《電磁場與電磁波》課件第3章

第3章恒定電場與恒定磁場3.1恒定電場的基本概念3.2恒定電場的基本方程和邊界條件3.3恒定電場與靜電場的比擬3.4磁場、磁感應強度3.5恒定磁場的基本方程3.6矢量磁位3.7磁偶極子3.8磁介質中的場方程3.9恒定磁場的邊界條件3.10標量磁位3.11電感3.12恒定磁場的能量3.13磁場力

3.1恒定電場的基本概念

3.1.1電流強度和電流密度

電流是電場推動電荷運動的結果，是產生磁場的原因。電流強度是描述電流強弱的物理量，電流密度是描述電流分布狀態(tài)的物理量。電流強度、電流密度與電場、磁場的大小及分布密切相關。

為描述電流的強弱，提出電流強度的概念,定義是：單位時間內流過某橫截面的電荷量稱為通過該橫截面的電流強度。

在導體中取一截面S，若在時間Δt內流過該截面的總電荷為Δq，則通過該截面的電流強度定義為

(3-1)對恒定電流，式(3-1)可簡化為(3-2)電流強度通常簡稱為電流。電流強度是一個標量，單位是A(安培)。線電流：在電路分析中總認為電流沿著一根橫向尺寸可忽略的導線流動，這種電流稱為線電流。對于線電流用電流強度來描述就足夠了。體電流：但當導體的橫向尺寸不能忽略時，應該認為電流分布在整個導體的截面上，這種電流稱為體電流，如圖3-1所示。圖3-1體電流密度圖3-2面電流密度面電流：如果電流在一個厚度可忽略的導體表面上流動，則稱之為面電流，如圖3-2所示。對于體電流和面電流，電流強度不能確切地描述電流在導體中的分布情況，故引入電流密度。設n表示導體中r(r為坐標o點到所討論的電荷所在點的矢徑)處正電荷運動的方向,取垂直與n的小面積元ΔS，通過ΔS的電流為ΔI,則定義

(3-3)為r處的體電流密度，體電流密度的單位是A/m2(安培/平方米),流過截面S的電流就是J對S的通量，即(3-4)如果所取的面積元的法線方向n與電流方向不平行，而成任意角θ，如圖3-1(b)所示，則通過該面積的電流是所以通過導體中任意截面S的電流強度為

對于面電流，以n(r)表示曲面上r處正電荷的運動方向，取一與n(r)垂直的線元Δl，通過Δl的電流為ΔI，則定義(3-5)為r處的面電流密度，面電流密度的單位是A/m(安培/米)。一般情況下，通過任意一段曲線l的面電流為(3-6)與上述傳導電流概念對應的運流電流，它是在氣態(tài)媒質中形成的電流。運流電流密度可表示為(3-7)式中，ρ為討論點的電荷密度，V為電荷運動速度。

例3-1

導體表面有JS=yex+xey(A/m)的面電流分布，試計算通過點M(3，2)與點N(5，3)之間的面電流Is。

解通過點M和N兩點的直線方程為y=1/2(x+1)。

通過點M和N兩點的直線上的線元矢量dl=ndl，其中，線元矢量方向的單位矢n和長度dl分別為

因此將其代入有3.1.2歐姆定律和焦耳定律

導體內電流是由電場引起的，因而，電流密度J和電場強度E之間必然存在著某種聯系，形式上表示為J=J(E)，具體的函數形式由導體的特性決定。工程中常遇到的導體的特點是：當E=0時，J=0；當時J≠0，J與E同方向，且在一個很寬的數值范圍內，J與E成正比，因而，二者之間的函數關系可寫為

J=σE

(3-8)

式中的比例系數σ稱為導體的電導率，單位為S/m，其值由導體的性質決定。如果在導體中σ不隨坐標而變，則稱為均勻導體，否則稱為非均勻導體。通常，σ隨溫度而變，但在常溫范圍內這一變化可以忽略。表3-1給出了幾種常用金屬導體在常溫下的電導率。在電流場中，任意一點的電流密度與電場強度的關系可由式(3-8)表示，稱式(3-8)為歐姆定律的微分形式，與之相應的積分形式是在電路分析中的歐姆定律。

U=IR

(3-9)

式中，U為加在導體兩端的電壓，I為通過導體的電流，R為導體的電阻。值得說明的是，導體材料的電阻率ρ與電導率σ互為倒數，即ρ=1/σ。需要說明的是，在微分形式的歐姆定律中，J和E描述的是同一點的量，表述的是同一點上J與E的函數關系；而在積分形式的歐姆定律中，電壓U與電流I描述的是整個系統中的總量。表述的是在整個導體構成的區(qū)域中總電壓U與總電流I間的函數關系。在導體中，電場力推動電子運動使其獲得動能，而電子在運動的過程中又不斷地與晶格點陣上的原子碰撞，把獲得的能量傳遞給原子，使晶格點陣的熱運動加劇，導體溫度升高，這就是電流的熱效應，這種由電能轉換來的熱能稱為焦耳熱。由于導體在傳導電流的過程中消耗電能，故稱導體為有耗媒質。一般說來，在導體內不同點處產生焦耳熱的多少不同，從而形成一種損耗分布，通常，用焦耳定律的微分形式描述這種分布，推導如下：在固態(tài)導體中取一長為Δl，橫截面積為ΔS的體積元ΔV=ΔlΔS，因為電流是恒定的，故在Δt時間內從體積元一端流入ΔV的電量等于從另一端流出的電量，設該電量為Δq，在電荷流動的過程中，電場力做的功就是把Δq由一端移到另一端所做的功，其值為

ΔW=ΔqEΔl式中，E為體積元ΔV內的電場強度，由于ΔV很小，故可視E為常數，因而，體積元ΔV內消耗的功率為

式中，ΔI是通過體積元截面ΔS的電流。當ΔV→0時，上式變?yōu)?/p>

P便是電場中任意一點處單位體積內的消耗功率，稱為損耗功率密度。在各向同性導電媒質中，電流密度J和電場強度E方向一致，故上式可寫為(3-10)損耗功率密度的單位為W/m3。式(3-10)就是焦耳定律的微分形式。無論是對于恒定電流還是對于時變電流，焦耳定律都是成立的，對于體積為V的有耗媒質，其總的損耗功率為(3-11)例如，對于長為l，橫截面積為S的一段導線，上式可寫為(3-12)這便是電路中常見的焦耳定律，是焦耳定律的積分表述形式。應該指出，焦耳定律不適應于運流電流。因為對于運流電流而言，電場力對電荷所做的功轉變?yōu)殡姾傻膭幽?，而不是轉變?yōu)殡姾膳c晶格碰撞的熱能。3.1.3電流連續(xù)性方程、恒定電場的散度

在電流密度為J的空間里任取一閉合曲面S，由電荷守恒定律得知，通過該閉合面的凈電流等于單位時間內曲面所包圍的體積V中電荷的減少量，用數學式表示為

(3-13)該式為電流連續(xù)性方程的積分形式。因為上式右端的積分是對坐標變量進行的，而微分是對時間變量t進行的，它們是相互獨立的變量，故積分運算和微分運算的順序可以交換，且在一般情況下電荷密度ρ是空間位置r和時間t的函數，因而式(3-13)可改寫為

對上式左端應用高斯散度定理可將其改寫為由于封閉曲面S是任意選取的，因而它所包圍的體積V也是任意的，對于在任意體積上的積分為零的條件是被積函數恒為零，故有或(3-14)這便是電流連續(xù)性方程的微分形式。對于恒定電流而言，電流強度是不隨時間變化的，區(qū)域內的電荷分布也是恒定的，因而，任意閉合曲面S內的電荷量是不隨時間變化的，即有。恒定電流連續(xù)性方程的積分和微分形式可在式(3-13)和式(3-14)的基礎上簡化為(3-15)(3-16)式(3-15)表明，單位時間內流入任意一閉合曲面的電荷量等于從該閉合面流出的電荷量，與之相應的情景是；恒定電流的電流線是閉合曲線。式(3-16)表明，在導體中的任一點，流入該點的電流一定等于從該點流出的電流，即恒定電流場是一個無源場(無源場的特定含義是指無散度源，無散度源的場可以有渦旋源，也可以無渦旋源)。將歐姆定律的微分形式J=σE代入式(3-15)和式(3-16)，同時假設導體是均勻媒質，則有

(3-17)(3-18)恒定電流是指分布達到穩(wěn)定狀態(tài)后的電流，而在建立恒定電流的過程中必然要經過一段非穩(wěn)定的暫態(tài)過程，電流由非穩(wěn)定狀態(tài)到達穩(wěn)定狀態(tài)的過程稱為弛豫過程。這一過程所經歷的時間成為弛豫時間。弛豫時間的長短由導電媒質的電參量決定。弛豫過程可由電流的連續(xù)性方程描述，弛豫時間也可在描述弛豫過程中給出。設導電媒質是電導率為σ，介電常數為ε的均勻媒質，將

代入式(3-14)得

設t=0的起始時刻討論點的電荷密度為ρ0，則有從而得到t時刻該點的電荷密度(3-19)式中，τ=ε/σ具有時間的量綱，稱為該導電媒質的弛豫時間，單位是s(秒)，它表示某點的電荷密度達到起始值的e－1≈0.368倍時所需要的時間。在實際問題中，只要經過幾個τ的時間便認為導電媒質中的電荷分布由非穩(wěn)定狀態(tài)達到了穩(wěn)定狀態(tài)，這時的電流便是恒定電流。對于金屬導體而言，這一時間是很短暫的，比如銅，τ=1.5×10－19s。3.1.4電動勢、恒定電場的旋度

圖3-3為一接有電源的導體導線。我們知道，導體中有恒定電流I，這個電流是導體中的恒定電場移動電荷形成的。電源的正極A聚集著正電荷，而電源的負極B聚集有負電荷，假設電場將電源正極A上的一個電荷q通過導體搬到電源的負極B端，由于電源正極A端少了一個電荷，這將導致電源兩端的電壓下降，故導體中的電流會變化，這樣看來，似乎導體中的電流是不恒定的。事實上導體中的電流是恒定的，這是因為，在電源內，除了有電源的正極的電荷與電源的負極的電荷形成的電場E外，還有一個與E方向相反的電場E′，且有E′>E。正是這個電場E′會將電場E從電源正極A上搬到電源的負極B端的電荷q通過電源內搬到電源的A端，維持電源兩端電壓穩(wěn)定和導體中的電流恒定。而這一過程是靠消耗電源內部的能量完成的。圖3-3電源電動勢為了定量描述電源的特性，引入電動勢這一物理量。電場力移動電荷形成電流做功，電場將電荷q由電源的A極通過導體移動到B極，再由B極經電源內部移動到A極所做的功為

(3-20)對于恒定電流而言與之相應的電場E是庫侖場，它是不隨時間變化的恒定電場，它是由不隨時間變化的電荷產生的(電荷的分布雖然是不平衡的但卻是穩(wěn)定的，電荷的分布不隨時間變化)，因而認為恒定電場的性質與靜止電荷產生的靜電場的性質相同，即有(3-21)式中的積分路線l是指電源之內或電源之外的任意閉合回路。而電源內的電場E′為非庫侖場(非守恒場)，將式(3-21)代入式(3-20)得

而電源電動勢定義是：電源內部的場E′將單位正電荷從電源的負極搬運到正極電場力所做的功，以ε表示，數學表達式為(3-22)電動勢的單位是V(伏特)。事實上，電源的電動勢也可以用總電場(庫侖場與非庫侖場之和)的回路積分表示，分析如下：考慮到電源之外的導體中非庫侖場E′=0，同時考慮到庫侖場E的閉合回路積分式(3-21)為零，則電動勢的表達式(3-22)可改寫為(3-23)式中，l指通過電源內再通過外導體構成的總體回路。由此可見，電動勢又可理解為：搬運單位正電荷繞總體回路一周電場力所做的功(這里的電場指庫侖場與非庫侖場的總電場)。該定義的特點是用總電場(通常不加特殊說明的電場指的就是總電場)表述電動勢，而不必小心區(qū)分電場是指庫侖場還是非庫侖場。式(3-21)已經表明恒定電場與靜電場同樣都是守恒場，它的環(huán)量為零，對式(3-21)左端應用斯托克斯定理，得相應的微分形式為(3-24)這就是恒定電場的旋度。可見恒定電場的旋度處處為零。

3.2恒定電場的基本方程和邊界條件

3.2.1基本方程

前一節(jié)已對恒定電場的性質及遵從的基本規(guī)律作了討論，已經給出了導電媒質中電流和電場強度(不包括電源)的基本方程，為清楚起見，歸納于下。

恒定電場基本方程的積分形式為

(3-25)

與其相應的微分形式為(3-26)以上各式中，電流密度J與電場強度E之間滿足歐姆定律J=σE。以上的電場是指庫侖場，因為在電源外的導體中，非庫侖場為零。在研究恒定電場時，除依據上述的基本方程外，還可引入輔助位函數，即電位函數j對其進行討論。電位函數是這樣引入的；對于恒定電場而言，×E=0，因而可依據矢量恒等式引入標量位函數j，而E=－j，故有可知，在電源之外的均勻導體中，電位函數j滿足拉普拉斯方程，即

(3-27)討論電源之外的導體中的恒定電場只是問題的一個方面，問題的另一個方面是，分布于導體上的恒定電荷在導體之外的介質中也會產生恒定電場，由于該電場由不隨時間變化的恒定電荷產生，因而有理由認為它所遵從的規(guī)律與靜電荷在介質中產生的靜電場相同，故在導體之外的介質中恒定電場基本方程的積分形式和微分形式分別為(3-28)

(3-29)式中

D=εE

3.2.2邊界條件

在通過兩種導電媒質的邊界面時，由于媒質的不連續(xù)性導致恒定電場E和電流密度J發(fā)生變化，其變化規(guī)律用恒定電場的邊界條件描述，而邊界條件可由恒定電場基本方程的積分形式(3-25)導出，推導方法與靜電場中推導靜電場邊界條件式的方法相同，這里不再推導。可直接將恒定電場的邊界條件歸納如下：

(3-30)相應的矢量形式為(3-31)式(3-30)和式(3-31)的第一個方程表明，電流密度J的法向分量Jn在邊界面上是連續(xù)的；第二個方程表明，恒定電場強度E的切向分量Et在邊界面上也是連續(xù)的，反言之，由于在邊界面兩側En=Jn/σ和Jt=σEt均成立，且界面兩側的電導率σ1≠σ2，因而可知，在邊界面上電場強度的法向分量En和電流密度的切向分量Jt是不連續(xù)的，即

將上式與式(3-30)一并考慮可知，電場強度E和電流密度J在邊界面上都是不連續(xù)的，界面兩側的電場強度E和電流密度J無論是大小還是方向均不相同，即E1≠E2，J1≠J2。由式(3-30)還可導出邊界面兩側電場強度與其界面的法線夾角θ1和θ2的關系，如圖3-4所示。圖中，θ1和θ2分別是J1(E1)、J2(E2)與界面法向的夾角。將式(3-30)中的第一個方程寫為

σ1E1n=σ2E2n

進而寫為

(3-32)式(3-30)中的第二個方程可寫為(3-33)兩式相除有(3-34)圖3-4邊界條件這表明分界面上電流線和電力線發(fā)生曲折。由式(3-34)可以看出，當σ1σ2，則θ1>>θ2，即第一種媒質為良導體時，第二種媒質為不良導體時，只要θ1≠π/2，θ2總是很小，即在不良導體中，電力線和電流線近似地與良導體表面垂直。這樣，可以將良導體的表面看做等位面。

另外，當有電流通過媒質界面時，界面上會有面電荷堆積，其面密度為

(3-35)在3.1節(jié)中曾對恒定電場引入了電位函數j，以j表示的邊界條件為(3-36)例3-2

設同軸線的內導體半徑為a，外導體的內半徑為b，內、外導體間填充電導率為σ的導電媒質，如圖3-5所示，求同軸線間單位長度的漏電電阻R。

解媒質內的漏電電流沿徑向由內導體流向外導體，設流過半徑為r，單位長度的圓柱面的漏電電流為I(電流的方向為徑向)，則媒質內任一點的電流密度和電場強度為

內、外導體間的電壓為圖3-5同軸線橫截面漏電阻為

例3-3

某導電媒質中給定時刻的電流密度為J=M(x3ex+y3ey+z3ez)，式中M是大于零的常數。

(1)若給定長度的單位為m，試確定M的單位；

(2)求此時在點(2，－1，4)處電荷的變化率。解

(1)依據J的單位為A/m2得知M的單位應為A/m5；

(2)在點(2，－1，4)處電荷的變化率例3-4

內導體半徑為a，外導體的內半徑為c的無限長同軸線內填充兩種導電媒質，其介電常數分別為ε1和ε2，導電率分別為σ1和σ2，兩導電媒質分界面為r=b的圓柱面。若在內外導體間加恒定電壓U。試求內外導體間的電場強度E，電流密度J以及r=b界面上的自由面電荷密度ρS。

解設加電壓U后，內導體單位長度的帶電量為ρl；由于加電壓U后有沿著徑向的漏電流，故在r=b的界面上有自由面電荷分布，由于系統的結構是對稱的，故自由面電荷的分布是均勻的。設r=b柱面單位長度上的總電量為ρlb，根據高斯定理可知內、外導體間電場強度的形式解為

當r=b時，邊界條件J1n=J2n成立，在此題中即有J1=J2，亦即σ1E1=σ2E2。將上述r=b時的E1和E2代入可得內、外導體間的電壓所以代入電場強度的形式解中，并注意到，得

依據J=σE，兩種導電媒質中電流密度的數學表示式為依據式(3-35)，r=b面上的自由面電荷密度為

3.3恒定電場與靜電場的比擬

如果把導電媒質中的恒定電場與電介質中(ρ=0區(qū)域)的靜電場比較便會發(fā)現，兩種場的基本方程及遵從的邊界條件在數學形式上完全一致，為比較起見，將它們寫于表3-2中。

由表3-2看出，兩種場的基本方程、導出方程和邊界條件在數學形式上是相同的；J與D，σ與ε在兩組方程中所處的地位是相同的，因而，只要把J與D，σ與ε互換位置，那么便把一種場的方程變成了另一種場的方程。因此，在相同的邊界條件下，如果得到了一種場的解，那么，只要把J與D，σ與ε互換位置，便可得到另一種場的解，通常，稱這種方法為靜電比擬法：稱J與D，σ與ε為對偶量。在靜電場中，常遇到的一個重要問題是計算兩導體間的電容C，而在恒定電場中，遇到的一個重要問題是計算兩導體間的電阻R或電導G。

如對于圖3-6所示的兩導體構成的系統，若將其視為介質中的靜電場問題，則兩導體間的電容為

(3-37)式中，S1是導體1的表面積，分母中的線積分是指從導體1表面上任意一點到導體2表面上任意一點間的曲線。若將圖3-6所示的系統視為導電媒質中的恒定電場問題，則兩導體間的電導為

由以上兩式可看出，若求得了靜電場問題中的電容C，那么，只需將ε換成σ，便得到了相同邊界條件下的恒定電場問題中的電導G。G的倒數便是電阻R，即(3-38)(3-39)將式(3-37)與式(3-38)進行比較可知，恒定電場中的電流強度I、電導G與靜電場問題中的電量q、電容C是相應的對偶量。圖3-6兩導體間的電場例3-5

計算如圖3-7所示，同軸線單位長度間的電容C0和漏電阻R0，設同軸線內導體半徑為a，外導體半徑為b，內、外導體間的填充介電常數為ε，電導率為σ的媒質。圖3-7例3-5圖解方法1：先認為同軸線內、外導體間填充介電常數為ε的介質，設內導體單位長度的帶電量為ρl。由高斯定理，則內、外導體間的電場強度E及電壓U分別為

同軸線單位長度的電容為用靜電比擬法，將對偶量置換：ε換成σ，電量ρl用電流I代替，則上述C0變?yōu)殡妼0，即漏電阻為方法2：認為同軸線內、外導體間填充電導率為σ的漏電媒質，直接由同軸線的幾何參數和填充媒質的電參數計算。由例3-2的計算結果，漏電阻為而電導為用靜電比擬法，將對偶量置換：σ換成ε，就得到同軸線兩導體間單位長度的電容為例3-6

計算深埋地下半徑為a的導體球的接地電阻(如圖3-8所示)。設土壤的電導率為σ0。

解導體球的電導率一般總是遠大于土壤的電導率，可將導體球看做等位體。用靜電比擬法，位于電介質中的半徑為a的導體球的電容為

C=4πεa所以導體球的接地電導為

G=4πσa圖3-8例3-6圖

接地電阻為例3-7

試求如圖3-9所示半徑為a≤r≤b的扇形電阻片沿著Φ方向(即A，B間)的電阻RΦ，沿著r方向(即半徑方向)的電阻Rr和沿著h方向(即厚度方向)的電阻Rh。解要求沿著Φ方向的電阻RΦ，要先求沿著Φ方向的電導GΦ。如圖，截面積dS=hdr，長度l=rα的一段媒質的電導為圖3-9例3-7圖所以，電阻片的電導為因而沿著Φ方向的電阻沿著r方向的電阻Rr：沿著r方向的一段長度為dr，截面積為S=αrh的媒質的電阻因而沿著r方向的電阻

沿著h方向的電阻Rh：沿方向的一段長度為l=h，截面積dS=αrdr媒質的電導所以，沿h方向的電導和電阻分別為

3.4磁場、磁感應強度

3.4.1安培定律

安培定律是描述真空中兩個載流細導線回路間相互作用力的實驗定律。在真空中，設有l(wèi)1和l2兩個載流線閉合回路，其線上電流分別為I1、I2。安培定律表明，這兩個載流線閉合回路具有相互作用力。如圖3-10所示，線回路l1對線回路l2的作用力為(3-40)式中μ0=4π×10－7H/m(亨利/米)是真空的磁導率，I1dl1

與I2dl2分別為回路l1和l2上的電流元矢量，R指電流元矢量間的距離，R=r2－r1是由I1dl1指向I2dl2的矢量；

eR是R的單位矢量。如式中的電流I1和I2的單位是A(安培)，R和dl的單位是m(米)，則力F12的單位為N(牛頓)。圖3-10安培定律示意圖顯然，只要將式(3-40)中各量的下標1和2互換，并令R=r1－r2，就可得到回路l2對回路l1的作用力F21。如果將式(3-40)寫為下列形式則F12的被積函數可寫為該式表示的是電流元I1dl1給予電流元I2dl2的作用力。作用力的方向在兩電流元的連線方向。3.4.2磁感應強度、畢奧—薩伐爾定律

安培定律只能說明載流回路間作用力的大小和方向，但卻無法說明力的傳遞方式，應用場的觀點是解釋力傳遞方式最有效的方法。為了引出場的概念，我們將式(3-40)表示為

(3-42)可見，式(3-42)括號中的函數與載流回路l2及I2無關，而F12表示載流回路l1對回路l2的作用力，由于括號中量僅是l1和I1的函數，因此F12可以看成載流回路l1在距回路l2為R處產生的磁場對載流回路l2的作用力。我們令這個磁場為(3-43)式中，B12稱為載流回路l1在電流元I2dl2所在處產生的磁感應強度，單位為T(特斯拉)。應該說明的是，載流回路l1產生的磁感應強度B12與是否存在電流元I2dl2無關，因而可將B12看做是載流為I1的回路l1在空間一點r處產生的磁感應強度。

在直角坐標系中，載流為I的回路l在空間一點r處產生的磁感應強度如圖3-11所示。圖3-11載流回路的磁感應強度示意圖其磁感應強度的表示式為(3-44)稱該式為畢奧—薩伐爾定律。式中，R=r－r′，通常，用r′表示電流元Idl所在點的矢徑，該點稱為源點；用r表示討論點的矢徑，該點稱為場點。可將式(3-44)用源點和場點的坐標表示為(3-45)

稱式(3-44)和式(3-45)為畢奧—薩伐爾定律，它描述了電流和由它產生的磁感應強度間的關系。顯然，該式是在極端理想化的線電流模型的基礎上歸納出來的定律。事實上，電流總是以體密度J(r′)的形式分布在某一區(qū)域V內，一般情況下又不可能將其簡化為線電流模型，這時，必須把簡化了的線電流元模型Idl還原為分布于體積元dV′=dSdl內的真實體電流分布模型，即(3-46)式中，dS和dl分別為體積元dV′的橫截面積和長度。這樣，分布在體積V內的、密度為J(r′)的體分布電流系統在r點產生的磁感應強度可寫為

(3-47)式中的積分是對源點坐標r′進行的。相應的，分布在面積S內的、面電流密度為JS(r′)的分布電流系統在r點產生的磁感應強度可寫為(3-48)式(3-45)、式(3-47)和式(3-48)分別為已知電流分布(線電流、面電流、體電流)求空間中磁感應強度的計算式。在提出了磁感應強度的概念之后，置于磁場中的、載流為I的線回路l受到的磁場(對回路l而言是外磁場)力的表達式(3-42)可寫為

(3-49)回路上的電流元Idl所受外磁場的作用力可寫為dF=Idl×B

(3-50)同理，對于分布于V內的、體密度為J(r′)的電流系統和分布于S內的、面密度為JS(r′)的電流系統，受外磁場作用力的表達式分別為(3-51)(3-52)從物理本質講，磁場對于電流的作用力就是磁場對于運動電荷的作用力。可以用上式計算各種形狀的載流回路在外磁場中受到的力和力矩。對以速度v運動的點電荷q，其在外磁場B中受到的作用力表達式寫為

F=qv×B

(3-53)

稱該力為洛侖茲力。雖然式(3-53)是針對導體中的運動電荷而推導出來的，但卻具有普遍性，這是因為，如果把電流元Idl=JdV中的J理解為運流電流密度J=ρv=nqv(式中，ρ=nq

為電荷密度，n為單位體積內帶電粒子的個數，q為一個粒子的帶電量，v為粒子的運動速度)，則

dF=Idl×B=JdV×B=(nqv)dV×B=qv×BndV

式中，dV為體積元，ndV是體積元內的粒子總個數，顯然，單個帶電粒子所受的磁場力為

上式與式(3-53)的形式完全相同?？梢?，無論帶電粒子是在導體中運動還是在真空中運動，只要有磁場存在便會受到洛侖茲力作用，洛侖茲力的特點是既垂直于磁感應強度B又垂直于粒子的運動速度v，它只作用于運動著的、帶電的粒子，且永不對帶電粒子做功，或者說，該力只改變粒子的運動速度方向而不改變速度的大小。

如果空間還存在外電場E，電荷q受到的力還要加上電場力。這樣，就得到帶電量為q以速度v運動的點電荷在外電磁場(E，B)中受到的電場力和磁場力為

F=q(E+v×B)

(3-54)例3-8

如圖3-12所示，真空中一半徑為a，通過電流I的細圓環(huán).求其軸線上任意一點的磁感應強度B。

解采用圓柱坐標系，取圓環(huán)的軸線為坐標z軸，圓環(huán)在z=0平面，則場點的坐標為(0，0，z)。由圖可知，源點指向場點方向的單位矢及其兩點間的距離可分別寫為

eR=－ersinα+ezcosα

因dl=efadf，則有

dl×eR=ezasinαdf+eracosαdf這時圖3-12例3-8圖顯然，對于某一確定的場點(0，0，z)而言，sinα和cosα是常數，由場的對稱性可知，磁場沒有徑向的分量(即Br=0)。所以上式的計算第二項積分為零。從而求得圓環(huán)軸線上點(0，0，z)的磁感應強度為

3.5恒定磁場的基本方程

畢奧—薩伐爾定律是關于恒定磁場的基本定律，以它為基礎可推導出恒定磁場的基本方程。

3.5.1磁通連續(xù)性原理

為了求得磁感應強度的散度，將具有體電流分布系統產生的磁感應強度的表達式(3-47)重寫如下

(3-55)上式右邊的被積函數可寫為由矢量恒等式×(uA)=u×A+u×A將上式寫為

式中×J(r′)=0，因為是對場點坐標r進行運算的算符，而J(r′)卻只是源點坐標r′的函數。將上式代入式(3-55)得(3-56)對式(3-56)兩邊取散度，并應用矢量恒等式·×A=0可得(3-57)可見，磁感應強度的散度為0，它表明磁感應強度B是一個無散度源的場。磁場的通量定義為磁感應強度穿過曲面S的磁通量(或磁通)，單位為Wb(韋伯)。通過曲面S的磁通量可表示為(3-58)對式(3-57)兩端進行體積分并利用高斯散度定理，有(3-59)該式表明，通過任意閉合曲面S的磁通量等于零，這意味著，磁力線是閉合的，磁場是無源場，具有這種特征的場又稱為管量場。稱式(3-57)為磁通連續(xù)性原理的微分形式，而式(3-59)稱為磁通連續(xù)性原理的積分形式。3.5.2安培環(huán)路定律

磁通連續(xù)性原理表明了磁感應強度的通量和散度特性。那么，磁感應強度的環(huán)量和旋度又是怎樣呢？為了說明這個問題，對式(3-56)兩邊取旋度

依據矢量恒等式可使上式變?yōu)?3-60)式中已將算符與積分號∫進行了交換。將上式右第一項中的被積函數與第二項的被積函數分別改寫為

在上面兩式的改寫過程中已用到了恒等式和恒定電流的連續(xù)性方程，′是對源點坐標r′(即對x′，y′，z′)進行運算的算符。將上兩式代入式(3-60)，借助高斯散度定理可使式右第一項積分變?yōu)樯鲜降扔诹愕脑蚴?，S為恒定電流分布區(qū)域的邊界面，而電流是不可能流出邊界面的，即電流密度J不可能有沿著界面法向方向的分量，亦即J(r′)·dS′=J(r′)·ndS′=0，n是邊界面S外法向的單位矢。綜上考慮，式(3-60)變?yōu)?/p>

(3-61)即(3-62)式(3-62)是安培環(huán)路定律的微分形式，它說明產生磁場的渦旋源是電流。在已知磁場分布的情況下，可用此式計算該點的電流分布。將式(3-61)兩端在以l為周界的任一曲面S上積分對上式左端運用斯托科斯定理有

(3-63)式中，周界l環(huán)行的正方向是指與曲面S的正法向n成右手關系的方向，I是穿過曲面s的電流強度的代數和，方向與周界l環(huán)行的正方向成右手關系的電流取正值，反之取負值。如電流是體密度J分布，則上式寫為(3-64)式(3-63)和式(3-64)稱為安培環(huán)路定律的積分形式，式中的電流是通過以l為邊界的曲面的凈電流。對于對稱分布的電流，我們可以用安培環(huán)路定律的積分形式，從電流求出磁場。3.5.3真空中恒定電場的基本方程

將恒定磁場在真空中遵從的上述基本規(guī)律加以總結，便得到恒定磁場在真空中的基本方程，其微分形式和積分形式分別為

(3-65)(3-66)稱式(3-65)和式(3-66)中的第一方程為磁通的連續(xù)性方程，第二方程為安培環(huán)路定律。利用安培環(huán)路定律的積分形式可方便地求解具有對稱分布的電流系統產生的磁感應強度B。例3-9

一個半徑為a的無限長直導線，載有電流I，計算該導體內、外的磁感應強度。

解采用圓柱坐標系，取直導線的軸為坐標z軸。由電流的對稱性可知，磁感應強度B僅是r的函數而與f和z無關，且只有Bf分量。取沿半徑為r的一條磁感應線為閉合積分路徑l，運用安培環(huán)路定律，有

在導線內電流均勻分布，導線外電流為零當r≤a時，包圍電流為Ir2/a2，上積分為故當r>a時，積分回路包圍的電流為I，故有故

3.6矢量磁位

3.6.1矢量磁位的引入

因為磁場的散度，根據矢量恒等式，一個矢量函數A的旋度的散度恒等于零，即，因而B可表示為某矢量函數A的旋度，即有(3-67)A稱為矢量磁位或簡稱磁矢位。其單位是T·m(特斯拉·米)或Wb/m(韋伯/米)。矢量磁位是一個物理意義不很明確的輔助量。雖如此，磁矢位A卻是與電流分布密切相關的矢量，而體電流分布系統的磁感應強度式(3-56)為將上式與式(3-67)比較，得到體電流分布系統的矢量磁位的表示式為(3-68)同理，面電流分布系統和線電流系統的磁矢位可分別寫為(3-69)(3-70)對于磁矢位A而言，也有如同電位f那樣的參考點選擇問題，以式(3-68)為例，它只適用于表達電流分布在有限區(qū)域并選取無限遠點為參考點的磁矢位，而對于分布在無限區(qū)域的電流系統，如果仍取無限遠點為參考點則勢必導致磁矢位為無限大這一沒有意義的結果，這時應選取有限遠點為參考點，再用式(3-68)分別計算出參考點的磁矢位和討論點的磁矢位，兩點磁矢位之差并取無限區(qū)域的極限，便得到討論點的磁矢位，其值是有限的。應該說明的是，一個確定的磁場的磁矢位并不是唯一的，事實上，如果A是某個確定磁場的磁矢位，則

(Ψ為任意標量函數)一定也是該磁場的磁矢位，關于這點可利用矢量恒等式給予證明：

磁矢位A與A′的上述變換稱為規(guī)范變換，在規(guī)范變換下磁感應強度B不變的特性稱為規(guī)范不變性。由于一個確定磁場的磁矢位A并不唯一，因而，由式(3-67)或式(3-68)求得的A并非唯一滿足需要的磁矢位，依據亥姆霍茲定理，一個矢量場需要由它的旋度和散度共同確定，而在上述討論中只對A的旋度提出了要求(×A=B)而并未對A的散度提出任何約定，意即A的散度并沒有被限定。為了有一個確定性的磁矢位A，通常的方法是人為地選定A的散度。對于恒定磁場而言，通常選取

稱這種規(guī)范為庫侖規(guī)范。事實上，由式(3-68)求得的A雖然是滿足要求的，但并不是唯一滿足要求的磁矢位。應該說明的是，如果電流分布在有限區(qū)域，則由式(3-68)求得的A會自行滿足，而非人為規(guī)定。這里不作證明。(3-71)3.6.2矢量磁位的微分方程

將矢量磁位A的定義式

代入安培環(huán)路定律的微分形式，有

將庫侖規(guī)范·A=0代入上式，則有(3-72)這就是磁矢位滿足的微分方程，稱為磁矢位的泊松方程。對無源區(qū)(J=0)，磁矢位滿足矢量拉普拉斯方程，即(3-73)在直角坐標系中可簡寫為從而可將式(3-72)寫成如下三個分量方程(3-74)可知，A的每一個分量均滿足泊松方程。與靜電場的泊松方程對比，可以得到磁矢位解為(3-75)將其寫成矢量形式為(3-76)最后應說明的是，在引入了矢量磁位A以后，磁通量亦可以用矢量磁位A來表示，利用斯托克斯定理可導出由A表示的穿過曲面S的磁通量為(3-77)例3-10

求長度為l的載流為I的直導線的磁矢位。

解選如圖3-13所示的圓柱坐標系，設場點的坐標為(r，f，z)由式(3-68)知，A只有z分量

當l>>z時，上式簡化為圖3-13直導線的磁矢位該結果適用于描述在導線中點附近所作的與直導線垂直的平面上任何點的矢量磁位。上式中，若再取l>>r，則進一步簡化為

簡化過程中用了當x<<1時，(1+x)1/2≈1+x/2的泰勒展開近似值。該結果適用于描述在導線中點附近所作的與直導線垂直的平面上，且距直導線很近的點的情況。當l→∞時，空間任意一點r(不再有條件限制)磁矢位為顯然，磁矢位將趨于無窮大，原因是對于分布在無限區(qū)域的電流系統，不能取無限遠處作為磁矢位的參考點，而只能任選一有限遠點。如選r0點作為磁矢位的參考點，可以得出根據上式，用圓柱坐標的旋度公式，可求出

3.7磁偶極子

3.7.1磁偶極子的場

尺寸很小的小電流環(huán)稱為磁偶極子。因小電流環(huán)在遠區(qū)產生的磁場酷似電偶極子在遠區(qū)產生的電場而得名。電流環(huán)

如圖3-14所示，圖中小電流環(huán)的電流為I，小電流環(huán)圍成的面積為S，面積面元的方向n與電流的方向成右手螺旋關系。

磁偶極子的磁偶極矩用m表示，單位為安培·平方米。

小電流環(huán)的磁矩定義為

m=IS

(3-78)

與載流導線一樣，磁矩在其周圍也會產生磁場，為分析簡單起見，我們以一個小電流環(huán)為例，討論小電流環(huán)在遠區(qū)域的磁矢位和磁場。圖3-14磁偶極子設載流回路位于xoy平面，且中心在原點，如圖3-15所示，如果研究點P到坐標o點的距離r>>a(a為小電流環(huán)的半徑)，則該小電流環(huán)就可以看做磁偶極子。因為電流分布關于z軸旋轉對稱，所以磁矢位在球坐標系中只有Af分量，Af僅是r和θ的函數，與f無關，所以可將場點選取在xoz平面，在此平面，Af與直角坐標的Ay分量一致，故Idl1′的y分量為adfcosf產生的磁矢位為

其中圖3-15磁偶極子的場如果r>>a，則

由圖3-15可見式中，θ為r與z軸的夾角；而f為r′與x軸的夾角，所以式中，m=Iπa2，是圓環(huán)回路磁矩的模值。一個載流回路的磁矩是一個矢量，磁矩的方向與環(huán)路的法線方向一致，大小等于電流乘以回路面積。上式用磁矩表示為

(3-79)可看出，對于不同的電流環(huán)，只要它們的磁偶極矩相同，則在遠處產生的磁矢位便相同。所以磁偶極矩m是描述電流環(huán)特性的特征量。磁感應強度為(3-80)在遠離場源處，比較電偶極子與磁偶極子的場會發(fā)現，磁偶極子產生的B與電偶極子產生的E有相同的數學表達形式。然而，在物理本質上二者是有差別的，主要表現在磁偶極子與和電偶極子附近的場分布不同，且B線是閉合的而E線不是閉合線。3.7.2外場中的磁偶極子

磁偶極子自身會產生磁場，反之，置于外磁場中的磁偶極子會受到磁場力和(或)力矩的作用，用類似于推導電偶極子受外電場作用力和力矩的方法，可推導出磁偶極子受外磁場作用力F和力矩T的表達式，分別為(3-81)(3-82)T=m×B

3.8磁介質中的場方程

3.8.1磁介質的磁化

物質的磁性來源于分子中電子繞原子核的旋轉運動和電子的自旋，電子的這兩種運動所產生的磁效應可用一個電流回路來等效，稱這個電流回路的磁矩為電子磁矩，稱一個分子中所有電子磁矩的總和為分子的固有磁矩。物質分子的固有磁矩可以不為零也可以為零，稱固有磁矩不為零的物質為順磁物質，稱固有磁矩為零的物質為抗磁物質。綜上所述，一般情況下磁化媒質的每一分子都有沿一定方向取向的分子磁矩m=iS，而整個媒質可視為在真空中按不同方向排列的眾多磁偶極子的集合體，每一磁偶極子都會產生自己的磁場。應該強調，媒質的磁化程度取決于媒質內的總磁場，即外加磁場與磁化媒質產生的磁場之和。為了宏觀地定量描述媒質的磁化程度,引入磁化強度M的概念,定義為

(3-83)式中，ΔV是點r處的體積元。式(3-83)的意義是，媒質中某點r處單位體積內分子磁矩m的矢量和。磁化強度M也稱為磁矩密度，單位是A／m。如果每一分子磁矩m的大小和方向都相同，則磁化強度M可簡寫為M=Nm(3-84)3.8.2磁化媒質產生的磁場

在外磁場作用下，媒質磁化后會產生磁矩，這些磁矩會在其周圍產生磁場?，F在讓我們討論磁矩產生的磁場。如圖3-16所示，設P為磁化介質外任一點，在磁介質內部r′處體積元dV′內的等效磁矩dm=MdV′產生的磁矢位為

其中算符表示對帶“r′”的坐標的運算?？偟拇攀肝粸?3-85)圖3-16磁化媒質的場利用矢量恒等式將上式的被積函數寫為(3-86)再利用矢量恒等式則式(3-86)可表示為(3-87)將上式與體、面電流矢位公式比較可見，式(3-87)中第一項的分子部分相當于體電流密度，而第二項分子部分相當于面電流密度。由于式(3-87)是由磁化媒質產生的磁矢位A，故稱該電流分別為體磁化電流密度和面磁化電流密度，表達式為

(3-88)所以，式(3-87)也可以寫為(3-89)對上式取旋度便得磁化媒質產生的磁感應強度的表達式為(3-90)應該說明的是，式(3-89)和式(3-90)不僅適用于表述磁化媒質外部任一點磁矢位和磁感應強度，而且適用于表述在磁化媒質內部任一點的磁矢位和磁感應強度。

上述討論結果表明，磁化媒質產生的磁場實際是由分布在真空中的磁化電流產生的，下面簡要分析磁化媒質中存在磁化電流的物理本質：媒質被磁化之后，分子磁矩的有序排列使相應的分子電流合成為媒質內部或媒質表面的不為零的宏觀電流，由于這種電流是分子周圍束縛電子(而不是自由電子)的宏觀效應，故稱為束縛電流(或磁化電流)，以

Im表示。為了說明磁化電流的形成本質，討論如圖3-17所示的一塊磁化媒質。圖3-17形成磁化電流示意圖磁介質被磁化后，在外磁場的作用下，各分子磁矩指向同一方向，設分子電流在紙面內(分子磁矩垂直于紙面)。不難看出，相鄰的兩個分子電流的方向總是相反的，因而，如果媒質的磁化是均勻的，那么，圖中兩條虛線之間那部分的分子電流完全相互抵消，不會有磁化體電流；如果媒質的磁化是非均勻的，那么，圖中兩條虛線之間那部分的分子電流不能完全相互抵消，從而形成不為零的磁化體電流。另外，無論是均勻磁化還是非均勻磁化，在媒質表面，比如在圖3-17所示區(qū)域的左側邊緣，分子電流會匯聚成方向向上的宏觀面電流，即不為零的磁化面電流。磁化媒質能夠產生磁場的本質就在于具有磁化電流，磁化媒質產生的磁場可由處在真空中的磁化電流產生的磁場來等效。在此預先約定，在以后敘述中，電流就是指傳導電流和運流電流(有時稱之為自由電流)，而磁化電流則特指在磁化媒質內部或表面由分子電流形成的電流。3.8.3磁場強度

真空中恒定磁場遵從的基本規(guī)律用磁場的基本方程來描述，其中只涉及自由電流。而在磁化媒質中除可能存在自由電流外，還可能存在磁化電流，且式(3-89)表明，磁化電流在產生磁場方面與自由電流有同樣的功效，因而，只要在真空中的基本方程式中加入磁化電流的貢獻，便自然得到磁介質中磁場遵從的基本規(guī)律。

在磁介質中，產生磁感應強度的電流除J之外，還應有磁化電流Jm。所以磁感應強度的旋度應為

代入Jm=×M，從而有

可得(3-91)引入新矢量H，并令(3-92)稱H為磁場強度，單位為A/m。這時式(3-91)變?yōu)?3-93)式(3-93)為磁介質中安培環(huán)路定律的微分形式；對兩邊取面積分，有值得說明的是，上式中通過S面的電流密度J是自由電流密度，而不是磁化電流密度。對上式應用斯托克斯定理，就得到磁介質中安培環(huán)路定律的積分形式為

(3-94)對于線電流，式(3-94)可表示為(3-95)式中的電流是通過以l為周界的曲面的自由電流的代數和。磁場強度H與磁感應強度B的關系為或應該說明的是，對式(3-95)取散度有3.8.4磁導率

如前所說，磁介質的磁化強度M與它內部的總磁場有關，這種關系稱為組成(或本構)關系，由磁介質的固有特性決定。磁介質的類型不同，則M與H間的關系也不同，有線性與非線性，均勻與非均勻，各向同性與各向異性之分。

對于工程上常使用的各向同性的線性磁介質而言，組成關系為(3-96)式中，χm是一個無量綱常數，稱為磁化率。如果χm與磁場強度H的大小無關，則說明磁介質是線性的，否則是非線性;如果χm與磁場強度H方向無關，則說明磁介質是各向同性的，否則是各向異性的；如果χm與坐標無關。則說明磁介質是均勻的，否則是非均勻。將式(3-96)代入式(3-95)，有

(3-97)(3-98)式中，μ和μr分別稱為磁介質的磁導率和相對磁導率，磁導率的單位為H／m(亨利/米)，而相對磁導率無量綱。磁介質的組成關系(也稱為本構關系)為(3-99)B=μH鐵磁材料的B和H的關系是非線性的，并且B不是H的單值函數，會出現磁滯現象，其磁化率χm的變化范圍很大，可以達到106量級。3.8.5磁介質中恒定磁場的基本方程

在引入了磁場強度H的概念，并得到了它遵從的方程式以及組成關系后，磁感應強度無散度的性質并沒有改變，因此參考真空中的磁場方程，很容易寫出磁介質中恒定磁場基本方程的微分形式和積分形式為

(3-100)(3-101)對于各向同性的線性媒質有輔助方程(3-102)由于在磁介質中同樣有，因而仍可引入磁矢位A，使B=×A。在各向同性的、均勻的線性磁介質中，若采用庫侖規(guī)范條件，則磁矢位A遵從的微分方程為(3-103)該式為磁介質中磁矢位的泊松方程，與真空中磁矢位A遵從的微分方程式相比可知。在有同樣的自由電流J分布情況下，磁介質中磁矢位A和磁感應強度B均為真空中的μr倍。如在無源區(qū)域，磁矢位A滿足拉普拉斯方程，即

例3-11

在a≤r≤b，0≤z≤L的圓柱殼內填充磁化強度為(c為常數)的磁化介質，求該區(qū)域內的磁化電流密度Jm和表面的磁化電流面密度JmS。

解依據式(3-88)，磁化媒質中的磁化電流密度可見，媒質為均勻磁化介質。利用JmS=M×n計算磁化面電流密度時，應注意不同表面外法向單位矢n的指向不同，且式中的磁化強度M在不同的表面有不同的值，因而在圓柱殼的內側面：在圓柱殼的外側面：在圓柱殼的下底面：在圓柱殼的上底面：例3-12

同軸線的內導體半徑為a，外導體的內半徑為b，外半徑為c，如圖3-18所示。設內、外導體分別流過反向的電流I，兩導體之間介質的磁導率為μ，求各區(qū)域的H、B、M，并求磁介質中的磁化電流密度Jm以及磁介質表面的磁化電流面密度JmS。

解以后如無特別聲明，對良導體(不包括鐵磁性物質)一般取其磁導率為μ0。因同軸線為無限長，則其磁場沿軸線無變化，該磁場只有f分量，且其大小只是r的函數。分別在各區(qū)域使用介質中的安培環(huán)路定律，求出各區(qū)域的磁場強度H，然后由H求出B和M。圖3-18例3-12圖當r≤a時，電流I在導體內均勻分布，且流向+z方向。由安培環(huán)路定律，考慮這一區(qū)域的磁導率為μ0，可得

當a<r≤b時，與積分回路交鏈的電流為I，該區(qū)域磁導率為μ，可得當b<r≤c時，考慮到外導體電流均勻分布，可得出與積分回路交鏈的電流為

當r>c時，這一區(qū)域的B、H、M為零。內外導體間磁介質中的磁化電流密度r=a和r=b面上的磁化面電流密度

3.9恒定磁場的邊界條件

3.9.1磁感應強度B的邊界條件

在場論中，凡用閉合面積分表述基本方程的場量，它的邊界條件一定以法向分量描述。由式(3-101)知，B的方程是用閉合面積分表述的，故它的邊界條件一定用法向分量Bn描述。如圖3-19所示，在磁介質的分界面上作一很小的圓柱形閉合面，頂面和底面分別位于界面兩側且無限靠近界面，柱面的高度h→0。規(guī)定界面的法線方向由磁介質1指向磁介質2，以n表示法向的單位矢。將磁通的連續(xù)性原理式(3-101)中的第二式用于該柱形閉合面，注意到該柱面的頂面和底面的面積ΔS1=ΔS2=ΔS很小，可認為在兩個面上磁感應強度B分別為常矢量；又因為柱面的高度h→0，因而側面積趨于零，從而穿過側面的磁通量可忽略不計，則有

圖3-19B的邊界條件第二個等號后的第二項之所以取負號，是因為圓柱在該底面的外法向與界面的法向n的方向相反。從而有

B2n=B1n

(3-105)

寫成矢量形式

n·(B2－B1)=0

(3-106)

式(3-105)或式(3-106)便是磁感應強度B的邊界條件，它表明，在界面上磁感應強度B的法向分量是連續(xù)的。然而，磁場強度H的法向分量卻是不連續(xù)的，這是因為Hn=Bn/μ，在B2n=B1n，而μ1≠μ2時，自然有H2n≠H1n。3.9.2磁場強度H的邊界條件

在場論中，凡用閉合回路積分表述基本方程的場量，它的邊界條件—定以切向分量描述。由式(3-101)知，H的方程是用閉合回路積分表述的，故它邊界條件一定用切向分量描述。如圖3-20所示，在磁介質的分界面上作一很小的矩形閉合回路abcda，它的兩條長邊ab和cd分別位于界面兩側且無限靠近界面，另兩條邊bc和da垂直于界面且長度h→0。設回路abcda圍定的面積矢量S=Sb，b為面積矢量方向的單位矢，與回路abcda成右手螺旋關系，設流過S的傳導電流與b的方向一致。由于同一點的磁場強度H與傳導電流密度J總是正交的，所以界面兩側的H2和H1與S是共面的。由于所取矩形閉合回路abcda

的兩條長邊ab和cd的長度Δl很小，以致可以認為同一條Δl的H是常矢量，另兩條邊的長度h→0，故H在這兩條邊上的線積分可忽略不計。同時，由于S=h·Δl很小，故可認為S內的電流密度J為常矢量。圖3-20H的邊界條件將安培環(huán)路定律式(3-101)中的第—式用于閉合回路abcda，當h→0時，有從而得到磁場強度H的邊界條件是(3-107)可將式(3-107)寫成矢量形式(3-108)3.9.3H或B在界面兩側的方向關系

磁力線在越過邊界面后要發(fā)生方向的改變。分析如下：當界面上JS=0時,式(3-107)和式(3-105)可分別寫為H2sinθ2=H1sinθ1和B2cosθ2=B1cosθ1，兩式相除并注意到B2=

μ2H2和B1=μ1H1，則有

(3-109)這便是在無面電流界面兩側磁場的方向關系，容易看出，在高磁導率μ1介質與低磁導率μ2介質的界面兩側有θ2<<θ1，同時有B2<<B1。假如μ1=1000μ0，μ2=μ0，在這種情況下，當θ1=87°時，θ2=1.09°，B2/B1=0.052。由此可見，高磁導率介質內部的磁感應強度遠大于低磁導率介質內部的磁感應強度。

3.10標量磁位

對于恒定磁場，不管是否有電流分布，均可引入磁矢量位A，除此之外，對于無電流部分的區(qū)域或存在永久磁體的區(qū)域，還可引入磁場的標量位jm。在此基礎上，可借助于求解靜電場的方法求解恒定磁場，或者在求得了同類靜電場邊值問題解的情況下比擬地寫出恒定磁場的解。

根據磁介質中恒定磁場的基本方程式可知，在無自由電流(J=0)的區(qū)域里，磁場強度。由矢量恒等式，一個標量函數的梯度的旋度恒等于零。此時，磁場強度可以表示為一個標量函數的負梯度，即

(3-110)jm稱為磁場的標量位函數，簡稱為標量磁位。上式中的負號是為了與靜電場的電位對應而人為加入的。

對于均勻介質，由恒定磁場的基本方程，有

將式(3-110)代入到上式中,可得磁標位滿足拉普拉斯方程,即(3-111)所以用微分方程求磁標位時，同靜電位一樣，是求拉普拉斯方程的解。磁標位的邊界條件可表示為(3-112)(3-113)引入標量磁位后，除能較方便地求解無源區(qū)域的磁場外，還為求解永久磁體周圍的磁場帶來極大方便(永久磁體內無自由電流)。一般情況下，永久磁體的磁導率遠大于空氣的磁導率，如上節(jié)所說，此時，永久磁體的表面是一個(磁標位)等位面，因而可用靜電比擬法求解。

對于非均勻介質，在無源區(qū)(J=0)中有

故在引入等效磁荷ρm的概念后，磁標位滿足泊松方程，即(3-114)式中，

。

3.11電感

在線性磁介質中，任一回路在空間產生的磁場與回路電流成正比，因而穿過任意的固定回路的磁通量Φ也與電流成正比。如果回路由細導線繞成N匝，則總磁通量是各匝的磁通之和。稱總磁通為磁鏈，用ψ表示。對于密繞線圈，可以近似認為各匝的磁通相等，從而有ψ=NΦ。

3.11.1自感

一個回路的自感定義為：穿過這個電流回路為周界的曲面的磁鏈ψ與回路電流I之比，用L表示，即

(3-115)

3.11.2互感

互感是互感系數的簡稱，有兩個回路及兩個以上回路才涉及到互感，如圖3-21所示的兩個回路。

回路l1與回路l2之間的互感定義為：由載電流I1的回路l1產生磁場、穿過以回路l2為周界的曲面S2的磁鏈ψ12與電流I1之比，用M12表示為(3-116)互感的單位與自感相同。同樣,我們可以用載流回路l2的磁場在回路l1上產生的磁鏈ψ21與電流I2的比來定義l2與l1之間的互感M21,即圖3-21兩回路間的互感3.11.3電感的計算方法

首先討論如圖3-21所示的回路系統互感的計算。設兩個回路均為一匝，且周圍媒質的磁導率為μ0。當回路l1中的電流為I1時，穿過回路l2的磁鏈為

(3-117)式中，A12為電流I1在l2上一點的磁矢位，即將其代入式(3-117)，有故而得l1與l2之間的互感為(3-118)同理得l2與l1之間的互感為比較上兩式可知(3-119)可見，互感具有互易性，因而通常說兩回路間的互感M，而不必說明是回路l1與回路l2間的還是回路l2與回路l1間的互感。實際上，諾伊曼公式(3-118)不僅適用于計算兩回路間的互感M，同樣適用于計算單一回路的自感L。思路是將式(3-118)中的回路l1和回路l2重新理解：如圖3-22所示是一個單匝導線回路，無論導線粗細，其橫截面尺寸都要按照實際的不為零處理，取實際回路的中心軸線為回路l1且認為電流I1集中于l1，再取實際回路的內緣為回路l2；圖中的R12就是式(3-118)中的r2－r1，從而把求一個實際的單一回路的自感問題歸結為求上述所規(guī)定的回路l1和回路l2間的互感問題。

例3-13

求空氣中無限長平行雙導線單位長度的外自感。如圖3-23所示，導線的截面半徑為a，兩導線中心距離為d。圖3-22用諾伊曼公式計算外自感圖3-23平行雙導線解設導線中電流為I，由安培環(huán)路定律可得兩導線之間軸線所在的平面上的磁感應強度為磁場的方向與導線回路平面垂直。單位長度上的外磁鏈為所以單位長度的外自感為例3-14

求如圖3-24所示之半徑為a，磁導率為μ的無限長直導線單位長度上的內自感Lin。

解導線的內自感Lin是導線的內磁鏈與導線的總電流之比。通過導線內部半徑r(r<a)的橫截面的電流

,因而導線內一點的磁感應強度為

相應的穿過導體中寬度為dr，長度為1的面元dS的磁通為應該注意的是，穿過dS的磁力線并沒有與總電流I交鏈而僅與部分電流Ir交鏈，但在自感的定義式中，電流是指總電流I。圖3-24例3-14圖另一方面，在磁鏈ψ與磁通Φ的關系式ψ=NΦ中，匝數N的本質就是磁力線與總電流I交鏈的次數，因而，這意味著在本題中匝數N=Ir/I=r2/a2(N<1)，所以與dΦin相應的磁鏈為

在導體內，穿過寬度為a，長度為1的平面的磁鏈為因而單位長度上的內自感為

3.12恒定磁場的能量

3.12.1恒定電流系統的磁場能

首先討論兩個恒定電流回路系統的磁場能。設在真空中有兩個細導線回路l1和l2，在t=0時刻，兩個回路中的電流均為零，之后經過中間值i1和i2逐漸而連續(xù)地增加到最終值I1和I2，相應的，中間各點的磁場也由零逐漸而連續(xù)地增加到最終值。顯然，回路中電流的建立是外電源做功的結果，根據能量守恒定律，外電源所做的功等于恒定磁場所蘊涵的能量。由于恒定磁場的能量與建立恒定電流的中間過程無關，因而可選取兩步完成建立過程：第一步先建立回路l1中的電流i1，在i1由零增至最終值I1的過程中，回路l2中的電流i2始終保持為零；第二步再建立回路l2中的電流i2,在i2由零增至最終值I2的過程中，回路i1中的電流始終保持為I1。

首先分析建立I1時外電源做的功。如圖3-25所示，當回路l1中的電流i1在dt時間內有一增量di1時，空間各點的磁場也有相應增加，從而使穿過回路l1和l2的磁鏈ψ11和ψ12都發(fā)生變化。由法拉第電磁感應定律，ψ11的變化導致在l1中產生感應電動勢為(3-120)式中，L1為回路l1的自感。ε11將阻止i1增加，要使i1增加，必須在l1中外加電壓U1=－ε11來抵消感應電動勢，以維持l1中在dt時間內有一增量di1，這樣在dt時間內外電源向l1做的功為(3-121)可知，回路l1中的電流i1由零增至最終值I1的過程中外電源向l1做的功為

(3-122)另一方面，當l1在dt時間內有一增量di1時，將引起ψ12的變化，從而在回路l2中產生互感電動勢(3-123)ε12在l2中將產生一個感應電流試圖改變i2為零的狀態(tài)，為使i2始終為零，必須在l2中外加電壓U2=－ε12來抵消感應電動勢。在dt時間內外電源向l2做的功因i2始終為零而等于零，即(3-124)可知，回路l1中的電流i1由零增至最終值I1的過程中外電源向l2做的功為

W12=0

因而在完成第一步的過程中外電流所做的功為(3-125)圖3-25建立I1時外電源做的功現在完成第二步，即建立回路l2中的電流i2，在i2由零增至最終值I2的過程中，回路l1中的電流始終保持為I1，如圖3-26所示。在i2增加的過程中產生兩個結果：結果之一在l2中產生自感電動勢ε22，企圖阻止i2的增加，而要消除ε22的影響，需外加一電壓U2=－ε22的電源，采用在回路l1中建立I1的同樣分析方法，可知外電源對回路l2做的功為

(3-126)式中，L2為回路l2的自感。結果之二是，在i2由零增至最終