2025年菁優(yōu)高考數(shù)學(xué)解密之計(jì)數(shù)原理

Page2025年菁優(yōu)高考數(shù)學(xué)解密之計(jì)數(shù)原理一．選擇題（共10小題）1．（2024?香河縣校級(jí)模擬）的展開式中只有第四項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則展開式中的常數(shù)項(xiàng)為A． B． C．20 D．1602．（2024?李滄區(qū)校級(jí)二模）2024年1月1日，第五次全國經(jīng)濟(jì)普查正式啟動(dòng)．甲、乙、丙、丁、戊5名普查員分別去城東、城南、城西、城北四個(gè)小區(qū)進(jìn)行數(shù)據(jù)采集，每個(gè)小區(qū)至少去一名普查員，若甲不去城東，則不同的安排方法共有A．36種 B．60種 C．96種 D．180種3．（2024?市中區(qū)校級(jí)模擬）若展開式中只有第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則A．11 B．10 C．9 D．84．（2024?日照一模）今年賀歲片，《第二十條》、《熱辣滾燙》、《飛馳人生2》引爆了電影市場，小明和他的同學(xué)一行四人決定去看這三部電影，則恰有兩人看同部影片的選擇共有A．9種 B．36種 C．38種 D．45種5．（2024?四川模擬）2023世界科幻大會(huì)在成都舉辦，主題場館以自由、擴(kuò)散、無界的未來建筑形象詮釋科學(xué)與科幻主題，提取古蜀文化中神秘“古蜀之眼（黃金面具）”融入“星云”屋頂造型，建筑首層圍繞共享中庭設(shè)置了劇場、主題展區(qū)及博物館三大主題空間．現(xiàn)將4名志愿者安排到這三個(gè)主題空間進(jìn)行志愿服務(wù)，則每個(gè)主題空間都有志愿者的不同的安排方式有A．6種 B．18種 C．24種 D．36種6．（2024?渾南區(qū)校級(jí)模擬）將5名志愿者分配到三個(gè)社區(qū)協(xié)助開展活動(dòng)，每個(gè)社區(qū)至少1名，則不同的分配方法數(shù)是A．300 B．240 C．150 D．507．（2024?德陽模擬）在的展開式中，含項(xiàng)的系數(shù)為A．70 B．60 C．55 D．508．（2024?廣東模擬）的展開式中的系數(shù)為A．80 B． C．40 D．9．（2024?紅谷灘區(qū)校級(jí)模擬）由未來科學(xué)大獎(jiǎng)聯(lián)合中國科技館共同主辦的“同上一堂科學(xué)課”——科學(xué)點(diǎn)燃青春：未來科學(xué)大獎(jiǎng)獲獎(jiǎng)?wù)邔?duì)話青少年活動(dòng)于2023年9月8日在全國各地以線上線下結(jié)合的方式舉行．現(xiàn)有某市組織5名獲獎(jiǎng)?wù)叩疆?dāng)?shù)厝齻€(gè)不同的會(huì)場與學(xué)生進(jìn)行對(duì)話活動(dòng)，要求每個(gè)會(huì)場至少派一名獲獎(jiǎng)?wù)?，每名獲獎(jiǎng)?wù)咧蝗ヒ粋€(gè)會(huì)場，則不同的派出方法有A．60種 B．120種 C．150種 D．240種10．（2024?船營區(qū)校級(jí)一模）甲、乙、丙、丁、戊共5名同學(xué)進(jìn)行演講比賽，決出第1名到第5名的名次．已知甲和乙都不是第1名，且丙和丁的名次相鄰，則5人的名次排列可能有種不同的情況．A．18 B．24 C．36 D．48二．多選題（共5小題）11．（2024?城區(qū)校級(jí)模擬）若，其中，，，，為實(shí)數(shù)，則A． B． C． D．12．（2024?長沙三模）瑞士數(shù)學(xué)家于17世紀(jì)提出如下不等式：，有，請運(yùn)用以上知識(shí)解決如下問題：若，，，則以下不等式正確的是A． B． C． D．13．（2024?懷仁市校級(jí)四模）下列等式中正確的是A． B． C． D．14．（2024?江蘇模擬）在二項(xiàng)式的展開式中，下列說法正確的是A．常數(shù)項(xiàng)是 B．各項(xiàng)的系數(shù)和是64 C．第4項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)最大 D．奇數(shù)項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)和為15．（2024?越秀區(qū)校級(jí)一模）帶有編號(hào)1、2、3、4、5的五個(gè)球，則A．全部投入4個(gè)不同的盒子里，共有種放法 B．放進(jìn)不同的4個(gè)盒子里，每盒至少一個(gè)，共有4種放法 C．將其中的4個(gè)球投入4個(gè)盒子里的一個(gè)（另一個(gè)球不投入），共有20種放法 D．全部投入3個(gè)不同的盒子里，沒有空盒，共有140種不同的放法三．填空題（共5小題）16．（2024?錦州模擬）已知，，，，2，3，，，，，為，，，中不同數(shù)字的種類，如，1，4，，，4，4，，，2，2，與，2，1，視為不同的排列，則，，，的不同排列有個(gè)（用數(shù)字作答）；所有的排列所得，，，的平均值為．17．（2024?黃浦區(qū)校級(jí)三模）用這九個(gè)數(shù)字組成的無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)中，各個(gè)數(shù)位上數(shù)字和為偶數(shù)的奇數(shù)共有個(gè)．18．（2024?射洪市校級(jí)模擬）從5名男生和6名女生中，選出3名代表，要求3名代表中既有男生又有女生的選法有種．19．（2024?濮陽模擬）第一屆全國學(xué)生（青年）運(yùn)動(dòng)會(huì)開幕式于2023年11月5日在廣西舉行，舉辦本屆學(xué)青會(huì)是推動(dòng)新時(shí)代青少年和學(xué)校體育改革發(fā)展，增強(qiáng)青少年和學(xué)生體質(zhì)、促進(jìn)競技體育后備人才培養(yǎng)的重要措施．為了加強(qiáng)宣傳力度，某體育協(xié)會(huì)從甲、乙等6人中選派4人到，，，四個(gè)不同的區(qū)域參加宣傳活動(dòng)，每人去一個(gè)區(qū)域，其中甲、乙至少有一人參加且甲不去區(qū)域的選派方法共有種（用數(shù)字作答）．20．（2024?閔行區(qū)校級(jí)二模）如圖，設(shè)點(diǎn)為正四面體表面（含棱）上與頂點(diǎn)不重合的一點(diǎn)，由點(diǎn)到四個(gè)頂點(diǎn)的距離組成的集合記為，如果集合中有且只有2個(gè)元素，那么符合條件的點(diǎn)有個(gè)．四．解答題（共5小題）21．（2024?浙江模擬）最近的一次數(shù)學(xué)競賽共6道試題，每題答對(duì)得7分，答錯(cuò)（或不答）得0分．賽后某參賽代表隊(duì)獲團(tuán)體總分161分，且統(tǒng)計(jì)分?jǐn)?shù)時(shí)發(fā)現(xiàn)：該隊(duì)任兩名選手至多答對(duì)兩道相同的題目，沒有三名選手都答對(duì)兩道相同的題目．試問該隊(duì)選手至少有多少人？22．（2024?黔南州二模）1799年，哥廷根大學(xué)的高斯在其博士論文中證明了如下定理：任何復(fù)系數(shù)一元次多項(xiàng)式方程在復(fù)數(shù)域上至少有一根．此定理被稱為代數(shù)基本定理，在代數(shù)乃至整個(gè)數(shù)學(xué)中起著基礎(chǔ)作用．由此定理還可以推出以下重要結(jié)論：次復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式方程在復(fù)數(shù)域內(nèi)有且只有個(gè)根（重根按重?cái)?shù)計(jì)算）．對(duì)于次復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式，其中，，，，若方程有個(gè)復(fù)根，，，，則有如下的高階韋達(dá)定理：（1）在復(fù)數(shù)域內(nèi)解方程；（2）若三次方程的三個(gè)根分別是，，為虛數(shù)單位），求，，的值；（3）在的多項(xiàng)式中，已知，，，為非零實(shí)數(shù)，且方程的根恰好全是正實(shí)數(shù)，求出該方程的所有根（用含的式子表示）．23．（2022?蘭州一模）（1）學(xué)校開設(shè)了7門選修課，要求每個(gè)學(xué)生從中選學(xué)4門，共有多少種不同的選法？（2）從參加羽毛球團(tuán)體比賽的6名運(yùn)動(dòng)員中選出3名，并按排定的順序出場比賽，有多少種不同的選法？24．（2020?宿城區(qū)校級(jí)模擬）已知為給定的正整數(shù)，設(shè)，．（1）若，求，的值：（2）若，的值．25．（2022?蘭州一模）已知二項(xiàng)式．（1）求展開式的第三項(xiàng)的系數(shù)；（2）求展開式的二項(xiàng)式系數(shù)之和．

2025年菁優(yōu)高考數(shù)學(xué)解密之計(jì)數(shù)原理參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題）1．（2024?香河縣校級(jí)模擬）的展開式中只有第四項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則展開式中的常數(shù)項(xiàng)為A． B． C．20 D．160【答案】【考點(diǎn)】二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)與項(xiàng)的系數(shù)【專題】數(shù)學(xué)運(yùn)算；二項(xiàng)式定理；轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法【分析】先求出的值，再結(jié)合二項(xiàng)式定理，即可求解．【解答】解：的展開式中只有第四項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則，的展開式的通項(xiàng)為，令，解得，故展開式中的常數(shù)項(xiàng)為．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查二項(xiàng)式定理，屬于基礎(chǔ)題．2．（2024?李滄區(qū)校級(jí)二模）2024年1月1日，第五次全國經(jīng)濟(jì)普查正式啟動(dòng)．甲、乙、丙、丁、戊5名普查員分別去城東、城南、城西、城北四個(gè)小區(qū)進(jìn)行數(shù)據(jù)采集，每個(gè)小區(qū)至少去一名普查員，若甲不去城東，則不同的安排方法共有A．36種 B．60種 C．96種 D．180種【答案】【考點(diǎn)】簡單組合問題【專題】轉(zhuǎn)化思想；計(jì)算題；排列組合；數(shù)學(xué)運(yùn)算；綜合法【分析】利用分步計(jì)數(shù)原理分兩步：①先安排甲，②再安排其它4名普查員，分為兩種情況：1、安排甲去的小區(qū)就甲一個(gè)人，2、安排甲去的小區(qū)有2人，由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案．【解答】解：①先安排甲，甲不去城東，有種，②安排其它4名普查員，分為兩種情況：1、安排甲去的小區(qū)就甲一個(gè)人，那其它4人按2，1，1分配，有種，2、安排甲去的小區(qū)有2人，則除甲以外4人全排即可，有種，所以一共有種．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查排列組合的應(yīng)用，涉及分步計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，屬于中檔題．3．（2024?市中區(qū)校級(jí)模擬）若展開式中只有第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則A．11 B．10 C．9 D．8【答案】【考點(diǎn)】二項(xiàng)式定理【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；二項(xiàng)式定理；數(shù)據(jù)分析【分析】由題意利用二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，求得的值．【解答】解：若展開式中只有第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大最大，則，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．4．（2024?日照一模）今年賀歲片，《第二十條》、《熱辣滾燙》、《飛馳人生2》引爆了電影市場，小明和他的同學(xué)一行四人決定去看這三部電影，則恰有兩人看同部影片的選擇共有A．9種 B．36種 C．38種 D．45種【答案】【考點(diǎn)】排列組合的綜合應(yīng)用【專題】對(duì)應(yīng)思想；分析法；排列組合；數(shù)學(xué)運(yùn)算【分析】先安排2人看同一部影片，再安排剩余2人，利用排列組合知識(shí)進(jìn)行求解．【解答】解：從4人中選擇2人看同一部影片，再從3部影片中選擇一部安排給這兩人觀看，剩余的2人，2部影片進(jìn)行全排列，故共有種情況．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了排列組合的問題，屬于基礎(chǔ)題．5．（2024?四川模擬）2023世界科幻大會(huì)在成都舉辦，主題場館以自由、擴(kuò)散、無界的未來建筑形象詮釋科學(xué)與科幻主題，提取古蜀文化中神秘“古蜀之眼（黃金面具）”融入“星云”屋頂造型，建筑首層圍繞共享中庭設(shè)置了劇場、主題展區(qū)及博物館三大主題空間．現(xiàn)將4名志愿者安排到這三個(gè)主題空間進(jìn)行志愿服務(wù)，則每個(gè)主題空間都有志愿者的不同的安排方式有A．6種 B．18種 C．24種 D．36種【答案】【考點(diǎn)】排列組合的綜合應(yīng)用【專題】對(duì)應(yīng)思想；分析法；排列組合；數(shù)學(xué)運(yùn)算【分析】根據(jù)排列組合的分組分配問題計(jì)算即可．【解答】解：首先將志愿者分成三組共有種，安排到三個(gè)主題空間有種，故不同的安排方式有種．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查排列組合的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．6．（2024?渾南區(qū)校級(jí)模擬）將5名志愿者分配到三個(gè)社區(qū)協(xié)助開展活動(dòng)，每個(gè)社區(qū)至少1名，則不同的分配方法數(shù)是A．300 B．240 C．150 D．50【答案】【考點(diǎn)】排列組合的綜合應(yīng)用【專題】綜合法；排列組合；數(shù)學(xué)運(yùn)算；整體思想【分析】由排列、組合及簡單計(jì)數(shù)問題，結(jié)合分類加法計(jì)數(shù)原理及分步乘法計(jì)數(shù)原理求解．【解答】解：先將5名志愿者分為3組，則有種分法，再將這3組分給三個(gè)社區(qū)，有種分法，則不同的分配方法數(shù)是．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了排列、組合及簡單計(jì)數(shù)問題，重點(diǎn)考查了分類加法計(jì)數(shù)原理及分步乘法計(jì)數(shù)原理，屬基礎(chǔ)題．7．（2024?德陽模擬）在的展開式中，含項(xiàng)的系數(shù)為A．70 B．60 C．55 D．50【考點(diǎn)】：二項(xiàng)式定理【專題】35：轉(zhuǎn)化思想；：轉(zhuǎn)化法；：二項(xiàng)式定理【分析】根據(jù)展開式的通項(xiàng)公式，即可得出的展開式中含項(xiàng)的系數(shù)．【解答】解：展開式的通項(xiàng)公式為，所以的展開式中，含項(xiàng)的系數(shù)為：．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，屬于基礎(chǔ)題．8．（2024?廣東模擬）的展開式中的系數(shù)為A．80 B． C．40 D．【答案】【考點(diǎn)】二項(xiàng)式定理【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；二項(xiàng)式定理；數(shù)學(xué)運(yùn)算【分析】由題意利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，求得展開式中的系數(shù)．【解答】解：的展開式的通項(xiàng)公式為，令，可得展開式中的系數(shù)為，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，屬于基礎(chǔ)題．9．（2024?紅谷灘區(qū)校級(jí)模擬）由未來科學(xué)大獎(jiǎng)聯(lián)合中國科技館共同主辦的“同上一堂科學(xué)課”——科學(xué)點(diǎn)燃青春：未來科學(xué)大獎(jiǎng)獲獎(jiǎng)?wù)邔?duì)話青少年活動(dòng)于2023年9月8日在全國各地以線上線下結(jié)合的方式舉行．現(xiàn)有某市組織5名獲獎(jiǎng)?wù)叩疆?dāng)?shù)厝齻€(gè)不同的會(huì)場與學(xué)生進(jìn)行對(duì)話活動(dòng)，要求每個(gè)會(huì)場至少派一名獲獎(jiǎng)?wù)?，每名獲獎(jiǎng)?wù)咧蝗ヒ粋€(gè)會(huì)場，則不同的派出方法有A．60種 B．120種 C．150種 D．240種【答案】【考點(diǎn)】排列組合的綜合應(yīng)用【專題】數(shù)學(xué)運(yùn)算；排列組合；整體思想；綜合法【分析】由排列、組合及簡單計(jì)數(shù)問題，結(jié)合分類加法計(jì)數(shù)原理求解．【解答】解：要求每個(gè)會(huì)場至少派一名獲獎(jiǎng)?wù)?，每名獲獎(jiǎng)?wù)咧蝗ヒ粋€(gè)會(huì)場，則不同的派出方法有種．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了排列、組合及簡單計(jì)數(shù)問題，重點(diǎn)考查了分類加法計(jì)數(shù)原理，屬中檔題．10．（2024?船營區(qū)校級(jí)一模）甲、乙、丙、丁、戊共5名同學(xué)進(jìn)行演講比賽，決出第1名到第5名的名次．已知甲和乙都不是第1名，且丙和丁的名次相鄰，則5人的名次排列可能有種不同的情況．A．18 B．24 C．36 D．48【答案】【考點(diǎn)】部分元素相鄰的排列問題【專題】計(jì)算題；方程思想；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；排列組合；運(yùn)算求解【分析】根據(jù)題意，將丙和丁看成一個(gè)整體，按丙和丁的位置分4種情況討論，由加法原理計(jì)算可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，將丙和丁看成一個(gè)整體，分4種情況分析：①丙和丁的整體分別為第1、2名，有種情況，②丙和丁的整體分別為第2、3名，第一名只能為戊，甲和乙分別為第4、5名，有種情況，③丙和丁的整體分別為第3、4名，第一名只能為戊，甲和乙分別為第2、5名，有種情況；④丙和丁的整體分別為第4、5名，第一名只能為戊，甲和乙分別為第2、3名，有種情況；則有種情況．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查排列組合的應(yīng)用，涉及分步、分類計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．二．多選題（共5小題）11．（2024?城區(qū)校級(jí)模擬）若，其中，，，，為實(shí)數(shù)，則A． B． C． D．【答案】【考點(diǎn)】二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)【專題】綜合法；數(shù)學(xué)運(yùn)算；二項(xiàng)式定理；邏輯推理；轉(zhuǎn)化思想；計(jì)算題【分析】根據(jù)題意，令，則原式轉(zhuǎn)化為，結(jié)合賦值法，以及二項(xiàng)展開式的性質(zhì)，逐項(xiàng)判定，即可求解．【解答】解：由，令，則原式轉(zhuǎn)化為，對(duì)于中，令，可得，所以正確；對(duì)于中，由二項(xiàng)式定理的展開式，可得，所以不正確；對(duì)于和中，令，可得，令，得，所以，所以，所以、正確．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)：二項(xiàng)式的展開式，組合數(shù)，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于中檔題．12．（2024?長沙三模）瑞士數(shù)學(xué)家于17世紀(jì)提出如下不等式：，有，請運(yùn)用以上知識(shí)解決如下問題：若，，，則以下不等式正確的是A． B． C． D．【答案】【考點(diǎn)】二項(xiàng)式定理【專題】轉(zhuǎn)化思想；構(gòu)造法；定義法；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；邏輯推理；數(shù)學(xué)運(yùn)算【分析】選項(xiàng)中，根據(jù)題意得出，，求和即可；選項(xiàng)中，根據(jù)題意得出，，根據(jù)同向不等式相加，求解即可；選項(xiàng)、，不等式，可化為，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，求解即可．【解答】解：對(duì)于，因?yàn)椋?，則；對(duì)于，因?yàn)?，同理，則；對(duì)于，要證明，也即證明，只要證明時(shí)，在區(qū)間，上單調(diào)遞減．求導(dǎo)數(shù)，得，由，得，且，結(jié)合冪函數(shù)的性質(zhì)得：當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)遞減，即時(shí)，函數(shù)取得最大值，從而只需證明，變換得：，因?yàn)?，故得證；綜上，若，不等式成立，選項(xiàng)正確，錯(cuò)誤．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了函數(shù)與不等式的應(yīng)用問題，也考查了推理與運(yùn)算能力，是難題．13．（2024?懷仁市校級(jí)四模）下列等式中正確的是A． B． C． D．【答案】【考點(diǎn)】組合及組合數(shù)公式【專題】數(shù)學(xué)運(yùn)算；綜合法；轉(zhuǎn)化思想；計(jì)算題；排列組合；二項(xiàng)式定理；邏輯推理【分析】直接利用二項(xiàng)式的展開式以及組合數(shù)的變換求出結(jié)果．【解答】解：對(duì)于，故錯(cuò)誤；對(duì)于，故正確；對(duì)于，故，故正確；對(duì)于，對(duì)于，其含有的項(xiàng)的系數(shù)為，對(duì)于，要得到含有要從第一個(gè)含有的項(xiàng)的系數(shù)，需要從第一個(gè)式子中取出個(gè)，再從第二個(gè)式子中取出個(gè)，對(duì)應(yīng)的系數(shù)為，故正確．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)：二項(xiàng)式的展開式，組合數(shù)，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于中檔題．14．（2024?江蘇模擬）在二項(xiàng)式的展開式中，下列說法正確的是A．常數(shù)項(xiàng)是 B．各項(xiàng)的系數(shù)和是64 C．第4項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)最大 D．奇數(shù)項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)和為【答案】【考點(diǎn)】二項(xiàng)式定理【專題】數(shù)學(xué)運(yùn)算；轉(zhuǎn)化法；二項(xiàng)式定理；轉(zhuǎn)化思想【分析】利用二項(xiàng)式展開式通項(xiàng)可判斷選項(xiàng)；利用各項(xiàng)系數(shù)和可判斷選項(xiàng)；利用二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)可判斷選項(xiàng)；求出奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和可判斷選項(xiàng)．【解答】解：二項(xiàng)式的展開式通項(xiàng)為．令，可得，故常數(shù)項(xiàng)是，正確；各項(xiàng)的系數(shù)和是，錯(cuò)誤；二項(xiàng)式展開式共7項(xiàng)，故第4項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)最大，正確；奇數(shù)項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)和為，錯(cuò)誤．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查二項(xiàng)式定理，屬于基礎(chǔ)題．15．（2024?越秀區(qū)校級(jí)一模）帶有編號(hào)1、2、3、4、5的五個(gè)球，則A．全部投入4個(gè)不同的盒子里，共有種放法 B．放進(jìn)不同的4個(gè)盒子里，每盒至少一個(gè)，共有4種放法 C．將其中的4個(gè)球投入4個(gè)盒子里的一個(gè)（另一個(gè)球不投入），共有20種放法 D．全部投入3個(gè)不同的盒子里，沒有空盒，共有140種不同的放法【答案】【考點(diǎn)】排列組合的綜合應(yīng)用【專題】排列組合；數(shù)學(xué)運(yùn)算；定義法；對(duì)應(yīng)思想【分析】利用分步計(jì)數(shù)原理直接判斷選項(xiàng)，利用組合、排列的結(jié)合判斷選項(xiàng)．【解答】解：對(duì)于：由分步計(jì)數(shù)原理，五個(gè)球全部投入4個(gè)不同的盒子里共有種放法，故正確；對(duì)于：由排列數(shù)公式，五個(gè)不同的球放進(jìn)不同的4個(gè)盒子里，每盒至少一個(gè)，共有種放法，故錯(cuò)誤；對(duì)于：將其中的4個(gè)球投入一個(gè)盒子里共有種放法，故正確；對(duì)于：全部投入3個(gè)不同的盒子里，沒有空盒，共有：種不同的放法，故錯(cuò)誤．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查分步計(jì)數(shù)原理以及組合、排列相關(guān)知識(shí)，屬于中檔題．三．填空題（共5小題）16．（2024?錦州模擬）已知，，，，2，3，，，，，為，，，中不同數(shù)字的種類，如，1，4，，，4，4，，，2，2，與，2，1，視為不同的排列，則，，，的不同排列有256個(gè)（用數(shù)字作答）；所有的排列所得，，，的平均值為．【答案】256；．【考點(diǎn)】排列組合的綜合應(yīng)用；用樣本估計(jì)總體的集中趨勢參數(shù)【專題】數(shù)學(xué)運(yùn)算；整體思想；綜合法；排列組合【分析】本題首先可以確定，，，的所有可能取值分別為1、2、3、4，然后分別計(jì)算出每一種取值所對(duì)應(yīng)的排列個(gè)數(shù)，進(jìn)而得到每一種取值所對(duì)應(yīng)的概率，最后根據(jù)每一種取值所對(duì)應(yīng)的概率即可計(jì)算出，，，的平均值．【解答】解：由題意可知，，，，的不同排列有個(gè)，當(dāng)，，，時(shí)，；當(dāng)，，，時(shí)，，當(dāng)，，時(shí)，；當(dāng)，，，時(shí)，，綜上所述，所有的256個(gè)，的排列所得的，，，的平均值為：．故答案為：256；．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了排列組合知識(shí)，考查了平均值的計(jì)算，屬于中檔題．17．（2024?黃浦區(qū)校級(jí)三模）用這九個(gè)數(shù)字組成的無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)中，各個(gè)數(shù)位上數(shù)字和為偶數(shù)的奇數(shù)共有840個(gè)．【考點(diǎn)】數(shù)字問題【專題】整體思想；綜合法；排列組合；數(shù)學(xué)運(yùn)算【分析】由排列、組合及簡單計(jì)數(shù)問題，結(jié)合分步乘法計(jì)數(shù)原理及分類加法計(jì)數(shù)原理求解．【解答】解：用這九個(gè)數(shù)字組成的無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)中，各個(gè)數(shù)位上數(shù)字和為偶數(shù)的奇數(shù)可分為2類：①當(dāng)數(shù)位上數(shù)字為奇數(shù)且個(gè)數(shù)為2時(shí)，則有個(gè)；②當(dāng)數(shù)位上數(shù)字為奇數(shù)且個(gè)數(shù)為4時(shí)，則有個(gè)，則各個(gè)數(shù)位上數(shù)字和為偶數(shù)的奇數(shù)共有個(gè)．故答案為：840．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了排列、組合及簡單計(jì)數(shù)問題，重點(diǎn)考查了分步乘法計(jì)數(shù)原理及分類加法計(jì)數(shù)原理，屬中檔題．18．（2024?射洪市校級(jí)模擬）從5名男生和6名女生中，選出3名代表，要求3名代表中既有男生又有女生的選法有135種．【答案】135．【考點(diǎn)】從不同類別人員物品中進(jìn)行挑選的組合問題【專題】數(shù)學(xué)運(yùn)算；綜合法；排列組合；整體思想【分析】根據(jù)條件，利用分類、分步計(jì)數(shù)原理及組合，即可求出結(jié)果．【解答】解：3名代表中有1名男生，2名女生的選法有，3名代表中有2名男生，1名女生的選法有，所以3名代表中既有男生又有女生的選法有．故答案為：135．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了排列、組合及簡單計(jì)數(shù)問題，重點(diǎn)考查了分類加法計(jì)數(shù)原理，屬基礎(chǔ)題．19．（2024?濮陽模擬）第一屆全國學(xué)生（青年）運(yùn)動(dòng)會(huì)開幕式于2023年11月5日在廣西舉行，舉辦本屆學(xué)青會(huì)是推動(dòng)新時(shí)代青少年和學(xué)校體育改革發(fā)展，增強(qiáng)青少年和學(xué)生體質(zhì)、促進(jìn)競技體育后備人才培養(yǎng)的重要措施．為了加強(qiáng)宣傳力度，某體育協(xié)會(huì)從甲、乙等6人中選派4人到，，，四個(gè)不同的區(qū)域參加宣傳活動(dòng)，每人去一個(gè)區(qū)域，其中甲、乙至少有一人參加且甲不去區(qū)域的選派方法共有276種（用數(shù)字作答）．【答案】276．【考點(diǎn)】簡單組合問題【專題】對(duì)應(yīng)思想；定義法；排列組合；數(shù)學(xué)運(yùn)算【分析】根據(jù)給定條件，按甲參加與甲不參加分類，再結(jié)合有限制條件的排列問題列式計(jì)算即得．【解答】解：依題意，由甲、乙至少有一人參加，得甲參加與甲不參加乙必參加兩種情況，當(dāng)甲參加時(shí)，有種選派方法，當(dāng)甲不參加時(shí)，有種選派方法，所以不同選派方法種數(shù)是．故答案為：276【點(diǎn)評(píng)】本題考查排列組合相關(guān)知識(shí)，屬于中檔題．20．（2024?閔行區(qū)校級(jí)二模）如圖，設(shè)點(diǎn)為正四面體表面（含棱）上與頂點(diǎn)不重合的一點(diǎn)，由點(diǎn)到四個(gè)頂點(diǎn)的距離組成的集合記為，如果集合中有且只有2個(gè)元素，那么符合條件的點(diǎn)有10個(gè)．【答案】10．【考點(diǎn)】排列組合的綜合應(yīng)用【專題】綜合法；整體思想；數(shù)學(xué)運(yùn)算；排列組合【分析】根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理求解即可．【解答】解：符合條件的點(diǎn)有兩類：一，六條棱的中點(diǎn)；二，四個(gè)面的中心；集合中有且只有2個(gè)元素，符合條件的點(diǎn)有個(gè)．故答案為：10．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了排列、組合及簡單計(jì)數(shù)問題，重點(diǎn)考查了分類加法計(jì)數(shù)原理，屬基礎(chǔ)題．四．解答題（共5小題）21．（2024?浙江模擬）最近的一次數(shù)學(xué)競賽共6道試題，每題答對(duì)得7分，答錯(cuò)（或不答）得0分．賽后某參賽代表隊(duì)獲團(tuán)體總分161分，且統(tǒng)計(jì)分?jǐn)?shù)時(shí)發(fā)現(xiàn)：該隊(duì)任兩名選手至多答對(duì)兩道相同的題目，沒有三名選手都答對(duì)兩道相同的題目．試問該隊(duì)選手至少有多少人？【答案】7．【考點(diǎn)】排列組合的綜合應(yīng)用【專題】邏輯推理；排列組合；轉(zhuǎn)化法；轉(zhuǎn)化思想【分析】利用圖表列舉所有情況，結(jié)合排列組合公式計(jì)算求解即可．【解答】解：設(shè)該隊(duì)有名選手，分別記為，，，，記6道題的編號(hào)依次為1，2，，6，以編號(hào)為行、選手為列作一個(gè)的方格表，如果選手，2，答對(duì)第，2，題，就將方格表中第行第列的小方格的中心染成紅點(diǎn)，我們的問題就是在的方格表中，不存在“橫”6點(diǎn)矩形和“縱”6點(diǎn)矩形的情況，且至少有23個(gè)紅點(diǎn)時(shí)，求的最小值．如第1列有6個(gè)紅點(diǎn)，那么，后面各列至多有2個(gè)紅點(diǎn)，因?yàn)椋谑?，取?至10列，其中第2至9列每列有2個(gè)紅點(diǎn)，第列1個(gè)紅點(diǎn)（如圖）滿足題設(shè)，這說明的最小值不大于．我們發(fā)現(xiàn)，可通過將第1列中某點(diǎn)移到此點(diǎn)所在行的其他列中來減少圖6的列數(shù)，如作移動(dòng)，，，可同時(shí)作移動(dòng)，，，，，，，，，這樣便得到有23個(gè)紅點(diǎn)的圖甲，類似地可得圖乙，這說明的最小值不大于7．下面證明：的最小值大于6．對(duì)于一個(gè)恰有6列的方格表，由抽屜原理知至少有一列紅點(diǎn)數(shù)不少于4，不妨設(shè)第1列，且第1列的前4行的小方格的中心是紅點(diǎn)，如果某列有2個(gè)紅點(diǎn)，則稱其為某列上的一個(gè)紅點(diǎn)“行對(duì)”，這樣在前4行中，除第1列外的5列中每列只能有一個(gè)行對(duì)．于是，前4行中總共有個(gè)行對(duì)．考慮最后兩行：若第1列還有紅點(diǎn)，那么，有紅點(diǎn)的這一行不能再有其他的紅點(diǎn)，如第1列還有2個(gè)紅點(diǎn)，這時(shí)能增加9個(gè)行對(duì)，方格表中共有個(gè)行對(duì)；如第1列還有1個(gè)紅點(diǎn)，不妨設(shè)第1列第5行的小方格有紅點(diǎn)，這時(shí)即使第6行除第1列外的其他小方格都有紅點(diǎn)，那么，可增加個(gè)行對(duì)，方格表中共有個(gè)行對(duì)；如第1列沒有其他的紅點(diǎn)，那么，在最后兩行中最多還有兩個(gè)行對(duì)，這兩個(gè)行對(duì)占去了兩列，在余下的三列中，每列最多有1個(gè)紅點(diǎn)，于是，可增加行對(duì)個(gè)，這時(shí)，方格表中最多有個(gè)行對(duì)．這說明27是可能的行對(duì)總數(shù)的最大值，設(shè)第列的紅點(diǎn)數(shù)為，，，且，則所有行對(duì)的總數(shù)，即，由柯西不等式有，所以，解得，由為正整數(shù)知，這說明方格表中紅點(diǎn)個(gè)數(shù)最多為21個(gè)，又當(dāng)時(shí)，方格表中紅點(diǎn)總數(shù)不大于個(gè)，這說明的最小值不小于7．綜上，該代表隊(duì)至少有7名選手．【點(diǎn)評(píng)】本題考查排列組合的應(yīng)用，屬于難題．22．（2024?黔南州二模）1799年，哥廷根大學(xué)的高斯在其博士論文中證明了如下定理：任何復(fù)系數(shù)一元次多項(xiàng)式方程在復(fù)數(shù)域上至少有一根．此定理被稱為代數(shù)基本定理，在代數(shù)乃至整個(gè)數(shù)學(xué)中起著基礎(chǔ)作用．由此定理還可以推出以下重要結(jié)論：次復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式方程在復(fù)數(shù)域內(nèi)有且只有個(gè)根（重根按重?cái)?shù)計(jì)算）．對(duì)于次復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式，其中，，，，若方程有個(gè)復(fù)根，，，，則有如下的高階韋達(dá)定理：（1）在復(fù)數(shù)域內(nèi)解方程；（2）若三次方程的三個(gè)根分別是，，為虛數(shù)單位），求，，的值；（3）在的多項(xiàng)式中，已知，，，為非零實(shí)數(shù)，且方程的根恰好全是正實(shí)數(shù)，求出該方程的所有根（用含的式子表示）．【答案】（1）；（2），，；（3）．【考點(diǎn)】類比推理；二項(xiàng)式定理；復(fù)數(shù)的運(yùn)算【專題】綜合法；邏輯推理；數(shù)學(xué)運(yùn)算；二項(xiàng)式定理；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)；轉(zhuǎn)化思想；計(jì)算題【分析】（1）根據(jù)題意直接解方程即可；（2）根據(jù)題意結(jié)合韋達(dá)定理分析運(yùn)算求解；（3）根據(jù)題意結(jié)合韋達(dá)定理可得，結(jié)合不等式可得，由可得，結(jié)合不等式成立條件分析求解．【解答】解：（1）由，可得，解得．（2）由題意可知：，將，，代入可得，所以，，．（3）設(shè)，，，，，，，，，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，可得，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，因?yàn)榉匠痰母『萌钦龑?shí)數(shù)，設(shè)這個(gè)正根分別為，，，且，，，由題意可知：，因?yàn)?，且，，，均為正?shù)，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，又因?yàn)?，即，所以．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查二項(xiàng)式定理，復(fù)數(shù)的運(yùn)算，考查運(yùn)算求解能力，屬于難題．23．（2022?蘭州一模）（1）學(xué)校開設(shè)了7門選修課，要求每個(gè)學(xué)生從中選學(xué)4門，共有多少種不同的選法？（2）從參加羽毛球團(tuán)體比賽的6名運(yùn)動(dòng)員中選出3名，并按排定的順序出場比賽，有多少種不同的選法？【答案】（1）35，（2）120．【考點(diǎn)】排列組合的綜合應(yīng)用【專題】排列組合；方程思想；計(jì)算題；數(shù)學(xué)運(yùn)算；定義法【分析】（1）根據(jù)題意，由組合數(shù)公式計(jì)算可得答案；（2）根據(jù)題意，由排列數(shù)公式計(jì)算可得答案．【解答】解：（1）學(xué)校開設(shè)了7門選修課，要求每個(gè)學(xué)生從中選學(xué)4門，共有種不同選法；（2）從參加羽毛球團(tuán)體比賽的6名運(yùn)動(dòng)員中選出3名，并按排定的順序出場比賽，共有種．【點(diǎn)評(píng)】本題考查排列組合數(shù)公式的應(yīng)用，注意排列、組合的不同，屬于基礎(chǔ)題．24．（2020?宿城區(qū)校級(jí)模擬）已知為給定的正整數(shù)，設(shè)，．（1）若，求，的值：（2）若，的值．【答案】（1），；（2）．【考點(diǎn)】二項(xiàng)式定理【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；排列組合；二項(xiàng)式定理；數(shù)學(xué)運(yùn)算【分析】（1）利用二項(xiàng)式展開式公式計(jì)算時(shí)和的值；（2）由時(shí)，寫出，利用，討論和時(shí)，計(jì)算的值即可．【解答】解：（1）因?yàn)?，所以，；?）當(dāng)時(shí)，，又因?yàn)?，?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，也符合．所以的值為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了組合數(shù)公式與二項(xiàng)式定理的應(yīng)用問題，也考查了推理與計(jì)算能力，是中檔題．25．（2022?蘭州一模）已知二項(xiàng)式．（1）求展開式的第三項(xiàng)的系數(shù)；（2）求展開式的二項(xiàng)式系數(shù)之和．【答案】（1）189；（2）128．【考點(diǎn)】二項(xiàng)式系數(shù)與二項(xiàng)式系數(shù)的和【專題】綜合法；轉(zhuǎn)化思想；二項(xiàng)式定理；數(shù)學(xué)運(yùn)算【分析】（1）根據(jù)二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)即可求解；（2）根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)之和的結(jié)論即可求解．【解答】解：（1）二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)為：，展開式的第三項(xiàng)的系數(shù)為；（2）二項(xiàng)式的展開式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)的應(yīng)用，二項(xiàng)式系數(shù)之和的結(jié)論的應(yīng)用，屬基礎(chǔ)題．

考點(diǎn)卡片1．復(fù)數(shù)的運(yùn)算【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】復(fù)數(shù)的加、減、乘、除運(yùn)算法則2．用樣本估計(jì)總體的集中趨勢參數(shù)【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1．眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)都是描述一組數(shù)據(jù)的集中趨勢的特征數(shù)，只是描述的角度不同，其中以平均數(shù)的應(yīng)用最為廣泛．（1）眾數(shù)：在一組數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)；（2）中位數(shù)：將一組數(shù)據(jù)按大小依次排列，把處在最中間位置的一個(gè)數(shù)據(jù)（或最中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)）叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)；（3）平均數(shù)：一組數(shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù)，即．2．眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的優(yōu)缺點(diǎn)【解題方法點(diǎn)撥】眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的選?。海?）平均數(shù)能較好地反映一組數(shù)據(jù)的總體情況；（2）中位數(shù)不受極端值影響，有時(shí)用它代表全體數(shù)據(jù)的中等水平（或一般水平）；（3）眾數(shù)能反映一組數(shù)據(jù)的集中情況（即多數(shù)水平）．根據(jù)頻率分布直方圖估算眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)：（1）眾數(shù)：在頻率分布直方圖中，最高矩形的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是眾數(shù)．（2）中位數(shù)：在樣本中，有50%的個(gè)體小于或等于中位數(shù)，也有50%的個(gè)體大于或等于中位數(shù)，因此，在頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積應(yīng)該相等，由此可以估計(jì)中位數(shù)的值．（3）平均數(shù)：是頻率分布直方圖的“重心”，是直方圖的平衡點(diǎn)．平均數(shù)等于頻率分布直方圖中每個(gè)小矩形的面積（即落在該組中的頻率）乘以小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)（組中值）之和．3．?dāng)?shù)字問題【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】﹣數(shù)字問題涉及數(shù)字的排列組合、數(shù)字的特性以及數(shù)位的安排．例如：求解由數(shù)字構(gòu)成的不同整數(shù)的數(shù)量、分析某一數(shù)字在特定數(shù)位上的可能性、或求解滿足特定條件的整數(shù)個(gè)數(shù)．﹣數(shù)字問題通常涉及到計(jì)數(shù)原理在數(shù)字排列中的應(yīng)用，以及整數(shù)的分配與組合．【解題方法點(diǎn)撥】﹣首先分析題目中的數(shù)字特性，如數(shù)字的范圍、允許的重復(fù)次數(shù)等．﹣使用排列數(shù)或組合數(shù)來計(jì)算數(shù)字的不同排列組合方式，必要時(shí)采用分類討論的方式處理特殊情況．﹣在涉及限制條件（如某些數(shù)位必須滿足特定要求）時(shí)，先處理限制條件，再進(jìn)行組合計(jì)算．【命題方向】﹣典型的數(shù)字問題命題包括：計(jì)算由給定數(shù)字組成的不同整數(shù)的數(shù)量，或者確定某一數(shù)位上特定數(shù)字出現(xiàn)的頻率．﹣可能涉及到數(shù)字排列的特殊情況，如求解滿足某些數(shù)位條件的整數(shù)個(gè)數(shù)，或計(jì)算某些數(shù)字在排列中的特定組合數(shù)量．﹣在更復(fù)雜的問題中，可能需要結(jié)合多種計(jì)數(shù)方法，如遞推公式或生成函數(shù)來處理數(shù)字的排列組合．4．部分元素相鄰的排列問題【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】﹣部分元素相鄰的排列問題要求在排列過程中，特定元素必須相鄰排列．例如：在排列中，兩個(gè)或多個(gè)元素必須排在一起．﹣這類問題通常通過將相鄰元素視為一個(gè)整體來簡化排列．【解題方法點(diǎn)撥】﹣通過將相鄰的元素看作一個(gè)整體，然后對(duì)這個(gè)整體和其他元素一起進(jìn)行排列．最后，再對(duì)這個(gè)整體內(nèi)部的元素進(jìn)行排列．﹣使用乘法原理，將整體的排列與內(nèi)部元素的排列相乘，得到總的排列數(shù)．﹣對(duì)于涉及多個(gè)相鄰元素的問題，可以進(jìn)行多重整體處理，逐層遞進(jìn)排列．【命題方向】﹣常見命題方向包括要求特定元素相鄰的排列問題，或多組元素必須相鄰排列的情況．﹣題目可能涉及多個(gè)相鄰條件的處理，要求考生靈活應(yīng)用相鄰元素排列的策略．5．組合及組合數(shù)公式【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1．定義（1）組合：一般地，從n個(gè)不同元素中，任意取出m（m≤n）個(gè)元素并成一組，叫做從n個(gè)元素中任取m個(gè)元素的一個(gè)組合．（2）組合數(shù)：從n個(gè)不同元素中，任意取出m（m≤n）個(gè)元素的所有組合的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中，任意取出m個(gè)元素的組合數(shù)，用符號(hào)表示．2．組合數(shù)公式：＝．m，n∈N+，且m≤n．3．組合數(shù)的性質(zhì)：性質(zhì)1性質(zhì)2．6．簡單組合問題【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】﹣簡單組合問題涉及無任何特殊限制的組合情況．n個(gè)不同元素中選出r個(gè)元素的組合總數(shù)為．﹣這類問題是組合問題的基礎(chǔ)，強(qiáng)調(diào)對(duì)基本組合公式的理解與應(yīng)用．【解題方法點(diǎn)撥】﹣直接應(yīng)用組合公式進(jìn)行計(jì)算．在實(shí)際問題中，注意理解組合與排列的區(qū)別，組合不考慮順序，而排列考慮順序．﹣對(duì)于簡單組合問題，可以通過列舉法或公式直接求解．﹣在復(fù)雜組合問題中，分類討論和遞推公式可能是有效的解題工具．【命題方向】﹣常見命題包括基本組合問題的計(jì)算，如從一組元素中選出子集的總數(shù)，或計(jì)算特定組合情況的可能性．﹣命題可能涉及對(duì)組合數(shù)公式的直接應(yīng)用，以及對(duì)組合問題的基礎(chǔ)性理解與操作．7．從不同類別人員物品中進(jìn)行挑選的組合問題【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】﹣這類問題涉及從不同類別的人員或物品中進(jìn)行挑選的組合問題．例如：從若干類別的物品中各選出一定數(shù)量的組合問題．﹣這類問題通常涉及分類討論與組合公式的綜合應(yīng)用．【解題方法點(diǎn)撥】﹣首先按類別進(jìn)行組合數(shù)計(jì)算，再將各類別的組合數(shù)相乘，得到總的組合數(shù)．注意區(qū)分不同類別的組合要求，以及每類物品或人員的選擇范圍．﹣分類討論是解決此類問題的有效策略，先處理每個(gè)類別的選擇情況，再綜合計(jì)算．﹣在涉及多個(gè)類別的組合問題中，可以通過遞推公式或生成函數(shù)來簡化計(jì)算．【命題方向】﹣可能要求考生計(jì)算從不同類別中挑選特定數(shù)量物品的組合數(shù)，或者分析在多種類別條件下的組合情況．﹣命題可能涉及復(fù)雜的分類討論，如多類別選擇、不同選擇條件的疊加等．8．排列組合的綜合應(yīng)用【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1、排列組合問題的一些解題技巧：①特殊元素優(yōu)先安排；②合理分類與準(zhǔn)確分步；③排列、組合混合問題先選后排；④相鄰問題捆綁處理；⑤不相鄰問題插空處理；⑥定序問題除法處理；⑦分排問題直排處理；⑧“小集團(tuán)”排列問題先整體后局部；⑨構(gòu)造模型；⑩正難則反、等價(jià)轉(zhuǎn)化．對(duì)于無限制條件的排列組合問題應(yīng)遵循兩個(gè)原則：一是按元素的性質(zhì)分類，二是按時(shí)間發(fā)生的過程進(jìn)行分步．對(duì)于有限制條件的排列組合問題，通常從以下三個(gè)途徑考慮：①以元素為主考慮，即先滿足特殊元素的要求，再考慮其他元素；②以位置為主考慮，即先滿足特殊位置的要求，再考慮其他位置；③先不考慮限制條件，計(jì)算出排列或組合數(shù)，再減去不符合要求的排列或組合數(shù)．2、排列、組合問題幾大解題方法：（1）直接法；（2）排除法；（3）捆綁法：在特定要求的條件下，將幾個(gè)相關(guān)元素當(dāng)作一個(gè)元素來考慮，待整體排好之后再考慮它們“局部”的排列．它主要用于解決“元素相鄰問題”；（4）插空法：先把一般元素排列好，然后把待定元素插排在它們之間或兩端的空檔中，此法主要解決“元素不相鄰問題”；（5）占位法：從元素的特殊性上講，對(duì)問題中的特殊元素應(yīng)優(yōu)先排列，然后再排其他一般元素；從位置的特殊性上講，對(duì)問題中的特殊位置應(yīng)優(yōu)先考慮，然后再排其他剩余位置．即采用“先特殊后一般”的解題原則；（6）調(diào)序法：當(dāng)某些元素次序一定時(shí)，可用此法；（7）平均法：若把kn個(gè)不同元素平均分成k組，每組n個(gè)，共有；（8）隔板法：常用于解正整數(shù)解組數(shù)的問題；（9）定位問題：從n個(gè)不同元素中每次取出k個(gè)不同元素作排列規(guī)定某r個(gè)元素都包含在內(nèi)，并且都排在某r個(gè)指定位置則有；（10）指定元素排列組合問題：①從n個(gè)不同元素中每次取出k個(gè)不同的元素作排列（或組合），規(guī)定某r個(gè)元素都包含在內(nèi)．先C后A策略，排列；組合；②從n個(gè)不同元素中每次取出k個(gè)不同元素作排列（或組合），規(guī)定某r個(gè)元素都不包含在內(nèi)．先C后A策略，排列；組合；③從n個(gè)不同元素中每次取出k個(gè)不同元素作排列（或組合），規(guī)定每個(gè)排列（或組合）都只包含某r個(gè)元素中的s個(gè)元素．先C后A策略，排列；組合．9．二項(xiàng)式定理【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】二項(xiàng)式定理又稱牛頓二項(xiàng)式定理．公式（a+b）n＝an﹣i?bi．通過這個(gè)定理可以把一個(gè)多項(xiàng)式的多次方拆開．例1：用二項(xiàng)式定理估算1.0110＝1.105．（精確到0.001）解：1.0110＝（1+0.01）10＝110+?19×0.01+?18?0.012≈1+0.1+0.0045≈1.105．故答案為：1.105．這個(gè)例題考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，也是比較常見的題型．例2：把把二項(xiàng)式定理展開，展開式的第8項(xiàng)的系數(shù)是．解：由題意T8＝×＝120×3i＝360i．故答案為：360i．通過這兩個(gè)例題，大家可以看到二項(xiàng)式定理的重點(diǎn)是在定理，這類型的題都是圍著這個(gè)定理運(yùn)作，解題的時(shí)候一定要牢記展開式的形式，能正確求解就可以了．性質(zhì)1、二項(xiàng)式定理一般地，對(duì)于任意正整數(shù)n，都有這個(gè)公式就叫做二項(xiàng)式定理，右邊的多項(xiàng)式叫做（a+b）n的二項(xiàng)展開式．其中各項(xiàng)的系數(shù)叫做二項(xiàng)式系數(shù)．注意：（1）二項(xiàng)展開式有n+1項(xiàng)；（2）二項(xiàng)式系數(shù)與二項(xiàng)展開式系數(shù)是兩個(gè)不同的概念；（3）每一項(xiàng)的次數(shù)是一樣的，即為n次，展開式依a的降冪排列，b的升冪排列展開；（4）二項(xiàng)式定理通常有如下變形：①；②；（5）要注意逆用二項(xiàng)式定理來分析問題、解決問題．2、二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式二項(xiàng)展開式的第n+1項(xiàng)叫做二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式．它體現(xiàn)了二項(xiàng)展開式的項(xiàng)數(shù)、系數(shù)、次數(shù)的變化規(guī)律，是二項(xiàng)式定理的核心，它在求展開式的某些特定的項(xiàng)及其系數(shù)方面有著廣泛的應(yīng)用．注意：（1）通項(xiàng)公式表示二項(xiàng)展開式的第r+1項(xiàng)，該項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)是；（2）字母b的次數(shù)和組合數(shù)的上標(biāo)相同；（3）a與b的次數(shù)之和為n．3、二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)．（1）對(duì)稱性：與首末兩端“等距離”的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等，即；（2）增減性與最大值：當(dāng)k＜時(shí)，二項(xiàng)式系數(shù)是逐漸增大的．由對(duì)稱性知，它