2025年菁優(yōu)高考數(shù)學(xué)解密之概率

Page2025年菁優(yōu)高考數(shù)學(xué)解密之概率一．選擇題（共10小題）1．（2024?惠來縣校級模擬）有6個大小相同的小球，其中1個黑色，2個藍色，3個紅色．采用放回方式從中隨機取2次球，每次取1個球，甲表示事件“第一次取紅球”，乙表示事件“第二次取藍球”，丙表示事件“兩次取出不同顏色的球”，丁表示事件“兩次取出相同顏色的球”，則A．甲與乙相互獨立 B．甲與丙相互獨立 C．乙與丙相互獨立 D．乙與丁相互獨立2．（2024?江西一模）中國蹴鞠已有兩千三百多年的歷史，于2004年被國際足聯(lián)正式確認為世界足球運動的起源．蹴鞠在2022年卡塔爾世界杯上再次成為文化交流的媒介，走到世界舞臺的中央，訴說中國傳統(tǒng)非遺故事．為弘揚中華傳統(tǒng)文化，某市四所高中各自組建了蹴鞠隊（分別記為“甲隊”“乙隊”“丙隊”“丁隊”進行單循環(huán)比賽（即每支球隊都要跟其他各支球隊進行一場比賽），最后按各隊的積分排列名次（積分多者名次靠前，積分同者名次并列），積分規(guī)則為每隊勝一場得3分，平場得1分，負一場得0分．若每場比賽中兩隊勝、平、負的概率均為，則在比賽結(jié)束時丙隊在輸了第一場且其積分仍超過其余三支球隊的積分的概率為A． B． C． D．3．（2024?全國二模）天氣預(yù)報說，在今后的三天中，每一天下雨的概率均為0.6．我們通過設(shè)計模擬實驗的方法求概率，利用計算機產(chǎn)生之間的隨機數(shù)：425123423344144435525332152342534443512541135432334151312354若用1，3，5表示下雨，用2，4表示不下雨，則這三天中至少有兩天下雨的概率近似為A． B． C． D．4．（2024?保定一模）已知某羽毛球小組共有20名運動員，其中一級運動員4人，二級運動員6人，三級運動員10人．現(xiàn)在舉行一場羽毛球選拔賽，若一級、二級、三級運動員能夠晉級的概率分別為0.9，0.6，0.2，則這20名運動員中任選一名運動員能夠晉級的概率為A．0.62 B．0.58 C．0.46 D．0.425．（2024?濟寧三模）若隨機變量，，隨機變量，則A．0 B． C． D．26．（2024?全國一模）黨的二十大報告提出：“深化全民閱讀活動．”今天，我們思索讀書的意義、發(fā)掘知識的價值、強調(diào)閱讀的作用，正是為了更好地滿足人民群眾精神文化生活新期待．某市把圖書館、博物館、美術(shù)館、文化館四個公共文化場館面向社會免費開放，開放期間需要志愿者參與協(xié)助管理．現(xiàn)有，，，，共5名志愿者，每名志愿者均參與本次志愿者服務(wù)工作，每個場館至少需要一名志愿者，每名志愿者到各個場館的可能性相同，則，兩名志愿者不在同一個場館的概率為A． B． C． D．7．（2024?拉薩二模）從3，4，5，6，7這5個數(shù)字中任取3個，則取出的3個數(shù)字的和為大于10的偶數(shù)的概率是A． B． C． D．8．（2024?臨沂一模）長時間玩手機可能影響視力，據(jù)調(diào)查，某學(xué)校學(xué)生中，大約有的學(xué)生每天玩手機超過，這些人近視率約為，其余學(xué)生的近視率約為，現(xiàn)從該校任意調(diào)查一名學(xué)生，他近視的概率大約是A． B． C． D．9．（2024?和平區(qū)模擬）下列說法中，正確的個數(shù)為①樣本相關(guān)系數(shù)的絕對值大小可以反映成對樣本數(shù)據(jù)之間線性相關(guān)的程度②用不同的模型擬合同一組數(shù)據(jù)，則殘差平方和越小的模型擬合的效果越好③隨機變量服從正態(tài)分布，若，則④隨機變量服從二項分布，若方差，則A．1個 B．2個 C．3個 D．4個10．（2024?石家莊模擬）某市教育局為了解高三學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，組織了一次摸底考試，共有50000名考生參加這次考試，數(shù)學(xué)成績近似服從正態(tài)分布，其正態(tài)密度函數(shù)為且，則該市這次考試數(shù)學(xué)成績超過110分的考生人數(shù)約為A．2000 B．3000 C．4000 D．5000二．多選題（共5小題）11．（2024?浙江模擬）已知隨機變量，，其中，已知隨機變量的分布列如下表12345若，則A． B． C． D．12．（2024?滁州模擬）已知事件，滿足（A），（B），則下列結(jié)論正確的是A． B．如果，那么 C．如果與互斥，那么 D．如果與相互獨立，那么13．（2024?回憶版）為了解推動出口后的畝收入（單位：萬元）情況，從該種植區(qū)抽取樣本，得到推動出口后畝收入的樣本均值，樣本方差，已知該種植區(qū)以往的畝收入服從正態(tài)分布，，假設(shè)推動出口后的畝收入服從正態(tài)分布，，則（若隨機變量服從正態(tài)分布，則A． B． C． D．14．（2024?南昌模擬）連續(xù)拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次，記錄每次的點數(shù)，設(shè)事件“第一次出現(xiàn)2點”，“第二次的點數(shù)小于5點”，“兩次點數(shù)之和為奇數(shù)”，“兩次點數(shù)之和為9”，則下列說法正確的有A．與不互斥且相互獨立 B．與互斥且不相互獨立 C．與互斥且不相互獨立 D．與不互斥且相互獨立15．（2024?湖北模擬）已知，為隨機事件，（A），（B），則下列結(jié)論正確的有A．若，為互斥事件，則 B．若，為互斥事件，則 C．若，相互獨立，則 D．若，則三．填空題（共5小題）16．（2024?赤峰模擬）若連續(xù)拋兩次骰子得到的點數(shù)分別為，，則點在直線上的概率為．17．（2024?江西一模）斐波那契數(shù)列，又稱黃金分割數(shù)列，因數(shù)學(xué)家萊昂納多斐波那契以兔子繁殖為例子而引入，故又稱為“兔子數(shù)列”，指的是這樣一個數(shù)列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、，在數(shù)學(xué)上，斐波那契數(shù)列以如下遞推的方式定義：，，，，，，，且中，則中所有元素之和為奇數(shù)的概率為．18．（2024?天津模擬）兩個三口之家進行游戲活動，從6人中隨機選出2人，則這2人來自同一個家庭的概率為；若選出的2人來自同一個家庭，游戲成功的概率為0.6，若來自不同的家庭，游戲成功的概率為0.3，則游戲成功的概率為．19．（2024?新會區(qū)校級模擬）若，且，則．20．（2024?鼓樓區(qū)校級模擬）若事件，發(fā)生的概率分別為，，且與相互獨立，則．四．解答題（共5小題）21．（2024?江西一模）設(shè)是一個二維離散型隨機變量，它們的一切可能取的值為，，其中，，令，，稱是二維離散型隨機變量的聯(lián)合分布列．與一維的情形相似，我們也習(xí)慣于把二維離散型隨機變量的聯(lián)合分布列寫成下表形式：現(xiàn)有個相同的球等可能的放入編號為1，2，3的三個盒子中，記落下第1號盒子中的球的個數(shù)為，落入第2號盒子中的球的個數(shù)為．（1）當(dāng)時，求的聯(lián)合分布列；（2）設(shè)，且，計算．22．（2024?黃山模擬）某校高三年級1000名學(xué)生的高考適應(yīng)性演練數(shù)學(xué)成績頻率分布直方圖如圖所示，其中成績分組區(qū)間是，，，，，，，，，，，．（1）求圖中的值，并根據(jù)頻率分布直方圖，估計這1000名學(xué)生的這次考試數(shù)學(xué)成績的第85百分位數(shù)；（2）從這次數(shù)學(xué)成績位于，，，的學(xué)生中采用比例分配的分層隨機抽樣的方．法抽取9人，再從這9人中隨機抽取3人，該3人中成績在區(qū)間，的人數(shù)記為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望．23．（2024?河南模擬）某公司擬通過摸球中獎的方式對員工發(fā)放節(jié)日紅包．在一個不透明的袋子中裝有個形狀大小相同的標(biāo)有面值的球，每位員工從球袋中一次性隨機摸取個球，摸完后全部放回袋中，球上所標(biāo)的面值之和為該員工所獲得的紅包數(shù)額．（1）若，，當(dāng)袋中的球中有2個所標(biāo)面值為40元，1個為50元，1個為60元時，在員工所獲得的紅包數(shù)額不低于90元的條件下，求取到面值為60元的球的概率；（2）若，，當(dāng)袋中的球中有1個所標(biāo)面值為10元，2個為20元，1個為30元，1個為40元時，求員工所獲得紅包數(shù)額的數(shù)學(xué)期望與方差．24．（2024?北京）某保險公司為了解該公司某種保險產(chǎn)品的索賠情況，從合同保險期限屆滿的保單中隨機抽取1000份，記錄并整理這些保單的索賠情況，獲得數(shù)據(jù)如下表：索賠次數(shù)01234保單份數(shù)800100603010假設(shè)：一份保單的保費為0.4萬元；前三次索賠時，保險公司每次賠償0.8萬元；第四次索賠時，保險公司賠償0.6萬元．假設(shè)不同保單的索賠次數(shù)相互獨立．用頻率估計概率．（1）估計一份保單索賠次數(shù)不少于2的概率；（2）一份保單的毛利潤定義為這份保單的保費與賠償總金額之差．記為一份保單的毛利潤，估計的數(shù)學(xué)期望；如果無索賠的保單的保費減少，有索賠的保單的保費增加，試比較這種情況下一份保單毛利潤的數(shù)學(xué)期望估計值與中估計值的大小，（結(jié)論不要求證明）25．（2024?回憶版）某投籃比賽分為兩個階段，每個參賽隊都由兩名隊員組成，比賽具體規(guī)則如下：第一階段由參賽隊中一名隊員投籃3次，若3次都未投中，則該隊被淘汰，比賽成績?yōu)?分，若至少投中一次，則該隊進入第二階段，由該隊的另一名隊員投籃3次，每次投中得5分，未投中得0分，該隊的比賽成績?yōu)榈诙A段的得分總和．某參賽隊由甲、乙兩名隊員組成，設(shè)甲每次投中的概率為，乙每次投中的概率為，各次投中與否相互獨立．（1）若，，甲參加第一階段比賽，求甲、乙所在隊的比賽成績不少于5分的概率；（2）假設(shè)，為使得甲、乙所在隊的比賽成績?yōu)?5分的概率最大，則該由誰參加第一階段比賽？為使得甲、乙所在隊的比賽成績的數(shù)學(xué)期望最大，應(yīng)該由誰參加第一階段比賽？

2025年菁優(yōu)高考數(shù)學(xué)解密之概率參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題）1．（2024?惠來縣校級模擬）有6個大小相同的小球，其中1個黑色，2個藍色，3個紅色．采用放回方式從中隨機取2次球，每次取1個球，甲表示事件“第一次取紅球”，乙表示事件“第二次取藍球”，丙表示事件“兩次取出不同顏色的球”，丁表示事件“兩次取出相同顏色的球”，則A．甲與乙相互獨立 B．甲與丙相互獨立 C．乙與丙相互獨立 D．乙與丁相互獨立【答案】【考點】隨機事件；相互獨立事件和相互獨立事件的概率乘法公式【專題】對應(yīng)思想；定義法；概率與統(tǒng)計；運算求解【分析】根據(jù)給定條件，求出事件甲、乙、丙、丁的概率，再利用相互獨立事件的定義判斷作答．【解答】解：依題意，事件甲的概率，事件乙的概率，有放回取球兩次的試驗的基本事件總數(shù)是，顯然事件丙與丁是對立事件，兩次取出的球顏色相同含有的基本事件數(shù)為，事件丙的概率，事件丁的概率，對于，事件甲與乙同時發(fā)生所含的基本事件數(shù)為6，其概率，甲與乙相互獨立，正確；對于，事件甲與丙同時發(fā)生所含的基本事件數(shù)為9，其概率，甲與丙不獨立，錯誤；對于，事件乙與丙同時發(fā)生所含的基本事件數(shù)為8，其概率，乙與丙不獨立，錯誤；對于，事件乙與丁同時發(fā)生所含的基本事件數(shù)為4，其概率，乙與丁不獨立，錯誤．故選：．【點評】本題考查相互獨立事件的判斷，解題時要認真審題，注意相互獨立事件概率乘法公式的靈活運用，是基礎(chǔ)題．2．（2024?江西一模）中國蹴鞠已有兩千三百多年的歷史，于2004年被國際足聯(lián)正式確認為世界足球運動的起源．蹴鞠在2022年卡塔爾世界杯上再次成為文化交流的媒介，走到世界舞臺的中央，訴說中國傳統(tǒng)非遺故事．為弘揚中華傳統(tǒng)文化，某市四所高中各自組建了蹴鞠隊（分別記為“甲隊”“乙隊”“丙隊”“丁隊”進行單循環(huán)比賽（即每支球隊都要跟其他各支球隊進行一場比賽），最后按各隊的積分排列名次（積分多者名次靠前，積分同者名次并列），積分規(guī)則為每隊勝一場得3分，平場得1分，負一場得0分．若每場比賽中兩隊勝、平、負的概率均為，則在比賽結(jié)束時丙隊在輸了第一場且其積分仍超過其余三支球隊的積分的概率為A． B． C． D．【答案】【考點】相互獨立事件和相互獨立事件的概率乘法公式；古典概型及其概率計算公式【專題】概率與統(tǒng)計；對應(yīng)思想；定義法；數(shù)學(xué)運算【分析】根據(jù)丙是最高分可得丙余下兩場比賽全贏，再就甲乙、甲丁的輸贏（丙的第一場對手若為甲）分類討論后可得正確的選項．【解答】解：三隊中選一隊與丙比賽，丙輸，，例如是丙甲，若丙與乙、丁的兩場比賽一贏一平，則丙只得4分，這時，甲乙、甲丁兩場比賽中甲只能輸，否則甲的分數(shù)不小于4分，不合題意，在甲輸?shù)那闆r下，乙、丁已有3分，那個它們之間的比賽無論什么情況，乙、丁中有一人得分不小于4分，不合題意．若丙全贏（概率是時，丙得6分，其他3人分數(shù)最高為5分，這時甲乙，甲丁兩場比賽中甲不能贏，否則甲的分數(shù)不小于6分，（1）若甲乙，甲丁兩場比賽中甲一平一輸，則一平一輸?shù)母怕适?，如平乙，輸丁，則乙丁比賽時，丁不能贏，概率是，（2）若甲乙，甲丁兩場比賽中甲兩場均平，概率是，乙丁這場比賽無論結(jié)論如何均符合題意，（3）若甲乙，甲丁兩場比賽中甲都輸，概率是，乙丁這場比賽只能平，概率是．綜上，概率為，正確．故選：．【點評】本題考查相互獨立事件的應(yīng)用，屬于中檔題．3．（2024?全國二模）天氣預(yù)報說，在今后的三天中，每一天下雨的概率均為0.6．我們通過設(shè)計模擬實驗的方法求概率，利用計算機產(chǎn)生之間的隨機數(shù)：425123423344144435525332152342534443512541135432334151312354若用1，3，5表示下雨，用2，4表示不下雨，則這三天中至少有兩天下雨的概率近似為A． B． C． D．【答案】【考點】模擬方法估計概率【專題】轉(zhuǎn)化法；數(shù)學(xué)運算；概率與統(tǒng)計；轉(zhuǎn)化思想【分析】根據(jù)已知條件，先求出兩天下雨隨機數(shù)的個數(shù)，再結(jié)合總隨機個數(shù)，即可求解．【解答】解：設(shè)事件“三天中至少有兩天下雨”，20個隨機數(shù)中，至少有兩天下雨有123，435，525，332，152，534，512，541，135，334，151，312，354，即事件發(fā)生了13次，用頻率估計事件的概率近似為．故選：．【點評】本題主要考查模擬方法估計概率，屬于基礎(chǔ)題．4．（2024?保定一模）已知某羽毛球小組共有20名運動員，其中一級運動員4人，二級運動員6人，三級運動員10人．現(xiàn)在舉行一場羽毛球選拔賽，若一級、二級、三級運動員能夠晉級的概率分別為0.9，0.6，0.2，則這20名運動員中任選一名運動員能夠晉級的概率為A．0.62 B．0.58 C．0.46 D．0.42【答案】【考點】相互獨立事件和相互獨立事件的概率乘法公式【專題】概率與統(tǒng)計；方程思想；數(shù)學(xué)運算；定義法【分析】利用全概率公式求解．【解答】解：某羽毛球小組共有20名運動員，其中一級運動員4人，二級運動員6人，三級運動員10人，現(xiàn)在舉行一場羽毛球選拔賽，一級、二級、三級運動員能夠晉級的概率分別為0.9，0.6，0.2，設(shè)事件表示“選中一級運動員”，事件表示“選中二級運動員”，事件表示“選中三級運動員”，事件表示“選中的運動員能晉級”，則（A），（B），（C），，，，則這20名運動員中任選一名運動員能夠晉級的概率為：（D）（A）（B）（C）．故選：．【點評】本題考查全概率公式等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題．5．（2024?濟寧三模）若隨機變量，，隨機變量，則A．0 B． C． D．2【答案】【考點】正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義；離散型隨機變量的均值（數(shù)學(xué)期望）【專題】概率與統(tǒng)計；綜合法；數(shù)學(xué)運算；對應(yīng)思想【分析】利用正態(tài)分布的兩個參數(shù)就是隨機變量的期望和方差，再利用兩個線性隨機變量之間的期望和方差公式及性質(zhì)即可得解．【解答】解：因為，，所以，，又，所以，，則．故選：．【點評】本題考查了正態(tài)分布的特征及期望和方差的有關(guān)計算，屬于基礎(chǔ)題．6．（2024?全國一模）黨的二十大報告提出：“深化全民閱讀活動．”今天，我們思索讀書的意義、發(fā)掘知識的價值、強調(diào)閱讀的作用，正是為了更好地滿足人民群眾精神文化生活新期待．某市把圖書館、博物館、美術(shù)館、文化館四個公共文化場館面向社會免費開放，開放期間需要志愿者參與協(xié)助管理．現(xiàn)有，，，，共5名志愿者，每名志愿者均參與本次志愿者服務(wù)工作，每個場館至少需要一名志愿者，每名志愿者到各個場館的可能性相同，則，兩名志愿者不在同一個場館的概率為A． B． C． D．【答案】【考點】古典概型及其概率計算公式【專題】整體思想；綜合法；概率與統(tǒng)計；數(shù)學(xué)運算【分析】先求出，兩名志愿者在同一個場館的概率，再利用對立事件的概率關(guān)系求解．【解答】解：5名志愿者分配到4個場館，共有種不同的方法，，兩名志愿者在同一個場館共有種不同的方法，所以，兩名志愿者不在同一個場館的概率為．故選：．【點評】本題主要考查了排列組合的基本運算以及古典概型的概率，屬于基礎(chǔ)題．7．（2024?拉薩二模）從3，4，5，6，7這5個數(shù)字中任取3個，則取出的3個數(shù)字的和為大于10的偶數(shù)的概率是A． B． C． D．【答案】【考點】古典概型及其概率計算公式【專題】方程思想；定義法；概率與統(tǒng)計；運算求解【分析】從3，4，5，6，7這5個數(shù)字中任取3個，利用列舉法能求出取出3個數(shù)字的和為大于10的偶數(shù)的概率．【解答】解：從3，4，5，6，7這5個數(shù)字中任取3個，有10種不同的結(jié)果，分別為：，4，，，4，，，4，，，5，，，5，，，6，，，5，，，5，，，6，，，6，，其中取出3個數(shù)字的和為大于10的偶數(shù)的結(jié)果有6個，分別為：，4，，，4，，，5，，，6，，，5，，，6，，取出的3個數(shù)字的和為大于10的偶數(shù)的概率是．故選：．【點評】本題考查古典概型、列舉法等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題．8．（2024?臨沂一模）長時間玩手機可能影響視力，據(jù)調(diào)查，某學(xué)校學(xué)生中，大約有的學(xué)生每天玩手機超過，這些人近視率約為，其余學(xué)生的近視率約為，現(xiàn)從該校任意調(diào)查一名學(xué)生，他近視的概率大約是A． B． C． D．【答案】【考點】古典概型及其概率計算公式【專題】分析法；數(shù)據(jù)分析；對應(yīng)思想；概率與統(tǒng)計；計算題【分析】根據(jù)近視情況分為超過和低于兩種可能，利用古典概率模型計算可得．【解答】解：某學(xué)校學(xué)生中，大約有的學(xué)生每天玩手機超過，則有的學(xué)生每天玩手機低于，超過近視率約為，低于近視率約為，所以從該校任意調(diào)查一名學(xué)生，他近視的概率大約是．故選：．【點評】本題考查古典概率模型，屬于基礎(chǔ)題．9．（2024?和平區(qū)模擬）下列說法中，正確的個數(shù)為①樣本相關(guān)系數(shù)的絕對值大小可以反映成對樣本數(shù)據(jù)之間線性相關(guān)的程度②用不同的模型擬合同一組數(shù)據(jù)，則殘差平方和越小的模型擬合的效果越好③隨機變量服從正態(tài)分布，若，則④隨機變量服從二項分布，若方差，則A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】【考點】二項分布的均值（數(shù)學(xué)期望）與方差【專題】轉(zhuǎn)化法；數(shù)學(xué)運算；轉(zhuǎn)化思想；概率與統(tǒng)計【分析】結(jié)合相關(guān)系數(shù)、殘差的定義，正態(tài)分布的對稱性，二項分布的知識，即可求解．【解答】解：樣本相關(guān)系數(shù)的絕對值大小可以反映成對樣本數(shù)據(jù)之間線性相關(guān)的程度，故①正確；用不同的模型擬合同一組數(shù)據(jù)，則殘差平方和越小的模型擬合的效果越好，故②正確；隨機變量服從正態(tài)分布，若，則，故③正確；隨機變量服從二項分布，方差，則，解得或，當(dāng)時，，當(dāng)時，，故④錯誤，綜上所述，正確的個數(shù)為3．故選：．【點評】本題主要考查相關(guān)系數(shù)、殘差的定義，正態(tài)分布的對稱性，二項分布的知識，屬于基礎(chǔ)題．10．（2024?石家莊模擬）某市教育局為了解高三學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，組織了一次摸底考試，共有50000名考生參加這次考試，數(shù)學(xué)成績近似服從正態(tài)分布，其正態(tài)密度函數(shù)為且，則該市這次考試數(shù)學(xué)成績超過110分的考生人數(shù)約為A．2000 B．3000 C．4000 D．5000【答案】【考點】正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義【專題】概率與統(tǒng)計；數(shù)學(xué)運算；轉(zhuǎn)化思想；綜合法【分析】根據(jù)正態(tài)分布的對稱性即可得．【解答】解：由題易知均值，由正態(tài)曲線的對稱性可知，則該市這次考試數(shù)學(xué)成績超過110分的考生人數(shù)約為．故選：．【點評】本題考查正態(tài)分布的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．二．多選題（共5小題）11．（2024?浙江模擬）已知隨機變量，，其中，已知隨機變量的分布列如下表12345若，則A． B． C． D．【答案】【考點】離散型隨機變量的均值（數(shù)學(xué)期望）；離散型隨機變量及其分布列【專題】整體思想；概率與統(tǒng)計；綜合法；數(shù)學(xué)運算【分析】由已知結(jié)合概率的性質(zhì)及期望公式先檢驗，，然后再由期望及方差的性質(zhì)即可求解．【解答】解：由，可得，由，可得，從而得：，，故正確，錯誤，，故項正確，因為，所以．，故錯誤．故選：．【點評】本題主要考查離散型隨機變量及其分布列的求解，屬于基礎(chǔ)題．12．（2024?滁州模擬）已知事件，滿足（A），（B），則下列結(jié)論正確的是A． B．如果，那么 C．如果與互斥，那么 D．如果與相互獨立，那么【答案】【考點】相互獨立事件和相互獨立事件的概率乘法公式；互斥事件的概率加法公式；互斥事件與對立事件【專題】數(shù)學(xué)運算；定義法；概率與統(tǒng)計；方程思想【分析】根據(jù)互斥事件和獨立事件的概率公式逐個分析判斷即可．【解答】解：對于選項，，故錯誤；對于選項，如果，那么（A），故正確；對于選項，如果與互斥，那么（A）（B），故正確；對于選項，如果與相互獨立，那么，故正確．故選：．【點評】本題考查互斥事件和獨立事件的概率公式等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題．13．（2024?回憶版）為了解推動出口后的畝收入（單位：萬元）情況，從該種植區(qū)抽取樣本，得到推動出口后畝收入的樣本均值，樣本方差，已知該種植區(qū)以往的畝收入服從正態(tài)分布，，假設(shè)推動出口后的畝收入服從正態(tài)分布，，則（若隨機變量服從正態(tài)分布，則A． B． C． D．【答案】【考點】正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義【專題】綜合法；概率與統(tǒng)計；轉(zhuǎn)化思想；數(shù)學(xué)運算【分析】易知，，，，由此逐項分析判斷即可．【解答】解：依題意，，，，，對于，，由于，則，錯；，對；對于，，由于，則，對；，錯．故選：．【點評】本題考查正態(tài)分布，考查運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．14．（2024?南昌模擬）連續(xù)拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次，記錄每次的點數(shù)，設(shè)事件“第一次出現(xiàn)2點”，“第二次的點數(shù)小于5點”，“兩次點數(shù)之和為奇數(shù)”，“兩次點數(shù)之和為9”，則下列說法正確的有A．與不互斥且相互獨立 B．與互斥且不相互獨立 C．與互斥且不相互獨立 D．與不互斥且相互獨立【答案】【考點】互斥事件與對立事件【專題】整體思想；綜合法；概率與統(tǒng)計；邏輯思維【分析】根據(jù)事件的互斥與獨立的定義對選項一一驗證即可．【解答】解：對于，連續(xù)拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次，第一次與第二次的結(jié)果互不影響，即與相互獨立，第一次出現(xiàn)2點，第二次的點數(shù)小于5點可以同時發(fā)生，與不互斥，故正確；對于，連續(xù)拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次，第一次的結(jié)果會影響兩次點數(shù)之和，即與不相互獨立，第一次出現(xiàn)2點，則兩次點數(shù)之和最大為8，即與不能同時發(fā)生，即與互斥，故正確；對于，連續(xù)拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次，第二次的結(jié)果會影響兩次點數(shù)之和，即與不相互獨立，若第一次的點數(shù)為5，第二次的點數(shù)4點，則兩次點數(shù)之和為9，即與可以同時發(fā)生，即與不互斥，故錯誤；對于，因為（A），（C），，所以（A）（C），所以與相互獨立，若第一次的點數(shù)為2，第二次的點數(shù)3點，則兩次點數(shù)之和為5是奇數(shù)，即與可以同時發(fā)生，即與不互斥，故正確．故選：．【點評】本題考查事件之間的關(guān)系，注意互斥事件、獨立事件的定義，屬于基礎(chǔ)題．15．（2024?湖北模擬）已知，為隨機事件，（A），（B），則下列結(jié)論正確的有A．若，為互斥事件，則 B．若，為互斥事件，則 C．若，相互獨立，則 D．若，則【答案】【考點】互斥事件與對立事件；條件概率【專題】計算題；方程思想；轉(zhuǎn)化思想；數(shù)學(xué)運算；概率與統(tǒng)計；綜合法【分析】根據(jù)題意，由互斥事件的性質(zhì)分析、，由相互獨立事件的性質(zhì)分析，由條件概率的計算公式和性質(zhì)分析，綜合可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，依次分析選項：對于，若，為互斥事件，則，則（A）（B），正確；對于，若，為互斥事件，則事件不會同時發(fā)生，則一定發(fā)生，則，錯誤；對于，若，相互獨立，，則（A）（B），正確；對于，若，即，解可得，則（B），故，正確．故選：．【點評】本題考查概率的性質(zhì)，涉及互斥事件、相互獨立事件的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．三．填空題（共5小題）16．（2024?赤峰模擬）若連續(xù)拋兩次骰子得到的點數(shù)分別為，，則點在直線上的概率為．【考點】古典概型及其概率計算公式【專題】對應(yīng)思想；定義法；概率與統(tǒng)計；運算求解【分析】根據(jù)題意可得點所有坐標(biāo)，再計算滿足在直線上的情況，利用古典概型可解．【解答】解：連續(xù)拋兩次骰子得到的點數(shù)分別為，，則點有種情況，而點在直線上有，，，，，，共6種情況，則點在直線上的概率為．故答案為：．【點評】本題考查古典概型相關(guān)知識，屬于基礎(chǔ)題．17．（2024?江西一模）斐波那契數(shù)列，又稱黃金分割數(shù)列，因數(shù)學(xué)家萊昂納多斐波那契以兔子繁殖為例子而引入，故又稱為“兔子數(shù)列”，指的是這樣一個數(shù)列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、，在數(shù)學(xué)上，斐波那契數(shù)列以如下遞推的方式定義：，，，，，，，且中，則中所有元素之和為奇數(shù)的概率為．【答案】．【考點】古典概型及其概率計算公式【專題】數(shù)學(xué)運算；概率與統(tǒng)計；對應(yīng)思想；定義法【分析】記中所有偶數(shù)組成的集合為，所有奇數(shù)組成的集合為，集合的子集為，集合中含有奇數(shù)個元素的子集為，則所有元素之和為奇數(shù)的集合可看成，然后可解．【解答】解：由斐波那契數(shù)列規(guī)律可知，集合，，，中的元素有674個偶數(shù)，1350個奇數(shù)，記中所有偶數(shù)組成的集合為，所有奇數(shù)組成的集合為，集合的子集為，集合中含有奇數(shù)個元素的子集為，則所有元素之和為奇數(shù)的集合可看成，顯然集合共有個，集合共有個，所以所有元素之和為奇數(shù)的集合共有個，又集合的非空子集共有個，所以中所有元素之和為奇數(shù)的概率為．故答案為：．【點評】本題考查集合、二項式系數(shù)的性質(zhì)以及古典概型相關(guān)知識，屬于中檔題．18．（2024?天津模擬）兩個三口之家進行游戲活動，從6人中隨機選出2人，則這2人來自同一個家庭的概率為；若選出的2人來自同一個家庭，游戲成功的概率為0.6，若來自不同的家庭，游戲成功的概率為0.3，則游戲成功的概率為．【考點】古典概型及其概率計算公式；全概率公式【專題】整體思想；綜合法；概率與統(tǒng)計；數(shù)學(xué)運算【分析】利用古典概型的概率公式求解第一空，利用全概率公式求解第二空．【解答】解：從6人中隨機選出2人，有種方法，其中這2人來自同一個家庭的有種方法，所以這2人來自同一個家庭的概率，則這2人來自不同家庭的概率，所以游戲成功的概率．故答案為：；0.42．【點評】本題主要考查了古典概型的概率公式，考查了全概率公式，屬于基礎(chǔ)題．19．（2024?新會區(qū)校級模擬）若，且，則．【答案】．【考點】離散型隨機變量的均值（數(shù)學(xué)期望）；重伯努利試驗與二項分布【專題】綜合法；計算題；轉(zhuǎn)化思想；概率與統(tǒng)計；數(shù)學(xué)運算；方程思想【分析】根據(jù)題意，由二項分布的性質(zhì)求出，進而由方差的性質(zhì)計算可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，若，則，又由，則．故答案為：．【點評】本題考查隨機變量的期望、方差的計算，涉及二項分布的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．20．（2024?鼓樓區(qū)校級模擬）若事件，發(fā)生的概率分別為，，且與相互獨立，則．【答案】．【考點】互斥事件的概率加法公式；相互獨立事件和相互獨立事件的概率乘法公式【專題】定義法；方程思想；概率與統(tǒng)計；數(shù)學(xué)運算【分析】由（A）（B），根據(jù)相互獨立事件概率乘法公式能求出結(jié)果．【解答】解：事件，發(fā)生的概率分別為，，且與相互獨立，則（A）（B）．故答案為：．【點評】本題考查和事件概率公式、相互獨立事件概率乘法公式等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題．四．解答題（共5小題）21．（2024?江西一模）設(shè)是一個二維離散型隨機變量，它們的一切可能取的值為，，其中，，令，，稱是二維離散型隨機變量的聯(lián)合分布列．與一維的情形相似，我們也習(xí)慣于把二維離散型隨機變量的聯(lián)合分布列寫成下表形式：現(xiàn)有個相同的球等可能的放入編號為1，2，3的三個盒子中，記落下第1號盒子中的球的個數(shù)為，落入第2號盒子中的球的個數(shù)為．（1）當(dāng)時，求的聯(lián)合分布列；（2）設(shè)，且，計算．【答案】（1）的聯(lián)合分布列為：012010200（2）．【考點】離散型隨機變量及其分布列【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；概率與統(tǒng)計；數(shù)學(xué)運算【分析】（1）由題意知可取0，1，2，可取0，1，2，直接計算概率，列出的聯(lián)系分布列即可；（2）直接計算，，結(jié)合二項分布的期望公式求出．【解答】解：（1）由題意知可取0，1，2，可取0，1，2，則，，，，，，，，，，的聯(lián)合分布列為：012010200（2）當(dāng)時，，，，，設(shè)，則由二項分布的期望公式得．【點評】本題考查二維離散型隨機變量的聯(lián)合分布列、概率的求法，考查相互獨立事件概率乘法公式、二項分布等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是中檔題．22．（2024?黃山模擬）某校高三年級1000名學(xué)生的高考適應(yīng)性演練數(shù)學(xué)成績頻率分布直方圖如圖所示，其中成績分組區(qū)間是，，，，，，，，，，，．（1）求圖中的值，并根據(jù)頻率分布直方圖，估計這1000名學(xué)生的這次考試數(shù)學(xué)成績的第85百分位數(shù)；（2）從這次數(shù)學(xué)成績位于，，，的學(xué)生中采用比例分配的分層隨機抽樣的方．法抽取9人，再從這9人中隨機抽取3人，該3人中成績在區(qū)間，的人數(shù)記為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望．【答案】（1）0.005；120；（2）分布列見解析；期望為2．【考點】離散型隨機變量的均值（數(shù)學(xué)期望）【專題】綜合法；數(shù)學(xué)運算；方程思想；概率與統(tǒng)計；綜合題【分析】（1）利用頻率分布直方圖中頻率之和為1，列方程求解即可，根據(jù)第85百分位數(shù)公式計算即可；（2）求出的可能取值及對應(yīng)的概率，完成分布列，即可求出期望．【解答】解：（1）由頻率分布直方圖可得，解得．前4個矩形面積之和為，前5個矩形面積之和為．設(shè)這1000名學(xué)生的這次考試數(shù)學(xué)成績的第85百分位數(shù)為，則，解得，，所以這1000名學(xué)生的這次考試數(shù)學(xué)成績的第85百分位數(shù)為120．（2）數(shù)學(xué)成績位于，，，的學(xué)生人數(shù)之比為：，所以所抽取的9人中，數(shù)學(xué)成績位于，的學(xué)生人數(shù)為人，數(shù)學(xué)成績位于，的學(xué)生人數(shù)為人，由題意可知，隨機變量的可能取值有0，1，2，3，則，，，．所以的分布列為：0123．【點評】本題考查頻率分布直方圖及離散型隨機變量分布列，屬中檔題．23．（2024?河南模擬）某公司擬通過摸球中獎的方式對員工發(fā)放節(jié)日紅包．在一個不透明的袋子中裝有個形狀大小相同的標(biāo)有面值的球，每位員工從球袋中一次性隨機摸取個球，摸完后全部放回袋中，球上所標(biāo)的面值之和為該員工所獲得的紅包數(shù)額．（1）若，，當(dāng)袋中的球中有2個所標(biāo)面值為40元，1個為50元，1個為60元時，在員工所獲得的紅包數(shù)額不低于90元的條件下，求取到面值為60元的球的概率；（2）若，，當(dāng)袋中的球中有1個所標(biāo)面值為10元，2個為20元，1個為30元，1個為40元時，求員工所獲得紅包數(shù)額的數(shù)學(xué)期望與方差．【答案】（1）；（2）期望為96；方差為104．【考點】離散型隨機變量的均值（數(shù)學(xué)期望）；離散型隨機變量的方差與標(biāo)準差【專題】轉(zhuǎn)化法；轉(zhuǎn)化思想；概率與統(tǒng)計；數(shù)學(xué)運算【分析】（1）記事件：員工所獲得的紅包數(shù)額不低于90元，事件：取到面值為60元的球，根據(jù)條件先求（A），，再利用條件概率公式，即可求解；（2）由題知可能取值為80，90，100，110，再求出對應(yīng)的概率，利用期望和方差的計算公式，即可求解．【解答】解：（1）記事件：員工所獲得的紅包數(shù)額不低于90元，事件：取到面值為60元的球，因為球中有2個所標(biāo)面值為40元，1個為50元，1個為60元，且，，，，，所以，又，所以．（2）設(shè)為員工取得的紅包數(shù)額，則可能取值為80，90，100，110，所以，，，，所以，．【點評】本題考查離散型隨機變量的方差與標(biāo)準差，考查概率的計算，屬于中檔題．24．（2024?北京）某保險公司為了解該公司某種保險產(chǎn)品的索賠情況，從合同保險期限屆滿的保單中隨機抽取1000份，記錄并整理這些保單的索賠情況，獲得數(shù)據(jù)如下表：索賠次數(shù)01234保單份數(shù)800100603010假設(shè)：一份保單的保費為0.4萬元；前三次索賠時，保險公司每次賠償0.8萬元；第四次索賠時，保險公司賠償0.6萬元．假設(shè)不同保單的索賠次數(shù)相互獨立．用頻率估計概率．（1）估計一份保單索賠次數(shù)不少于2的概率；（2）一份保單的毛利潤定義為這份保單的保費與賠償總金額之差．記為一份保單的毛利潤，估計的數(shù)學(xué)期望；如果無索賠的保單的保費減少，有索賠的保單的保費增加，試比較這種情況下一份保單毛利潤的數(shù)學(xué)期望估計值與中估計值的大小，（結(jié)論不要求證明）【考點】離散型隨機變量的均值（數(shù)學(xué)期望）【專題】對應(yīng)思想；數(shù)學(xué)模型法；概率與統(tǒng)計；數(shù)學(xué)運算【分析】（1）根據(jù)題設(shè)中的數(shù)據(jù)可求賠償次數(shù)不少2的概率；（2）設(shè)為賠付金額，則可取0，0.8，1.6，2.4，3，用頻率估計概率后可求得分布列及數(shù)學(xué)期望，從而可求；先算出下一期保費的變化情況，結(jié)合的結(jié)果可求．【解答】解：（1）設(shè)為“隨機抽取一單，賠償不少于2次”，由題設(shè)中的統(tǒng)計數(shù)據(jù)可得；（2）設(shè)為賠付金額，則可取0，0.8，1.6，2.4，3，由題可得，，，，，所以，因為毛利潤是保費與賠償金額之差，故（萬元）；由知未賠償?shù)母怕蕿椋辽儋r償一次的概率為，故保費的變化為，設(shè)為保單下一保險期的毛利潤，故（萬元）．所以．【點評】本題考查用概率的數(shù)學(xué)期望的知識解決實際應(yīng)用問題，屬于中檔題．25．（2024?回憶版）某投籃比賽分為兩個階段，每個參賽隊都由兩名隊員組成，比賽具體規(guī)則如下：第一階段由參賽隊中一名隊員投籃3次，若3次都未投中，則該隊被淘汰，比賽成績?yōu)?分，若至少投中一次，則該隊進入第二階段，由該隊的另一名隊員投籃3次，每次投中得5分，未投中得0分，該隊的比賽成績?yōu)榈诙A段的得分總和．某參賽隊由甲、乙兩名隊員組成，設(shè)甲每次投中的概率為，乙每次投中的概率為，各次投中與否相互獨立．（1）若，，甲參加第一階段比賽，求甲、乙所在隊的比賽成績不少于5分的概率；（2）假設(shè)，為使得甲、乙所在隊的比賽成績?yōu)?5分的概率最大，則該由誰參加第一階段比賽？為使得甲、乙所在隊的比賽成績的數(shù)學(xué)期望最大，應(yīng)該由誰參加第一階段比賽？【考點】離散型隨機變量的均值（數(shù)學(xué)期望）【專題】邏輯推理；概率與統(tǒng)計；數(shù)學(xué)運算；轉(zhuǎn)化思想；綜合法【分析】（1）由題意得甲第一階段至少投中一次，乙第二階段至少投中一次，利用相互獨立事件概率乘法公式能求出甲、乙所在隊的比賽成績不少于5分的概率．（2）若甲先參加第一階段比賽，則甲、乙所在人的比賽成績?yōu)?5分的概率為：，若乙參加第一階段比賽，則甲、乙所在隊的比賽成績?yōu)?5分的概率為：，作差法求出，從而得到為使得甲、乙所在隊的比賽成績?yōu)?5分的概率最大，該由甲參加第一階段的比賽．若甲先參加第一階段的比賽，比賽成績的所有可能取值為0，5，10，15，分別求出相應(yīng)的概率．進而求出，記乙參加第一階段比賽，比賽成績的所有可難取值為0，5，10，15，求出，坐差法求出，從而得到為使得甲、乙，所在隊的比賽成績的數(shù)與期望最大，應(yīng)該由甲參加第一階段比賽．【解答】解：（1）甲、乙所在隊的比賽成績不少于5分，甲第一階段至少投中一次，乙第二階段至少投中一次，甲、乙所在隊的比賽成績不少于5分的概率為：．（2）若甲先參加第一階段比賽，則甲、乙所在人的比賽成績?yōu)?5分的概率為：，若乙參加第一階段比賽，則甲、乙所在隊的比賽成績?yōu)?5分的概率為：，，，為使得甲、乙所在隊的比賽成績?yōu)?5分的概率最大，該由甲參加第一階段的比賽．若甲先參加第一階段的比賽，比賽成績的所有可能取值為0，5，10，15，，，，，，記乙參加第一階段比賽，比賽成績的所有可能取值為0，5，10，15，同理，，為使得甲、乙，所在隊的比賽成績的數(shù)與期望最大，應(yīng)該由甲參加第一階段比賽．【點評】本題考查相互獨立事件概率乘法公式、離散型隨機變量的數(shù)學(xué)期望等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是中檔題．

考點卡片1．隨機事件【知識點的認識】1．定義：在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件稱為隨機事件．（或“偶然性事件”）2．特點：（1）隨機事件可以在相同的條件下重復(fù)進行；（2）每個試驗的可能結(jié)果不止一個，并且能事先預(yù)測試驗的所有可能結(jié)果；（3）進行一次試驗之前不能確定哪一個結(jié)果會出現(xiàn)．3．注意：（1）隨機事件發(fā)生與否，事先是不能確定的；（2）必然事件發(fā)生的機會是1；不可能事件發(fā)生的機會是0；隨機事件發(fā)生的機會在0﹣1之間，0和1可以取到．（3）要判斷一個事件是必然事件、隨機事件、還是不可能事件，要從定義出發(fā)．2．互斥事件與對立事件【知識點的認識】1．互斥事件（1）定義：一次試驗中，事件A和事件B不能同時發(fā)生，則這兩個不能同時發(fā)生的事件叫做互斥事件．如果A1，A2，…，An中任何兩個都不可能同時發(fā)生，那么就說事件A1，A2，…An彼此互斥．（2）互斥事件的概率公式：在一個隨機試驗中，如果隨機事件A和B是互斥事件，則有：P（A+B）＝P（A）+P（B）注：上式使用前提是事件A與B互斥．推廣：一般地，如果事件A1，A2，…，An彼此互斥，那么事件發(fā)生（即A1，A2，…，An中有一個發(fā)生）的概率等于這n個事件分別發(fā)生的概率之和，即：P（A1+A2+…+An）＝P（A1）+P（A2）+…+P（An）2．對立事件（1）定義：一次試驗中，兩個事件中必有一個發(fā)生的互斥事件叫做對立事件，事件A的對立事件記做．注：①兩個對立事件必是互斥事件，但兩個互斥事件不一定是對立事件；②在一次試驗中，事件A與只發(fā)生其中之一，并且必然發(fā)生其中之一．（2）對立事件的概率公式：P（）＝1﹣P（A）3．互斥事件與對立事件的區(qū)別和聯(lián)系互斥事件是不可能同時發(fā)生的兩個事件，而對立事件除要求這兩個事件不同時發(fā)生外，還要求二者之一必須有一個發(fā)生．因此，對立事件是互斥事件的特殊情況，而互斥事件未必是對立事件，即“互斥”是“對立”的必要但不充分條件，而“對立”則是“互斥”的充分但不必要條件．【命題方向】1．考查對知識點概念的掌握例1：從裝有2個紅球和2個黑球的口袋內(nèi)任取2個球，那么互斥而不對立的兩個事件是（）A．“至少有一個紅球”與“都是黑球”B．“至少有一個黑球”與“都是黑球”C．“至少有一個黑球”與“至少有1個紅球”D．“恰有1個黑球”與“恰有2個黑球”分析：列舉每個事件所包含的基本事件，結(jié)合互斥事件和對立事件的定義，依次驗證即可解答：對于A：事件：“至少有一個紅球”與事件：“都是黑球”，這兩個事件是對立事件，∴A不正確對于B：事件：“至少有一個黑球”與事件：“都是黑球”可以同時發(fā)生，如：一個紅球一個黑球，∴B不正確對于C：事件：“至少有一個黑球”與事件：“至少有1個紅球”可以同時發(fā)生，如：一個紅球一個黑球，∴C不正確對于D：事件：“恰有一個黑球”與“恰有2個黑球”不能同時發(fā)生，∴這兩個事件是互斥事件，又由從裝有2個紅球和2個黑球的口袋內(nèi)任取2個球，得到所有事件為“恰有1個黑球”與“恰有2個黑球”以及“恰有2個紅球”三種情況，故這兩個事件是不是對立事件，∴D正確故選D點評：本題考查互斥事件與對立事件．首先要求理解互斥事件和對立事件的定義，理解互斥事件與對立事件的聯(lián)系與區(qū)別．同時要能夠準確列舉某一事件所包含的基本事件．屬簡單題．例2：下列說法正確的是（）A．互斥事件一定是對立事件，對立事件不一定是互斥事件B．互斥事件不一定是對立事件，對立事件一定是互斥事件C．事件A，B中至少有一個發(fā)生的概率一定比A，B中恰有一個發(fā)生的概率大D．事件A，B同時發(fā)生的概率一定比A，B中恰有一個發(fā)生的概率?。治觯焊鶕?jù)對立事件和互斥事件的概率，得到對立事件一定是互斥事件，兩個事件是互斥事件不一定是對立事件，這兩者之間的關(guān)系是一個包含關(guān)系．解答：根據(jù)對立事件和互斥事件的概念，得到對立事件一定是互斥事件，兩個事件是互斥事件不一定是對立事件，故選B．點評：本題考查互斥事件與對立事件之間的關(guān)系，這是一個概念辨析問題，這種題目不用運算，只要理解兩個事件之間的關(guān)系就可以選出正確答案．2．互斥事件概率公式的應(yīng)用例：甲乙兩人下棋比賽，兩人下成和棋的概率是，乙獲勝的概率是，則乙不輸?shù)母怕适欠治觯河洝皟扇讼鲁珊推濉睘槭录嗀，“乙獲勝”為事件B，則A，B互斥，且，，則乙不輸即為事件A+B，由互斥事件的概率公式可得，P（A+B）＝P（A）+P（B）可求．解答：甲乙兩人下棋比賽，記“兩人下成和棋”為事件A，“乙獲勝”為事件B，則A，B互斥，則，，則乙不輸即為事件A+B，由互斥事件的概率公式可得，P（A+B）＝P（A）+P（B）＝故答案為：點評：本題主要考查互斥事件的關(guān)系，不可能同時發(fā)生的兩個事件叫做互斥事件，也叫互不相容事件，考查了互斥事件的概率的加法公式在概率計算中的應(yīng)用．3．對立事件概率公式的應(yīng)用例：若事件A與B是互為對立事件，且P（A）＝0.4，則P（B）＝（）A.0B.0.4C.0.6D.1分析：根據(jù)對立事件的概率公式p（）＝1﹣P（A），解得即可．解答：因為對立事件的概率公式p（）＝1﹣P（A）＝0.6，故選C．點評：本題主要考查對立事件的定義，屬于基礎(chǔ)題．3．互斥事件的概率加法公式【知識點的認識】互斥事件的概率加法公式：在一個隨機試驗中，如果隨機事件A和B是互斥事件，則有：P（A∪B）＝P（A）+P（B）注：上式使用前提是事件A與B互斥．推廣：一般地，如果事件A1，A2，…，An彼此互斥，那么事件發(fā)生（即A1，A2，…，An中有一個發(fā)生）的概率等于這n個事件分別發(fā)生的概率之和，即：P（A1+A2+…+An）＝P（A1）+P（A2）+…+P（An）4．古典概型及其概率計算公式【知識點的認識】1．定義：如果一個試驗具有下列特征：（1）有限性：每次試驗可能出現(xiàn)的結(jié)果（即基本事件）只有有限個；（2）等可能性：每次試驗中，各基本事件的發(fā)生都是等可能的．則稱這種隨機試驗的概率模型為古典概型．*古典概型由于滿足基本事件的有限性和基本事件發(fā)生的等可能性這兩個重要特征，所以求事件的概率就可以不通過大量的重復(fù)試驗，而只要通過對一次試驗中可能出現(xiàn)的結(jié)果進行分析和計算即可．2．古典概率的計算公式如果一次試驗中可能出現(xiàn)的結(jié)果有n個，而且所有結(jié)果出現(xiàn)的可能性都相等，那么每一個基本事件的概率都是；如果某個事件A包含的結(jié)果有m個，那么事件A的概率為P（A）＝＝．【解題方法點撥】1．注意要點：解決古典概型的問題的關(guān)鍵是：分清基本事件個數(shù)n與事件A中所包含的基本事件數(shù)．因此要注意清楚以下三個方面：（1）本試驗是否具有等可能性；（2）本試驗的基本事件有多少個；（3）事件A是什么．2．解題實現(xiàn)步驟：（1）仔細閱讀題目，弄清題目的背景材料，加深理解題意；（2）判斷本試驗的結(jié)果是否為等可能事件，設(shè)出所求事件A；（3）分別求出基本事件的個數(shù)n與所求事件A中所包含的基本事件個數(shù)m；（4）利用公式P（A）＝求出事件A的概率．3．解題方法技巧：（1）利用對立事件、加法公式求古典概型的概率（2）利用分析法求解古典概型．5．模擬方法估計概率【知識點的認識】1、模擬方法﹣﹣概率的應(yīng)用在大量重復(fù)試驗的前提下，可以用隨機事件發(fā)生的頻率來估計其發(fā)生的概率，但確定隨機事件發(fā)生的頻率常常需要人工做大量的重復(fù)試驗，既費時又費力，并且有時很難實現(xiàn)．因此我們可以借助于模擬方法來估計某些隨機事件發(fā)生的概率．2、定義：向平面上有限區(qū)域（集合）G內(nèi)隨機地投擲點M，若點M落在子區(qū)域G1?G的概率與G1的面積成正比，而與G的形狀、位置無關(guān)，即P（點M落在G1）＝，則稱這種模型為幾何概型．說明：幾何概型中的G也可以是空間中或直線上的有限區(qū)域，相應(yīng)的概率是體積之比或長度之比．【解題方法點撥】1、幾何概型與古典概型的比較：類型比較幾何概型古典概型區(qū)別試驗中所有可能出現(xiàn)的結(jié)果（基本事件）有無限多個試驗的所有可能結(jié)果只有有限個，每次試驗只出現(xiàn)其中的一個結(jié)果聯(lián)系每個基本事件（每一個試驗結(jié)果）出現(xiàn)的可能性相等2、求解幾何概型的步驟：（1）適當(dāng)選擇觀察角度（一定要注意觀察角度的等可能性）；（2）把基本事件轉(zhuǎn)化為與之對應(yīng)的區(qū)域；（3）把隨機事件A轉(zhuǎn)化為與之對應(yīng)的區(qū)域；（4）利用概率公式計算．3、如果事件A對應(yīng)的區(qū)域不易處理，可以用其對立事件逆向求解．同時要注意判斷基本事件的等可能性，這需要嚴謹?shù)乃季S，切忌想當(dāng)然，需要從問題的實際背景去判斷．6．相互獨立事件和相互獨立事件的概率乘法公式【知識點的認識】1．相互獨立事件：事件A（或B）是否發(fā)生，對事件B（或A）發(fā)生的概率沒有影響，這樣兩個事件叫做相互獨立事件．2．相互獨立事件同時發(fā)生的概率公式：將事件A和事件B同時發(fā)生的事件即為A?B，若兩個相互獨立事件A、B同時發(fā)生，則事件A?B發(fā)生的概率為：P（A?B）＝P（A）?P（B）推廣：一般地，如果事件A1，A2，…，An相互獨立，那么這n個事件同時發(fā)生的概率等于每個事件發(fā)生的概率之積，即：P（A1?A2…An）＝P（A1）?P（A2）…P（An）3．區(qū)分互斥事件和相互獨立事件是兩個不同的概念：（1）互斥事件：兩個事件不可能同時發(fā)生；（2）相互獨立事件：一個事件的發(fā)生與否對另一個事件發(fā)生的概率沒有影響．7．條件概率【知識點的認識】1、條件概率的定義：對于任何兩個事件A和B，在已知事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的概率叫做條件概率，用符號P（B|A）來表示．（2）條件概率公式：稱為事件A與B的交（或積）．（3）條件概率的求法：①利用條件概率公式，分別求出P（A）和P（AB），得P（B|A）＝，其中P（A）＞0；②借助古典概型概率公式，先求出事件A包含的基本事件數(shù)n（A），再在事件A發(fā)生的條件下求出事件B包含的基本事件數(shù)，即n（A∩B），得P（B|A）＝【解題方法點撥】典例1：利用計算機產(chǎn)生1到6之間取整數(shù)值的隨機數(shù)a和b，在a+b為偶數(shù)的條件下，|a﹣b|＞2發(fā)生的概率是．解：由題意得，利用計算機產(chǎn)生1到6之間取整數(shù)值的隨機數(shù)a和b，基本事件的總個數(shù)是6×6＝36，即（a，b）的情況有36種，事件“a+b為偶數(shù)”包含基本事件：（1，1），（1，3），（1，5），（2，2），（2，4），（2，6），（3，1），（3，3），（3，5），（4，2），（4，4），（4，6）（5，1），（5，3），（5，5），（6，2），（6，4），（6，6）共18個，“在a+b為偶數(shù)的條件下，|a﹣b|＞2”包含基本事件：（1，5），（2，6），（5，1），（6，2）共4個，故在a+b為偶數(shù)的條件下，|a﹣b|＞2發(fā)生的概率是P＝＝故答案為：典例2：甲乙兩班進行消防安全知識競賽，每班出3人組成甲乙兩支代表隊，首輪比賽每人一道必答題，答對則為本隊得1分，答錯不答都得0分，已知甲隊3人每人答對的概率分別為，，，乙隊每人答對的概率都是．設(shè)每人回答正確與否相互之間沒有影響，用ξ表示甲隊總得分．（Ⅰ）求隨機變量ξ的分布列及其數(shù)學(xué)期望E（ξ）；（Ⅱ）求在甲隊和乙隊得分之和為4的條件下，甲隊比乙隊得分高的概率．分析：（Ⅰ）由題設(shè)知ξ的可能取值為0，1，2，3，分別求出P（ξ＝0），P（ξ＝1），P（ξ＝2），P（ξ＝3），由此能求出隨機變量ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望E（ξ）．（Ⅱ）設(shè)“甲隊和乙隊得分之和為4”為事件A，“甲隊比乙隊得分高”為事件B，分別求出P（A），P（AB），再由P（B/A）＝，能求出結(jié)果．解答：（Ⅰ）由題設(shè)知ξ的可能取值為0，1，2，3，P（ξ＝0）＝（1﹣）（1﹣）（1﹣）＝，P（ξ＝1）＝（1﹣）（1﹣）+（1﹣）××（1﹣）+（1﹣）（1﹣）×＝，P（ξ＝2）＝++＝，P（ξ＝3）＝＝，∴隨機變量ξ的分布列為：ξ0123P數(shù)學(xué)期望E（ξ）＝0×+1×+2×+3×＝．（Ⅱ）設(shè)“甲隊和乙隊得分之和為4”為事件A，“甲隊比乙隊得分高”為事件B，則P（A）＝++＝，P（AB）＝＝，P（B|A）＝＝＝．8．全概率公式【知識點的認識】全概率公式一般地，設(shè)A1，A2，…，An是一組兩兩互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P（Ai）＞0，i＝1，2，…，n，則對任意的事件B?Ω，有P（B）＝．9．離散型隨機變量及其分布列【知識點的認識】1、相關(guān)概念；（1）隨機變量：如果隨機試驗的結(jié)果可以用一個變量來表示，那么這樣的變量叫做隨機變量隨機變量常用希臘字母ξ、η等表示．（2）離散型隨機變量：對于隨機變量可能取的值，可以按一定次序一一列出，這樣的隨機變量叫做離散型隨機變量．若ξ是隨機變量，η＝aξ+b，其中a、b是常數(shù)，則η也是隨機變量．（3）連續(xù)型隨機變量：對于隨機變量可能取的值，可以取某一區(qū)間內(nèi)的一切值，這樣的變量就叫做連續(xù)型隨機變量（4）離散型隨機變量與連續(xù)型隨機變量的區(qū)別與聯(lián)系：離散型隨機變量與連續(xù)型隨機變量都是用變量表示隨機試驗的結(jié)果；但是離散型隨機變量的結(jié)果可以按一定次序一一列出，而連續(xù)性隨機變量的結(jié)果不可以一一列出．2、離散型隨機變量（1）隨機變量：在隨機試驗中，試驗可能出現(xiàn)的結(jié)果可以用一個變量X來表示，并且X是隨著試驗結(jié)果的不同而變化的，這樣的變量X叫做一個隨機變量．隨機變量常用大寫字母X，Y，…表示，也可以用希臘字母ξ，η，…表示．（2）離散型隨機變量：如果隨機變量X的所有可能的取值都能一一列舉出來，則稱X為離散型隨機變量．3、離散型隨機變量的分布列．（1）定義：一般地，設(shè)離散型隨機變量X的所有可能值為x1，x2，…，xn；X取每一個對應(yīng)值的概率分別為p1，p2，…，pn，則得下表：Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn該表為隨機變量X的概率分布，或稱為離散型隨機變量X的分布列．（2）性質(zhì)：①pi≥0，i＝1，2，3，…，n；②p1+p2+…+pn＝1．10．離散型隨機變量的均值（數(shù)學(xué)期望）【知識點的認識】1、離散型隨機變量的期望數(shù)學(xué)期望：一般地，若離散型隨機變量ξ的概率分布為x1x2…xn…Pp1p2…pn…則稱Eξ＝x1p1+x2p2+…+xnpn+…為ξ的數(shù)學(xué)期望，簡稱期望．?dāng)?shù)學(xué)期望的意義：數(shù)學(xué)期望離散型隨機變量的一個特征數(shù)，它反映了離散型隨機變量取值的平均水平．平均數(shù)與均值：一般地，在有限取值離散型隨機變量ξ的概率分布中，令p1＝p2＝…＝pn，則有p1＝p2＝…＝pn＝，Eξ＝（x1+x2+…+xn）×，所以ξ的數(shù)學(xué)期望又稱為平均數(shù)、均值．期望的一個性質(zhì)：若η＝aξ+b，則E（aξ+b）＝aEξ+b．11．離散型隨機變量的方差與標(biāo)準差【知識點的認識】1、離散型隨機變量的期望數(shù)學(xué)期望：一般地，若離散型隨機變量ξ的概率分布為x1x2…xn…Pp1p2…pn…則稱Eξ＝x1p1+x2p2+…+xnpn+…為ξ的數(shù)學(xué)期望，簡稱期望．?dāng)?shù)學(xué)期望的意義：數(shù)學(xué)期望離散型隨機變量的一個特征數(shù)，它反映了離散型隨機變量取值的平均水平．平均數(shù)與均值：一般地，在有限取值離散型隨機變量ξ的概率分布中，令p1＝p2＝…＝pn，則有p1＝p2＝…＝pn＝，Eξ＝（x1+x2+…+xn）×，所以ξ的數(shù)學(xué)期望又稱為平均數(shù)、均值．期望的一個性質(zhì)：若η＝aξ+b，則E（aξ+b）＝aEξ+b．2、離散型隨機變量的方差；方差：對于離散型隨機變量ξ，如果它所有可能取的值是x1，x2，…，xn，…，且取這些值的概率分別是p1，p2，…，pn…，那么，稱為隨機變量ξ的均方差，簡稱為方差，式中的Eξ是隨機變量ξ的期望．標(biāo)準差：Dξ的算術(shù)平方根叫做隨機變量ξ的標(biāo)準差，記作．方差的性質(zhì)：．方差的意義：（1）隨機變量的方差的定義與一組數(shù)據(jù)的方差的定義式是相同的；（2）隨機變量的方差、標(biāo)準差也是隨機變量的特征數(shù)，它們都反映了隨機變量取值的穩(wěn)定與波動、集中與離散的程度；（3）標(biāo)準差與隨機變量本身有相同的單位，所以在實際問題中應(yīng)用更廣泛．12．n重伯努利試驗與二項分布【知識點的認識】1、二項分布：一般地，在n次獨立重復(fù)的試驗中，用X表示事件A發(fā)生的次數(shù)，設(shè)每次試驗中事件A發(fā)生的概率為p，則P（X＝k）＝pk（1﹣p）n﹣k，k＝0，1，2，…n，此時稱隨機變量X服從二項分布，記作X～B（n，p），并記pk（1﹣p）n﹣k＝b（k，n，p）．2、獨立重復(fù)試驗：（1）獨立重復(fù)試驗的意義：做n次試驗，如果它們是完全同樣的一個試驗的重復(fù)，且它們相互獨立，那么這類試驗叫做獨立重復(fù)試驗．（2）一般地，在n次獨立重復(fù)試驗中，設(shè)事件A發(fā)生的次數(shù)為X，在每件試驗中事件A發(fā)生的概率為p，那么在n次獨立重復(fù)試驗中，事件A恰好發(fā)生k次的概率為P（X＝k）＝pk（1﹣p）n﹣k，k＝0，1，2，…n，此時稱隨機變量X服從二項分布，記作X～B（n，p），并稱p為成功概率．（3）獨立重復(fù)試驗：若n次重復(fù)試驗中，每次試驗結(jié)果的概率都不依賴于其他各次試驗的結(jié)果，則稱這n次試驗是獨立的．（4）獨立重復(fù)試驗概率公式的特點：Pn（k）＝pk（1﹣p）n﹣k，是n次獨立重復(fù)試驗中某事件A恰好發(fā)生k次的概率．其中，n是重復(fù)試驗的次數(shù)，p是一次試驗中某事件A發(fā)生的概率，k是在n次獨立重復(fù)試驗中事件A恰好發(fā)生的次數(shù)，需要弄清公式中n，p，k的意義，才能正確運用公式．【解題方法點撥】獨立重復(fù)試驗是相互獨立事件的特例（概率公式也是如此），就像對立事件是互斥事件的特例一樣，只要有“恰好”字樣的用獨立重復(fù)試驗的概率公式計算更簡單，就像有“至少”或“至多”字樣的題用對立事件的概率公式計算更簡單一樣．【命題方向】典例1：如果ζ～B（100，），當(dāng)P（ζ＝k）取得最大值時，k＝50．解：∵ζ～B（100，），當(dāng)，由組合數(shù)知，當(dāng)k＝50時取到最大值．故答案為：50．典例2：一個盒子里有2個黑球和m個白球（m≥2，且m∈N*）．現(xiàn)舉行摸獎活動：從盒中取球，每次取2個，記錄顏色后放回．若取出2球的顏色相同則為中獎，否則不中．（Ⅰ）求每次中獎的概率p（用m表示）；（Ⅱ）若m＝3，求三次摸獎恰有一次中獎的概率；（Ⅲ）記三次摸獎恰有一次中獎的概率為f（p），當(dāng)m為何值時，f（p）取得最大值？解：（Ⅰ）∵取出2球的顏色相同則為中獎，∴每次中獎的概率p＝＝；（Ⅱ）若m＝3，每次中獎的概率p＝，∴三次摸獎恰有一次中獎的概率為＝；（Ⅲ）三次摸獎恰有一次中獎的概率為f（p）＝＝3p3﹣6p2+3p（0＜p＜1），∴f′（p）＝3（p﹣1）（3p﹣1），∴f（p）在（0，）上單調(diào)遞增，在（，1）上單調(diào)遞減，∴p＝時，f（p）取得最大值，即p＝＝∴m＝2，即m＝2時，f（p）取得最大值．13．二項分布的均值（數(shù)學(xué)期望）與方差【知識點的認識】二項分布：一般地，在n次獨立重復(fù)的試驗中，用X表示事件A發(fā)生的次數(shù)，設(shè)每次試驗中事件A發(fā)生的概率為p，則P（X＝k）＝pk（1﹣p）n﹣k，k＝0，1，2，…n，此時稱隨機變量X服從二項分布，記作X～B（n，p），并記pk（1﹣p）n﹣k＝b（k，n，p）．﹣均值（數(shù)學(xué)期望）：，其中n為試驗次數(shù)，p為每次試驗成功的概率．﹣方差：．【解題方法點撥】﹣使用二項分布的均值和方差公式來計算相關(guān)概率分布的期望和方差．【命題方向】﹣重點考察二項分布的期望和方差計算，常用于統(tǒng)計數(shù)據(jù)分析和預(yù)測問題．14．正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義【知識點的認識】1．正態(tài)曲線及性質(zhì)（1）正態(tài)曲線的定義函數(shù)φμ，σ（x）＝，x∈（﹣∞，+∞），其中實數(shù)μ和σ（σ＞0）為參數(shù)，我們稱φμ，σ（x）的圖象（如圖）為正態(tài)分布密度曲線，簡稱正態(tài)曲線．（2）正態(tài)曲線的解析式①指數(shù)的自變量是x定義域是R，即x∈（﹣∞，+∞）．②解析式中含有兩個常數(shù)：π和e，這是兩個無理數(shù)．③解析式中含有兩個參數(shù)：μ和σ，其中μ可取任意實數(shù)，σ＞0這是正態(tài)分布的兩個特征數(shù)．④解析式前面有一個系數(shù)為，后面是一個以e為底數(shù)的指數(shù)函數(shù)的形式，冪指數(shù)為﹣．2．正態(tài)分布（1）正態(tài)分布的定義及表示如果對于任何實數(shù)a，b（a＜b），隨機變量X滿足P（a＜X≤b）＝φμ，σ（x）dx，則稱X的分布為正態(tài)分布，記作N（μ，σ2）．（2）正態(tài)總體在三個特殊區(qū)間內(nèi)取值的概率值①P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.6826；②P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）＝0.9544；③P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）＝0.9974．3．正態(tài)曲線的性質(zhì)正態(tài)曲線φμ，σ（x）＝，x∈R有以下性質(zhì)：（1）曲線位于x軸上方，與x軸不相交；（2）曲線是單峰的，它關(guān)于直線x＝μ對稱；（3）曲線在x＝μ處達到峰值；（4）曲線與x軸圍成的圖形的面積為1；（5）當(dāng)σ一定時，曲線隨著μ的變化而沿x軸平移；（6）當(dāng)μ一定時，曲線的形狀由σ確定，σ越小，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中