為，設點為弦的中點，則，線段的中點在線段內，則線段的中垂線交線段的延長線于點，如圖2，連接，則，所以，則，此時點的軌跡是以，為焦點的雙曲線的一支，同理當在圓上運動時，還會得到，所以動點的軌跡是雙曲線，則點在圓外，所以．綜上可得，．故選：．【點評】本題考查了動點軌跡方程的求解，橢圓與雙曲線定義的應用，求解動點軌跡的常見方法有：直接法、定義法、代入法、消元法、交軌法等，屬于中檔題．7．（2024?大武口區(qū)校級四模）雙曲線的左、右焦點分別為、．過作其中一條漸近線的垂線，垂足為．已知，直線的斜率為，則雙曲線的方程為A． B． C． D．【答案】【考點】雙曲線的幾何特征【專題】圓錐曲線的定義、性質與方程；方程思想；綜合法；數(shù)學運算【分析】根據(jù)對稱性，不妨設雙曲線的其中一條漸近線方程為，則過且垂直漸近線的直線方程為，聯(lián)立兩直線方程求出，，再根據(jù)題意建立方程，即可求解．【解答】解：根據(jù)對稱性，不妨設雙曲線的其中一條漸近線方程為，則過且垂直漸近線的直線方程為，聯(lián)立，可得，，，又，，，，，又，雙曲線的方程為．故選：．【點評】本題考查雙曲線的幾何性質，方程思想，屬中檔題．8．（2024?天津模擬）如圖，已知雙曲線的左、右焦點分別為，，過的直線與分別在第一、二象限交于，兩點，內切圓半徑為，若，則的離心率為A． B． C． D．【答案】【考點】雙曲線的幾何特征【專題】數(shù)學運算；方程思想；圓錐曲線的定義、性質與方程；綜合法【分析】根據(jù)雙曲線定義和幾何性質，結合圓的切線長定理與余弦定理即可求解．【解答】解：如圖，設，內切圓圓心為，內切圓在，，上的切點分別為，，，則，，，由及雙曲線的定義可知，，故四邊形是正方形，得，于是，故，得，于是，在△中，由余弦定理可得：，從而，．故選：．【點評】本題考查雙曲線的幾何性質，考查直線與圓位置關系的應用，考查運算求解能力，是中檔題．9．（2024?岳麓區(qū)校級模擬）已知，是橢圓和雙曲線的公共焦點，是它們的一個公共點，且，若橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為，則的最小值是A． B． C． D．【答案】【考點】雙曲線的幾何特征【專題】數(shù)學運算；不等式；整體思想；圓錐曲線的定義、性質與方程；綜合法【分析】由橢圓與雙曲線的定義，結合基本不等式的應用求解．【解答】解：如圖，設橢圓的長半軸長為，雙曲線的實半軸長為，則根據(jù)橢圓及雙曲線的定義得：，，，，設，則在△中，由余弦定理得：，化簡得，即，則，當且僅當，即時等號成立，故選：．【點評】本題考查了橢圓與雙曲線的定義，重點考查了基本不等式的應用，屬中檔題．10．（2024?臨渭區(qū)校級模擬）已知直線與雙曲線的兩條漸近線交于，兩點，且點在第一象限．為坐標原點，若，則雙曲線的離心率為A． B． C．2 D．5【答案】【考點】雙曲線的幾何特征【專題】綜合法；計算題；轉化思想；圓錐曲線的定義、性質與方程；數(shù)學運算【分析】根據(jù)給定的雙曲線方程求出漸近線方程，再與直線方程聯(lián)立求出點，的坐標，然后列式求出，的關系即可．【解答】解：雙曲線的漸近線方程為和，顯然直線與直線交點在第一象限，則有，即，由，解得，即點，由，解得，即點，而，即，整理得，所以雙曲線的離心率．故選：．【點評】本題考查雙曲線的簡單性質的應用，離心率的求法，是中檔題．二．多選題（共4小題）11．（2024?屯溪區(qū)校級模擬）已知，分別為雙曲線的左、右焦點，過的直線與圓相切于點，與第二象限內的漸近線交于點，則A．雙曲線的離心率 B．若，則的漸近線方程為 C．若，則的漸近線方程為 D．若，則的漸近線方程為【答案】【考點】求雙曲線的離心率；雙曲線的幾何特征；求雙曲線的漸近線方程【專題】數(shù)學運算；綜合法；計算題；轉化思想；圓錐曲線的定義、性質與方程【分析】利用，可得，與漸近線斜率相比較即可構造不等式求得離心率，知正確；根據(jù)斜率關系可知直線為雙曲線的一條漸近線，利用可構造方程求得正確；分別利用和可構造方程求得正誤．【解答】解：對于，，，，，，，又與第二象限內的漸近線交于點，，即，，，正確；對于，由知：，又，，直線即為雙曲線的一條漸近線，，，又，，，，，，，整理可得：，即，，，即，解得：，的漸近線方程為，錯誤；對于，，，，，整理可得：，即，，，的漸近線方程為，正確；對于，，，，，，，，整理可得：，，，即，的漸近線方程為，錯誤．故選：．【點評】本題考查雙曲線離心率、漸近線的求解問題，解題關鍵是能夠利用余弦定理和漸近線斜率構造關于，，的方程，進而求得雙曲線的離心率和漸近線方程．是中檔題．12．（2024?安徽模擬）已知雙曲線，過原點的直線，分別交雙曲線于，和，四點，，，四點逆時針排列），且兩直線斜率之積為，則下列結論正確的是A．四邊形一定是平行四邊形 B．四邊形可能為菱形 C．的中點可能為 D．的值可能為【答案】【考點】直線與雙曲線的位置關系及公共點個數(shù)【專題】數(shù)學運算；綜合法；方程思想；圓錐曲線的定義、性質與方程【分析】運用雙曲線的方程和性質，結合直線的斜率公式、點差法和對勾函數(shù)的性質，對選項分析可得結論．【解答】解：由雙曲線的中心對稱性可知，，分別關于原點與，對稱，故，，所以四邊形一定是平行四邊形，而直線，斜率之積為，則與不垂直，所以四邊形不可能為菱形，正確，錯；設，，，，則，，兩式作差得，將，代入，求得，故的方程為，將其與雙曲線聯(lián)立，解得，此時，故錯誤；當點位于第四象限，點位于第一象限，由直線的夾角公式和對勾函數(shù)的單調性，可得的取值范圍為，當點位于第一象限，點位于第二象限，設直線的斜率為，則直線的斜率為，由可得，又因為，可得的取值范圍為，綜上的取值范圍為，正確．故選：．【點評】本題考查雙曲線的方程和性質，以及直線和雙曲線的位置關系，考查方程思想和運算能力，屬于中檔題．13．（2024?新縣校級模擬）雙曲線，左、右頂點分別為，，為坐標原點，如圖，已知動直線與雙曲線左、右兩支分別交于，兩點，與其兩條漸近線分別交于，兩點，則下列命題正確的是A．存在直線，使得 B．在運動的過程中，始終有 C．若直線的方程為，存在，使得取到最大值 D．若直線的方程為，，則雙曲線的離心率為【答案】【考點】雙曲線的幾何特征【專題】圓錐曲線的定義、性質與方程；整體思想；計算題；綜合法；數(shù)學運算【分析】根據(jù)與漸近線平行的直線不可能與雙曲線有兩個交點可對項判斷；設直線分別與雙曲線聯(lián)立，漸近線聯(lián)立，分別求出，和，坐標，從而可對、項判斷；根據(jù)，求出，從而可對項判斷．【解答】解：對于項：與漸近線平行的直線不可能與雙曲線有兩個交點，故項錯誤；對于項：設直線，與雙曲線聯(lián)立，得：，設，，，，由根與系數(shù)關系得：，所以線段中點，將直線與漸近線聯(lián)立得點坐標為，將直線與漸近線聯(lián)立得點坐標為，所以線段中點，所以線段與線段的中點重合，所以，故項正確；對于項：由項可得，因為為定值，當越來越接近漸近線的斜率時，趨向于無窮，所以會趨向于無窮，不可能有最大值，故項錯誤；對于項：聯(lián)立直線與漸近線，解得，聯(lián)立直線與漸近線，解得，由題可知，，所以，即，，解得，所以，故項正確．故選：．【點評】本題考查了雙曲線的性質，屬于難題．14．（2024?灌云縣校級模擬）雙曲線具有如下光學性質：如圖，是雙曲線的左、右焦點，從右焦點發(fā)出的光線交雙曲線右支于點，經(jīng)雙曲線反射后，反射光線的反向延長線過左焦點．若雙曲線的方程為，則A．雙曲線的焦點到漸近線的距離為 B．若，則 C．當過點時，光線由所經(jīng)過的路程為8 D．反射光線所在直線的斜率為，則【答案】【考點】雙曲線的幾何特征【專題】圓錐曲線的定義、性質與方程；轉化思想；數(shù)學運算；轉化法【分析】對于，求出雙曲線的漸近線方程，由點到直線的距離公式即可判斷；對于，判斷出，由定義和勾股定理聯(lián)立方程組即可求得；對于，利用雙曲線的定義直接求得；對于，先求出雙曲線的漸近線方程，由在雙曲線右支上，即可得到所在直線的斜率的范圍；【解答】解：對于，由雙曲線的方程為知雙曲線的漸近線方程為：，焦點到直線的距離為：，故正確；對于，若，則，因為在雙曲線右支上，所以，由勾股定理得：，二者聯(lián)立解得：，故正確；對于，光由所經(jīng)過的路程為，故不正確；對于，雙曲線的漸進線方程為，設左、右頂點分別為、，如圖所示：當與同向共線時，的方向為，此時，最小，因為在雙曲線右支上，所以所在直線的斜率為．即，故正確．故選：．【點評】本題主要考查雙曲線的性質，考查轉化能力，屬于中檔題．三．填空題（共5小題）15．（2024?浙江模擬）已知雙曲線為雙曲線的左右焦點，過作斜率為正的直線交雙曲線左支于，，，兩點，若，，則雙曲線的離心率是．【答案】．【考點】雙曲線的幾何特征【專題】方程思想；數(shù)學運算；圓錐曲線的定義、性質與方程；綜合法【分析】根據(jù)雙曲線的幾何性質及勾股定理即可求解．【解答】解：設，，，，又，，又，，，，，，，又，，，，，，又，．故答案為：．【點評】本題考查雙曲線的幾何性質，方程思想，屬中檔題．16．（2024?江寧區(qū)校級三模）已知雙曲線與直線交于，兩點（點位于第一象限），點是直線上的動點，點，分別為的左、右頂點，當最大時，為坐標原點），則雙曲線的離心率．【答案】．【考點】雙曲線的幾何特征【專題】綜合法；整體思想；計算題；圓錐曲線的定義、性質與方程；數(shù)學運算【分析】先求得，兩點的坐標，分析得到當最大時，最大，利用正切函數(shù)的定義及基本不等式求出當最大時點的位置，根據(jù)求得，進而求得雙曲線的離心率．【解答】解：將代入雙曲線方程得，得，所以．設點的坐標為，不妨設，由題意知為銳角，所以當最大時，最大，則最大．設雙曲線的右焦點為，因為，所以，當且僅當，即時等號成立，所以當時，最大，即最大．由可得，所以，故雙曲線的離心率．故答案為：．【點評】本題主要考查雙曲線的性質，屬于中檔題．17．（2024?閔行區(qū)二模）雙曲線的左右焦點分別為、，過坐標原點的直線與相交于、兩點，若，則4．【答案】4．【考點】雙曲線與平面向量【專題】綜合法；數(shù)學運算；圓錐曲線的定義、性質與方程；方程思想【分析】推得四邊形是平行四邊形，再由雙曲線的定義和平行四邊形的性質，推得平行四邊形的鄰邊的長，由余弦定理和向量數(shù)量積的定義，可得所求值．【解答】解：雙曲線的，，，設在第一象限，在第四象限，設，，由題意可得，由，，可得四邊形是平行四邊形，則，由雙曲線的定義，可得，即，即有，，在△中，由余弦定理可得，即有，則．故答案為：4．【點評】本題考查雙曲線的定義、方程和性質，以及平行四邊形的性質、余弦定理的運用和向量數(shù)量積的定義，考查方程思想和運算能力，屬于中檔題．18．（2024?咸安區(qū)校級模擬）已知對任意平面向量，把繞其起點沿逆時針方向旋轉角得到向量，叫做把點繞點沿逆時針方向旋轉角得到點．現(xiàn)將雙曲線上的每個點繞坐標原點沿逆時針方向旋轉后得到曲線，則曲線的方程為．【答案】．【考點】雙曲線與平面向量【專題】數(shù)學運算；邏輯推理；轉化思想；圓錐曲線的定義、性質與方程；綜合法【分析】根據(jù)定義，在雙曲線上設點，求出旋轉后點的坐標，然后反求出的坐標，再代入雙曲線方程，化簡即得．【解答】解：在雙曲線上任取一點，將其繞坐標原點沿逆時針方向旋轉后得到點，即，在曲線上設點，則有，求出，，得，因點在雙曲線上，故：，整理得：，故曲線的方程為．故答案為：．【點評】本題考查新定義的運用，考查雙曲線的方程與性質，屬于中檔題．19．（2024?遼寧模擬）已知雙曲線的左、右焦點分別為，，過點作斜率為的直線與的右支交于點，且點滿足，且，則的離心率是．【答案】．【考點】雙曲線的定義；雙曲線的離心率【專題】數(shù)學運算；對應思想；定義法；圓錐曲線的定義、性質與方程【分析】根據(jù)題意得到是線段的垂直平分線，從而得到，再利用推得，結合雙曲線的定義得到關于，，的齊次方程，進而得解．【解答】解：如圖，直線的斜率為．由，得點為的中點，又，所以是線段的垂直平分線，所以，過點作于點，由已知得，所以，所以，所以，即，所以，又，為的中點，所以，所以，由雙曲線的定義可得，即，所以，可得，整理得，即，解得或（舍去），又題中直線與的右支有交點，所以，即，所以，即，所以，即，所以的離心率為．故答案為：．【點評】本題考查雙曲線離心率相關計算知識，屬于中檔題．四．解答題（共6小題）20．（2024?鹽湖區(qū)一模）已知、是雙曲線的左、右焦點，直線經(jīng)過雙曲線的左焦點，與雙曲線左、右兩支分別相交于、兩點．（1）求直線斜率的取值范圍；（2）若，求的面積．【答案】（1）；（2）．【考點】雙曲線與平面向量【專題】數(shù)形結合；圓錐曲線中的最值與范圍問題；數(shù)學運算；方程思想；綜合法【分析】（1）設直線的方程為，將該直線方程與雙曲線的方程聯(lián)立，根據(jù)直線與雙曲線的位置關系可得出關于實數(shù)的不等式組，即可解得的取值范圍；（2）設直線的方程為，設點，、，，由平面向量的坐標運算可得出，將直線的方程與雙曲線的方程聯(lián)立，結合韋達定理求出的值，可得出的值，然后利用三角形的面積公式可求得的面積．【解答】解：（1）在雙曲線中，，，則，該雙曲線的左焦點為，若直線的斜率不存在，則直線與雙曲線交于左支上的兩點，不合乎題意，設直線的方程為，設點，、，，聯(lián)立可得，因為直線與雙曲線左、右兩支分別相交于、兩點，所以，，解得，因此，直線的斜率的取值范圍是．（2）因為，，由可得，則，當直線與軸重合時，則點、，，，此時，，不合乎題意，設直線的方程為，聯(lián)立可得，由（1）可得，則或，由韋達定理可得，則，，即，解得，則，所以，．【點評】本題考查了雙曲線的性質，考查了直線與雙曲線的綜合，考查了方程思想及數(shù)形結合思想，屬于中檔題．21．（2024?江西模擬）已知雙曲線的離心率為2，頂點到漸近線的距離為．（1）求的方程；（2）若直線交于，兩點，為坐標原點，且的面積為，求的值．【答案】（1）；（2）或．【考點】由雙曲線的離心率求解方程或參數(shù)【專題】邏輯推理；綜合法；數(shù)學運算；對應思想；綜合題；圓錐曲線的定義、性質與方程【分析】（1）由題意，根據(jù)題目所給信息列出等式求出和的值，進而可得的方程；（2）設出，兩點的坐標，將直線方程與雙曲線方程聯(lián)立，推出且，再根據(jù)韋達定理、弦長公式、點到直線的距離公式以及三角形面積公式進行求解即可．【解答】解：（1）記雙曲線的半焦距為，因為雙曲線的離心率為2，所以，①不妨設的頂點為，漸近線方程為，因為雙曲線的頂點到漸近線的距離為，所以，②又，③聯(lián)立①②③，解得，，，則的方程為；（2）設，，，，聯(lián)立，消去并整理得，此時且△，解得解得且，由韋達定理得，，所以，又點到直線的距離，所以的面積，解得或，此時滿足且．故或．【點評】本題考查雙曲線的方程以及直線與圓錐曲線的綜合問題，考查了邏輯推理和運算能力，屬于中檔題．22．（2024?浦東新區(qū)三模）已知雙曲線，點、分別為雙曲線的左、右焦點，，、，為雙曲線上的點．（1）求右焦點到雙曲線的漸近線的距離；（2）若，求直線的方程；（3）若，其中、兩點均在軸上方，且分別位于雙曲線的左、右兩支，求四邊形的面積的取值范圍．【答案】（1）；（2）；（3），．【考點】雙曲線與平面向量【專題】方程思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質與方程；運算求解【分析】（1）由已知結合點到直線的距離公式即可直接求解；（2）先設直線的方程，聯(lián)立直線與雙曲線方程，結合方程的根與系數(shù)關系可求；（3）由對稱性得，四邊形為平行四邊形，且面積為四邊形面積的2倍，先設，，直線程為，直線方程，結合弦長公式求出，及平行線與之間的距離，進而表示出四邊形的面積，再由函數(shù)的單調性即可求解．【解答】解：（1）由題，右焦點，漸近線方程為，因此焦點到漸近線的距離為；（2）顯然，直線不與軸重合，設直線方程為，由，得，聯(lián)立方程，得，其中，△恒成立，，，代入，消元得，，即，解得，所以，直線的方程為；（3）延長交雙曲線于點，延長交雙曲線于點．則由對稱性得，四邊形為平行四邊形，且面積為四邊形面積的2倍，由題，設，，直線程為，直線方程，由第（2）問，易得，因為，得，即，因而，平行線與之間的距離為，因此，，令，則，故，得在上是嚴格增函數(shù)，故（等號當且僅當時成立）所以，四邊形面積的取值范圍為，．【點評】本題主要考查了雙曲線的性質及直線與雙曲線位置關系的應用，屬于中檔題．23．（2024?濮陽模擬）已知雙曲線分別是的左、右焦點．若的離心率，且點在上．（1）求的方程．（2）若過點的直線與的左、右兩支分別交于，兩點（不同于雙曲線的頂點），問：是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由．【考點】雙曲線的定點及定值問題【專題】綜合題；對應思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質與方程；邏輯推理；數(shù)學運算【分析】（1）由題意，根據(jù)題目所給信息、離心率公式以及，，之間的關系，列出等式求出和的值，進而可得的方程；（2）設出直線的方程，將直線的方程與雙曲線方程聯(lián)立，將和用坐標表示出來，利用韋達定理將表述出來，再進行化簡求解即可．【解答】解：（1）不妨設雙曲線的半焦距為，因為雙曲線的離心率，且點在上，所以，解得，則的方程為；（2）為定值，理由如下：由（1）知，不妨設直線的方程為，，，，，聯(lián)立，消去并整理得，此時，因為，所以，同理得，因為直線過點且與的左、右兩支分別交于，兩點，所以，兩點在軸同側，此時，即，解得，則．故，為定值．【點評】本題考查雙曲線的方程以及直線與圓錐曲線的綜合問題，考查了邏輯推理和運算能力，屬于中檔題．24．（2024?青島模擬）在平面內，若直線將多邊形分為兩部分，多邊形在兩側的頂點到直線的距離之和相等，則稱為多邊形的一條“等線”，已知為坐標原點，雙曲線的左，右焦點分別為，，的離心率為2．點為右支上一動點，直線與曲線相切于點，且與的漸近線交于，兩點．當軸時，直線為△的等線．（1）求的方程；（2）若是四邊形的等線，求四邊形的面積；（3）設，點的軌跡為曲線，證明：在點處的切線為△的等線．【答案】（1）；（2）12；（3）證明見解答．【考點】雙曲線相關動點軌跡【專題】計算題；轉化思想；圓錐曲線的定義、性質與方程；綜合法；數(shù)學運算【分析】（1）求出點，，的坐標，由直線為△的等線及雙曲線的性質可求出，的值，從而可得的方程；（2）切線，代入的方程，可得關于的方程，由△，可得關于的方程，表示出，進一步可得的方程為，求出點，的橫縱坐標，結合面積公式求解即可；（3）表示出切線的方程，易知與在的右側，在的左側，分別記，，到的距離為，，，利用點到直線的距離公式推出，即可得證．【解答】解：（1）由題意知，，，顯然點在直線的上方，因為直線為△的等線，所以，，，解得，所以的方程為；（2）設，，切線，代入，得，所以△，該式可以看作關于的一元二次方程，所以，即方程為，當斜率不存在時，也成立，漸近線方程為，不妨設在上方，聯(lián)立得，，故，所以是線段的中點，因為，到過的直線距離相等，則過點的等線必滿足：，到該等線距離相等且分居兩側，所以該等線必過點，即的方程為，由，解得：，所以，所以，所以，所以；（3）證明：設，由，所以，，故曲線的方程為，由知切線為，即，即，易知與在的右側，在的左側，分別記，，到的距離為，，，由（2）知，，所以，由得，，因為，所以直線為△的等線．【點評】本題主要考查雙曲線的性質及標準方程，直線與雙曲線的綜合，考查運算求解能力，屬于難題．25．（2024?青羊區(qū)校級模擬）已知雙曲線經(jīng)過點，且離心率為2．（1）求的方程；（2）過點作軸的垂線，交直線于點，交軸于點．設點，為雙曲線上的兩個動點，直線，的斜率分別為，，若，求．【答案】（1）．（2）．【考點】直線與雙曲線的綜合；雙曲線的幾何特征【專題】轉化思想；數(shù)學運算；設而不求法；圓錐曲線的定義、性質與方程【分析】（1）根據(jù)離心率的定義得到，利用點在雙曲線上代入求解即可，（2）設出直線方程，聯(lián)立方程，利用設而不求思想，利用斜率關系進行轉化求解即可．【解答】解：（1）離心率為2，，即，則，即，則雙曲線方程為雙曲線經(jīng)過點，，得，的方程為．（2）由題意，點坐標為，點坐標為，設，，，．法一：①若直線斜率存在，設直線方程為，，消去可得，則且△，且．整理可得，即，化簡得，即，因為直線不過點，所以，所以，所以直線的方程為，恒過定點．②若直線斜率不存在，則，．則，解得，所以直線的方程為，過定點．綜上，直線恒過定點．法二：直線不過點，可設直線方程為．由可得，即，即，得，等式左右兩邊同時除以得，△，，解得．所以直線方程為，恒過定點設點到直線的距離為，點到直線的距離為，．【點評】本題主要考查雙曲線的標準方程，以及直線和雙曲線位置關系的應用，聯(lián)立方程，利用韋達定理以及設而不求思想進行轉化求解是解決本題的關鍵，是中檔題．

考點卡片1．雙曲線的定義【知識點的認識】雙曲線（Hyperbola）是指與平面上到兩個定點的距離之差的絕對值為定值的點的軌跡，也可以定義為到定點與定直線的距離之比是一個大于1的常數(shù)的點之軌跡．雙曲線是圓錐曲線的一種，即圓錐面與平面的交截線．雙曲線在一定的仿射變換下，也可以看成反比例函數(shù)．兩個定點F1，F(xiàn)2叫做雙曲線的焦點（focus），定直線是雙曲線的準線，常數(shù)e是雙曲線的離心率．標準方程①（a，b＞0），表示焦點在x軸上的雙曲線；②（a，b＞0），表示焦點在y軸上的雙曲線．性質這里的性質以（a，b＞0）為例講解：①焦點為（±c，0），其中c2＝a2+b2；②準線方程為：x＝±；③離心率e＝＞1；④漸近線：y＝±x；⑤焦半徑公式：左焦半徑：r＝|ex+a|，右焦半徑：r＝|ex﹣a|．【解題方法點撥】例1：雙曲線﹣＝1的漸近線方程為解：由﹣＝0可得y＝±2x，即雙曲線﹣＝1的漸近線方程是y＝±2x．故答案為：y＝±2x．這個小題主要考察了對漸近線的理解，如果實在記不住，可以把那個等號后面的1看成是0，然后因式分解得到的兩個式子就是它的漸近線．例2：已知雙曲線的一條漸近線方程是x﹣2y＝0，且過點P（4，3），求雙曲線的標準方程解：根據(jù)題意，雙曲線的一條漸近線方程為x﹣2y＝0，設雙曲線方程為﹣y2＝λ（λ≠0），∵雙曲線過點P（4，3），∴﹣32＝λ，即λ＝﹣5．∴所求雙曲線方程為﹣y2＝﹣5，即：﹣＝1．一般來說，這是解答題的第一問，常常是根據(jù)一些性質求出函數(shù)的表達式來，關鍵是找到a、b、c三者中的兩者，最后還要判斷它的焦點在x軸還是y軸，知道這些參數(shù)后用待定系數(shù)法就可以直接寫出函數(shù)的表達式了．【命題方向】這里面的兩個例題是最基本的，必須要掌握，由于雙曲線一般是在倒數(shù)第二個解答題出現(xiàn)，難度一般也是相當大的，在這里可以有所取舍，對于基礎一般的同學來說，盡量的把這些基礎的分拿到才是最重要的，對于還剩下的部分，盡量多寫．2．求雙曲線的漸近線方程【知識點的認識】雙曲線的漸近線是雙曲線無限遠處的切線．對于雙曲線或，其漸近線方程為或．【解題方法點撥】1．計算斜率：利用計算漸近線的斜率．2．代入方程：寫出漸近線方程．【命題方向】﹣給定雙曲線的參數(shù)，求漸近線方程．﹣利用標準方程計算漸近線方程．3．雙曲線的幾何特征【知識點的認識】雙曲線的標準方程及幾何性質標準方程（a＞0，b＞0）（a＞0，b＞0）圖形性質焦點F1（﹣c，0），F(xiàn)2（c，0）F1（0，﹣c），F(xiàn)2（0，c）焦距|F1F2|＝2c|F1F2|＝2c范圍|x|≥a，y∈R|y|≥a，x∈R對稱關于x軸，y軸和原點對稱頂點（﹣a，0）．（a，0）（0，﹣a）（0，a）軸實軸長2a，虛軸長2b離心率e＝（e＞1）準線x＝±y＝±漸近線±＝0±＝04．雙曲線的離心率【知識點的認識】雙曲線的標準方程及幾何性質標準方程（a＞0，b＞0）（a＞0，b＞0）圖形性質焦點F1（﹣c，0），F(xiàn)2（c，0）F1（0，﹣c），F(xiàn)2（0，c）焦距|F1F2|＝2c|F1F2|＝2c范圍|x|≥a，y∈R|y|≥a，x∈R對稱關于x軸，y軸和原點對稱頂點（﹣a，0）．（a，0）（0，﹣a）（0，a）軸實軸長2a，虛軸