2025年菁優(yōu)高考數(shù)學(xué)解密之一、二次函數(shù)及方程、不等式

Page2025年菁優(yōu)高考數(shù)學(xué)解密之一、二次函數(shù)及方程、不等式一．選擇題（共8小題）1．（2024?湖北模擬）已知全集是實(shí)數(shù)集，集合，，則圖中陰影部分所表示的集合為A． B． C． D．或2．（2024?浙江模擬）已知集合，集合，則A． B． C． D．3．（2024?玄武區(qū)校級二模）已知集合，，則A．， B．， C．，0， D．，3，4．（2024?河北模擬）已知集合，集合，則A． B．，1，3，4， C．，4， D．，5．（2024?陜西模擬）已知變量，滿足約束條件則的最小值為A． B． C． D．6．（2024?晉中模擬）設(shè)集合，1，2，，，則A． B．， C．， D．，2，7．（2024?雁峰區(qū)校級模擬）已知命題：集合，命題：集合，則是的條件．A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要8．（2024?河北區(qū)模擬）設(shè)，則“”是“函數(shù)在上單調(diào)遞增”的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件二．多選題（共5小題）9．（2024?4月份模擬）若函數(shù)在上單調(diào)，則實(shí)數(shù)的值可以為A． B． C． D．310．（2024?聊城三模）設(shè)方程的兩根，在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)分別是，，則A．的實(shí)部為1 B．，關(guān)于軸對稱 C． D．11．（2024?定西模擬）設(shè)集合，，，則A． B．的元素個(gè)數(shù)為16 C． D．的子集個(gè)數(shù)為6412．（2024?遼陽一模）已知集合，則A．，2，3， B． C．， D．，13．（2022?丹東模擬）如果關(guān)于的不等式的解集為，那么下列數(shù)值中，可取到的數(shù)為A． B．0 C．1 D．2三．填空題（共7小題）14．（2024?日照一模）設(shè)滿足：對任意，均存在，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．15．（2024?銅川一模）若實(shí)數(shù)，滿足約束條件，則的最大值為．16．（2024?重慶模擬）若關(guān)于的不等式的解集為，則的取值范圍是．17．（2024?黃浦區(qū)校級三模）已知全集，集合，則．18．（2024?四川模擬）若實(shí)數(shù)，滿足約束條件，則的最大值為．19．（2024?浙江模擬）已知，關(guān)于的一元二次不等式的解集為，則關(guān)于的一元二次不等式的解集為．20．（2024?上海）已知，則不等式的解集為．四．解答題（共5小題）21．（2024?東興區(qū)校級模擬）已知．（1）若，求的最大值，并求出此時(shí)的值；（2）若且，求的最大值．22．（2024?北京模擬）已知關(guān)于的不等式的解集是．（1）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若，求實(shí)數(shù)，的值．23．（2023?南陽模擬）已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在，上的值域；（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在，上的最大值．24．（2023?南陽模擬）已知集合是函數(shù)的定義域，集合是不等式的解集，，．（1）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若是的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍．25．（2024?蓮湖區(qū)校級三模）已知，．（1）若是真命題，求對應(yīng)的取值范圍；（2）若是的必要不充分條件，求的取值范圍．

2025年菁優(yōu)高考數(shù)學(xué)解密之一、二次函數(shù)及方程、不等式參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題）1．（2024?湖北模擬）已知全集是實(shí)數(shù)集，集合，，則圖中陰影部分所表示的集合為A． B． C． D．或【答案】【考點(diǎn)】圖表示交并補(bǔ)混合運(yùn)算；一元二次不等式及其應(yīng)用【專題】整體思想；集合；數(shù)學(xué)抽象；綜合法【分析】根據(jù)題意，求得且，結(jié)合，即可求解．【解答】解：由不等式，解得或，所以或，又由，可得且，又因?yàn)椋蔬x：．【點(diǎn)評】本題主要考查了集合的并集及補(bǔ)集運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．2．（2024?浙江模擬）已知集合，集合，則A． B． C． D．【答案】【考點(diǎn)】交集及其運(yùn)算；一元二次不等式及其應(yīng)用【專題】不等式的解法及應(yīng)用；集合；集合思想；函數(shù)思想；綜合法；數(shù)學(xué)運(yùn)算【分析】先求出集合，，再利用集合的交集運(yùn)算求解．【解答】解：集合或，集合，所以．故選：．【點(diǎn)評】本題主要考查了一元二次不等式的解法，考查了集合的基本運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．3．（2024?玄武區(qū)校級二模）已知集合，，則A．， B．， C．，0， D．，3，【答案】【考點(diǎn)】交集及其運(yùn)算；一元二次不等式及其應(yīng)用【專題】數(shù)學(xué)運(yùn)算；綜合法；集合；整體思想【分析】由解一元二次不等式解出集合，再由交集的運(yùn)算求出最后結(jié)果即可．【解答】解：由題意可得，，，則，．故選：．【點(diǎn)評】本題主要考查了集合的交集運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．4．（2024?河北模擬）已知集合，集合，則A． B．，1，3，4， C．，4， D．，【答案】【考點(diǎn)】交集及其運(yùn)算；一元二次不等式及其應(yīng)用【專題】數(shù)學(xué)運(yùn)算；轉(zhuǎn)化思想；集合；轉(zhuǎn)化法【分析】先求出集合，，再結(jié)合交集的定義，即可求解．【解答】解：集合，1，2，3，4，，集合或，故，4，．故選：．【點(diǎn)評】本題主要考查交集及其運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．5．（2024?陜西模擬）已知變量，滿足約束條件則的最小值為A． B． C． D．【答案】【考點(diǎn)】簡單線性規(guī)劃【專題】數(shù)學(xué)運(yùn)算；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；不等式的解法及應(yīng)用【分析】由約束條件畫出可行域，化目標(biāo)函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，聯(lián)立方程組求出最優(yōu)解的坐標(biāo)，代入目標(biāo)函數(shù)得答案．【解答】解：畫出不等式組表示的可行域，如圖：線性區(qū)域的端點(diǎn)坐標(biāo)為，，可得，可知當(dāng)過點(diǎn)時(shí)，直線在軸上的截距最大，有最小值為．故選：．【點(diǎn)評】本題考查簡單的線性規(guī)劃，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題．6．（2024?晉中模擬）設(shè)集合，1，2，，，則A． B．， C．， D．，2，【答案】【考點(diǎn)】交集及其運(yùn)算；一元二次不等式及其應(yīng)用【專題】綜合法；數(shù)學(xué)運(yùn)算；整體思想；集合【分析】利用交集的定義，將兩個(gè)集合的條件聯(lián)立即可得到結(jié)果．【解答】解：，1，2，，或，所以，．故選：．【點(diǎn)評】本題主要考查了集合的交集運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．7．（2024?雁峰區(qū)校級模擬）已知命題：集合，命題：集合，則是的條件．A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要【答案】【考點(diǎn)】充分條件與必要條件；一元二次不等式及其應(yīng)用【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；不等式的解法及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算【分析】解出集合、，利用集合的包含關(guān)系判斷可得出結(jié)論．【解答】解：或，或，是的真子集，因此，是的必要不充分條件．故選：．【點(diǎn)評】本題主要考查一元二次不等式及其應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．8．（2024?河北區(qū)模擬）設(shè)，則“”是“函數(shù)在上單調(diào)遞增”的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】【考點(diǎn)】二次函數(shù)的性質(zhì)與圖象；充分條件與必要條件【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；綜合法；邏輯推理；轉(zhuǎn)化思想；計(jì)算題；數(shù)學(xué)運(yùn)算；簡易邏輯【分析】直接利用二次函數(shù)的對稱軸和函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系以及充分性與必要性的應(yīng)用求出結(jié)果．【解答】解：函數(shù)的對稱軸為，由于函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，解得；故“”是“函數(shù)在上單調(diào)遞增”的充分不必要條件．故選：．【點(diǎn)評】本題考查的知識點(diǎn)：二次函數(shù)的對稱軸和單調(diào)性的關(guān)系，充分條件和必要條件，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．二．多選題（共5小題）9．（2024?4月份模擬）若函數(shù)在上單調(diào)，則實(shí)數(shù)的值可以為A． B． C． D．3【答案】【考點(diǎn)】二次函數(shù)的性質(zhì)與圖象【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；邏輯推理；數(shù)學(xué)運(yùn)算【分析】直接利用二次函數(shù)的性質(zhì)和函數(shù)的對稱軸和區(qū)間的關(guān)系求出結(jié)果．【解答】解：令，，，對稱軸為，則或或或，解得或．故選：．【點(diǎn)評】本題考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，函數(shù)的對稱軸和區(qū)間的關(guān)系，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．10．（2024?聊城三模）設(shè)方程的兩根，在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)分別是，，則A．的實(shí)部為1 B．，關(guān)于軸對稱 C． D．【答案】【考點(diǎn)】一元二次方程的根的分布與系數(shù)的關(guān)系【專題】轉(zhuǎn)化法；轉(zhuǎn)化思想；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)；數(shù)學(xué)運(yùn)算【分析】解方程得，根據(jù)復(fù)數(shù)減法運(yùn)算及復(fù)數(shù)概念判斷，根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義判斷，根據(jù)復(fù)數(shù)模的運(yùn)算判斷，根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的定義和乘法運(yùn)算求解判斷．【解答】解：由實(shí)系數(shù)一元二次方程求根公式知：方程的兩根為，則，所以的實(shí)部為0，故錯(cuò)誤；在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)分別是，他們關(guān)于軸對稱，故正確；，則，即，故正確；，則，故正確．故選：．【點(diǎn)評】本題主要考查韋達(dá)定理的應(yīng)用，以及復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．11．（2024?定西模擬）設(shè)集合，，，則A． B．的元素個(gè)數(shù)為16 C． D．的子集個(gè)數(shù)為64【答案】【考點(diǎn)】交集及其運(yùn)算；并集及其運(yùn)算；一元二次不等式及其應(yīng)用【專題】定義法；集合思想；數(shù)學(xué)運(yùn)算；不等式的解法及應(yīng)用【分析】化簡集合、，再判斷選項(xiàng)中的命題是否正確．【解答】解：集合，，，，，，則，選項(xiàng)錯(cuò)誤，，選項(xiàng)正確；，，，，，，0，1，2，3，4，5，6，7，8，，有16個(gè)元素，選項(xiàng)正確；，，0，1，2，，子集有（個(gè)，選項(xiàng)正確．故選：．【點(diǎn)評】本題考查了集合的化簡與運(yùn)算問題，是基礎(chǔ)題．12．（2024?遼陽一模）已知集合，則A．，2，3， B． C．， D．，【答案】【考點(diǎn)】交集及其運(yùn)算；元素與集合關(guān)系的判斷；一元二次不等式及其應(yīng)用；并集及其運(yùn)算【專題】數(shù)學(xué)運(yùn)算；綜合法；集合思想；集合；函數(shù)思想【分析】先求出集合，，再結(jié)合集合的基本運(yùn)算可判斷，，，結(jié)合對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可判斷．【解答】解：集合，1，2，3，5，，，所以，1，2，3，，，故錯(cuò)誤，正確；因?yàn)椋?，，故正確；若，則△，所以當(dāng)時(shí)，，故正確．故選：．【點(diǎn)評】本題主要考查了集合的基本運(yùn)算，考查了對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．13．（2022?丹東模擬）如果關(guān)于的不等式的解集為，那么下列數(shù)值中，可取到的數(shù)為A． B．0 C．1 D．2【答案】【考點(diǎn)】一元二次不等式及其應(yīng)用【專題】轉(zhuǎn)化思想；定義法；不等式的解法及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算【分析】根據(jù)題意，利用不等式成立的條件，求出的取值范圍，即可得出答案．【解答】解：不等式可化為，因?yàn)椴坏仁降慕饧癁?，所以，得．?yàn)證時(shí)，；時(shí)，；所以可取到的值為1和2．故選：．【點(diǎn)評】本題考查了一元二次不等式的解法與應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．三．填空題（共7小題）14．（2024?日照一模）設(shè)滿足：對任意，均存在，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍是，．【答案】，．【考點(diǎn)】二次函數(shù)的性質(zhì)與圖象【專題】數(shù)學(xué)運(yùn)算；計(jì)算題；整體思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用【分析】令，由題意，利用二次函數(shù)性質(zhì)求得最值列不等式求解即可．【解答】解：令．因?yàn)閷θ我?，均存在，使得，所以的值域是值域的子集，所以，即，解得，即的取值范圍是，．故答案為：，．【點(diǎn)評】本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．15．（2024?銅川一模）若實(shí)數(shù)，滿足約束條件，則的最大值為14．【答案】14．【考點(diǎn)】簡單線性規(guī)劃【專題】數(shù)形結(jié)合法；不等式；綜合法；對應(yīng)思想；數(shù)學(xué)運(yùn)算【分析】首先畫出可行域，將目標(biāo)函數(shù)變形，根據(jù)其幾何意義即可求得答案．【解答】解：根據(jù)題意畫出滿足約束條件的可行域如下圖中著色部分所示：將目標(biāo)函數(shù)變形可得，若取得最大值，即直線在軸上的截距取得最小值，將平移到過點(diǎn)時(shí)，直線在軸上的截距最小，此時(shí)目標(biāo)函數(shù)有最大值為14．故答案為：14．【點(diǎn)評】本題考查了簡單的線性規(guī)劃，數(shù)形結(jié)合思想，屬于基礎(chǔ)題．16．（2024?重慶模擬）若關(guān)于的不等式的解集為，則的取值范圍是，．【答案】．【考點(diǎn)】一元二次不等式及其應(yīng)用【專題】數(shù)學(xué)運(yùn)算；不等式的解法及應(yīng)用；函數(shù)思想；轉(zhuǎn)化法【分析】根據(jù)一元二次不等式的解集得到對稱軸，再根據(jù)端點(diǎn)得到兩個(gè)等式和一個(gè)不等式，求出的取值范圍，把都表示成的形式即可求解．【解答】解：因?yàn)椴坏仁降慕饧癁?，所以二次函?shù)的對稱軸為直線，且需滿足，即，解得，所以，解得，所以的取值范圍是，，所以．故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查了一元二次不等式的解法與應(yīng)用問題，關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問題，求出對稱軸和端點(diǎn)的值，是中檔題．17．（2024?黃浦區(qū)校級三模）已知全集，集合，則，．【答案】，．【考點(diǎn)】一元二次不等式及其應(yīng)用；補(bǔ)集及其運(yùn)算【專題】集合；轉(zhuǎn)化法；轉(zhuǎn)化思想；數(shù)學(xué)運(yùn)算【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合補(bǔ)集的運(yùn)算，即可求解．【解答】解：全集，．故答案為：，．【點(diǎn)評】本題主要考查補(bǔ)集及其運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．18．（2024?四川模擬）若實(shí)數(shù)，滿足約束條件，則的最大值為1．【答案】1．【考點(diǎn)】簡單線性規(guī)劃【專題】數(shù)形結(jié)合；不等式的解法及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算；綜合法【分析】利用分式表示斜率求解最大值．【解答】解：可行域如圖陰影所示，設(shè)，則為可行域內(nèi)的點(diǎn)與點(diǎn)連線的斜率，可知當(dāng)直線過點(diǎn)位于時(shí)，取得最大值1．故答案為：1．【點(diǎn)評】本題考查簡單的線性規(guī)劃問題，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．19．（2024?浙江模擬）已知，關(guān)于的一元二次不等式的解集為，則關(guān)于的一元二次不等式的解集為．【答案】．【考點(diǎn)】一元二次不等式及其應(yīng)用【專題】不等式的解法及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算；整體思想；綜合法【分析】由韋達(dá)定理可得，，且，，，設(shè)方程的兩個(gè)根為，，可得，，所以和是方程的兩個(gè)根，再結(jié)合，求解即可．【解答】解：關(guān)于的一元二次不等式的解集為，，是一元二次方程的兩個(gè)根，且，，，，，設(shè)方程的兩個(gè)根為，，則，，和是方程的兩個(gè)根，，，又，，，，關(guān)于的一元二次不等式的解集為．故答案為：．【點(diǎn)評】本題主要考查了“三個(gè)二次”的關(guān)系，考查了韋達(dá)定理的應(yīng)用，屬于中檔題．20．（2024?上海）已知，則不等式的解集為．【答案】．【考點(diǎn)】一元二次不等式及其應(yīng)用【專題】不等式的解法及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算；轉(zhuǎn)化思想；綜合法【分析】根據(jù)一元二次不等式的解法直接求解即可．【解答】解：可化為，解得，故不等式的解集為：．故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查一元二次不等式的解法，屬基礎(chǔ)題．四．解答題（共5小題）21．（2024?東興區(qū)校級模擬）已知．（1）若，求的最大值，并求出此時(shí)的值；（2）若且，求的最大值．【答案】（1）的最大值為3，此時(shí)；（2）3．【考點(diǎn)】二次函數(shù)的應(yīng)用；一元二次方程的根的分布與系數(shù)的關(guān)系；運(yùn)用基本不等式求最值【專題】不等式；數(shù)學(xué)運(yùn)算；轉(zhuǎn)化思想；邏輯推理；綜合法【分析】（1）設(shè)，則，代入中，得，設(shè)，根據(jù)一元二次方程根的分布得到不等式，求出，進(jìn)而可得答案；（2）設(shè)，由于，，故，將代入等式中得，根據(jù)根的判別式得到，驗(yàn)證當(dāng)時(shí)滿足要求，從而得到最大值．【解答】解：（1）設(shè)，則，代入，得，即，令，開口向上，則，要想在上有解，則（1）或，由（1），解得，由，即，解得，綜上，，故的最大值為3，此時(shí)，解得．（2）設(shè)，由于且，故，將代入中，得，即，△，要想方程在上有解，則△，解得，又，故，當(dāng)時(shí)，，即，解得，此時(shí)，符合要求，故的最大值為3．【點(diǎn)評】本題考查一元二次方程根的分布與二次函數(shù)圖象的關(guān)系，考查轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．22．（2024?北京模擬）已知關(guān)于的不等式的解集是．（1）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若，求實(shí)數(shù)，的值．【答案】（1）；（2），．【考點(diǎn)】由一元二次不等式的解求參數(shù)【專題】數(shù)學(xué)運(yùn)算；綜合法；函數(shù)思想；不等式的解法及應(yīng)用【分析】（1）由題意得，，求出的取值范圍即可；（2）由題意可知，方程的兩個(gè)根為，，且，再結(jié)合韋達(dá)定理求解．【解答】解：（1）由題意得，，解得，故的范圍為；（2）由題意可知，方程的兩個(gè)根為，，且，由韋達(dá)定理可得，，所以，解得或（舍去），所以，解得．【點(diǎn)評】本題主要考查了一元二次不等式的解法，考查了韋達(dá)定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．23．（2023?南陽模擬）已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在，上的值域；（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在，上的最大值．【答案】（1）值域是，；（2）．【考點(diǎn)】二次函數(shù)的值域；二次函數(shù)的最值【專題】轉(zhuǎn)化思想；數(shù)學(xué)運(yùn)算；計(jì)算題；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；邏輯推理【分析】（1）函數(shù)在，上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，可得函數(shù)在區(qū)間，上的值域；（2）當(dāng)時(shí)，，分類討論，即可求函數(shù)在區(qū)間，上的最大值．【解答】解：（1）當(dāng)時(shí)，，其圖象對稱軸為直線；所以函數(shù)在，上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，，，，（3），函數(shù)在區(qū)間，上的值域是，；（2）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，函數(shù)在區(qū)間，上的最大值；當(dāng)，函數(shù)在區(qū)間，上的最大值；函數(shù)在區(qū)間，上的最大值．【點(diǎn)評】本題主要考查求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，二次函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．24．（2023?南陽模擬）已知集合是函數(shù)的定義域，集合是不等式的解集，，．（1）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若是的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【考點(diǎn)】充分條件、必要條件、充要條件；函數(shù)的定義域及其求法；一元二次不等式及其應(yīng)用【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；簡易邏輯【分析】（1）分別求函數(shù)的定義域和不等式的解集化簡集合，由得到區(qū)間端點(diǎn)值之間的關(guān)系，解不等式組得到的取值范圍；（2）求出對應(yīng)的的取值范圍，由是的充分不必要條件得到對應(yīng)集合之間的關(guān)系，由區(qū)間端點(diǎn)值的關(guān)系列不等式組求解的范圍．【解答】解：（1）由條件，得，或若，則必須滿足所以的取值范圍為，；（2）易得或，是的充分不必要條件，或是或的真子集，則，，的取值范圍為，．【點(diǎn)評】本題考查的知識點(diǎn)是充要條件的定義，正確理解充要條件的定義，是解答的關(guān)鍵．25．（2024?蓮湖區(qū)校級三模）已知，．（1）若是真命題，求對應(yīng)的取值范圍；（2）若是的必要不充分條件，求的取值范圍．【答案】（1），；（2），．【考點(diǎn)】充分條件與必要條件；一元二次不等式及其應(yīng)用【專題】不等式的解法及應(yīng)用；轉(zhuǎn)化思想；數(shù)學(xué)運(yùn)算；計(jì)算題；綜合法【分析】（1）解絕對值不等式即可得出答案；（2）由是的必要不充分條件，可得，解不等式即可得出答案．【解答】解：（1）是真命題，，，解得，的取值范圍是，．（2）由（1）知：，即，因?yàn)槭堑谋匾怀浞謼l件，所以，解得：，綜上所述，的取值范圍是，．【點(diǎn)評】本題考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，考查必要不充分條件、含絕對值不等式的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．

考點(diǎn)卡片1．元素與集合關(guān)系的判斷【知識點(diǎn)的認(rèn)識】1、元素與集合的關(guān)系：一般地，我們把研究對象稱為元素，把一些元素組成的總體稱為集合，簡稱集．元素一般用小寫字母a，b，c表示，集合一般用大寫字母A，B，C表示，兩者之間的關(guān)系是屬于與不屬于關(guān)系，符號表示如：a∈A或a?A．2、集合中元素的特征：（1）確定性：作為一個(gè)集合中的元素，必須是確定的．即一個(gè)集合一旦確定，某一個(gè)元素屬于還是不屬于這集合是確定的．要么是該集合中的元素，要么不是，二者必居其一，這個(gè)特性通常被用來判斷涉及的總體是否能構(gòu)成集合．（2）互異性：集合中的元素必須是互異的．對于一個(gè)給定的集合，他的任何兩個(gè)元素都是不同的．這個(gè)特性通常被用來判斷集合的表示是否正確，或用來求集合中的未知元素．（3）無序性：集合于其中元素的排列順序無關(guān)．這個(gè)特性通常被用來判斷兩個(gè)集合的關(guān)系．【命題方向】題型一：驗(yàn)證元素是否是集合的元素典例1：已知集合A＝{x|x＝m2﹣n2，m∈Z，n∈Z}．求證：（1）3∈A；（2）偶數(shù)4k﹣2（k∈Z）不屬于A．分析：（1）根據(jù)集合中元素的特性，判斷3是否滿足即可；（2）用反證法，假設(shè)屬于A，再根據(jù)兩偶數(shù)的積為4的倍數(shù)；兩奇數(shù)的積仍為奇數(shù)得出矛盾，從而證明要證的結(jié)論．解答：解：（1）∵3＝22﹣12，3∈A；（2）設(shè)4k﹣2∈A，則存在m，n∈Z，使4k﹣2＝m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n）成立，1、當(dāng)m，n同奇或同偶時(shí)，m﹣n，m+n均為偶數(shù)，∴（m﹣n）（m+n）為4的倍數(shù)，與4k﹣2不是4的倍數(shù)矛盾．2、當(dāng)m，n一奇，一偶時(shí)，m﹣n，m+n均為奇數(shù)，∴（m﹣n）（m+n）為奇數(shù)，與4k﹣2是偶數(shù)矛盾．綜上4k﹣2?A．點(diǎn)評：本題考查元素與集合關(guān)系的判斷．分類討論的思想．題型二：知元素是集合的元素，根據(jù)集合的屬性求出相關(guān)的參數(shù)．典例2：已知集合A＝{a+2，2a2+a}，若3∈A，求實(shí)數(shù)a的值．分析：通過3是集合A的元素，直接利用a+2與2a2+a＝3，求出a的值，驗(yàn)證集合A中元素不重復(fù)即可．解答：解：因?yàn)?∈A，所以a+2＝3或2a2+a＝3…（2分）當(dāng)a+2＝3時(shí)，a＝1，…（5分）此時(shí)A＝{3，3}，不合條件舍去，…（7分）當(dāng)2a2+a＝3時(shí)，a＝1（舍去）或，…（10分）由，得，成立…（12分）故…（14分）點(diǎn)評：本題考查集合與元素之間的關(guān)系，考查集合中元素的特性，考查計(jì)算能力．【解題方法點(diǎn)撥】集合中元素的互異性常常容易忽略，求解問題時(shí)要特別注意．分類討論的思想方法常用于解決集合問題．2．并集及其運(yùn)算【知識點(diǎn)的認(rèn)識】由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素的組成的集合叫做A與B的并集，記作A∪B．符號語言：A∪B＝{x|x∈A或x∈B}．圖形語言：．A∪B實(shí)際理解為：①x僅是A中元素；②x僅是B中的元素；③x是A且是B中的元素．運(yùn)算性質(zhì)：①A∪B＝B∪A．②A∪?＝A．③A∪A＝A．④A∪B?A，A∪B?B．⑤A∪B＝B?A?B．⑥A∪B＝?，兩個(gè)集合都是空集．⑦A∪（?UA）＝U．⑧?U（A∪B）＝（CUA）∩（CUB）．【解題方法點(diǎn)撥】解答并集問題，需要注意并集中：“或”與“所有”的理解．不能把“或”與“且”混用；注意并集中元素的互異性．不能重復(fù)．【命題方向】掌握并集的表示法，會求兩個(gè)集合的并集，命題通常以選擇題、填空題為主，也可以與函數(shù)的定義域，值域聯(lián)合命題．3．交集及其運(yùn)算【知識點(diǎn)的認(rèn)識】由所有屬于集合A且屬于集合B的元素組成的集合叫做A與B的交集，記作A∩B．符號語言：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．A∩B實(shí)際理解為：x是A且是B中的相同的所有元素．當(dāng)兩個(gè)集合沒有公共元素時(shí)，兩個(gè)集合的交集是空集，而不能說兩個(gè)集合沒有交集．運(yùn)算性質(zhì)：①A∩B＝B∩A．②A∩?＝?．③A∩A＝A．④A∩B?A，A∩B?B．⑤A∩B＝A?A?B．⑥A∩B＝?，兩個(gè)集合沒有相同元素．⑦A∩（?UA）＝?．⑧?U（A∩B）＝（?UA）∪（?UB）．【解題方法點(diǎn)撥】解答交集問題，需要注意交集中：“且”與“所有”的理解．不能把“或”與“且”混用；求交集的方法是：①有限集找相同；②無限集用數(shù)軸、韋恩圖．【命題方向】掌握交集的表示法，會求兩個(gè)集合的交集．命題通常以選擇題、填空題為主，也可以與函數(shù)的定義域，值域，函數(shù)的單調(diào)性、復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性等聯(lián)合命題．4．補(bǔ)集及其運(yùn)算【知識點(diǎn)的認(rèn)識】一般地，如果一個(gè)集合含有我們所研究問題中所涉及的所有元素，那么就稱這個(gè)集合為全集，通常記作U．（通常把給定的集合作為全集）．對于一個(gè)集合A，由全集U中不屬于集合A的所有元素組成的集合稱為集合A相對于全集U的補(bǔ)集，簡稱為集合A的補(bǔ)集，記作?UA，即?UA＝{x|x∈U，且x?A}．其圖形表示如圖所示的Venn圖．．【解題方法點(diǎn)撥】常用數(shù)軸以及韋恩圖幫助分析解答，補(bǔ)集常用于對立事件，否命題，反證法．【命題方向】通常情況下以小題出現(xiàn)，高考中直接求解補(bǔ)集的選擇題，有時(shí)出現(xiàn)在簡易邏輯中，也可以與函數(shù)的定義域、值域，不等式的解集相結(jié)合命題，也可以在恒成立中出現(xiàn)．5．Venn圖表示交并補(bǔ)混合運(yùn)算【知識點(diǎn)的認(rèn)識】集合交換律A∩B＝B∩A，A∪B＝B∪A．集合結(jié)合律（A∩B）∩C＝A∩（B∩C），（A∪B）∪C＝A∪（B∪C）．集合分配律A∩（B∪C）＝（A∩B）∪（A∩C），A∪（B∩C）＝（A∪B）∩（A∪C）．集合的摩根律?U（A∩B）＝?UA∪?UB，?U（A∪B）＝?UA∩?UB．集合吸收律A∪（A∩B）＝A，A∩（A∪B）＝A．集合求補(bǔ)律A∪?UA＝U，A∩?UA＝?．Venn圖表示N∩（?UM）為：．【解題方法點(diǎn)撥】直接利用交集、并集、全集、補(bǔ)集的定義或運(yùn)算性質(zhì)，借助數(shù)軸或韋恩圖直接解答．【命題方向】如圖，全集U＝R，M＝{x|x2﹣6x﹣16＞0}，N＝{x|x＝k+2，k∈M}，則陰影部分表示的集合是（）解：由題意得M＝{x|x＜﹣2或x＞8}，所以N＝{x|x＜0或x＞10}，所以M∪N＝{x|x＜0或x＞8}，故陰影部分表示的集合是?R（M∪N）＝[0，8]．6．充分條件與必要條件【知識點(diǎn)的認(rèn)識】1、判斷：當(dāng)命題“若p則q”為真時(shí)，可表示為p?q，稱p為q的充分條件，q是p的必要條件．事實(shí)上，與“p?q”等價(jià)的逆否命題是“￢q?￢p”．它的意義是：若q不成立，則p一定不成立．這就是說，q對于p是必不可少的，所以說q是p的必要條件．例如：p：x＞2；q：x＞0．顯然x∈p，則x∈q．等價(jià)于x?q，則x?p一定成立．2、充要條件：如果既有“p?q”，又有“q?p”，則稱條件p是q成立的充要條件，或稱條件q是p成立的充要條件，記作“p?q”．p與q互為充要條件．【解題方法點(diǎn)撥】充要條件的解題的思想方法中轉(zhuǎn)化思想的依據(jù)；解題中必須涉及兩個(gè)方面，充分條件與必要條件，缺一不可．證明題目需要證明充分性與必要性，實(shí)際上，充分性理解為充分條件，必要性理解為必要條件，學(xué)生答題時(shí)往往混淆二者的關(guān)系．判斷題目可以常用轉(zhuǎn)化思想、反例、特殊值等方法解答即可．判斷充要條件的方法是：①若p?q為真命題且q?p為假命題，則命題p是命題q的充分不必要條件；②若p?q為假命題且q?p為真命題，則命題p是命題q的必要不充分條件；③若p?q為真命題且q?p為真命題，則命題p是命題q的充要條件；④若p?q為假命題且q?p為假命題，則命題p是命題q的既不充分也不必要條件．⑤判斷命題p與命題q所表示的范圍，再根據(jù)“誰大誰必要，誰小誰充分”的原則，判斷命題p與命題q的關(guān)系．【命題方向】充要條件是學(xué)生學(xué)習(xí)知識開始，或者沒有上學(xué)就能應(yīng)用的，只不過沒有明確定義，因而幾乎年年必考內(nèi)容，多以小題為主，有時(shí)也會以大題形式出現(xiàn)，中學(xué)階段的知識點(diǎn)都相關(guān)，所以命題的范圍特別廣．7．運(yùn)用基本不等式求最值【知識點(diǎn)的認(rèn)識】基本不等式主要應(yīng)用于求某些函數(shù)的最值及證明不等式．其可表述為：兩個(gè)正實(shí)數(shù)的幾何平均數(shù)小于或等于它們的算術(shù)平均數(shù)．公式為：≥（a≥0，b≥0），變形為ab≤（）2或者a+b≥2．【解題方法點(diǎn)撥】在運(yùn)用均值不等式求最值時(shí)，可以將代數(shù)式分解成可以應(yīng)用均值不等式的形式．例如，要求代數(shù)式x+的最小值，可以利用均值不等式從而得出最小值為2，并且在x＝1時(shí)取到最小值．需要注意的是，運(yùn)用不等式時(shí)要確保代入的數(shù)值符合不等式的適用范圍，并進(jìn)行必要的等號條件驗(yàn)證．【命題方向】均值不等式求最值的命題方向包括代數(shù)表達(dá)式的最值求解、幾何圖形的最優(yōu)設(shè)計(jì)等．例如，求解一個(gè)代數(shù)式的最小值，或設(shè)計(jì)一個(gè)幾何圖形使其面積最大．這類題型要求學(xué)生能夠靈活運(yùn)用均值不等式進(jìn)行最值求解，并能正確代入和計(jì)算．已知正數(shù)a，b滿足a+b＝1，則的最大值是_____．解：因?yàn)檎龜?shù)a，b滿足a+b＝1，所以a+1+b+1＝3，則＝，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝時(shí)取等號．故答案為：．8．二次函數(shù)的性質(zhì)與圖象【知識點(diǎn)的認(rèn)識】二次函數(shù)相對于一次函數(shù)而言，顧名思義就知道它的次數(shù)為二次，且僅有一個(gè)自變量，因變量隨著自變量的變化而變化．它的一般表達(dá)式為：y＝ax2+bx+c（a≠0）【解題方法點(diǎn)撥】二次函數(shù)是一個(gè)很重要的知識點(diǎn)，不管在前面的選擇題填空題還是解析幾何里面，或是代數(shù)綜合體都有可能出題，其性質(zhì)主要有初中學(xué)的開口方向、對稱性、最值、幾個(gè)根的判定、韋達(dá)定理以及高中學(xué)的拋物線的焦點(diǎn)、準(zhǔn)線和曲線的平移．這里面略談一下他的一些性質(zhì)．①開口、對稱軸、最值與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)，當(dāng)a＞0（＜0）時(shí)，圖象開口向上（向下）；對稱軸x＝﹣；最值為：f（﹣）；判別式△＝b2﹣4ac，當(dāng)△＝0時(shí)，函數(shù)與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)；△＞0時(shí)，與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)△＜0時(shí)無交點(diǎn)．②根與系數(shù)的關(guān)系．若△≥0，且x1、x2為方程y＝ax2+bx+c的兩根，則有x1+x2＝﹣，x1?x2＝；③二次函數(shù)其實(shí)也就是拋物線，所以x2＝2py的焦點(diǎn)為（0，），準(zhǔn)線方程為y＝﹣，含義為拋物線上的點(diǎn)到到焦點(diǎn)的距離等于到準(zhǔn)線的距離．④平移：當(dāng)y＝a（x+b）2+c向右平移一個(gè)單位時(shí)，函數(shù)變成y＝a（x﹣1+b）2+c；【命題方向】熟悉二次函數(shù)的性質(zhì)，會畫出拋物線的準(zhǔn)確形狀，特別是注意拋物線焦點(diǎn)和準(zhǔn)線的關(guān)系，拋物線最值得取得，這也是一個(gè)?？键c(diǎn)．9．二次函數(shù)的值域【知識點(diǎn)的認(rèn)識】二次函數(shù)相對于一次函數(shù)而言，顧名思義就知道它的次數(shù)為二次，且僅有一個(gè)自變量，因變量隨著自變量的變化而變化．它的一般表達(dá)式為：y＝ax2+bx+c（a≠0）【解題方法點(diǎn)撥】二次函數(shù)是一個(gè)很重要的知識點(diǎn)，不管在前面的選擇題填空題還是解析幾何里面，或是代數(shù)綜合體都有可能出題，其性質(zhì)主要有初中學(xué)的開口方向、對稱性、最值、幾個(gè)根的判定、韋達(dá)定理以及高中學(xué)的拋物線的焦點(diǎn)、準(zhǔn)線和曲線的平移．﹣確定二次函數(shù)的開口方向（通過a的正負(fù)判斷）．﹣計(jì)算頂點(diǎn)x坐標(biāo)，．﹣計(jì)算頂點(diǎn)處的函數(shù)值．﹣根據(jù)開口方向確定值域范圍．【命題方向】主要考查求二次函數(shù)的值域，涉及開口方向、頂點(diǎn)的計(jì)算及實(shí)際應(yīng)用問題．函數(shù)f（x）＝x2+x﹣2（x∈[0，2]）的值域是_____．解：函數(shù)f（x）＝x2+x﹣2的對稱軸為，故函數(shù)f（x）＝x2+x﹣2在[0，2]上單調(diào)遞增，又f（0）＝﹣2，f（2）＝4，所以函數(shù)f（x）＝x2+x﹣2（x∈[0，2]）的值域是[﹣2，4]．10．二次函數(shù)的最值【知識點(diǎn)的認(rèn)識】二次函數(shù)相對于一次函數(shù)而言，顧名思義就知道它的次數(shù)為二次，且僅有一個(gè)自變量，因變量隨著自變量的變化而變化．它的一般表達(dá)式為：y＝ax2+bx+c（a≠0）【解題方法點(diǎn)撥】二次函數(shù)是一個(gè)很重要的知識點(diǎn)，不管在前面的選擇題填空題還是解析幾何里面，或是代數(shù)綜合體都有可能出題，其性質(zhì)主要有初中學(xué)的開口方向、對稱性、最值、幾個(gè)根的判定、韋達(dá)定理以及高中學(xué)的拋物線的焦點(diǎn)、準(zhǔn)線和曲線的平移．二次函數(shù)的最值出現(xiàn)在頂點(diǎn)處．對于f（x）＝ax2+bx+c，最值為，根據(jù)a的正負(fù)判斷最值類型．﹣計(jì)算頂點(diǎn)x坐標(biāo)．﹣計(jì)算頂點(diǎn)處的函數(shù)值．﹣根據(jù)a的正負(fù)判斷最值類型（最大值或最小值）．【命題方向】主要考查二次函數(shù)最值的計(jì)算與應(yīng)用題．設(shè)a為實(shí)數(shù)，若函數(shù)y＝﹣x2﹣2x+3在區(qū)間[a，2]上的最大值為，則a的值為_____．解：函數(shù)y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，對稱軸為x＝﹣1，當(dāng)a≤﹣1時(shí)，則x＝﹣1時(shí)，函數(shù)取得最大值為4，不滿足題意；當(dāng)﹣1＜a≤2時(shí)，則x＝a時(shí)，函數(shù)y＝﹣x2﹣2x+3在區(qū)間[a，2]上的最大值為，即﹣a2﹣2a+3＝，解得a＝﹣或a＝﹣（舍），綜上，a的值為﹣．故選：C．11．二次函數(shù)的應(yīng)用【知識點(diǎn)的認(rèn)識】二次函數(shù)相對于一次函數(shù)而言，顧名思義就知道它的次數(shù)為二次，且僅有一個(gè)自變量，因變量隨著自變量的變化而變化．它的一般表達(dá)式為：y＝ax2+bx+c（a≠0）【解題方法點(diǎn)撥】二次函數(shù)是一個(gè)很重要的知識點(diǎn)，不管在前面的選擇題填空題還是解析幾何里面，或是代數(shù)綜合體都有可能出題，其性質(zhì)主要有初中學(xué)的開口方向、對稱性、最值、幾個(gè)根的判定、韋達(dá)定理以及高中學(xué)的拋物線的焦點(diǎn)、準(zhǔn)線和曲線的平移．﹣分析實(shí)際問題，抽象出二次函數(shù)模型．﹣確定二次函數(shù)的解析式，結(jié)合實(shí)際情況求解相關(guān)參數(shù)．﹣運(yùn)用二次函數(shù)性質(zhì)求解實(shí)際問題，如最值、單調(diào)性等．【命題方向】常見的應(yīng)用題包括拋物線軌跡問題、工程優(yōu)化設(shè)計(jì)問題等，考查學(xué)生將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型并求解的能力．2016年，某廠計(jì)劃生產(chǎn)25噸至45噸的某種產(chǎn)品，已知生產(chǎn)該產(chǎn)品的總成本y（萬元）與總產(chǎn)量x（噸）之間的關(guān)系可表示為．若該產(chǎn)品的出廠價(jià)為每噸6萬元，求該廠2016年獲得利潤的最大值．解：設(shè)利潤為g（x），則，當(dāng)x＝40時(shí)，g（x）max＝70萬元；12．一元二次不等式及其應(yīng)用【知識點(diǎn)的認(rèn)識】含有一個(gè)未知數(shù)且未知數(shù)的最高次數(shù)為2的不等式叫做一元二次不等式．它的一般形式是ax2+bx+c＞0或ax2+bx+c＜0（a不等于0）其中ax2+bx+c是實(shí)數(shù)域內(nèi)的二次三項(xiàng)式．特征當(dāng)△＝b2﹣4ac＞0時(shí)，一元二次方程ax2+bx+c＝0有兩個(gè)實(shí)根，那么ax2+bx+c可寫成a（x﹣x1）（x﹣x2）當(dāng)△＝b2﹣4ac＝0時(shí)，一元二次方程ax2+bx+c＝0僅有一個(gè)實(shí)根，那么ax2+bx+c可寫成a（x﹣x1）2．當(dāng)△＝b2﹣4ac＜0時(shí)．一元二次方程ax2+bx+c＝0沒有實(shí)根，那么ax2+bx+c與x軸沒有交點(diǎn)．【解題方法點(diǎn)撥】例1：一元二次不等式x2＜x+6的解集為．解：原不等式可變形為（x﹣3）（x+2）＜0所以，﹣2＜x＜3故答案為：（﹣2，3）．這個(gè)題的特點(diǎn)是首先它把題干變了形，在這里我們必須要移項(xiàng)寫成ax2+bx+c＜0的形式；然后應(yīng)用了特征當(dāng)中的第一條，把它寫成兩個(gè)一元一次函數(shù)的乘積，所用的方法是十字相乘法；最后結(jié)合其圖象便可求解．【命題方向】①一元二次不等式恒成立問題：一元二次不等式ax2+bx+c＞0的解集是R的等價(jià)條件是：a＞0且△＜0；一元二次不等式ax2+bx+c＜0的解集是R的等價(jià)條件是：a＜0且△＜0．②分式不等式問題：＞0?f（x）?g（x）＞0；＜0?f（x）?g（x）＜0；≥0?；≤0?．13．由一元二次不等式的解求參數(shù)【知識點(diǎn)的認(rèn)識】含有一個(gè)未知數(shù)且未知數(shù)的最高次數(shù)為2的不等式叫做一元二次不等式．它的一般形式是ax2+bx+c＞0或ax2+bx+c＜0（a不等于0）其中ax2+bx+c是實(shí)數(shù)域內(nèi)的二次三項(xiàng)式．特征當(dāng)△＝b2﹣4ac＞0時(shí)，一元二次方程ax2+bx+c＝0有兩個(gè)實(shí)根，那么ax2+bx+c可寫成a（x﹣x1）（x﹣x2）當(dāng)△＝b2﹣4ac＝0時(shí)，一元二次方程ax2+bx+c＝0僅有一個(gè)實(shí)根，那么ax2+bx+c可寫成a（x﹣x1）2．當(dāng)△＝b2﹣4ac＜0時(shí)．一元二次方程ax2+bx+c＝0沒有實(shí)根，那么ax2+bx+c與x軸沒有交點(diǎn)．【解題方法點(diǎn)撥】例1：一元二次不等式x2＜x+6的解集為．解：原不等式可變形為（x﹣3）（x+2）＜0所以，﹣2＜x＜3故答案為：（﹣2，3）．這個(gè)題的特點(diǎn)是首先它把題干變了形，在這里我們必須要移項(xiàng)寫成ax2+bx+c＜0的形式；然后應(yīng)用了特征當(dāng)中的第一條，把它寫成兩個(gè)一元一次函數(shù)的乘積，所用的方法是十字相乘法；最后結(jié)合其圖象便可求解．【命題方向】一元二次不等式ax2+bx+c＞0，﹣設(shè)定一元二次不等式的解，并根據(jù)解的形式建立不等式．﹣求出根，結(jié)合數(shù)軸分析區(qū)間．﹣通過區(qū)間分析，確定參數(shù)的取值范圍．設(shè)a，b，c為常數(shù)，若不等式ax2+bx+c＞0的解集是（﹣3，2），則不等式ax2﹣bx+c＜0的解集是（）解：不等式ax2+bx+c＞0的解集是（﹣3，2），可得﹣3，2是方程ax2+bx+c＝0的兩根，且a＜0，則，解得＝1，＝﹣6，不等式ax2﹣bx+c＜0整理可得x2﹣x+＞0，即x2﹣x﹣6＞0，解得x＞3或x＜﹣2，所以不等式ax2﹣bx+c＜0的解集為（3，+∞）∪（﹣∞，﹣2）．14．一元二次方程的根的分布與系數(shù)的關(guān)系【知識點(diǎn)的認(rèn)識】一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系其實(shí)可以用一個(gè)式子來表達(dá)，即當(dāng)ax2+bx+c＝0（a≠0）有解時(shí)，不妨設(shè)它的解為x1，x2，那么這個(gè)方程可以寫成ax2﹣a（x1+x2）x+ax1?x2＝0．即x2﹣（x1+x2）x+x1?x2＝0．它表示根與系數(shù)有如下關(guān)系：x1+x2＝﹣，x1?x2＝．【解題方法點(diǎn)撥】例：利用根與系數(shù)的關(guān)系求出二次項(xiàng)系數(shù)為1的一元二次方程，使它的兩根分別是方程x2﹣3x+1＝0兩根的平方．解：方程x2﹣3x+1＝0中，∵a＝1，b＝﹣3，c＝1，∴△＝9﹣4＝5＞0，即方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，設(shè)方程兩根分別為x1，x2，∴x1+x2＝3，x1x2＝1，∴（x1+x2）2＝++2x1x2，即9＝++2，∴+＝7，又＝（x1x2）2＝1，且所求方程二次項(xiàng)系數(shù)為1，則所求方程為x2﹣7x+1＝0．這個(gè)題基本上是套用定理，唯一注意的是x1+x2與x1?x2可以變換，不管是變成加還是減還是倒數(shù)，都可以應(yīng)用上面的公式（韋達(dá)定理）．【命題方向】首先申明，這是必考點(diǎn)．一般都是在解析幾何里面，通過聯(lián)立方程，求出兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)與系數(shù)的關(guān)系，然后通過這個(gè)關(guān)系去求距離，或者斜率的積等等．所以在復(fù)習(xí)的時(shí)候要結(jié)合解析幾何一同復(fù)習(xí)效果更佳．15．簡單線性規(guī)劃【知識點(diǎn)的認(rèn)識】線性規(guī)劃主要用于解決生活、生產(chǎn)中的資源利用、人力調(diào)配、生產(chǎn)安排等問題，它是一種重要的數(shù)學(xué)模型．簡單的線性規(guī)劃指的是目標(biāo)函數(shù)含兩個(gè)自變量的線性規(guī)劃，其最優(yōu)解可以用數(shù)形結(jié)合方法求出．我們高中階段接觸的主要是由三個(gè)二元一次不等式組限制的可行域，然后在這個(gè)可行域上面求某函數(shù)的最值或者是斜率的最值．【解題方法點(diǎn)撥】1．畫出平面區(qū)域．避免失誤的重要方法就是首先使二元一次不等式標(biāo)準(zhǔn)化．2．在通過求直線的截距的最值間接求出z的最值時(shí)，要注意：當(dāng)b＞0時(shí)，截距取最大值時(shí)，z也取最大值；截距取最小值時(shí)，z也取最小值；當(dāng)b＜0時(shí)，截距取最大值時(shí)，z取最小值；截距取最小值時(shí)，z取最大值．【命題方向】例：若目標(biāo)函數(shù)z＝x+y中變量x，y滿足約束條件．（1）試確定可行域的面積；（2）求出該線性規(guī)劃問題中所有的最優(yōu)解．解：（1）作出可行域如圖：對應(yīng)得區(qū)域?yàn)橹苯侨切蜛BC，其中B（4，3），A（2，3），C（4，2），則可行域的面積S＝＝．（2）由z＝x+y，得y＝﹣x+z，則平移直線y＝﹣x+z，則由圖象可知當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)A（2，3）時(shí)，直線y＝﹣x+z得截距最小，此時(shí)z最小為z＝2+3＝5，當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)B（4，3）時(shí)，直線y＝﹣x+z得截距最大，此時(shí)z最大為z＝4+3＝7，故該線性規(guī)劃問題中所有的最優(yōu)解為（4，3），（2，3）這是高中階段接觸最多的關(guān)于線性規(guī)劃的題型，解這種題一律先畫圖，把每條直線在同一個(gè)坐標(biāo)系中表示出來，然后確定所表示的可行域，也即范圍；最后通過目標(biāo)函數(shù)的平移去找到它的最值．題型一：二元一次不等式（組）表示的平面區(qū)域典例1：若不等式組所表示的平面區(qū)域被直線y＝kx+分為面積相等的兩部分，則k的值是（）A．B．C．D．分析：畫出平面區(qū)域，顯然點(diǎn)（0，）在已知的平面區(qū)域內(nèi)，直線系過定點(diǎn)（0，），結(jié)合圖形尋找直線平分平面區(qū)域面積的條件即可．解答：不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示．由于直線y＝kx+過定點(diǎn)（0，）．因此只有直線過AB中點(diǎn)時(shí)，直線y＝kx+能平分平面區(qū)域．因?yàn)锳（1，1），B（0，4），所以AB中點(diǎn)D（，）．當(dāng)y＝kx+過點(diǎn)（，）時(shí)，＝+，所以k＝．答案：A．點(diǎn)評：二元一次不等式（組）表示平面區(qū)域的判斷方法：直線定界，測試點(diǎn)定域．注意不等式中不等號有無等號，無等號時(shí)直線畫成虛線，有等號時(shí)直線畫成實(shí)線．測試點(diǎn)可以選一個(gè)，也可以選多個(gè)，若直線不過原點(diǎn)，則測試點(diǎn)常選取原點(diǎn)．題型二：求線性目標(biāo)函數(shù)的最值典例2：設(shè)x，y滿足約束條件：，求z＝x+y的最大值與最小值．分析：作可行域后，通過平移直線l0：x+y＝0來尋找最優(yōu)解，求出目標(biāo)函數(shù)的最值．解答：先作可行域，如圖所示中△ABC的區(qū)域，且求得A（5，2）、B（1，1）、C（1，），作出直線l0：x+y＝0，再將直線l0平移，當(dāng)l0的平行線l1過點(diǎn)B時(shí)，可使z＝x+y達(dá)到最小值；當(dāng)l0的平行線l2過點(diǎn)A時(shí)，可使z＝x+y達(dá)到最大值．故zmin＝2，zmax＝7．點(diǎn)評：（1）線性目標(biāo)函數(shù)的最大（?。┲狄话阍诳尚杏虻捻旤c(diǎn)處取得，也可能在邊界處取得．（2）求線性目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解，要注意分析線性目標(biāo)函數(shù)所表示的幾何意義，明確和直線的縱截距的關(guān)系．題型三：實(shí)際生活中的線性規(guī)劃問題典例3：某農(nóng)戶計(jì)劃種植黃瓜和韭菜，種植面積不超過50畝，投入資金不超過54萬元，假設(shè)種植黃瓜和韭菜的產(chǎn)量、成本和售價(jià)如下表：年產(chǎn)量/畝年種植成本/畝每噸售價(jià)黃瓜4噸1.2萬元0.55萬元韭菜6噸0.