《電磁場(chǎng)與電磁波》課件第2章

第2章靜電場(chǎng)2.1庫侖定律與電場(chǎng)強(qiáng)度2.2高斯定理2.3靜電場(chǎng)的旋度與靜電場(chǎng)的電位2.4電偶極子2.5電介質(zhì)中的場(chǎng)方程2.6靜電場(chǎng)的邊界條件2.7導(dǎo)體系統(tǒng)的電容2.8電場(chǎng)能量與能量密度2.9電場(chǎng)力

2.1庫侖定律與電場(chǎng)強(qiáng)度

2.1.1庫侖定律

庫侖定律是描述真空中兩個(gè)靜止點(diǎn)電荷之間相互作用的實(shí)驗(yàn)定律。內(nèi)容是，點(diǎn)電荷q′作用于點(diǎn)電荷q的力為

(2-1)式中，R=r－r′表示從r′到r的矢量，R是r′到r的距離，eR是R的單位矢量，ε0是表征真空電性質(zhì)的物理量，稱為真空的介電常數(shù)，其值為庫侖定律表明，真空中兩個(gè)點(diǎn)電荷之間作用力的大小與兩點(diǎn)電荷電量之積成正比，與距離平方成反比，力的方向沿著它們的連線，同號(hào)電荷之間是斥力，異號(hào)電荷之間是引力。點(diǎn)電荷q′受到q的作用力為F′，且F′=－F，可見兩點(diǎn)電荷之間的作用力符合牛頓第三定律(如圖2-1所示)。

庫侖定律只能直接用于點(diǎn)電荷。所謂點(diǎn)電荷，是指當(dāng)帶電體的尺度遠(yuǎn)小于它們之間的距離時(shí)，將其電荷集中于一點(diǎn)的理想化模型。對(duì)于實(shí)際的帶電體，一般應(yīng)該看成是分布在一定的區(qū)域內(nèi)，稱其為分布電荷。分布電荷通常用電荷密度來定量描述電荷的空間分布情況，如圖2-2所示。圖2-1庫侖定律用圖圖2-2電荷分布示意圖電荷體密度的含義是，在電荷分布區(qū)域內(nèi)，取體積元ΔV，若其中的電量為Δq，電荷體密度為(2-2)其單位是庫/米3(C/m3)。這里的ΔV趨于零，是指相對(duì)于宏觀尺度而言很小的體積，以便能精確地描述電荷的空間變化情況；但是相對(duì)于微觀尺度，該體積元又是足夠大，它包含了大量的帶電粒子，這樣才可以將電荷分布看做空間的連續(xù)函數(shù)。我們知道，宏觀物體的帶電量總是電子電荷的整數(shù)倍。一個(gè)電子的帶電量是e=－1.60218×10－19C。其實(shí)在微觀領(lǐng)域，組成原子核的大多數(shù)粒子的帶電量也是如此。只有在涉及強(qiáng)相互作用，此時(shí)尺度小于原子核時(shí)，量子色動(dòng)力學(xué)的夸克模型中，組成基本粒子的夸克才帶分?jǐn)?shù)量值的基本電荷，六種夸克帶電量全是基本電荷的1/3的整數(shù)倍。但是到目前為止，實(shí)驗(yàn)中一直沒有發(fā)現(xiàn)單個(gè)的夸克存在，通?？偸怯蓛蓚€(gè)或者三個(gè)夸克組成一個(gè)粒子，而這個(gè)組成的粒子的帶電量是基本電荷的整數(shù)倍。如果電荷分布在宏觀尺度h很小的薄層內(nèi)，則可認(rèn)為電荷分布在一個(gè)幾何曲面上，用面密度描述其分布。此時(shí)僅僅考慮電荷沿曲面的分布，而不考慮電荷沿曲面厚度方向的變化。若面積元ΔS內(nèi)的電量為Δq，則面密度為

(2-3)對(duì)于分布在一條細(xì)線上的電荷用線密度描述其分布情況。此時(shí)僅僅考慮電荷沿曲線的分布，而不涉及電荷沿帶電線的截面的變化。若線元Δl內(nèi)的電量為Δq

，則線密度為(2-4)2.1.2電場(chǎng)強(qiáng)度

電荷q′對(duì)電荷q的作用力，是由于q′在空間產(chǎn)生電場(chǎng)，電荷q在電場(chǎng)中受力。用電場(chǎng)強(qiáng)度來描述電場(chǎng)，空間一點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度定義為該點(diǎn)的單位正試驗(yàn)電荷所受到的力。在點(diǎn)r

處，試驗(yàn)電荷q受到的電場(chǎng)力為

F(r)=qE(r)

(2-5)

這里的試驗(yàn)電荷是指帶電量很小，引入到電場(chǎng)內(nèi)不影響電場(chǎng)分布的電荷。由兩個(gè)點(diǎn)電荷間作用力的公式(2-1)，可以得到位于點(diǎn)r′處的點(diǎn)電荷q′在r處產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度為

(2-6)以后我們將電荷所在點(diǎn)r′稱為源點(diǎn)，將觀察點(diǎn)r稱為場(chǎng)點(diǎn)。如果真空中一共有n個(gè)點(diǎn)電荷，則r點(diǎn)處的電場(chǎng)強(qiáng)度可由疊加原理計(jì)算。點(diǎn)電荷系統(tǒng)在空間某點(diǎn)產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度等于各個(gè)點(diǎn)電荷單獨(dú)在該點(diǎn)產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度的矢量和，這稱為電場(chǎng)強(qiáng)度疊加原理。依據(jù)疊加原理，得到點(diǎn)電荷系產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度為

(2-7)對(duì)于體分布的電荷，可將其視為一系列點(diǎn)電荷的疊加，從而得出r點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度為(2-8)同理，面電荷和線電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度分別為(2-9)(2-10)

例2-1

一個(gè)半徑為a的均勻帶電圓環(huán)，求軸線上的電場(chǎng)強(qiáng)度。

解取坐標(biāo)系如圖2-3所示，圓環(huán)位于xoy平面，圓環(huán)中心與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，設(shè)電荷線密度為ρl。

由圖可以定出：所以圖2-3例2-1圖例2-2

若上題的圓環(huán)上電荷以ρl=λcosθ的形式分布，重新計(jì)算z軸上某點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度。

解把場(chǎng)點(diǎn)選在z=h處，即r=hez，源點(diǎn)與上題一致，

r′=acosθex+asinθey，由電場(chǎng)強(qiáng)度公式，有

考慮到電荷分布的對(duì)稱性，可以判斷出上述積分僅僅x分量不為零。積分后得到

2.2高斯定理

2.2.1立體角

如圖2-4所示，立體角是由過一點(diǎn)的射線，繞過該點(diǎn)的某一軸旋轉(zhuǎn)一周所掃出的錐面所限定的空間。形成立體角錐體可以是圓錐、橢圓錐、三棱錐等任意錐體。如果以點(diǎn)o′為球心、R為半徑作球面，若立體角的錐面在球面截下的面積為S，則此立體角的大小為Ω=S/R2。立體角的單位是球面度(sr)。整個(gè)球面對(duì)球心的立體角是4π。對(duì)于任一個(gè)有向曲面S，面上的面積元dS對(duì)某點(diǎn)o′的立體角是

(2-11)圖2-4立體角式中r是面積元所處的位置，r′是點(diǎn)o′的位置，R是從點(diǎn)

r′到點(diǎn)r的矢徑，θ是有向面元dS與R的夾角。立體角可以為正，也可以為負(fù)，視夾角θ為銳角或鈍角而定。整個(gè)曲面S對(duì)點(diǎn)o′所張的立體角是

(2-12)若S是封閉曲面，則(2-13)即任意封閉面對(duì)其內(nèi)部任一點(diǎn)所張的立體角為4π，對(duì)外部點(diǎn)所張的立體角為零。

例2-3

求圓錐頂點(diǎn)處的立體角大小。設(shè)圓錐的底面半徑為a，母線為R。

解選取球面坐標(biāo)系計(jì)算，把圓錐的頂點(diǎn)放在坐標(biāo)原點(diǎn)，如圖2-5所示。設(shè)圓錐底面向上的方向?yàn)檎藭r(shí)立體角應(yīng)是一個(gè)正值。由立體角的公式，有其中θ0是底面直徑對(duì)頂點(diǎn)所張的平面角的一半，即。圖2-5例2-3圖例2-4

若立方體的邊長為a，求它的一個(gè)面相對(duì)于其對(duì)面的某個(gè)頂點(diǎn)所張的立體角。

解選取如圖2-6所示的坐標(biāo)系，設(shè)立方體的頂面向上的一側(cè)為正法向，這樣計(jì)算的立體角應(yīng)是一個(gè)正值。頂面的有向面元為dS=ezdxdy。選擇底面上位于坐標(biāo)原點(diǎn)的頂點(diǎn),計(jì)算頂面對(duì)于這個(gè)頂點(diǎn)所張的立體角。由立體角的計(jì)算公式,得

把這個(gè)積分變換到圓柱坐標(biāo)，我們有。由問題的對(duì)稱性，僅僅需要在頂面的二分之一區(qū)域積分，即等于直接在三角形上積分，再乘以2即可。注意r從0積到b,且b=a/cosf;而從0積到π/4。這樣，我們有圖2-6例2-4圖

當(dāng)然，我們也可以根據(jù)對(duì)稱性，不必積分，判斷出上述立體角是全空間的1/24，即π/6。2.2.2高斯定理

高斯定理描述通過一個(gè)閉合面電場(chǎng)強(qiáng)度的通量與閉合面內(nèi)電荷間的關(guān)系。先考慮點(diǎn)電荷的電場(chǎng)穿過任意閉曲面S的通量

(2-14)若q位于S內(nèi)部，上式中的立體角為4π，若位于S外部，上式中的立體角為零。對(duì)點(diǎn)電荷系或分布電荷，由疊加原理得出高斯定理為(2-15)上式中，Q是閉合面內(nèi)的總電荷。高斯定理是靜電場(chǎng)的一個(gè)基本定理。它說明，在真空中穿出任意閉合面的電場(chǎng)強(qiáng)度通量，等于該閉合面內(nèi)部的總電荷量與ε0之比。應(yīng)該注意曲面上的電場(chǎng)強(qiáng)度是由空間的所有電荷產(chǎn)生的，不要錯(cuò)誤地認(rèn)為其與曲面S外部的電荷無關(guān)。但是外部電荷在閉合面上產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度的通量為零。一個(gè)體積內(nèi)部的電通量為零，只能說明體積內(nèi)的正負(fù)電量相等，并不能肯定體積內(nèi)沒有電荷。同樣，一個(gè)體積內(nèi)的電通量為正，僅僅是指體積內(nèi)的總電荷為正，并不意味著體積內(nèi)沒有負(fù)電荷。反之亦然。以上的高斯定理也稱為高斯定理的積分形式，它說明通過閉合曲面的電場(chǎng)強(qiáng)度通量與閉合面內(nèi)的電荷之間的關(guān)系，并沒有說明某一點(diǎn)的情況。要分析一個(gè)點(diǎn)的情形，要用微分形式。如果閉合面內(nèi)的電荷是密度為ρ的體分布電荷，則式(2-15)可以寫為

(2-16)式中V是S所限定的體積。用散度定理，可以將上式左面的面積分變換為散度的體積分，即(2-17)由于體積V是任意的，所以有(2-18)這就是高斯定理的微分形式。它說明，真空中任一點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度的散度等于該點(diǎn)的電荷密度與ε0之比。微分形式描述了一點(diǎn)處的電場(chǎng)強(qiáng)度空間變化和該點(diǎn)電荷密度的關(guān)系。盡管該點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度是由空間的所有電荷產(chǎn)生的，可是這一點(diǎn)電場(chǎng)強(qiáng)度的散度僅僅取決于該點(diǎn)的電荷密度，而與其他電荷無關(guān)。高斯定理的積分形式，可以用來計(jì)算平面對(duì)稱、軸對(duì)稱及球?qū)ΨQ的靜電場(chǎng)問題。解題的關(guān)鍵是能夠?qū)㈦妶?chǎng)強(qiáng)度從積分號(hào)中提出來，這就要求找出一個(gè)封閉面(高斯面)S，且S由兩部分S1和S2組成，在S1上，電場(chǎng)強(qiáng)度E與有向面元dS平行，E∥dS(或二者之間的夾角固定不變)，并且電場(chǎng)強(qiáng)度的大小保持不變；在S2上，有E·dS=0。這樣就可求出對(duì)稱分布電荷產(chǎn)生的場(chǎng)。應(yīng)該注意，用高斯定理計(jì)算電場(chǎng)時(shí)，并沒有要求電場(chǎng)的方向和有向面元夾角為零。如圖2-7所示的封閉曲面，也能夠求出平板電容器內(nèi)的電場(chǎng)。圖2-7平板電容器微分形式用來從電場(chǎng)分布計(jì)算電荷分布。僅僅對(duì)于電荷對(duì)稱分布的問題，可以通過高斯定理的微分形式，通過解偏微分方程求解電場(chǎng)。這是因?yàn)楦咚苟ɡ韮H僅規(guī)定了電場(chǎng)強(qiáng)度的散度，而通過前面矢量分析的學(xué)習(xí)，我們知道，一個(gè)矢量場(chǎng)是由其散度和旋度確定的。下面我們給出用高斯定理的微分形式計(jì)算對(duì)稱分布電場(chǎng)的一個(gè)例子。例2-5

若總量為Q的電荷以ρ=(Q/2πa2r)的形式分布在半徑為a的球內(nèi)，球外沒有電荷。求電場(chǎng)強(qiáng)度。

解這個(gè)題目，可以用高斯定理積分形式求解，也可以通過解電位的泊松方程計(jì)算。我們?cè)诖擞酶咚苟ɡ淼奈⒎中问角蠼狻Ｓ捎趩栴}是球?qū)ΨQ的，因而球內(nèi)外電場(chǎng)僅僅有徑向分量，且電場(chǎng)只是徑向坐標(biāo)r的函數(shù)。設(shè)球內(nèi)、外電場(chǎng)分別為E1和E2。則有解這兩個(gè)方程，得到；。其中A和B是待定常數(shù)。在球內(nèi)，盡管電荷密度當(dāng)r趨于零時(shí)為無窮大，但圍繞球心作一個(gè)半徑很小的球面，此球面內(nèi)部的電荷是有限的。并且當(dāng)剛才的球面半徑趨于零時(shí)，其內(nèi)部電荷量也是趨于零的。因而r等于零的點(diǎn)，電場(chǎng)不應(yīng)該是無窮大。這樣就定出系數(shù)A=0;至于系數(shù)B，我們用r=a的界面兩側(cè)，電場(chǎng)連續(xù)(具體的論述，見本章2.6節(jié))，就得到B=Q/(4πε0)。最后得到所求電場(chǎng)是:

在球內(nèi)電場(chǎng)的大小是一個(gè)常量，這并不意味著電場(chǎng)的散度為零。因?yàn)榍蛎孀鴺?biāo)系中，徑向單位矢量不是常矢量，它的散度不為零。實(shí)際上，。再次強(qiáng)調(diào)指出，只有電荷分布對(duì)稱時(shí)，才能用高斯定理的微分形式計(jì)算電場(chǎng)。如果不是對(duì)稱分布問題，是求解不出電場(chǎng)的。因?yàn)殡妶?chǎng)有三個(gè)分量，而微分形式的高斯定理僅是一個(gè)散度方程，由一個(gè)方程是解不出三個(gè)分量的。例2-6

假設(shè)在半徑為a的球體內(nèi)均勻分布著密度為ρ0的電荷，求任意點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度。

解本題的電荷分布是球?qū)ΨQ的，電場(chǎng)強(qiáng)度僅有徑向分量Er同時(shí)它具有球?qū)ΨQ性質(zhì)。作一個(gè)與帶電體同心、半徑為r的球面，將積分形式的高斯定理運(yùn)用到此球面上。

當(dāng)r>a時(shí)，

故當(dāng)r<a時(shí)，所以

例2-7

已知半徑為a的球內(nèi)、外的電場(chǎng)強(qiáng)度為求電荷分布。解由高斯定理的微分形式，得電荷密度為用球坐標(biāo)中的散度公式

可得

2.3靜電場(chǎng)的旋度與靜電場(chǎng)的電位

2.3.1靜電場(chǎng)的旋度

靜電場(chǎng)是一個(gè)矢量場(chǎng)，除了要討論它的散度外，還要討論它的旋度。在點(diǎn)電荷及分布電荷的電場(chǎng)強(qiáng)度表示式中，均含有因子(r－r′)/|r－r′|3。以下以體分布電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度為例，討論它的旋度特性。由于(2-19)可將體電荷的電場(chǎng)強(qiáng)度表示式改寫為(2-20)應(yīng)注意式中的積分是對(duì)源點(diǎn)r′進(jìn)行，算子是對(duì)場(chǎng)點(diǎn)作用，因而可將▽移到積分號(hào)外。此式說明，電場(chǎng)強(qiáng)度表示為一個(gè)標(biāo)量位函數(shù)的負(fù)梯度，所以有(2-21)即靜電場(chǎng)的旋度恒等于零，這表明靜電場(chǎng)是無旋場(chǎng)。2.3.2電位

如上所述，可用一個(gè)標(biāo)量函數(shù)的負(fù)梯度表示電場(chǎng)強(qiáng)度。這個(gè)標(biāo)量函數(shù)就是電場(chǎng)的位函數(shù)，簡稱為電位，電位φ的定義由下式確定

(2-22)電位的單位是伏(V)，因此電場(chǎng)強(qiáng)度的單位是伏/米(V/m)。體分布的電荷在場(chǎng)點(diǎn)r處的電位是(2-23)線電荷和面電荷的電位與上式相似，只需將電荷密度和積分區(qū)域作相應(yīng)的改變。對(duì)于位于源點(diǎn)r′處的點(diǎn)電荷q，其在r處產(chǎn)生的電位是

(2-24)式(2-23)和式(2-24)中本來還要加上一個(gè)常數(shù)。為簡單計(jì)，取這個(gè)常數(shù)為零。因?yàn)殪o電場(chǎng)是無旋場(chǎng),其在任意閉合回路的環(huán)量為零,即(2-25)這表明，靜電場(chǎng)是一個(gè)保守場(chǎng)，它沿某一路徑從P0點(diǎn)到P點(diǎn)的線積分與路徑無關(guān)，僅僅與起點(diǎn)和終點(diǎn)的位置有關(guān)。下面討論電場(chǎng)強(qiáng)度沿某一路徑的線積分(2-26)因?yàn)?/p>

(2-27)故(2-28)或(2-29)通常，稱j(P)－j(P0)為P與P0兩點(diǎn)間的電位差(或電壓)。一般選取一個(gè)固定點(diǎn)，規(guī)定其電位為零，稱這一固定點(diǎn)為參考點(diǎn)。當(dāng)取P0點(diǎn)為參考點(diǎn)時(shí)，P點(diǎn)處的電位為當(dāng)電荷分布在有限的區(qū)域時(shí)，選取無窮遠(yuǎn)處為參考點(diǎn)較為方便。此時(shí)(2-30)

2.3.3電位微分方程

下面分析電位的微分方程。將

代入高斯定理的微分形式得到(2-31)上面的方程稱為泊松方程，若討論的區(qū)域ρ=0，則電位微分方程變?yōu)?2-32)以上形式的二階偏微分方程稱為拉普拉斯方程。滿足拉普拉斯方程的函數(shù)稱為三維空間的調(diào)和函數(shù)。調(diào)和函數(shù)的最大特點(diǎn)是，在任意的區(qū)域內(nèi)，它既無極大值，也無極小值。它在區(qū)域的邊界上達(dá)到極值。上述方程中的▽2在直角坐標(biāo)系里為

關(guān)于拉普拉斯方程的一般求解方法將在靜態(tài)場(chǎng)的解一章中討論。例2-8

位于xoy平面上的半徑為a、圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)的帶電圓盤，面電荷密度為ρS，如圖2-8所示，求z軸上的電位。圖2-8均勻帶電圓盤解由面電荷產(chǎn)生的電位公式

以上結(jié)果是z>0的結(jié)論，對(duì)任意軸上的任意點(diǎn)，電位是例2-9

求上題中均勻帶電圓盤邊緣處的電位。解由于問題是旋轉(zhuǎn)對(duì)稱的，邊緣上各個(gè)點(diǎn)的電位一致。選場(chǎng)點(diǎn)A，在直角坐標(biāo)系中，它的坐標(biāo)為x=－a，y=0，z=0。如圖2-9所示。圖2-9圓盤邊緣電位

這個(gè)積分，如果直接積，比較繁瑣。我們把坐標(biāo)平移，選一個(gè)新的平面極坐標(biāo)系。它的原點(diǎn)就選剛才的場(chǎng)點(diǎn)，徑向坐標(biāo)用R表示，角度用θ表示。由坐標(biāo)系變換的雅克比行列式得到dxdy=r′dr′df=RdRdθ。注意到圓周在新坐標(biāo)系的方程為R=2acosθ，角度θ的取值范圍為－90°~90°；則把這個(gè)結(jié)果和上一個(gè)題目比較，可以知道，均勻帶電圓盤不是一個(gè)等位面。如果帶電圓盤是導(dǎo)體，其上面的電荷分布必然是不均勻的。

例2-10

半徑為a的均勻帶電導(dǎo)體球面(如圖2-10所示)，所得電量為Q，求導(dǎo)體球內(nèi)外任一點(diǎn)的電位。

解容易得出導(dǎo)體面上的電荷密度為，根據(jù)面電荷所產(chǎn)生的電位表達(dá)式由于電荷分布是球?qū)ΨQ的，其產(chǎn)生的電位也是球?qū)ΨQ的。我們把場(chǎng)點(diǎn)選在坐標(biāo)的z軸上，即場(chǎng)點(diǎn)的位置為r=rez；源點(diǎn)在球面坐標(biāo)系的位置為r′=(a，θ′，f′)。因而，我們有

圖2-10均勻帶電球面考慮到問題的對(duì)稱性，先對(duì)方位角f′積分，得到

這樣，就有由余弦定理得R2=r2+a2－2arcosθ′，對(duì)其微分，注意，此時(shí)a和r是不變的，僅僅角度θ′變化，我們有RdR=arsinθ′dθ′。當(dāng)場(chǎng)點(diǎn)位于導(dǎo)體球外部時(shí)，r>a，電位為當(dāng)場(chǎng)點(diǎn)位于導(dǎo)體球內(nèi)部或在球面上時(shí)，r≤a，電位為

這個(gè)結(jié)果表明，均勻帶電球面在球外產(chǎn)生的電位，相當(dāng)于位于球心等量電荷在球外產(chǎn)生的電位。同樣，這個(gè)題目也可采用對(duì)稱性，由高斯定理計(jì)算，而不必積分。例2-11

求均勻帶電球體產(chǎn)生的電位。

解在前面我們計(jì)算了均勻帶電球體的電場(chǎng)，由此可求出電位。當(dāng)r>a

時(shí)

當(dāng)r<a時(shí)我們把上述結(jié)果和采用電位積分公式比較，會(huì)得出一個(gè)很有用的積分公式，即(2-33)這個(gè)公式，在分析平方反比場(chǎng)的位函數(shù)時(shí)很有用。比如均勻帶電球體的電位或者質(zhì)量均勻球?qū)ΨQ分布的引力勢(shì)，都會(huì)碰到這個(gè)積分。例2-12

若半徑為a的導(dǎo)體球面的電位為V0

，球外無電荷，求空間的電位。

解可以通過求解電位的微分方程計(jì)算電位。對(duì)于一般問題，電位方程是二階偏微分方程，但是對(duì)于本題，因其是對(duì)稱的，就簡化為常微分方程。顯然電位僅僅是變量r的函數(shù)。球外的電位用j表示。

將以上方程寫成球坐標(biāo)的形式，即對(duì)以上方程積分一次，得

即再對(duì)其積分一次，得到這里出現(xiàn)的兩個(gè)常數(shù)通過導(dǎo)體球面上的電位和無窮遠(yuǎn)處的電位來確定，在導(dǎo)體球面上，電位為V0，無窮遠(yuǎn)處電位為零。分別將r=a，r=∞代入上式，得這樣解出兩個(gè)常數(shù)為C1=－aV0，C2=0，所以

2.4電偶極子

2.4.1電偶極子的電位和電場(chǎng)

電偶極子是指由間距很小的兩個(gè)等量異號(hào)點(diǎn)電荷組成的系統(tǒng)，如圖2-11所示。真空中電偶極子的電場(chǎng)和電位可用來分析電介質(zhì)的極化問題。用電偶極矩表示電偶極子的大小和空間取向，它定義為電荷q乘以有向距離l

，即

p=ql

(2-36)

電偶極矩是一個(gè)矢量，它的方向是由負(fù)電荷指向正電荷。電偶極矩的單位是庫侖乘以米(C·m)。在分析分子、原子等微觀問題時(shí)常采用德拜(D)作為偶極矩的電位,1C·m=3×1029D。圖2-11電偶極子下面分析電偶極子的電位和電場(chǎng)。取電偶極子的軸和z軸重合，電偶極子的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)。電偶極子在空間任意點(diǎn)r的電位為

其中，r1和r2分別表示場(chǎng)點(diǎn)r與q和－q的距離。當(dāng)l<<r

時(shí)，我們有：對(duì)于上述表達(dá)式，我們進(jìn)行近似處理。首先r1r2≈r2；其次，當(dāng)場(chǎng)點(diǎn)到坐標(biāo)系原點(diǎn)的距離遠(yuǎn)大于偶極子的長度，即l<<r時(shí),分別從正負(fù)電荷到場(chǎng)點(diǎn)的連線近似認(rèn)為是平行的。這樣就有：

r2－r1≈lcosθ

同樣，這個(gè)結(jié)果也可以由余弦定理計(jì)算出上述各個(gè)距離，再作級(jí)數(shù)展開，忽略高階無窮小量，可得出與上面的公式一致的結(jié)果。從而有

(2-37)或(2-38)其電場(chǎng)強(qiáng)度在球坐標(biāo)中的表示式為(2-39)電偶極子的等位面方程為r2=Acosθ；而其電力線方程為r=Bsin2θ。上面兩個(gè)公式中的A和B是常數(shù)，令其取不同的值，就可以做出電偶極子在子午面內(nèi)的等位線和電力線。

例2-13

如圖2-12所示的帶電系統(tǒng)，表示一個(gè)電四極子。位于原點(diǎn)的電荷是－2Q，位于z=s的電荷是Q，位于z=－s的電荷是Q。求其產(chǎn)生的電位。

解

由于s遠(yuǎn)小于r，我們把R1和R2展開，保留s2/r2項(xiàng)，忽略其他高階項(xiàng)。我們有圖2-12電四極子

最后得到其等位面方程為r3=C(3cos2θ－1)，其中C是正實(shí)數(shù)。當(dāng)cos2θ>1/3時(shí)，電位為正；當(dāng)cos2θ<1/3時(shí)，電位為負(fù)；當(dāng)cos2θ=1/3時(shí)，電位為零。其在子午面內(nèi)等位線如圖2-12(b)所示。圖中的帶陰影的區(qū)域電位為負(fù)，不帶陰影區(qū)域電位為正。

例2-14

平面偶極子由兩個(gè)彼此平行，且?guī)в械攘慨愄?hào)線電荷的無窮長直導(dǎo)線構(gòu)成(如圖2-13所示)。設(shè)帶正電荷的導(dǎo)線位于xoy平面x=s的地方，帶負(fù)電的導(dǎo)線位于x=－s

處。求其電位。

解設(shè)導(dǎo)線的電荷線密度為±ρl，則其電位為

圖2-13平面偶極子

其中ρ和f是圓柱坐標(biāo)中的半徑和方位角。當(dāng)s<<ρ時(shí)，其中2sρl是平面偶極子的電偶極矩。無窮長帶電直導(dǎo)線產(chǎn)生的電場(chǎng)與距離(即二維半徑)成反比，平面偶極子產(chǎn)生的電位與距離成反比，它的電場(chǎng)與距離平方成反比。在三維情形下，電偶極子的電位和電場(chǎng)分別與r2和r3成反比，單個(gè)點(diǎn)電荷的電位和電場(chǎng)分別與r和r2成反比。這是因?yàn)樵谶h(yuǎn)區(qū)，正負(fù)電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)有一部分相互抵消的緣故。電偶極子的場(chǎng)分布具有軸對(duì)稱性。同理，由兩個(gè)大小相等，反平行放置且二者之間的間距很小的電偶極子組成的帶電系統(tǒng)，叫做電四極子。電四極子的電位和電場(chǎng)分別與r3和r4成反比。依此類推，可以求出電多極子等的電位和電場(chǎng)。例2-15

若四個(gè)帶電直導(dǎo)線均與xoy平面垂直。位于原點(diǎn)的導(dǎo)線的電荷密度為－3λ，其余三個(gè)導(dǎo)線帶電相同，均為λ，且這些帶正電的導(dǎo)線均勻分布在半徑為a的圓周上，如圖2-14所示，求電位。

解把從三個(gè)正電荷出發(fā)的平面向量分布記為Ra、Rb、Rc，從圓心出發(fā)的向量記為R。由直導(dǎo)線的電位公式，該帶電系統(tǒng)的電位為

由余弦定理，把上述公式中分母的各個(gè)距離用場(chǎng)點(diǎn)表示，就有圖2-14平面電八極子

由于a遠(yuǎn)小于ρ，s=a/ρ，把上述三項(xiàng)各項(xiàng)近似展開，保留s的三次及其三次以下各項(xiàng)，忽略掉次要項(xiàng)。由于R2a/ρ2=1－2scosf+s2，因而ln(R2a/ρ2)=ln[1－(2scosf－s2)]，使用公式對(duì)于Rb和Rc作同樣的處理。我們令并且有如下關(guān)系式：

把其化簡，忽略次要項(xiàng)，最后得到這樣的帶電系統(tǒng)，是一個(gè)平面電八極子，式中ρ為圓柱坐標(biāo)的徑向，而λa3是平面八極子的電八極矩。其等位線為ρ3=Acos3f，其中A是常數(shù)。在半徑固定的圓周上，當(dāng)f=0、2π/3、4π/3時(shí)電位達(dá)到正的最大值；當(dāng)f=π/3、π、5π/6時(shí)，電位取負(fù)的極大值。其等位線如圖2-14(b)所示。其中實(shí)線表示正電位，點(diǎn)畫線表示負(fù)電位。2.4.2外電場(chǎng)中的偶極子

我們不加推導(dǎo)的直接給出電偶極子在外電場(chǎng)中受到的力及其力矩。電偶極子在外電場(chǎng)中所具有的電場(chǎng)能量為We=

－E·p=－Epcosθ。其中θ是外電場(chǎng)與電偶極子取向之間的夾角。其在外電場(chǎng)中受到的力矩為T=－Epsinθ。在均勻外電場(chǎng)中受力為零，在非均勻外電場(chǎng)中受力為

。

2.5電介質(zhì)中的場(chǎng)方程

2.5.1介質(zhì)的極化

電介質(zhì)中有靜電場(chǎng)時(shí)，必須考慮電場(chǎng)與電介質(zhì)的相互作用所引起的影響。電介質(zhì)在電結(jié)構(gòu)方面的特性是電子與原子核的結(jié)合力相當(dāng)大，彼此之間相互束縛著。在外加電場(chǎng)的作用下，組成電介質(zhì)的分子內(nèi)電荷，只能在微觀范圍內(nèi)移動(dòng)，即在一個(gè)分子的尺度內(nèi)移動(dòng)。電荷不能從電介質(zhì)中的某點(diǎn)移動(dòng)到另外一點(diǎn)。與電介質(zhì)相反，導(dǎo)體中的電荷能夠在導(dǎo)體內(nèi)部和表面上移動(dòng)。外加電場(chǎng)使電介質(zhì)中的電荷發(fā)生移動(dòng)，正電荷向電場(chǎng)方向位移，而負(fù)電荷向相反方向位移，從而使正負(fù)電荷相互分離，使電介質(zhì)內(nèi)產(chǎn)生一個(gè)附加的電場(chǎng)，這種現(xiàn)象稱為電介質(zhì)的極化。任何物質(zhì)的分子或原子都是由帶負(fù)電的電子和帶正電的原子核組成。依其特性可分為極性分子和非極性分子。非極性分子是指分子的正負(fù)電荷中心重合，無外加電場(chǎng)時(shí)，分子偶極矩為零的分子，如H2，N2，CCl4等分子。極性分子是指分子的正負(fù)電荷中心不重合，無外加電場(chǎng)時(shí)，分子偶極矩不為零，本身具有一個(gè)固有極矩的分子，如H2O分子。

介質(zhì)的極化一般分為三種情況。分別叫做電子極化，離子極化，取向極化。

1.電子極化

電子極化是指組成原子的電子云在電場(chǎng)的作用下，電子云相對(duì)于原子核發(fā)生位移，形成附加的電偶極矩。單原子分子，比如He和Ne，它們的簡單模型是在其中心有一個(gè)帶正電荷的原子核，原子核的周圍是帶負(fù)電的對(duì)稱分布的電子云。無外加電場(chǎng)時(shí)，分子的電偶極矩為零。加上外電場(chǎng)時(shí)，電子云相對(duì)于原子核作彈性位移，從而產(chǎn)生一個(gè)附加電場(chǎng)。這種極化稱為電子極化。

2.離子極化

有些物質(zhì)，比如H2和N2，是由兩個(gè)或者多個(gè)原子，依靠離子鍵結(jié)合的。外電場(chǎng)使正負(fù)離子相互分離，從而使分子的電偶極矩不為零。這種極化稱為離子極化。許多物質(zhì)的離子極化，當(dāng)外加電場(chǎng)消失以后，能夠永久存在。這種現(xiàn)象叫做永久極化。鐵電物質(zhì)和駐極體都能夠永久極化，類似于永久磁鐵。

3.取向極化

許多物質(zhì)，比如有機(jī)酸等，它們的分子至少包含兩種不同的原子，其中一種原子的外圍電子全部或部分轉(zhuǎn)移到另外原子上，結(jié)果正負(fù)電荷中心不重合，每個(gè)分子具有永久電矩。這種分子，稱為極性分子。極性分子本身具有固有電偶極矩，由于分子的熱運(yùn)動(dòng)，使各個(gè)分子的電偶極矩雜亂無章地排列，從而使其合成電矩為零。但是在電場(chǎng)作用下，雖然外電場(chǎng)對(duì)極性分子的合力為零，但極性分子受到的力矩并不為零。這個(gè)力矩使分子偶極矩發(fā)生轉(zhuǎn)動(dòng)，平衡時(shí)，分子電矩和外加電場(chǎng)方向一致。這種極化叫做取向極化。單原子的電介質(zhì)只有電子極化；所有化合物都存在離子極化和電子極化；一些化合物同時(shí)存在三種極化。

在極化介質(zhì)中，每一個(gè)分子都是一個(gè)電偶極子，整個(gè)介質(zhì)可以看成是真空中電偶極子有序排列的集合體。用極化強(qiáng)度表征電介質(zhì)的極化性質(zhì)，極化強(qiáng)度是一個(gè)矢量，它代表單位體積中電矩的矢量和。假設(shè)體積元ΔV里分子電矩的總和為∑p，則極化強(qiáng)度P為

(2-40)極化強(qiáng)度的單位是C/m2。2.5.2極化介質(zhì)產(chǎn)生的電位

當(dāng)一塊電介質(zhì)受外加電場(chǎng)的作用而極化后，就等效為真空中一系列電偶極子。極化介質(zhì)產(chǎn)生的附加電場(chǎng)實(shí)質(zhì)上就

是這些電偶極子產(chǎn)生的電場(chǎng)。如圖2-15所示，設(shè)極化介質(zhì)的體積為V，表面積是S，極化強(qiáng)度是P?，F(xiàn)在計(jì)算介質(zhì)外部任一點(diǎn)的電位。在介質(zhì)中r′處取一個(gè)體積元ΔV′，因|r－r′|遠(yuǎn)大于ΔV′的線度，故可將ΔV′中介質(zhì)當(dāng)成一偶極子，其偶極矩為p=PΔV′，它在r處產(chǎn)生的電位是(2-41)圖2-15極化介質(zhì)的電位整個(gè)極化介質(zhì)產(chǎn)生的電位是上式的積分(2-42)對(duì)上式進(jìn)行變換，利用關(guān)系式變換為(2-43)再利用矢量恒等式令，A=P，則(2-44)式中，n是S上某點(diǎn)的外法向單位矢量，上式的第一項(xiàng)與面分布電荷產(chǎn)生的電位表示式形式相同，第二項(xiàng)與體分布電荷產(chǎn)生的電位表達(dá)式形式相同，P(r′)·n和分別有面電荷密度和體電荷密度的量綱，因此極化介質(zhì)產(chǎn)生的電位可以看做是等效體分布電荷和面分布電荷在真空中共同產(chǎn)生的。等效體電荷密度和面電荷密度分別為

這個(gè)等效電荷也稱為極化電荷，或者稱為束縛電荷。在實(shí)際計(jì)算時(shí)，我們一般把公式(2-45)寫為下述形式：(2-45)(2-46)(2-47)在以上的分析中，場(chǎng)點(diǎn)是選取在介質(zhì)外部，可以證明，上面的結(jié)果也適用于極化介質(zhì)內(nèi)部任一點(diǎn)的電位的計(jì)算。有了電位表達(dá)式，就能求出極化介質(zhì)產(chǎn)生的電場(chǎng)。實(shí)際上，以上的電位電場(chǎng)，僅僅考慮的是束縛電荷產(chǎn)生的那一部分，空間的總電場(chǎng)應(yīng)該再加上自由電荷(也就是外加電荷)產(chǎn)生的電場(chǎng)。例2-16

一個(gè)半徑為a的均勻極化介質(zhì)球(如圖2-16所示)，極化強(qiáng)度是P0ex求極化電荷分布及介質(zhì)球的電偶極矩。

解取球坐標(biāo)系，讓球心位于坐標(biāo)原點(diǎn)。極化電荷體密度為極化電荷面密度為分布電荷對(duì)于原點(diǎn)的偶極矩由下式計(jì)算(附帶說明一下，一個(gè)帶電系統(tǒng)的電偶極矩，與選取的參考點(diǎn)無關(guān)，也就是說，可以選取任意點(diǎn)作為參考點(diǎn)來計(jì)算電偶極矩。我們?cè)诖耸沁x坐標(biāo)的原點(diǎn)為電偶極矩的參考點(diǎn)):圖2-16極化介質(zhì)球

積分區(qū)域D是電荷分布的區(qū)域。如果是體分布，作體積分；同樣對(duì)于線電荷或者面電荷，作相應(yīng)的積分。對(duì)于此問題，我們有

，代入球面上的各量最后得出其實(shí)，由于本問題是均勻極化，等效偶極矩肯定等于極化強(qiáng)度與體積之積。例2-17

計(jì)算上述均勻極化球所產(chǎn)生的電位。

解依照公式(2-43)，則有在上述推導(dǎo)中，采用了關(guān)系式；又考慮到積分時(shí)，是以帶撇的量為變量計(jì)算的，而求偏導(dǎo)數(shù)是對(duì)于不帶撇的量進(jìn)行的。所以可以把求偏導(dǎo)數(shù)提到積分外面。在采用我們前面計(jì)算均勻分布球?qū)ΨQ電荷的電位時(shí)得到的積分公式(2-33)，即

這樣，在介質(zhì)球外部，我們有考慮到z=rcosθ，容易得出，因而，有如下關(guān)系式:

至于球內(nèi)電位，同樣容易得出求電位的負(fù)梯度就可以得到電場(chǎng)。介質(zhì)球外部的電位和電場(chǎng)，等于在球心處放置一個(gè)電偶極矩為ez4πa3P0/3的偶極子產(chǎn)生的。至于球內(nèi)電場(chǎng)，則是一個(gè)均勻場(chǎng)，且E=－ezP0/3ε0。當(dāng)空間存在兩種不同的電介質(zhì)時(shí)，界面上的束縛電荷密度為ρSP=－n·(P2－P1)，式中n是界面上從區(qū)域1到區(qū)域2的法向單位矢量。2.5.3介質(zhì)中的場(chǎng)方程

在真空中高斯定理的微分形式為，其中的電荷是指自由電荷。如前述，極化介質(zhì)產(chǎn)生的電場(chǎng)等效于束縛電荷的影響，因此，在電介質(zhì)中，高斯定理的微分形式可寫為

(2-48)將代入，得這表明，矢量ε0E+P的散度為自由電荷密度，稱此矢量為電位移矢量(或電感應(yīng)強(qiáng)度矢量)，并記為D，即(2-49)于是，介質(zhì)中高斯定理的微分形式為

(2-50)在介質(zhì)中，電場(chǎng)強(qiáng)度的旋度仍然為零。將介質(zhì)中靜電場(chǎng)的方程歸納如下(2-51)(2-52)與其相應(yīng)的積分形式是(2-53)(2-54)

2.5.4介電常數(shù)

在分析電介質(zhì)中的靜電問題時(shí)，必須知道極化強(qiáng)度P與電場(chǎng)強(qiáng)度E之間的關(guān)系。P與E之間的關(guān)系由介質(zhì)的固有特性決定，這種關(guān)系稱為組成關(guān)系。如果P和E同方向，就稱為各向同性介質(zhì)，若二者成正比，就稱為線性介質(zhì)。實(shí)際應(yīng)用中的大多數(shù)介質(zhì)都是線性各向同性介質(zhì)，其組成關(guān)系為(2-55)式中χe為極化率，是一個(gè)無量綱常數(shù)。從而有(2-56)稱εr為介質(zhì)的相對(duì)介電常數(shù)，稱ε為介質(zhì)的介電常數(shù)。在線性介質(zhì)中，電場(chǎng)強(qiáng)度越大，極化強(qiáng)度越大。但在電介質(zhì)中，電場(chǎng)不能任意增大。如果超過某一數(shù)值，就會(huì)發(fā)生火花放電。這種現(xiàn)象叫做電介質(zhì)的擊穿。在不發(fā)生火花放電的條件下，介質(zhì)能夠承受的最大電場(chǎng)，叫做介質(zhì)的擊穿強(qiáng)度。不同的材料，擊穿強(qiáng)度不同。比如，空氣為3×106V/m；而云母為2×108V/m。

對(duì)于均勻介質(zhì)(ε為常數(shù))，電位滿足如下的泊松方程(2-57)在自由電荷為零的區(qū)域，電位滿足拉普拉斯方程。例2-18

一個(gè)半徑a的導(dǎo)體球，帶電量為Q，在導(dǎo)體球外套有外半徑為b的同心介質(zhì)球殼，殼外是空氣，如圖2-17所示。求空間任一點(diǎn)的D、E、P以及束縛電荷密度。

解因?qū)w及介質(zhì)的結(jié)構(gòu)是球?qū)ΨQ的，要保持導(dǎo)體球內(nèi)的電場(chǎng)強(qiáng)度為零，顯然自由電荷及其束縛電荷的分布也必須是球?qū)ΨQ的。從而，D、E、P的分布也是球?qū)ΨQ的。即自由電荷均勻分布在導(dǎo)體球面上，D在徑向方向，且在與導(dǎo)體球同心的任一球面上D的數(shù)值相等。用介質(zhì)中的高斯定理的積分形式，取半徑為r并且與導(dǎo)體球同心的球面為高斯面，得圖2-17例2-18圖介質(zhì)內(nèi)(a<r<b)

介質(zhì)外(b<r)P=0介質(zhì)內(nèi)表面(r=a)的束縛電荷面密度介質(zhì)外表面(r=b)的束縛電荷面密度

2.6靜電場(chǎng)的邊界條件

不同的電介質(zhì)的極化性質(zhì)一般不同，因而在不同介質(zhì)的分界面上靜電場(chǎng)的場(chǎng)分量一般不連續(xù)，場(chǎng)分量在界面上的變化規(guī)律叫做邊界條件。以下我們由介質(zhì)中場(chǎng)方程的積分形式導(dǎo)出邊界條件。

如圖2-18所示，分界面兩側(cè)的介電常數(shù)分別為ε1、ε2，用n表示界面的法向，并規(guī)定其方向由介質(zhì)1指向介質(zhì)2?？梢詫和E在界面上分解為法向分量和切向分量，法向分量沿n方向，切向分量與n垂直。先推導(dǎo)法向分量的邊界條件。在分界面兩側(cè)作一個(gè)圓柱形閉合曲面，頂面和底面分別位于分界面兩側(cè)且都與分界面平行，其面積為ΔS，將介質(zhì)中積分形式的高斯定理應(yīng)用于這個(gè)閉合面，然后令圓柱的高度趨于零，此時(shí)在側(cè)面的積分為零，于是有

即

n·(D2－D1)=ρS

(2-58)或

D2n－D1n=ρS

(2-59)其中ρS表示分界面上的自由面電荷密度。上式說明，電位移矢量的法向分量在通過界面時(shí)一般不連續(xù)。如果界面上無自由電荷分布，即在ρS=0時(shí)，邊界條件變?yōu)?2-60)(2-61)這說明在無自由電荷分布的界面上，電位移矢量的法向分量是連續(xù)的。圖2-18法向邊界條件現(xiàn)在推導(dǎo)電場(chǎng)強(qiáng)度切向分量的邊界條件。設(shè)分界面兩側(cè)的電場(chǎng)強(qiáng)度為E1、E2，如圖2-19所示，在界面上作一個(gè)狹長矩形回路，兩條長邊分別在分界面兩側(cè)，且都與分界面平行，作電場(chǎng)強(qiáng)度沿該矩形回路的積分，并令矩形的短邊趨于零，有因?yàn)棣2=l°Δl

，Δl1=－l°Δl，l°是單位矢量，上式變?yōu)?E2－E1)·l°=0，注意到n⊥l°，故有

n×(E2－E1)=0

(2-62)或

E2t=E1t

圖2-19切向邊界條件

這表明，電場(chǎng)強(qiáng)度的切向分量在邊界面兩側(cè)是連續(xù)的。邊界條件可以用電位來表示。電場(chǎng)強(qiáng)度的切向分量連續(xù)，意味著電位是連續(xù)的，即(2-63)由于(2-64)(2-65)法向分量的邊界條件用電位表示為在ρS=0時(shí)，電位在界面兩側(cè)一般是連續(xù)的，如圖2-20所示。但是當(dāng)界面上有電偶層時(shí)，電位不連續(xù)。電偶層是指兩個(gè)帶有等量異號(hào)電荷的薄板，間距s很小，電荷面密度很大，且電荷密度乘以間距s是一個(gè)常數(shù)。最后，分析電場(chǎng)強(qiáng)度矢量經(jīng)過兩種電介質(zhì)界面時(shí)，其方向的改變情況。設(shè)區(qū)域1和區(qū)域2內(nèi)電力線與法向的夾角分別為θ1、θ2

，由式(2-61)和式(2-62)得出

另外，在導(dǎo)體表面，邊界條件可以簡化。導(dǎo)體內(nèi)的靜電場(chǎng)在靜電平衡時(shí)為零，設(shè)導(dǎo)體外部的場(chǎng)為E、D

，導(dǎo)體的外法向?yàn)閚，則導(dǎo)體表面的邊界條件簡化為Et=0

(2-66)Dn=ρS

(2-67)圖2-20界面處的場(chǎng)分布例2-19

同心球電容器的內(nèi)導(dǎo)體半徑為a，外導(dǎo)體的內(nèi)半徑為b，其間填充兩種介質(zhì)，上半部分的介電常數(shù)為ε1，下半部分的介電常數(shù)為ε2，如圖2-21所示，設(shè)內(nèi)外導(dǎo)體帶電分別為q

和－q

，求各部分的電位移矢量和電場(chǎng)強(qiáng)度。

解兩個(gè)極板間的場(chǎng)分布要同時(shí)滿足介質(zhì)分界面和導(dǎo)體表面的邊界條件。因?yàn)閮?nèi)外導(dǎo)體均是一個(gè)等位面，可以假設(shè)電場(chǎng)沿徑向方向，然后再驗(yàn)證這樣的假設(shè)滿足所有的邊界條件。

要滿足介質(zhì)分界面上電場(chǎng)強(qiáng)度切向分量連續(xù)，上下兩部分的電場(chǎng)強(qiáng)度應(yīng)滿足

E1=E2=Ear圖2-21例2-19圖在半徑為r的球面上作電位移矢量的面積分，有2πε1r2E1+2πε2r2E2=2π(ε1+ε2)r2E=q可以驗(yàn)證，這樣的場(chǎng)分布也滿足介質(zhì)分界面上的法向分量和導(dǎo)體表面的邊界條件。

2.7導(dǎo)體系統(tǒng)的電容

2.7.1靜電場(chǎng)中的導(dǎo)體

導(dǎo)體是指內(nèi)部含有大量自由電荷的物質(zhì)。常見的導(dǎo)體有兩類：一類是依靠電子導(dǎo)電的，如金屬等；另一類是依靠離子導(dǎo)電的，如酸、堿、鹽的溶液等。在靜電場(chǎng)這一章中，我們主要討論金屬導(dǎo)體，至于離子型導(dǎo)體，我們放在恒定電流場(chǎng)的章節(jié)中討論。一般的金屬中，自由電子濃度很大，數(shù)量級(jí)大約為1029個(gè)/m3，因而金屬的電導(dǎo)率很大，大約為106～108S/m。并且其電導(dǎo)率隨溫度的降低而增大，在極低的溫度下，有些金屬的電阻幾乎降低到零，從而變?yōu)槌瑢?dǎo)體。當(dāng)導(dǎo)體不帶電，并且也不受外電場(chǎng)影響時(shí)，電子會(huì)在導(dǎo)體內(nèi)不斷地?zé)o規(guī)則熱運(yùn)動(dòng)，但是從整體上看，導(dǎo)體內(nèi)部自由電子所帶的負(fù)電荷與導(dǎo)體的原子核所帶正電荷數(shù)量相等，從而使得導(dǎo)體呈現(xiàn)電中性。

在施加外電場(chǎng)時(shí)，導(dǎo)體內(nèi)部的自由電子要重新分布。在靜電平衡時(shí)，導(dǎo)體內(nèi)部電場(chǎng)為零，導(dǎo)體本身是一個(gè)等位體，其表面是一個(gè)等位面，從而使得導(dǎo)體內(nèi)部無電荷，電荷只分布在導(dǎo)體的表面。表面電荷密度一般不是常數(shù)，與導(dǎo)體的形狀有關(guān)，與導(dǎo)體外的其他帶電體也有關(guān)。在各自帶電量一定的多導(dǎo)體系統(tǒng)中，每個(gè)導(dǎo)體的電位及其電荷面密度完全由各導(dǎo)體的幾何形狀、相對(duì)位置和導(dǎo)體間介質(zhì)的特性等系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)決定，為了描述這種關(guān)系，需要引入電位系數(shù)、電容系數(shù)及部分電容的概念。2.7.2電位系數(shù)

在n個(gè)導(dǎo)體組成的系統(tǒng)中，空間任一點(diǎn)的電位由導(dǎo)體表面的電荷產(chǎn)生。同樣，任一導(dǎo)體的電位也由各個(gè)導(dǎo)體的表面電荷產(chǎn)生。由疊加原理可知，每一點(diǎn)的電位由n部分組成。導(dǎo)體j對(duì)電位的貢獻(xiàn)正比于它的電荷面密度ρSj，而ρSj又正比于導(dǎo)體j

的帶電總量，因而，導(dǎo)體j對(duì)導(dǎo)體i的電位貢獻(xiàn)可寫為

jij=pijqj

導(dǎo)體i的總電位應(yīng)該是整個(gè)系統(tǒng)內(nèi)所有導(dǎo)體對(duì)它的貢獻(xiàn)的疊加，即導(dǎo)體i的電位為

(2-68)將其寫成線性方程組，有(2-69)或?qū)懗删仃囆问?2-70)其中[j]=[j1，j2，…，jn]T和[q]=[q1，q2，…，qn]T是n×1列矩陣，[p]是n×n方矩陣，這一方陣的元素pij稱為電位系數(shù)。電位系數(shù)pij的物理意義是:導(dǎo)體j帶1庫侖的正電荷，而其余導(dǎo)體均不帶電時(shí)導(dǎo)體i上的電位便是電位系數(shù)。由電位系數(shù)的定義可知，導(dǎo)體j帶正電，電力線自導(dǎo)體j出發(fā)，終止于導(dǎo)體i或終止于地面，又由于導(dǎo)體i不帶電，有多少電力線終止于它，就有多少電力線自它發(fā)出，所發(fā)出的電力線不是終止于其他導(dǎo)體上，就是終止于地面。電位沿電力線下降，其他導(dǎo)體的電位一定介于導(dǎo)體j的電位和地面的電位之間，所以(2-71)電位系數(shù)具有互易性質(zhì)，即(2-72)pij=pji2.7.3電容系數(shù)和部分電容

多導(dǎo)體系統(tǒng)的電荷可以用各個(gè)導(dǎo)體的電位來表示，即將式(2-70)改寫為

(2-73)其中，[β]是[p]的逆矩陣，其矩陣元素(2-74)式中，Δ是矩陣[p]的行列式，Mij是行列式中pij的代數(shù)余子式。將式(2-73)寫成方程組，有(2-75)

稱βij為電容系數(shù)。它的物理意義是，導(dǎo)體j的電位為1V，其余導(dǎo)體均接地，這時(shí)導(dǎo)體i上的感應(yīng)電荷量為βij。由電容系數(shù)的定義，導(dǎo)體j的電位比其余導(dǎo)體的電位都高，所以電力線從導(dǎo)體j發(fā)出終止于其他導(dǎo)體或地，就是說j帶正電，其余導(dǎo)體帶負(fù)電。根據(jù)電荷守恒定律，n個(gè)導(dǎo)體上的電荷再加上地面的電荷為零，這樣其余n－1個(gè)導(dǎo)體所帶電荷總和的絕對(duì)值必定不大于導(dǎo)體j的電荷量，由此可推出(2-76)(2-77)(2-78)將式(2-75)改寫成

(2-79)令(2-80)(2-81)則上式變?yōu)?2-82)這表明，每個(gè)導(dǎo)體上的電荷均由n部分組成。而其中的每一部分，都可以在其他導(dǎo)體上找到與之對(duì)應(yīng)的等值異號(hào)電荷。如導(dǎo)體1上的C12(j1－j2)這部分電荷，在導(dǎo)體2上有一部分電荷C21(j2－j1)與之對(duì)應(yīng)。仿照電容器電容的定義，比例系數(shù)C12是導(dǎo)體1和導(dǎo)體2之間的部分電容。一般而言，Cij是導(dǎo)體i和j之間的互部分電容，Cii是導(dǎo)體i的自部分電容，也就是導(dǎo)體i和地之間的部分電容。部分電容也具有互易性，且為非負(fù)值，即

(2-83)(2-83)Cij=CjiCij≥0三個(gè)導(dǎo)體的部分電容如圖2-22所示。圖2-22部分電容兩個(gè)導(dǎo)體所組成的系統(tǒng)是實(shí)際中廣泛應(yīng)用的導(dǎo)體系統(tǒng)。若兩個(gè)導(dǎo)體分別帶電Q、－Q，且它們之間的電位差不受外界影響，則此系統(tǒng)構(gòu)成一個(gè)電容器。電路理論中的電容器實(shí)際上就是這種模型。電容器的電容C與電位系數(shù)的關(guān)系為

(2-85)例2-20

導(dǎo)體球及與其同心的導(dǎo)體球殼構(gòu)成一個(gè)雙導(dǎo)體系統(tǒng)，若導(dǎo)體球的半徑為a，球殼的內(nèi)半徑為b，殼的外半徑是d，如圖2-23所示，求電位系數(shù)、電容系數(shù)和部分電容。解先求電位系數(shù)。設(shè)導(dǎo)體球帶電量為q1，球殼帶總電荷為零，無限遠(yuǎn)處的電位為零，由對(duì)稱性可得圖2-23例2-20圖

因此有再設(shè)導(dǎo)體球的總電荷為零，球殼帶電荷為q2，可得因此

電容系數(shù)矩陣等于電位系數(shù)矩陣的逆矩陣，故有部分電容為由于內(nèi)部的導(dǎo)體球被導(dǎo)體球殼包圍，因而有p12=p22，以及C11=0。這說明導(dǎo)體球殼以外的電場(chǎng)并不影響球殼內(nèi)部的電場(chǎng)，如果外部分布著電荷，僅僅會(huì)使內(nèi)部的各個(gè)點(diǎn)電位同時(shí)升高一個(gè)常數(shù)。若再把外殼接地，此時(shí)，外部和內(nèi)部彼此互不影響。靜電屏蔽就是這種情形。例2-21

假設(shè)真空中兩個(gè)導(dǎo)體球的半徑都為a，兩球心之間的距離為d，且d>>a，求兩個(gè)導(dǎo)體球之間的電容。

解因?yàn)閮蓚€(gè)導(dǎo)體球心間的距離遠(yuǎn)大于導(dǎo)體球的半徑，球面的電荷可以看做是均勻分布。再由電位系數(shù)的定義，可得

代入電容器的電容表示式(2-85)，得例2-22

空氣中有兩個(gè)導(dǎo)體球，如圖2-24所示，半徑分別為a和b，兩個(gè)球心的距離為c，且c>>a，c>>b。把兩個(gè)導(dǎo)體球用一根極細(xì)的導(dǎo)線連接在一起。設(shè)這個(gè)系統(tǒng)的帶電量為Q，求兩個(gè)導(dǎo)體球各自所帶電荷及表面上的電荷密度。

解設(shè)兩個(gè)導(dǎo)體球帶電分別為Q1和Q2，根據(jù)電位系數(shù)的定義，我們有

求解上述方程，得出圖2-24例2-22圖仿照上題，容易求出當(dāng)c>>a，c>>b時(shí)，Q1=(a/b)Q2，即Q1/Q2=a/b。這說明，導(dǎo)體球越大，所帶電荷越多。但是，導(dǎo)體上的電荷面密度，卻是導(dǎo)體球半徑越小，電荷密度越大。把上述電荷除以導(dǎo)體球各自的面積(導(dǎo)體球的面積分別為4πa2和4πb2)，這樣就有ρS1/ρS2=b/a?？梢?，對(duì)于此問題，導(dǎo)體球面上的電荷密度與其半徑成反比。對(duì)于復(fù)雜形狀的導(dǎo)體，表面曲率大的地方密度大，曲率小的地方電荷密度小。如圖2-25所示，導(dǎo)體面尖銳部分的電力線越密集。至于電荷分布和表面曲率的關(guān)系，一般沒有解析表達(dá)式，這是因?yàn)椋瑢?dǎo)體上的電荷分布，不僅與導(dǎo)體自己的形狀有關(guān)，而且還與周圍其他帶電體有關(guān)。圖2-25尖端放電例2-23

一條同軸線，內(nèi)導(dǎo)體半徑為a，外導(dǎo)體的內(nèi)半徑為b，內(nèi)外導(dǎo)體之間填充兩種絕緣材料(a<r<r0的介電常數(shù)為ε1，r0<r<b的介電常數(shù)為ε2)，如圖2-26所示，求單位長度的電容。

解設(shè)內(nèi)、外導(dǎo)體單位長度帶電分別為ρl、－ρl，內(nèi)、外導(dǎo)體間的場(chǎng)分布具有軸對(duì)稱性。由高斯定理可求出內(nèi)、外導(dǎo)體間的電位移為

各區(qū)域的電場(chǎng)強(qiáng)度為圖2-26例2-23圖

內(nèi)、外導(dǎo)體間的電壓為因此，單位長度的電容為如果僅僅有兩個(gè)導(dǎo)體，則由它們組成的電容器的電容為C=C12+C11C22/(C11+C22)。這是因?yàn)轭愃朴趫D2-22，每個(gè)導(dǎo)體和零電位的參考面之間存在C11和C22。只有靜電屏蔽狀態(tài)下，電容器的電容才等于兩個(gè)導(dǎo)體之間的互部分電容C12。

2.8電場(chǎng)能量與能量密度

2.8.1點(diǎn)電荷系統(tǒng)的靜電能

首先分析兩個(gè)點(diǎn)電荷系統(tǒng)的靜電能。假設(shè)兩個(gè)點(diǎn)電荷系統(tǒng)是建立在空間無任何電荷的情況下，把點(diǎn)電荷q1從無窮遠(yuǎn)處搬運(yùn)到位置r1，這一過程無需外力做功；接著把電荷q1從無窮遠(yuǎn)處搬運(yùn)到r2，在這個(gè)過程中，外力做的功就是q2的電位能，即兩個(gè)點(diǎn)電荷系統(tǒng)的能量，其值為We1=q2j21=(q2q1)/4πε0|r2－r1|。其中j21是電荷q1在電荷q2的位置處的電位。當(dāng)然，我們也可以把上述過程反過來，先搬運(yùn)電荷q2，后搬運(yùn)電荷q1。這樣系統(tǒng)的靜電能為

。因?yàn)橐粋€(gè)系統(tǒng)的靜電能與建立過程無關(guān)，在這里忽略掉了由放電產(chǎn)生的焦耳熱損耗，也忽略了摩擦力的影響。從而，使得系統(tǒng)的能量可以改寫為

(2-86)同理，可以把n個(gè)點(diǎn)電荷系統(tǒng)的電位能寫為(2-87)式中，jj是第j個(gè)電荷處由其他電荷所產(chǎn)生的電位，但不包含該電荷自己產(chǎn)生的電位。這是因?yàn)辄c(diǎn)電荷模型意味著它自己在其位置產(chǎn)生的電場(chǎng)和電位均是無窮大。

電位能可以為正，也可以為負(fù)。以兩個(gè)電荷為例，當(dāng)電荷同號(hào)時(shí)，電位能為正。這是因?yàn)?，同?hào)電荷之間的作用力是排斥力，要把兩個(gè)同號(hào)電荷同時(shí)從無窮遠(yuǎn)處搬運(yùn)到給定位置，外力必須做功。當(dāng)兩者異號(hào)時(shí)，它們之間的力是吸引力，外力不僅不做功，電場(chǎng)力反而對(duì)外界做功。例2-24

甲烷(CH4)分子的簡單模型如圖2-27所示，在正四面體的頂點(diǎn)各有一個(gè)基本正電荷e，在正四面體的中心有四個(gè)基本負(fù)電荷，設(shè)四面體的外接球半徑為a，求單個(gè)甲烷分子的靜電能。

解容易求出四面體的棱長b=2a/。位于中心的碳原子帶電為－4e，且與四個(gè)氫原子距離相同，容易求出碳原子的靜電能為－16e2/8πε0a；至于氫原子，由于對(duì)稱，單個(gè)氫原子的靜電能再乘以4即可。

任何一個(gè)氫原子與其他三個(gè)氫原子的距離相等，都等于b，氫原子與碳原子的距離為a，這樣單個(gè)氫原子的靜電能為

圖2-27甲烷分子模型最后，把單個(gè)氫原子的靜電能乘以4，再和碳原子的靜電能相加，最終得出一個(gè)甲烷分子的靜電能為。2.8.2分布電荷系統(tǒng)的靜電能

靜電能的表達(dá)式可以推廣到分布電荷的情形。對(duì)于體分布電荷，可將其分割為一系列體積元ΔV，每一體積元的電量為ρΔV，當(dāng)ΔV趨于零時(shí)，得到體分布電荷的能量為

(2-88)式中，j為電荷所在點(diǎn)的電位。同理，面電荷和線電荷的電場(chǎng)能量分別為(2-89)(2-90)式(2-89)也適用于計(jì)算帶電導(dǎo)體系統(tǒng)的能量。帶電導(dǎo)體系統(tǒng)的能量也可以用電位系數(shù)或電容系數(shù)來表示(2-91)(2-92)如果電容器極板上的電量為±q，電壓為U，則電容器內(nèi)儲(chǔ)存的靜電能量為(2-93)2.8.3能量密度

電場(chǎng)能量的計(jì)算公式(2-90)計(jì)算的是靜電場(chǎng)的總能量，這個(gè)公式容易造成電場(chǎng)能量儲(chǔ)存在電荷分布空間的印象。事實(shí)上，只要有電場(chǎng)的地方，移動(dòng)帶電體都要做功。這說明電場(chǎng)能量儲(chǔ)存于電場(chǎng)所在的空間。以下分析電場(chǎng)能量的分布并引入能量密度的概念。

設(shè)在空間某區(qū)域有體電荷分布和面電荷分布，體電荷分布在導(dǎo)體以外和無窮遠(yuǎn)參考面以內(nèi)的區(qū)域V內(nèi)，而面電荷分布在導(dǎo)體表面S上，如圖2-28所示，該系統(tǒng)的能量為

(2-94)圖2-28能量密度將和D·n=ρS代入上式，有

(2-95)考慮到區(qū)域V以外沒有電荷，故可以將體積分?jǐn)U展到整個(gè)空間,而面積分仍在導(dǎo)體表面進(jìn)行。利用矢量恒等式則

將上式代入式(2-97)，并且注意在導(dǎo)體表面S上，n=－n′，得(2-96)式中，V已經(jīng)擴(kuò)展到無窮大，故S′在無窮遠(yuǎn)處。對(duì)于分布在有限區(qū)域的電荷，j∝1/R，D∝1/R2，S′∝R2，因此當(dāng)R→∞時(shí)，上式中的面積分為零，于是(2-97)式中的積分在電場(chǎng)分布的空間進(jìn)行，被積函數(shù)(1/2)E·D從物理概念上可以理解為電場(chǎng)中某一點(diǎn)單位體積儲(chǔ)存的靜電能量，稱為靜電場(chǎng)的能量密度，以We表示，即(2-98)對(duì)于各向同性介質(zhì)

(2-99)例2-25

若真空中電荷q均勻分布在半徑為a的球體內(nèi)，計(jì)算電場(chǎng)能量。

解用高斯定理可以得到電場(chǎng)為所以如果用式(2-90)在電荷分布空間積分，其結(jié)果與此一致。例2-26

極性分子的簡單模型為一個(gè)均勻極化的球體，計(jì)算電場(chǎng)能量。

解在前面學(xué)習(xí)介質(zhì)極化時(shí)，我們得到均勻極化球體的束縛電荷、電位和電場(chǎng)。

至于球內(nèi)電位，同樣容易得出球面上的束縛電荷密度ρSP=P0cosθ；球面上的電位是j=(P0/3ε0)acosθ。采用電位能公式，有：我們?cè)俨捎秒妶?chǎng)能量密度計(jì)算。球內(nèi)場(chǎng)是均勻的，容易得出球內(nèi)能量為；同樣對(duì)于球外電位，求它的負(fù)梯度，得到電場(chǎng)，然后在整個(gè)球外從球面積分到無窮大，得到；可以驗(yàn)證，用兩個(gè)公式計(jì)算結(jié)果是一致的。盡管采用靜電場(chǎng)的電位能公式與電場(chǎng)能量密度公式計(jì)算結(jié)論一致，但要強(qiáng)調(diào)指出，能量密度公式更具有普遍的本質(zhì)上的物理意義。能量密度公式可以推廣到任意時(shí)變場(chǎng)，而電位能的公式，只有頻率較低時(shí)，才正確。當(dāng)頻率很高時(shí)不能用電位能的公式計(jì)算能量。比如可見光、X射線及γ射線等，都具有能量但是卻沒有電荷分布，當(dāng)然也沒有電位的概念。因?yàn)殡娢坏母拍?，本質(zhì)上講，僅在頻率較低時(shí)可以使用。頻率很高時(shí)找不出與電路對(duì)應(yīng)的回路和節(jié)點(diǎn)。沒有回路和節(jié)點(diǎn)，自然回路電壓定律和節(jié)點(diǎn)電流定律都是不成立的。由能量密度公式可以看出，整個(gè)系統(tǒng)的電場(chǎng)能量恒為正值。但是，兩個(gè)帶電系統(tǒng)的相互作用能是可正可負(fù)的。比如兩個(gè)系統(tǒng)的電場(chǎng)分別為E1和E2，設(shè)其介電常數(shù)一樣，則總的能量密度為

這個(gè)公式中的最后一項(xiàng)，就是兩個(gè)帶電系統(tǒng)的相互作用能的密度。即兩個(gè)帶電系統(tǒng)的相互作用能量密度為(2-100)將這個(gè)能量密度對(duì)場(chǎng)分布的區(qū)域積分，就得出相互作用能。上述相互作用能也可以用電位能來計(jì)算，公式為(2-101)例2-27

若一個(gè)同軸線內(nèi)導(dǎo)體的半徑為a，外導(dǎo)體的內(nèi)半徑為b，之間填充介電常數(shù)為ε的介質(zhì)，當(dāng)內(nèi)外導(dǎo)體間的電壓為U(外導(dǎo)體的電位為零)時(shí)，求單位長度的電場(chǎng)能量。

解當(dāng)內(nèi)外導(dǎo)體間電壓為U時(shí)，內(nèi)導(dǎo)體單位長度帶電量為ρl，則導(dǎo)體間的電場(chǎng)強(qiáng)度為

兩導(dǎo)體間的電壓為單位長度的電場(chǎng)能量為

2.9電場(chǎng)力

帶電體之間的相互作用力從原則上講可以用庫侖定律計(jì)算，但是實(shí)際上，除了少數(shù)簡單情形以外，這種計(jì)算往往較難。在此介紹一種通過電場(chǎng)能量求力的方法，稱為虛位移法。有時(shí)，這種方法顯得方便而簡潔?，F(xiàn)以導(dǎo)體所受的電場(chǎng)力為例進(jìn)行討論。

虛位移法求帶電導(dǎo)體所受電場(chǎng)力的思路是，假設(shè)在電場(chǎng)力F的作用下，受力導(dǎo)體有一個(gè)位移dr，從而