2025年菁優(yōu)高考數(shù)學(xué)壓軸訓(xùn)練13

Page2025年菁優(yōu)高考數(shù)學(xué)壓軸訓(xùn)練13一．選擇題（共10小題）1．（2024?四川模擬）如圖所示，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，直線平面，，是的中點(diǎn)，是線段上的動(dòng)點(diǎn)，則直線與側(cè)面的交點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)為A． B． C． D．2．（2024?莆田三模）若制作一個(gè)容積為的圓錐形無(wú)蓋容器（不考慮材料的厚度），要使所用材料最省，則該圓錐的高是A． B．2 C． D．43．（2024?張家口模擬）已知一個(gè)底面內(nèi)口直徑為的圓柱體玻璃杯中盛有高為的水，向該杯中放入一個(gè)半徑為的實(shí)心冰球和一個(gè)半徑為的實(shí)心鋼球，待實(shí)心冰球融化后實(shí)心鋼球恰好淹沒(méi)在水中（實(shí)心鋼球與杯中水面、杯底均相切），若實(shí)心冰球融化為水前后的體積變化忽略不計(jì)，則實(shí)心鋼球的表面積為A． B． C． D．4．（2024?永春縣校級(jí)模擬）已知圓臺(tái)存在內(nèi)切球（與圓臺(tái)的上、下底面及側(cè)面都相切的球），若圓臺(tái)的上、下底面面積之和與它的側(cè)面積之比為，設(shè)圓臺(tái)與球的體積分別為，，則A． B． C． D．5．（2024?懷柔區(qū)校級(jí)模擬）如圖，已知正方體中，為線段的中點(diǎn)，為線段上的動(dòng)點(diǎn)，則下列四個(gè)結(jié)論正確的是A．存在點(diǎn)，使平面 B．三棱錐的體積隨動(dòng)點(diǎn)變化而變化 C．直線與所成的角不可能等于 D．存在點(diǎn)，使平面6．（2024?菏澤二模）如圖，在正方體中，，，則下列結(jié)論中正確的是A．平面 B．平面平面 C．平面 D．平面內(nèi)存在與平行的直線7．（2024?寶雞模擬）△與△都是邊長(zhǎng)為2的正三角形，沿公共邊折疊成三棱錐且長(zhǎng)為，若點(diǎn)，，，在同一球的球面上，則球的表面積為A． B． C． D．8．（2024?東興區(qū)校級(jí)模擬）如圖，四邊形是一個(gè)角為且邊長(zhǎng)為2的菱形，把沿折起，得到三棱錐．若，則三棱錐的外接球的表面積為A． B． C． D．9．（2024?閔行區(qū)校級(jí)三模）空間和兩條異面直線同時(shí)都垂直且相交的直線A．不一定存在 B．有且只有1條 C．有1條或不存在 D．有無(wú)數(shù)條10．（2024?天津模擬）如今中國(guó)被譽(yù)為基建狂魔，可謂是逢山開(kāi)路，遇水架橋．公路里程、高鐵里程雙雙都是世界第一．建設(shè)過(guò)程中研制出用于基建的大型龍門(mén)吊、平衡盾構(gòu)機(jī)等國(guó)之重器更是世界領(lǐng)先．如圖是某重器上一零件結(jié)構(gòu)模型，中間最大球?yàn)檎拿骟w的內(nèi)切球，中等球與最大球和正四面體三個(gè)面均相切，最小球與中等球和正四面體三個(gè)面均相切，已知正四面體棱長(zhǎng)為，則模型中九個(gè)球的表面積和為A． B． C． D．二．多選題（共5小題）11．（2024?郴州模擬）如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，點(diǎn)是正方體的上底面內(nèi)（不含邊界）的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，則以下命題正確的是A．三棱錐的體積是定值 B．存在點(diǎn)，使得與所成的角為 C．直線與平面所成角的正弦值的取值范圍為 D．若，則的軌跡的長(zhǎng)度為12．（2024?隨州模擬）在棱長(zhǎng)為2的正方體中，，分別為，的中點(diǎn)，則A．異面直線與所成角的余弦值為 B．點(diǎn)為正方形內(nèi)一點(diǎn)，當(dāng)平面時(shí)，的最大值為 C．過(guò)點(diǎn)，，的平面截正方體所得的截面周長(zhǎng)為 D．當(dāng)三棱錐的所有頂點(diǎn)都在球的表面上時(shí)，球的表面積為13．（2024?保定三模）如圖，在正方體中，，，，分別為棱，，，的中點(diǎn)，點(diǎn)是面的中心，則下列結(jié)論正確的是A．，，，四點(diǎn)共面 B．平面被正方體截得的截面是等腰梯形 C．平面 D．平面平面14．（2024?江蘇模擬）如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，為的中點(diǎn)，點(diǎn)滿足，則A．當(dāng)時(shí)，平面 B．任意，，三棱錐的體積是定值 C．存在，，使得與平面所成的角為 D．當(dāng)時(shí)，平面截該正方體的外接球所得截面的面積為15．（2024?江西一模）已知正方體的棱長(zhǎng)為1，是棱的中點(diǎn)，是平面上的動(dòng)點(diǎn)（如圖），則下列說(shuō)法正確的是A．若點(diǎn)在線段上，則平面 B．平面平面 C．若，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡為拋物線 D．以的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)一周，旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，三棱錐體積的取值范圍為三．填空題（共5小題）16．（2024?黃浦區(qū)二模）在四面體中，，，，設(shè)四面體與四面體的體積分別為、，則的值為．17．（2024?灌云縣校級(jí)模擬）正方體棱長(zhǎng)為2，，分別是棱，的中點(diǎn)，是正方體的表面上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)四面體的體積最大時(shí)，四面體的外接球的表面積為．18．（2024?西城區(qū)模擬）如圖，正方形和矩形所在的平面互相垂直．點(diǎn)在正方形及其內(nèi)部運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)在矩形及其內(nèi)部運(yùn)動(dòng)．設(shè)，，給出下列四個(gè)結(jié)論：①存在點(diǎn)，，使；②存在點(diǎn)，，使；③到直線和的距離相等的點(diǎn)有無(wú)數(shù)個(gè)；④若，則四面體體積的最大值為；其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是．19．（2024?安徽模擬）已知正方體的體積為8，且，則當(dāng)取得最小值時(shí)，三棱錐的外接球體積為．20．（2024?遼寧模擬）古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯發(fā)現(xiàn)：平面上到兩定點(diǎn)，距離之比為常數(shù)且的點(diǎn)的軌跡是一個(gè)圓心在直線上的圓，該圓簡(jiǎn)稱為阿氏圓．根據(jù)以上信息，解決下面的問(wèn)題：如圖，在長(zhǎng)方體中，，點(diǎn)在棱上，，動(dòng)點(diǎn)滿足．若點(diǎn)在平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，則點(diǎn)所形成的阿氏圓的半徑為；若點(diǎn)在長(zhǎng)方體內(nèi)部運(yùn)動(dòng)，為棱的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，則三棱錐的體積的最小值為．四．解答題（共5小題）21．（2024?鼓樓區(qū)校級(jí)模擬）如圖，四棱錐中，底面，，，，，分別為線段，上一點(diǎn)，．（1）若為的中點(diǎn)，證明：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值的最大值．22．（2024?河南模擬）如圖所示，在△中，點(diǎn)在邊上，且，為邊的中點(diǎn)．是平面外一點(diǎn)，且．（1）證明：；（2）已知，，，直線與平面所成角的正弦值為．求△的面積；求三棱錐的體積．23．（2024?重慶模擬）正多面體又稱為柏拉圖立體，是指一個(gè)多面體的所有面都是全等的正三角形或正多邊形，每個(gè)頂點(diǎn)聚集的棱的條數(shù)都相等，這樣的多面體就叫做正多面體．可以驗(yàn)證一共只有五種多面體．令，，，，均為正整數(shù)），我們發(fā)現(xiàn)有時(shí)候某正多面體的所有頂點(diǎn)都可以和另一個(gè)正多面體的一些頂點(diǎn)重合，例如正面體的所有頂點(diǎn)可以與正面體的某些頂點(diǎn)重合，正面體的所有頂點(diǎn)可以與正面體的所有頂點(diǎn)重合，等等．（1）當(dāng)正面體的所有頂點(diǎn)可以與正面體的某些頂點(diǎn)重合時(shí)，求正面體的棱與正面體的面所成線面角的最大值；（2）當(dāng)正面體在棱長(zhǎng)為1的正面體內(nèi)，且正面體的所有頂點(diǎn)均為正面體各面的中心時(shí)，求正面體某一面所在平面截正面體所得截面面積；（3）已知正面體的每個(gè)面均為正五邊形，正面體的每個(gè)面均為正三角形．考生可在以下2問(wèn)中選做1問(wèn)．（第一問(wèn)答對(duì)得2分，第二問(wèn)滿分8分，兩題均作答，以第一問(wèn)結(jié)果給分）第一問(wèn)：求棱長(zhǎng)為1的正面體的表面積；第二問(wèn)：求棱長(zhǎng)為1的正面體的體積．24．（2024?湖北模擬）如圖，在三棱錐中，側(cè)面底面，，是邊長(zhǎng)為2的正三角形，，，分別是，的中點(diǎn)，記平面與平面的交線為．（1）證明：直線平面；（2）設(shè)點(diǎn)在直線上，直線與平面所成的角為，異面直線與所成的角為，求當(dāng)為何值時(shí)，．25．（2024?墊江縣校級(jí)模擬）如圖，在四棱錐中，為正三角形，底面為正方形，平面平面，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，平面與棱交于點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）為平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，為線段上一點(diǎn)；①求證：；②當(dāng)最小時(shí)，求的值．

2025年菁優(yōu)高考數(shù)學(xué)壓軸訓(xùn)練13參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題）1．（2024?四川模擬）如圖所示，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，直線平面，，是的中點(diǎn)，是線段上的動(dòng)點(diǎn)，則直線與側(cè)面的交點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)為A． B． C． D．【答案】【考點(diǎn)】棱柱的結(jié)構(gòu)特征【專題】數(shù)學(xué)運(yùn)算；向量法；轉(zhuǎn)化思想；空間位置關(guān)系與距離；邏輯推理【分析】先建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，保證，，，四點(diǎn)共面，從而得到向量與平面的法向量垂直，進(jìn)而分析得出的方程表示的軌跡是什么，求解即可．【解答】解：在棱長(zhǎng)為2的正方體中，直線平面，，是的中點(diǎn)，是線段上的動(dòng)點(diǎn)，分別以，，所在直線為，，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則，2，，，2，，直線平面，，設(shè)，如圖，在矩形中，，△，，點(diǎn)滿足，，設(shè)平面的法向量為，且，，可得，即，不妨取，由于直線與側(cè)面的交點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)，0，，可得，，，四點(diǎn)共面，且，顯然，得方程，顯然方程在平面內(nèi)表示一條直線，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)，0，，此時(shí)兩點(diǎn)，重合，當(dāng)時(shí)，，點(diǎn)，0，，設(shè)線段的中點(diǎn)為，此時(shí)兩點(diǎn)，重合，直線與側(cè)面的交點(diǎn)的軌跡為線段，且．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查正方體結(jié)構(gòu)特征、三角形相似、四點(diǎn)共面、點(diǎn)的軌跡等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．2．（2024?莆田三模）若制作一個(gè)容積為的圓錐形無(wú)蓋容器（不考慮材料的厚度），要使所用材料最省，則該圓錐的高是A． B．2 C． D．4【答案】【考點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積；旋轉(zhuǎn)體（圓柱、圓錐、圓臺(tái)）的體積【專題】轉(zhuǎn)化思想；計(jì)算題；導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算；綜合法；立體幾何【分析】根據(jù)題意，設(shè)圓錐的高與半徑，利用體積公式得出高與半徑的關(guān)系，再消元轉(zhuǎn)化得出側(cè)面積，利用導(dǎo)數(shù)計(jì)算單調(diào)性與最值，即可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，設(shè)該圓錐的高為，底面圓的半徑為，則，從而，變形可得，該圓錐的側(cè)面積．令，易知時(shí)，，，單調(diào)遞減，時(shí)，，，單調(diào)遞增，則當(dāng)時(shí)，取得最小值；所以要使所用材料最省，則該圓錐的高是2．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓錐的體積、表面積計(jì)算，涉及導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，屬于中檔題．3．（2024?張家口模擬）已知一個(gè)底面內(nèi)口直徑為的圓柱體玻璃杯中盛有高為的水，向該杯中放入一個(gè)半徑為的實(shí)心冰球和一個(gè)半徑為的實(shí)心鋼球，待實(shí)心冰球融化后實(shí)心鋼球恰好淹沒(méi)在水中（實(shí)心鋼球與杯中水面、杯底均相切），若實(shí)心冰球融化為水前后的體積變化忽略不計(jì)，則實(shí)心鋼球的表面積為A． B． C． D．【答案】【考點(diǎn)】球的表面積【專題】立體幾何；數(shù)學(xué)運(yùn)算；轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法【分析】根據(jù)實(shí)心冰球融化前后總體積不變列出等式融化前水的體積實(shí)心冰球的體積實(shí)心鋼球的體積融化后水的總體積，由題鋼球恰好淹沒(méi)在水中得到此時(shí)水面高為，列出等式，解出的值，再算出鋼球的表面積即可．【解答】解：由題意可得，實(shí)心冰球融化前后體積不變，則有，化簡(jiǎn)有，即，解得，所以．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查幾何體的體積問(wèn)題，屬于中檔題．4．（2024?永春縣校級(jí)模擬）已知圓臺(tái)存在內(nèi)切球（與圓臺(tái)的上、下底面及側(cè)面都相切的球），若圓臺(tái)的上、下底面面積之和與它的側(cè)面積之比為，設(shè)圓臺(tái)與球的體積分別為，，則A． B． C． D．【答案】【考點(diǎn)】球的體積和表面積；棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積【專題】綜合法；立體幾何；數(shù)學(xué)運(yùn)算；計(jì)算題；整體思想【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合圓臺(tái)軸截面等腰梯形的內(nèi)切圓是球的截面大圓，探討圓臺(tái)兩底半徑與母線的關(guān)系，再利用圓臺(tái)側(cè)面積公式及圓臺(tái)、球的體積公式求解即得．【解答】解：設(shè)圓臺(tái)的上、下底面半徑分別為，，母線長(zhǎng)為，高為，內(nèi)切球的半徑為，顯然圓臺(tái)軸截面等腰梯形的內(nèi)切圓是球的截面大圓，則，，由，整理得，而，解得，，因此圓臺(tái)的高，，則圓臺(tái)的體積，內(nèi)切球的體積，所以．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓臺(tái)和球的體積計(jì)算，屬于中檔題．5．（2024?懷柔區(qū)校級(jí)模擬）如圖，已知正方體中，為線段的中點(diǎn)，為線段上的動(dòng)點(diǎn)，則下列四個(gè)結(jié)論正確的是A．存在點(diǎn)，使平面 B．三棱錐的體積隨動(dòng)點(diǎn)變化而變化 C．直線與所成的角不可能等于 D．存在點(diǎn)，使平面【答案】【考點(diǎn)】空間中直線與平面之間的位置關(guān)系；棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積；異面直線及其所成的角；直線與平面垂直；直線與平面平行【專題】轉(zhuǎn)化思想；數(shù)學(xué)運(yùn)算；立體幾何；綜合法；邏輯推理【分析】對(duì)選項(xiàng)，根據(jù)反證法，線面平行的判定定理與性質(zhì)定理，即可判斷；對(duì)選項(xiàng)，根據(jù)三棱錐的體積公式，即可判斷；對(duì)選項(xiàng)，將兩條直線平移成相交直線，即可判斷；對(duì)選項(xiàng)，根據(jù)正方體性質(zhì)易得平面，從而再根據(jù)三角形中位線性質(zhì)，即可判斷．【解答】解：對(duì)選項(xiàng)，，易得平面，又平面，設(shè)平面平面，則，假設(shè)存在點(diǎn)，使平面，又平面，平面平面，，又，，這顯然與已知條件相矛盾，假設(shè)不成立，不存在點(diǎn)，使平面，選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)，到平面的距離為定值，又的面積也為定值，三棱錐的體積為定值，選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)，易知，直線與所成的角即為直線與所成的角，又易知△為正三角形，又為的中點(diǎn)，為線段上的動(dòng)點(diǎn)，直線與所成的角的范圍為，選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)，在正方體中，易得平面，當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，又為線段的中點(diǎn)，，又平面，平面，選項(xiàng)正確．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查正方體中點(diǎn)的軌跡問(wèn)題，線面平行的判定定理與性質(zhì)定理的應(yīng)用，三棱錐的體積問(wèn)題，線線角的求解，線面垂直的判定，反證法的應(yīng)用，屬中檔題．6．（2024?菏澤二模）如圖，在正方體中，，，則下列結(jié)論中正確的是A．平面 B．平面平面 C．平面 D．平面內(nèi)存在與平行的直線【答案】【考點(diǎn)】直線與平面垂直；直線與平面平行；平面與平面垂直【專題】向量法；轉(zhuǎn)化思想；數(shù)學(xué)運(yùn)算；立體幾何【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合線面平行的判定定理，線面垂直，面面垂直的判定定理，逐項(xiàng)判定計(jì)算即可．【解答】解：因?yàn)闉檎襟w，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為2，以為原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，0，，，0，，，2，，，2，，，2，，，0，，，1，，，0，，，2，，所以，，，，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，設(shè)平面的法向量為．則，令，則，1，，又，所以，故不正確；，故不正確；又因?yàn)椋?，，所以，，所以，，又，所以平面，故正確；易知平面的一個(gè)法向量為，因?yàn)?，故不正確．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查線面平行的判定，線面垂直，面面垂直的判定，屬于中檔題．7．（2024?寶雞模擬）△與△都是邊長(zhǎng)為2的正三角形，沿公共邊折疊成三棱錐且長(zhǎng)為，若點(diǎn)，，，在同一球的球面上，則球的表面積為A． B． C． D．【答案】【考點(diǎn)】球的體積和表面積【專題】對(duì)應(yīng)思想；綜合法；立體幾何；數(shù)學(xué)運(yùn)算【分析】根據(jù)外接球球心的性質(zhì)確定球心的位置為過(guò)正△與正△的中心的垂線上，再構(gòu)造直角三角形求解球的半徑即可．【解答】解：由題，設(shè)的中點(diǎn)為，正△與正△的中心分別為，，如圖，根據(jù)正三角形的性質(zhì)有，分別在，上，平面，平面，因?yàn)椤髋c△都是邊長(zhǎng)為2的正三角形，則，又，則△是正三角形，故，易得△△，故，故，又，故球的半徑，故球的表面積為．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了幾何體外接球的相關(guān)問(wèn)題，屬于中檔題．8．（2024?東興區(qū)校級(jí)模擬）如圖，四邊形是一個(gè)角為且邊長(zhǎng)為2的菱形，把沿折起，得到三棱錐．若，則三棱錐的外接球的表面積為A． B． C． D．【答案】【考點(diǎn)】球的表面積；球內(nèi)接多面體【專題】轉(zhuǎn)化法；轉(zhuǎn)化思想；數(shù)學(xué)運(yùn)算；立體幾何【分析】取的中點(diǎn)，連接，，證明平面，設(shè)為的重心，過(guò)作平面，且點(diǎn)為三棱錐的外接球球心，外接球半徑為，過(guò)作，交于，連接，，在中，，在中，，列式即可求解外接球的半徑．【解答】解：取中點(diǎn)，連接，，因?yàn)樗倪呅问且粋€(gè)角為且邊長(zhǎng)為2的菱形，所以，所以△，為等邊三角形，故，，又因?yàn)椋?，所以，因?yàn)?，平面，平面，所以平面，平面，所以．設(shè)為的重心，過(guò)作平面，且點(diǎn)為三棱錐的外接球球心，外接球半徑為，過(guò)作，交于，連接，，因?yàn)槠矫?，平面，所以，因?yàn)?，，所以四邊形為矩形，所以，設(shè)，則，在中，，在中，，解得，，所以三棱錐的外接球的表面積為．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查錐體外接球表面積的計(jì)算，屬于中檔題．9．（2024?閔行區(qū)校級(jí)三模）空間和兩條異面直線同時(shí)都垂直且相交的直線A．不一定存在 B．有且只有1條 C．有1條或不存在 D．有無(wú)數(shù)條【答案】【考點(diǎn)】空間中直線與直線之間的位置關(guān)系；空間中直線與平面之間的位置關(guān)系【專題】綜合法；轉(zhuǎn)化思想；空間位置關(guān)系與距離；邏輯推理【分析】利用平行平面確定有都垂直的直線，再利用垂直平面說(shuō)明有與兩條異面直線都垂直且相交的直線，然后用反證法說(shuō)明這樣的直線只有一條．【解答】解：如圖，，是異面直線，過(guò)上一點(diǎn)作直線，則，相交，設(shè)，確定的平面為，當(dāng)直線與平面垂直時(shí)，則直線與，都垂直，從而也與垂直，因此有與異面直線，都垂直的直線，過(guò)與直線平行的平面是唯一的，設(shè)是在平面內(nèi)的射影，，在平面內(nèi)（即，，是過(guò)點(diǎn)的直線，因此，從而與相交，直線是與，既垂直又相交的直線，若與，既垂直又相交的直線有兩條為，，，不可能平行（否則，共面），若，不相交，過(guò)與的交點(diǎn)作直線，，相交，由，確定的平面為（若，相交，則平面就是由，確定的平面），可得，與平面都是垂直，從而，這是不可能的，與，既垂直又相交的直線只有一條，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查平行平面、垂直平面、異面直線、反證法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間思維能力，是中檔題．10．（2024?天津模擬）如今中國(guó)被譽(yù)為基建狂魔，可謂是逢山開(kāi)路，遇水架橋．公路里程、高鐵里程雙雙都是世界第一．建設(shè)過(guò)程中研制出用于基建的大型龍門(mén)吊、平衡盾構(gòu)機(jī)等國(guó)之重器更是世界領(lǐng)先．如圖是某重器上一零件結(jié)構(gòu)模型，中間最大球?yàn)檎拿骟w的內(nèi)切球，中等球與最大球和正四面體三個(gè)面均相切，最小球與中等球和正四面體三個(gè)面均相切，已知正四面體棱長(zhǎng)為，則模型中九個(gè)球的表面積和為A． B． C． D．【答案】【考點(diǎn)】球的體積和表面積【專題】球；對(duì)應(yīng)思想；整體思想；數(shù)學(xué)運(yùn)算；綜合法【分析】先求出正四面體的內(nèi)切球半徑，再利用三個(gè)球的半徑之間的關(guān)系得到另外兩個(gè)球的半徑，得到答案．【解答】解：如圖，取的中點(diǎn)，連接，，則，，過(guò)點(diǎn)作底面，垂足在上，且，所以，故，點(diǎn)為最大球的球心，連接并延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，則，設(shè)最大球的半徑為，則，因?yàn)椋?，即，解得，即，則，故，設(shè)最小球的球心為，中間球的球心為，則兩球均與直線相切，設(shè)切點(diǎn)分別為，，連接，，則，分別為最小球和中間球的半徑，長(zhǎng)度分別設(shè)為，，則，，則，又，所以，解得，又，故，解得，所以，模型中九個(gè)球的表面積和為．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正四面體的內(nèi)切球，球的表面積公式，難點(diǎn)是求出最大球、中等球及最小球的半徑，屬于中檔題．二．多選題（共5小題）11．（2024?郴州模擬）如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，點(diǎn)是正方體的上底面內(nèi)（不含邊界）的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，則以下命題正確的是A．三棱錐的體積是定值 B．存在點(diǎn)，使得與所成的角為 C．直線與平面所成角的正弦值的取值范圍為 D．若，則的軌跡的長(zhǎng)度為【答案】【考點(diǎn)】直線與平面所成的角；棱柱的結(jié)構(gòu)特征；棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積；異面直線及其所成的角【專題】轉(zhuǎn)化法；立體幾何；數(shù)學(xué)運(yùn)算；轉(zhuǎn)化思想【分析】對(duì)于：利用等體積轉(zhuǎn)換即可求得體積為定值；對(duì)于：建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，，，得出，，利用向量夾角公式即可求解；對(duì)于：求出平面的法向量為，0，，利用向量夾角公式即可求解；對(duì)于：由可得，即可求解．【解答】解：對(duì)于，（定值），故正確；以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，1，，設(shè)，，，，則，對(duì)于，，與的夾角滿足，故錯(cuò)誤；對(duì)于，平面的法向量為，0，，直線與平面所成的角的正弦值為，故正確；對(duì)于，，2，，，由可得，化簡(jiǎn)可得，在平面內(nèi)，令，得，令，得，所以的軌跡的長(zhǎng)度為，正確．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查等體積法求體積以及空間向量的應(yīng)用，屬于中檔題．12．（2024?隨州模擬）在棱長(zhǎng)為2的正方體中，，分別為，的中點(diǎn)，則A．異面直線與所成角的余弦值為 B．點(diǎn)為正方形內(nèi)一點(diǎn)，當(dāng)平面時(shí)，的最大值為 C．過(guò)點(diǎn)，，的平面截正方體所得的截面周長(zhǎng)為 D．當(dāng)三棱錐的所有頂點(diǎn)都在球的表面上時(shí)，球的表面積為【答案】【考點(diǎn)】點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算；直線與平面平行；異面直線及其所成的角；球的體積和表面積【專題】立體幾何；數(shù)學(xué)運(yùn)算；空間角；對(duì)應(yīng)思想；向量法【分析】對(duì)于：根據(jù)正方體的性質(zhì)得出在△中即為異面直線與所成的角，即可判定；對(duì)于：取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接，，，得到，，即可證明面面，則根據(jù)已知得出軌跡為線段，則過(guò)作，此時(shí)取得最小值，即可判定；對(duì)于：過(guò)點(diǎn)、、的平面截正方體所得的截面圖形為五邊形，得出，，設(shè)，，以為原點(diǎn)，分別以方向?yàn)檩S、軸、軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，得出，，，的坐標(biāo)，則可根據(jù)，列式得出，，即可得出，，在△中得出，同理得出，在中得出，同理得出，在中得出，即可得出五邊形的周長(zhǎng)，即過(guò)點(diǎn)、、的平面截正方體所得的截面周長(zhǎng)，即可判定；對(duì)于：取的中點(diǎn)，則，過(guò)作，且使得，則為三棱錐的外接球的球心，則為外接球的半徑，計(jì)算得出半徑即可求出球的表面積，即可判定．【解答】解：對(duì)于選項(xiàng)，，在△中即為異面直線與所成的角，，異面直線與所成的角的余弦值為．故正確；對(duì)于選項(xiàng)，過(guò)點(diǎn)、、的平面截正方體，平面平面，則過(guò)點(diǎn)、、的平面必與與交于兩點(diǎn)，設(shè)過(guò)點(diǎn)、、的平面必與與分別交于、，過(guò)點(diǎn)、、的平面與平面和平面分別交于與，，同理可得，如圖過(guò)點(diǎn)、、的平面截正方體所得的截面圖形為五邊形，如圖以為原點(diǎn)，分別以方向?yàn)檩S、軸、軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，，則，0，，，2，，，1，，，2，，，0，，，，，，，，，解得，，，，，在△中，，，，同理：，在中，，，，同理：在中，，，，即過(guò)點(diǎn)、、的平面截正方體所得的截面周長(zhǎng)為．故正確；對(duì)于選項(xiàng)，取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，取的中點(diǎn)，連接，，，，，，，四邊形為平行四邊形，，，，同理可得，又面，面，面，面，面，面，又，，面，面面，又面，面，軌跡為線段，在中，過(guò)作，此時(shí)取得最小值，在△中，，，，在△中，，，，在△中，，，，如圖，在中，，即的最小值為，而的最大值為．故錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)，如圖所示，取的中點(diǎn)，則，過(guò)作，且使得，則為三棱錐的外接球的球心，所以為外接球的半徑，在中，，，．故項(xiàng)正確，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查線面角以及利用空間向量法解決球體相關(guān)問(wèn)題，屬于中檔題．13．（2024?保定三模）如圖，在正方體中，，，，分別為棱，，，的中點(diǎn)，點(diǎn)是面的中心，則下列結(jié)論正確的是A．，，，四點(diǎn)共面 B．平面被正方體截得的截面是等腰梯形 C．平面 D．平面平面【答案】【考點(diǎn)】平面與平面垂直；直線與平面平行；平面的基本性質(zhì)及推論；空間中直線與平面之間的位置關(guān)系【專題】立體幾何；綜合法；轉(zhuǎn)化思想；邏輯推理【分析】由題意可得過(guò)，，三點(diǎn)的平面為一個(gè)正六邊形，判斷出的真假；分別連接，和，，截面是等腰梯形，判斷出的真假；分別取，的中點(diǎn)，，易證顯然不平行平面，可判斷出的真假；平面，可判斷出的真假．【解答】解：對(duì)于：如圖經(jīng)過(guò)，，三點(diǎn)的平面為一個(gè)正六邊形，點(diǎn)在平面外，所以，，，四點(diǎn)不共面，所以選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于：分別連接，和，，則平面即平面，截面是等腰梯形，所以選項(xiàng)正確；對(duì)于：分別取，的中點(diǎn)，，則平面即為平面，由正六邊形，可知，所以不平行于，又，平面，所以，所以平面，所以不平行于平面，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于：因?yàn)?，是等腰三角形，所以，所以，所以，因?yàn)?，是，的中點(diǎn)，易證，由正方體可得平面，所以平面，又平面，所以，因?yàn)?，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以平面平面，故選項(xiàng)正確．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與平面平行的證法及平面與平面垂直的證法，屬于中檔題．14．（2024?江蘇模擬）如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，為的中點(diǎn)，點(diǎn)滿足，則A．當(dāng)時(shí)，平面 B．任意，，三棱錐的體積是定值 C．存在，，使得與平面所成的角為 D．當(dāng)時(shí)，平面截該正方體的外接球所得截面的面積為【答案】【考點(diǎn)】球的體積和表面積；棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積；直線與平面所成的角；直線與平面垂直【專題】立體幾何；綜合法；數(shù)學(xué)運(yùn)算；轉(zhuǎn)化思想；邏輯推理【分析】根據(jù)三垂線定理及線面垂直的判定定理，三棱錐的體積公式，線面角的求法，坐標(biāo)法求點(diǎn)面距，即可分別求解．【解答】解：對(duì)選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，與重合，根據(jù)三垂線定理易證，，從而可得平面，即平面，選項(xiàng)正確；對(duì)選項(xiàng)，與相交，到平面的距離不是定值，又的面積為定值，對(duì)任意，，三棱錐的體積不是定值，選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，與重合，此時(shí)易知平面，當(dāng)時(shí)，與重合，如圖，設(shè)，連接，，易知平面，又平面，平面平面，且平面平面，在平面的射影為，與平面所成角為，又易知，存在，，使得與平面所成的角為，選項(xiàng)正確；對(duì)選項(xiàng)，正方體的外接球的球心為正方體的體心，且外接球的直徑為正方體的體對(duì)角線，，，當(dāng)時(shí)，為靠近的三等分點(diǎn)，建系如圖，則，0，，，2，，，，，，1，，，，，設(shè)平面的法向量為，則，取，球心到平面的距離，平面截該正方體的外接球所得截面小圓半徑，平面截該正方體的外接球所得截面小圓的面積為，選項(xiàng)正確．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查線面垂直的證明，三棱錐的體積變化問(wèn)題，線面角的變化問(wèn)題，球的截面面積的求解，三垂線定理的應(yīng)用，坐標(biāo)法的應(yīng)用，化歸轉(zhuǎn)化思想，屬難題．15．（2024?江西一模）已知正方體的棱長(zhǎng)為1，是棱的中點(diǎn)，是平面上的動(dòng)點(diǎn)（如圖），則下列說(shuō)法正確的是A．若點(diǎn)在線段上，則平面 B．平面平面 C．若，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡為拋物線 D．以的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)一周，旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，三棱錐體積的取值范圍為【答案】【考點(diǎn)】棱柱的結(jié)構(gòu)特征；平面與平面垂直；棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積；直線與平面平行；命題的真假判斷與應(yīng)用【專題】運(yùn)動(dòng)思想；數(shù)形結(jié)合；數(shù)學(xué)運(yùn)算；空間位置關(guān)系與距離；邏輯推理；綜合法【分析】證明面面平行，可得線面平行判定；由直線與平面垂直可得平面與平面垂直判斷；由雙曲線的定義求出點(diǎn)的軌跡判定；由運(yùn)動(dòng)思想求得三棱錐體積的取值范圍判斷．【解答】解：在正方體中，由，且，可得四邊形為平行四邊形，則，同理可得，由面面平行的判定可得平面平面，若點(diǎn)在線段上，則平面，得平面，故正確；由正方體的結(jié)構(gòu)特征可得平面，又平面，平面平面，故正確；為定值，滿足的點(diǎn)在以為頂點(diǎn)，為軸的圓錐的側(cè)面上，又在平面上，且平面，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是雙曲線，故錯(cuò)誤；設(shè)，的中點(diǎn)分別為，，則點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是平面內(nèi)以為圓心，為半徑的圓，，，平面，則平面平面，設(shè)與圓的交點(diǎn)分別為，（點(diǎn)位于點(diǎn)，之間），可知當(dāng)點(diǎn)分別位于點(diǎn)，時(shí)，點(diǎn)到平面的距離分別取到最小值和最大值，且距離的最小值，距離的最大值．的面積，，．三棱錐體積的取值范圍為，故正確．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查正方體的結(jié)構(gòu)特征，考查直線與平面平行、平面與平面垂直的判定，考查空間想象能力與思維能力，訓(xùn)練了多面體體積的求法，綜合性強(qiáng)，難度較大．三．填空題（共5小題）16．（2024?黃浦區(qū)二模）在四面體中，，，，設(shè)四面體與四面體的體積分別為、，則的值為．【答案】．【考點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積【專題】立體幾何；綜合法；轉(zhuǎn)化思想；數(shù)學(xué)運(yùn)算【分析】根據(jù)題意易得，，，再作出底面圖形，根據(jù)向量共線定理，三棱錐的體積公式，化歸轉(zhuǎn)化，即可求解．【解答】解：，，，，，，，，，作出底面圖形，延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，如圖所示：由，可得，設(shè)，又，，又，，三點(diǎn)共線，，，，又，，，又，且，，．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查四面體的體積問(wèn)題，向量的線性運(yùn)算，向量共線定理的應(yīng)用，化歸轉(zhuǎn)化思想，屬中檔題．17．（2024?灌云縣校級(jí)模擬）正方體棱長(zhǎng)為2，，分別是棱，的中點(diǎn)，是正方體的表面上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)四面體的體積最大時(shí)，四面體的外接球的表面積為．【答案】．【考點(diǎn)】球的體積和表面積【專題】綜合法；立體幾何；數(shù)學(xué)運(yùn)算；轉(zhuǎn)化思想【分析】根據(jù)題意只需點(diǎn)離平面最遠(yuǎn)即可，構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，應(yīng)用向量法求各點(diǎn)到面距離得到與重合，再將△置于如下直角坐標(biāo)系中求△外接圓圓心，進(jìn)而確定空間坐標(biāo)系中外接球球心坐標(biāo)，即可求球的表面積．【解答】解：如下圖，，即，，，四點(diǎn)共面，要使四面體的體積最大，只需點(diǎn)離平面最遠(yuǎn)即可，顯然點(diǎn)、線段上點(diǎn)到平面距離都相等，構(gòu)建下圖空間直角坐標(biāo)系，則，1，，，0，，，2，，，2，，，2，，，0，，，2，，所以，，，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，取，所以到平面距離為，到平面距離為，到平面距離為，到平面距離為，綜上，正方體的表面上到面距離最遠(yuǎn)，故四面體的體積最大，與重合，首先確定△外接圓圓心坐標(biāo)，將△置于如下直角坐標(biāo)系中，則，，，則是直線與的垂直平分線的交點(diǎn)，由，則，且中點(diǎn)為，故，即，聯(lián)立，即對(duì)應(yīng)到空間直角坐標(biāo)系的坐標(biāo)為，由四面體的外接球球心在過(guò)垂直于面的直線上，設(shè)，由，即，所以，故外接球半徑為，故外接球的表面積為．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查四面體的外接球問(wèn)題，屬中檔題．18．（2024?西城區(qū)模擬）如圖，正方形和矩形所在的平面互相垂直．點(diǎn)在正方形及其內(nèi)部運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)在矩形及其內(nèi)部運(yùn)動(dòng)．設(shè)，，給出下列四個(gè)結(jié)論：①存在點(diǎn)，，使；②存在點(diǎn)，，使；③到直線和的距離相等的點(diǎn)有無(wú)數(shù)個(gè)；④若，則四面體體積的最大值為；其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是①③④．【答案】①③④．【考點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積【專題】轉(zhuǎn)化思想；向量法；立體幾何；數(shù)學(xué)運(yùn)算【分析】建立適當(dāng)空間直角坐標(biāo)系后，借助空間向量研究位置關(guān)系，結(jié)合軌跡方程、三棱錐體積公式逐項(xiàng)判斷即可．【解答】解：建立如圖所示的坐標(biāo)系，則，0，，，0，，，2，，，2，，，0，，，2，，設(shè)，，，，，，其中，，，，對(duì)于①，，，，則，當(dāng)，，時(shí)，有，故①正確；對(duì)于②，，，，，，，若，則有，由，，，，得，，此時(shí)與重合，與重合，不符合題意，故②錯(cuò)誤；對(duì)于③，點(diǎn)到直線的距離為，點(diǎn)到直線的距離為，則，即，，，，，故其軌跡為雙曲線的一部分，即點(diǎn)有無(wú)數(shù)個(gè)，③正確；對(duì)于④，，，，，，，又由，則，即，，又，故，故④正確．故答案為：①③④．【點(diǎn)評(píng)】考查向量法、向量坐標(biāo)運(yùn)算法則、向量平行的性質(zhì)、軌跡方程、體積公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．19．（2024?安徽模擬）已知正方體的體積為8，且，則當(dāng)取得最小值時(shí)，三棱錐的外接球體積為．【答案】．【考點(diǎn)】球的體積和表面積【專題】數(shù)學(xué)運(yùn)算；立體幾何；綜合法；轉(zhuǎn)化思想【分析】將平面與平面展開(kāi)鋪平，即可求的最值；建系求球心坐標(biāo)，從而得球的半徑，從而可求球的體積．【解答】解：由題意得可知，如圖，將平面與平面展開(kāi)鋪平，當(dāng)點(diǎn)，，共線時(shí)，此時(shí)最小，在展開(kāi)圖中作，垂足為，，解得，建系如上圖，則，2，，，連接，易得平面，且經(jīng)過(guò)△的中心，所以三棱錐外接球的球心在上，設(shè)球心，，，則，即，解得，所以外接球，所以三棱錐的外接球體積為．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查空間中距離的最值問(wèn)題，三棱錐的外接球問(wèn)題，化歸轉(zhuǎn)化思想，屬中檔題．20．（2024?遼寧模擬）古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯發(fā)現(xiàn)：平面上到兩定點(diǎn)，距離之比為常數(shù)且的點(diǎn)的軌跡是一個(gè)圓心在直線上的圓，該圓簡(jiǎn)稱為阿氏圓．根據(jù)以上信息，解決下面的問(wèn)題：如圖，在長(zhǎng)方體中，，點(diǎn)在棱上，，動(dòng)點(diǎn)滿足．若點(diǎn)在平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，則點(diǎn)所形成的阿氏圓的半徑為；若點(diǎn)在長(zhǎng)方體內(nèi)部運(yùn)動(dòng)，為棱的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，則三棱錐的體積的最小值為．【考點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間位置關(guān)系與距離；數(shù)學(xué)運(yùn)算【分析】①若點(diǎn)在平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí)，如圖以為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，可得，．設(shè)，由可得．即，．即可②若點(diǎn)在長(zhǎng)方體內(nèi)部運(yùn)動(dòng)，由①可得點(diǎn)在半徑為，球心為球上．如圖建立空間直角坐標(biāo)系，求得到面的距離為，求得到面的距離的最小值，又到面的距離的最小值為，利用體積公式即可求解．【解答】解：①若點(diǎn)在平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí)，如圖以為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，可得，．設(shè)，由可得．即，．則點(diǎn)所形成的阿氏圓的半徑為，圓心為，②若點(diǎn)在長(zhǎng)方體內(nèi)部運(yùn)動(dòng)，由①可得點(diǎn)在半徑為，球心為球上．如圖建立空間直角坐標(biāo)系，可得，0，，，3，，，6，，，6，則，設(shè)面的法向量為，，可得．到面的距離為．則到面的距離的最小值為，為的中點(diǎn)，到面的距離的最小值為．則三棱錐的體積的最小值為．故答案為：，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了空間動(dòng)點(diǎn)軌跡問(wèn)題，考查了轉(zhuǎn)化思想，計(jì)算能力，屬于中檔題．四．解答題（共5小題）21．（2024?鼓樓區(qū)校級(jí)模擬）如圖，四棱錐中，底面，，，，，分別為線段，上一點(diǎn)，．（1）若為的中點(diǎn)，證明：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值的最大值．【答案】（1）證明見(jiàn)解答；（2）．【考點(diǎn)】直線與平面平行；空間向量法求解直線與平面所成的角【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間位置關(guān)系與距離；空間角；邏輯推理；數(shù)學(xué)運(yùn)算【分析】（1）取的中點(diǎn)，連接，，先證四邊形為平行四邊形，有，再由線面平行的判定定理，得證；（2）取的中點(diǎn)，連接，以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解即可．【解答】解：（1）證明：取的中點(diǎn)，連接，，由已知及得，為的中點(diǎn)，，，又，，且，四邊形為平行四邊形，，平面，平面，平面．（2）取的中點(diǎn)，連接，建立如圖所示的空間坐標(biāo)系，則，不妨設(shè)，則，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，取，則，設(shè)直線與平面所成角為，則，故直線與平面所成角的正弦值的最大值為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查線面平行的證明，考查線面角的正弦值的求法，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．22．（2024?河南模擬）如圖所示，在△中，點(diǎn)在邊上，且，為邊的中點(diǎn)．是平面外一點(diǎn)，且．（1）證明：；（2）已知，，，直線與平面所成角的正弦值為．求△的面積；求三棱錐的體積．【答案】（1）證明見(jiàn)解答；（2）；．【考點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；立體幾何；運(yùn)算求解【分析】（1）利用，得出，再根據(jù)，得出，進(jìn)而得出平面，即可得證；（2）在△中，，，，由余弦定理得出，進(jìn)而求出，利用三角形面積公式即可求解；利用等體積轉(zhuǎn)換法求三棱錐體積即可．【解答】解：（1）證明：因?yàn)闉檫叺闹悬c(diǎn)，所以，又，故，即，如圖，設(shè)線段的中點(diǎn)為，連接，又，所以，，因?yàn)?，所以，即，所以，因?yàn)椋?，平面，所以平面，因?yàn)槠矫妫?；?）在△中，，，，由余弦定理得，所以，故△的面積為；設(shè)直線與平面所成角為，由題意可知，則，故，又因?yàn)槠矫妫灾本€與平面所成的角為，于是，所以，如圖，連接，則三棱錐的體積為，設(shè)△，△的面積分別為，，點(diǎn)到平面的距離為，因?yàn)闉檫叺闹悬c(diǎn)，，所以由平面幾何知識(shí)易得，則三棱錐的體積為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查向量法在立體幾何中的應(yīng)用，考查等體積法求三棱錐體積，屬于中檔題．23．（2024?重慶模擬）正多面體又稱為柏拉圖立體，是指一個(gè)多面體的所有面都是全等的正三角形或正多邊形，每個(gè)頂點(diǎn)聚集的棱的條數(shù)都相等，這樣的多面體就叫做正多面體．可以驗(yàn)證一共只有五種多面體．令，，，，均為正整數(shù)），我們發(fā)現(xiàn)有時(shí)候某正多面體的所有頂點(diǎn)都可以和另一個(gè)正多面體的一些頂點(diǎn)重合，例如正面體的所有頂點(diǎn)可以與正面體的某些頂點(diǎn)重合，正面體的所有頂點(diǎn)可以與正面體的所有頂點(diǎn)重合，等等．（1）當(dāng)正面體的所有頂點(diǎn)可以與正面體的某些頂點(diǎn)重合時(shí)，求正面體的棱與正面體的面所成線面角的最大值；（2）當(dāng)正面體在棱長(zhǎng)為1的正面體內(nèi)，且正面體的所有頂點(diǎn)均為正面體各面的中心時(shí)，求正面體某一面所在平面截正面體所得截面面積；（3）已知正面體的每個(gè)面均為正五邊形，正面體的每個(gè)面均為正三角形．考生可在以下2問(wèn)中選做1問(wèn)．（第一問(wèn)答對(duì)得2分，第二問(wèn)滿分8分，兩題均作答，以第一問(wèn)結(jié)果給分）第一問(wèn)：求棱長(zhǎng)為1的正面體的表面積；第二問(wèn)：求棱長(zhǎng)為1的正面體的體積．【答案】（1）；（2）；（3）第一問(wèn)：；第二問(wèn)：．【考點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間位置關(guān)系與距離；邏輯推理；數(shù)學(xué)運(yùn)算【分析】（1）根據(jù)正面體特點(diǎn)求出，，，，，由此能求出結(jié)果；（2）推導(dǎo)出截面為邊長(zhǎng)為2的正三角形，能求出結(jié)果；（3）第一問(wèn)：根據(jù)正二十面體各面為正三角形即可求解；第二問(wèn)：圖形可分為得到一個(gè)棱長(zhǎng)相等的平行六面體和六個(gè)相同的立體圖形，由此能求出結(jié)果．【解答】解：（1）設(shè)正面體每個(gè)頂點(diǎn)出去的棱數(shù)相等為，每個(gè)面的邊的數(shù)量相等為，端點(diǎn)數(shù)量為，面的數(shù)量為，棱的數(shù)量為，每個(gè)棱有兩個(gè)端點(diǎn)，，每?jī)蓚€(gè)相鄰的面共用一條棱，，，，代表多邊形的邊數(shù)，，要得到立體圖形，必須有，由題意易得，，，滿足條件的只有5組解，①，，，即正四面體；②，，，即正六面體；③，，，即正十二面體；④，，，即正八面體；⑤，，，即正二十面體．，，，，，為了滿足題意，只需找到正六面體的四個(gè)端點(diǎn)，端點(diǎn)距離全部相等，滿足題意的僅有一種，如圖，由題意得線面角只有或，當(dāng)正面體的所有頂點(diǎn)可以與正面體的某些頂點(diǎn)重合時(shí)，正面體的棱與正面體的面所成線面角的最大值為；（2）當(dāng)正面體在棱長(zhǎng)為1的正面體內(nèi)，且正面體的所有頂點(diǎn)均為正面體各面的中心時(shí)，、、代表正六面體的中心，、、代表截面三角形，由題意得截面為邊長(zhǎng)為的正三角形，正面體某一面所在平面截正面體所得截面面積面積為；（3）第一問(wèn)：正二十面體各面為正三角形，表面積為；第二問(wèn)：正十二面體各面為正五邊形，圖形如下：按照?qǐng)D示帶箭頭的虛線分割，得到一個(gè)棱長(zhǎng)相等的平行六面體和六個(gè)相同的立體圖形，如圖，、長(zhǎng)度為1，且，由，知，即正六面體邊長(zhǎng)為，正六面體邊長(zhǎng)為，則，沿著頂棱的兩個(gè)端點(diǎn)，分別作關(guān)于頂棱垂直的切面，立體圖形可以拆成兩個(gè)四面體，一個(gè)三棱柱，先算出綠色邊的長(zhǎng)度，再用勾股定理易得立體圖形高為，，總體積為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查正多面體的性質(zhì)、歐拉公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．24．（2024?湖北模擬）如圖，在三棱錐中，側(cè)面底面，，是邊長(zhǎng)為2的正三角形，，，分別是，的中點(diǎn)，記平面與平面的交線為．（1）證明：直線平面；（2）設(shè)點(diǎn)在直線上，直線與平面所成的角為，異面直線與所成的角為，求當(dāng)為何值時(shí)，．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）當(dāng)時(shí)，．【考點(diǎn)】異面直線及其所成的角；直線與平面垂直【專題】空間角；計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；數(shù)學(xué)運(yùn)算【分析】（1）利用中位線，直線平面的平行問(wèn)題得出，根據(jù)直線平面的垂直問(wèn)題得出平面，即可得出直線平面．（2）建立坐標(biāo)系得出平面的法向量，，，，，直線平面，直線的夾角的關(guān)系求解即可，，，．【解答】（1）證明：，分別為，中點(diǎn)，，又平面，平面，平面又平面，平面平面，．，，，，，平面平面，平面，直線平面，（2）如圖建立坐標(biāo)系得出：，0，，，0，，，0，，，2，，，0，，，，，0，為平面的法向量，，2，，，，，，，，設(shè)直線分別與平面、直線所成的角分別為，，，，，，即，求解，，，0，，存在，1，或，，，即當(dāng)時(shí)，．【點(diǎn)評(píng)】本題綜合考查了空間直線，平面的位置關(guān)系，判斷方法，空間向量解決存在性問(wèn)題，運(yùn)用代數(shù)方法求解幾何問(wèn)題，考查了學(xué)生的計(jì)算能力．25．（2024?墊江縣校級(jí)模擬）如圖，在四棱錐中，為正三角形，底面為正方形，平面平面，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，平面與棱交于點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）為平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，為線段上一點(diǎn)；①求證：；②當(dāng)最小時(shí)，求的值．【答案】（1）證明見(jiàn)解答；（2）①證明見(jiàn)解答；②．【考點(diǎn)】直線與平面垂直；直線與平面平行【專題】邏輯推理；數(shù)形結(jié)合；立體幾何；綜合法【分析】（1）由題設(shè)條件及線面平行的判定定理即可證明；（2）①由題設(shè)證明平面，即可證明；②首先求得當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，，此時(shí)最小，再根據(jù)相似三角形，求得比值即可．【解答】（1）證明：，平面，平面，平面，又平面，平面平面，，又平面，平面，平面；（2）①證明：由平面平面，平面平面，平面，，故平面，又平面，故，由（1）知，，故，又是的中點(diǎn)，則是中點(diǎn)，為正三角形，故，又，所以平面，故，②解：由，，當(dāng)為與平面的交點(diǎn)時(shí)，取得最小值，故當(dāng)最小時(shí)，取得最小值，此時(shí)，由，可得，同理，故時(shí)，為中點(diǎn)，取中點(diǎn)，連接，如圖所示，則有且，則有，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查線面平行的判定，考查空間距離的最值問(wèn)題，屬中檔題．

考點(diǎn)卡片1．命題的真假判斷與應(yīng)用【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】判斷含有“或”、“且”、“非”的復(fù)合命題的真假，首先要明確p、q及非p的真假，然后由真值表判斷復(fù)合命題的真假．注意：“非p”的正確寫(xiě)法，本題不應(yīng)將“非p”寫(xiě)成“方程x2﹣2x+1＝0的兩根都不是實(shí)根”，因?yàn)椤岸际恰钡姆疵媸恰安欢际恰保皇恰岸疾皇恰?，要認(rèn)真區(qū)分．【解題方法點(diǎn)撥】1．判斷復(fù)合命題的真假，常分三步：先確定復(fù)合命題的構(gòu)成形式，再指出其中簡(jiǎn)單命題的真假，最后由真值表得出復(fù)合命題的真假．2．判斷一個(gè)“若p則q”形式的復(fù)合命題的真假，不能用真值表時(shí)，可用下列方法：若“pq”，則“若p則q”為真；而要確定“若p則q”為假，只需舉出一個(gè)反例說(shuō)明即可．3．判斷逆命題、否命題、逆否命題的真假，有時(shí)可利用原命題與逆否命題同真同假，逆命題與否命題同真同假這一關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化判斷．【命題方向】該部分內(nèi)容是《課程標(biāo)準(zhǔn)》新增加的內(nèi)容，幾乎年年都考，涉及知識(shí)點(diǎn)多而且全，多以小題形式出現(xiàn)．2．棱柱的結(jié)構(gòu)特征【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1．棱柱：有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的多面體叫做棱柱．棱柱用表示底面各頂點(diǎn)的字母來(lái)表示（例：ABCD﹣A′B′C′D′）．2．認(rèn)識(shí)棱柱底面：棱柱中兩個(gè)互相平行的面，叫做棱柱的底面．側(cè)面：棱柱中除兩個(gè)底面以外的其余各個(gè)面都叫做棱柱的側(cè)面．側(cè)棱：棱柱中兩個(gè)側(cè)面的公共邊叫做棱柱的側(cè)棱．頂點(diǎn)：棱柱的側(cè)面與底面的公共頂點(diǎn)．高：棱中兩個(gè)底面之間的距離．3．棱柱的結(jié)構(gòu)特征根據(jù)棱柱的結(jié)構(gòu)特征，可知棱柱有以下性質(zhì)：（1）側(cè)面都是平行四邊形（2）兩底面是全等多邊形（3）平行于底面的截面和底面全等；對(duì)角面是平行四邊形（4）長(zhǎng)方體一條對(duì)角線長(zhǎng)的平方等于一個(gè)頂點(diǎn)上三條棱的長(zhǎng)的平方和．4．棱柱的分類(lèi)（1）根據(jù)底面形狀的不同，可把底面為三角形、四邊形、五邊形…的棱柱稱為三棱柱、四棱柱、五棱柱…．（2）根據(jù)側(cè)棱是否垂直底面，可把棱柱分為直棱柱和斜棱柱；其中在直棱柱中，若底面為正多邊形，則稱其為正棱柱．5．棱柱的體積公式設(shè)棱柱的底面積為S，高為h，V棱柱＝S×h．3．球內(nèi)接多面體【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1、球內(nèi)接多面體的定義：多面體的頂點(diǎn)都在球面上，且球心到各頂點(diǎn)的距離都是半徑．球內(nèi)接多面體也叫做多面體外接球．球外切多面體的定義：球面和多面體的各個(gè)面都相切，球心到各面的距離都是球的半徑．球外切多面體也叫做多面體內(nèi)切球2、研究球與多面體的接、切問(wèn)題主要考慮以下幾個(gè)方面的問(wèn)題：（1）球心與多面體中心的位置關(guān)系；（2）球的半徑與多面體的棱長(zhǎng)的關(guān)系；（3）球自身的對(duì)稱性與多面體的對(duì)稱性；（4）能否做出軸截面．3、球與多面體的接、切中有關(guān)量的分析：（1）球內(nèi)接正方體：球和正方體都是中心對(duì)稱和軸對(duì)稱圖形，設(shè)球的半徑為r，正方體的棱長(zhǎng)為a，則：①球心就是正方體的中心，球心在正方體的體對(duì)角線的中點(diǎn)處；②正方體的四個(gè)頂點(diǎn)都在球面上；③軸截面就是正方體的對(duì)角面；④在軸截面上，含有一個(gè)球的大圓和正方體的棱、面對(duì)角線、體對(duì)角線，且構(gòu)造一個(gè)直角三角形；⑤球半徑和正方體棱長(zhǎng)的關(guān)系：r＝a．＝4．棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】柱體、錐體、臺(tái)體的體積公式：V柱＝sh，V錐＝Sh．5．旋轉(zhuǎn)體（圓柱、圓錐、圓臺(tái)）的體積【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征：一條平面曲線繞著它所在的平面內(nèi)的一條定直線旋轉(zhuǎn)所形成的曲面叫作旋轉(zhuǎn)面；該定直線叫做旋轉(zhuǎn)體的軸；封閉的旋轉(zhuǎn)面圍成的幾何體叫作旋轉(zhuǎn)體．1．圓柱①定義：以矩形的一邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，將矩形旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體叫做圓柱．圓柱用軸字母表示，如下圖圓柱可表示為圓柱OO′．②認(rèn)識(shí)圓柱③圓柱的特征及性質(zhì)圓柱與底面平行的截面是圓，與軸平行的截面是矩形．④圓柱的體積和表面積公式設(shè)圓柱底面的半徑為r，高為h：2．圓錐①定義：以直角三角形的一條直角邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的曲面所圍成的幾何體叫做圓錐．圓錐用軸字母表示，如下圖圓錐可表示為圓錐SO．②認(rèn)識(shí)圓錐③圓錐的特征及性質(zhì)與圓錐底面平行的截面是圓，過(guò)圓錐的頂點(diǎn)的截面是等腰三角形，兩個(gè)腰都是母線．母線長(zhǎng)l與底面半徑r和高h(yuǎn)的關(guān)系：l2＝h2+r2④圓錐的體積和表面積公式設(shè)圓錐的底面半徑為r，高為h，母線長(zhǎng)為l：3．圓臺(tái)①定義：以直角梯形中垂直于底邊的腰所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余各邊旋轉(zhuǎn)一周而成的曲面所圍成的幾何體叫做圓臺(tái)．圓臺(tái)用軸字母表示，如下圖圓臺(tái)可表示為圓臺(tái)OO′．②認(rèn)識(shí)圓臺(tái)③圓臺(tái)的特征及性質(zhì)平行于底面的截面是圓，軸截面是等腰梯形．④圓臺(tái)的體積和表面積公式設(shè)圓臺(tái)的上底面半徑為r，下底面半徑為R，高為h，母線長(zhǎng)為l：．6．球的體積和表面積【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1．球體：在空間中，到定點(diǎn)的距離等于或小于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合稱為球體，簡(jiǎn)稱球．其中到定點(diǎn)距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合為球面．2．球體的體積公式設(shè)球體的半徑為R，V球體＝3．球體的表面積公式設(shè)球體的半徑為R，S球體＝4πR2．【命題方向】考查球體的體積和表面積公式的運(yùn)用，常見(jiàn)結(jié)合其他空間幾何體進(jìn)行考查，以增加試題難度，根據(jù)題目所給條件得出球體半徑是解題關(guān)鍵．7．球的表面積【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】球的表面積依賴于球的半徑r，計(jì)算公式為．【解題方法點(diǎn)撥】﹣計(jì)算公式：表面積計(jì)算公式為．﹣實(shí)際應(yīng)用：如何根據(jù)實(shí)際問(wèn)題中的球尺寸進(jìn)行表面積計(jì)算．【命題方向】﹣球的表面積計(jì)算：考查如何根據(jù)球的半徑計(jì)算表面積．﹣實(shí)際應(yīng)用：如何在實(shí)際問(wèn)題中應(yīng)用球的表面積計(jì)算．8．平面的基本性質(zhì)及推論【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】平面的基本性質(zhì)及推論：1．公理1：如果一條直線上的兩個(gè)點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，則這條直線上所有的點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi)．2．公理2：經(jīng)過(guò)不在同一直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面．①推論1：經(jīng)過(guò)一條直線和這條直線外的一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面．②推論2：經(jīng)過(guò)兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面．③推論3：經(jīng)過(guò)兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面．3．公理3：如果兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們還有其他公共點(diǎn)，且這些公共點(diǎn)的集合是一條過(guò)這個(gè)公共點(diǎn)的直線．【解題方法點(diǎn)撥】1．公理1是判定直線在平面內(nèi)的依據(jù)．2．公理2及推論是確定平面的依據(jù)．3．公理3是判定兩個(gè)平面相交的依據(jù)．9．異面直線及其所成的角【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1、異面直線所成的角：直線a，b是異面直線，經(jīng)過(guò)空間任意一點(diǎn)O，作直線a′，b′，并使a′∥a，b′∥b．我們把直線a′和b′所成的銳角（或直角）叫做異面直線a和b所成的角．異面直線所成的角的范圍：θ∈（0，]．當(dāng)θ＝90°時(shí)，稱兩條異面直線互相垂直．2、求異面直線所成的角的方法：求異面直線的夾角關(guān)鍵在于平移直線，常用相似比，中位線，梯形兩底，平行平面等手段來(lái)轉(zhuǎn)移直線．3、求異面直線所成的角的方法常用到的知識(shí)：10．空間中直線與直線之間的位置關(guān)系【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】空間兩條直線的位置關(guān)系：位置關(guān)系共面情況公共點(diǎn)個(gè)數(shù)圖示相交直線在同一平面內(nèi)有且只有一個(gè)平行直線在同一平面內(nèi)無(wú)異面直線不同時(shí)在任何一個(gè)平面內(nèi)無(wú)11．空間中直線與平面之間的位置關(guān)系【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】空間中直線與平面之間的位置關(guān)系：位置關(guān)系公共點(diǎn)個(gè)數(shù)符號(hào)表示圖示直線在平面內(nèi)有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)a?α直線和平面相交有且只有