【八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)】全冊(cè)重難點(diǎn)題型總結(jié)（人教版）

人教版八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)全冊(cè)重難點(diǎn)題型總結(jié)目錄TOC\o"1-3"\t"正文,1"\h第11章三角形章末重難點(diǎn)題型 3【考點(diǎn)1三角形的穩(wěn)定性】 3【考點(diǎn)2三角形中“三線”概念辨析】 4【考點(diǎn)3三角形中線的應(yīng)用（面積問題）】 5【考點(diǎn)4三角形中線的應(yīng)用（周長(zhǎng)問題）】 6【考點(diǎn)5三角形的三邊關(guān)系】 6【考點(diǎn)6三角形的三邊關(guān)系（證明題）】 7【考點(diǎn)7利用三角形的高和角平分線性質(zhì)求角】 8【考點(diǎn)8直角三角板中的求角度問題】 9【考點(diǎn)9三角形的內(nèi)角和及外角的性質(zhì)（雙角平分線）】 10【考點(diǎn)10八字形中的角度計(jì)算】 12【考點(diǎn)11三角形的內(nèi)角和及外角的性質(zhì)（折疊問題）】 13【考點(diǎn)12直角三角形的性質(zhì)（一組垂直關(guān)系）】 14【考點(diǎn)13多邊形的邊數(shù)】 15【考點(diǎn)14多邊形的內(nèi)角和外角】 16第12章全等三角形章末重難點(diǎn)題型 17【考點(diǎn)1全等形的概念】 17【考點(diǎn)2全等形的應(yīng)用（網(wǎng)格圖中求角度）】 17【考點(diǎn)3全等三角形的性質(zhì)（線段的和差）】 18【考點(diǎn)4全等三角形的性質(zhì)（角的計(jì)算）】 19【考點(diǎn)5判斷全等三角形的對(duì)數(shù)】 20【考點(diǎn)6網(wǎng)格中全等三角形個(gè)數(shù)問題】 21【考點(diǎn)7全等三角形的判定（選擇條件）】 22【考點(diǎn)8全等三角形的判定（判定依據(jù)）】 23【考點(diǎn)9全等三角形的判定與性質(zhì)（基礎(chǔ)證明）】 24【考點(diǎn)10全等三角形的判定與性質(zhì)（推理論證）】 25【考點(diǎn)11全等三角形的判定與性質(zhì)（動(dòng)點(diǎn)問題）】 26【考點(diǎn)12全等三角形的判定與性質(zhì)（添輔助線）】 28【考點(diǎn)13角平分線的性質(zhì)】 29【考點(diǎn)14角平分線的性質(zhì)與判定綜合】 30【考點(diǎn)15角平分線的性質(zhì)與全等綜合】 31【考點(diǎn)16角平分線與截長(zhǎng)補(bǔ)短】 32第13章軸對(duì)稱章末重難點(diǎn)題型 34【考點(diǎn)1軸對(duì)稱圖形的識(shí)別】 34【考點(diǎn)2生活中的軸對(duì)稱現(xiàn)象】 34【考點(diǎn)3軸對(duì)稱的性質(zhì)與運(yùn)用】 35【考點(diǎn)4線段垂直平分線的應(yīng)用】 36【考點(diǎn)5關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)】 38【考點(diǎn)6軸對(duì)稱變換（點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律）】 38【考點(diǎn)7軸對(duì)稱變換（作圖）】 39【考點(diǎn)8設(shè)計(jì)軸對(duì)稱圖案】 40【考點(diǎn)9軸對(duì)稱最短路徑問題】 41【考點(diǎn)10等腰三角形的性質(zhì)（求角度綜合）】 43【考點(diǎn)11等腰三角形的性質(zhì)（三線合一）】 44【考點(diǎn)12等腰三角形的性質(zhì)（作等腰三角形）】 45【考點(diǎn)13等腰三角形的判定與性質(zhì)（角平分線）】 46【考點(diǎn)14等邊三角形的性質(zhì)（含30°直角三角形）】 47【考點(diǎn)15等邊三角形的判定與性質(zhì)綜合】 48【考點(diǎn)16共點(diǎn)等腰（手拉手模型）】 49第14章整式的乘法與因式分解章末重難點(diǎn)題型 51【考點(diǎn)1冪的基本運(yùn)算】 51【考點(diǎn)2冪的混合運(yùn)算】 51【考點(diǎn)3巧用冪的運(yùn)算進(jìn)行簡(jiǎn)便運(yùn)算】 52【考點(diǎn)4冪的逆運(yùn)算】 52【考點(diǎn)5巧用冪的運(yùn)算進(jìn)行大小比較】 52【考點(diǎn)6冪的運(yùn)算中新定義問題】 53【考點(diǎn)7整式的乘法】 54【考點(diǎn)8整式乘法的應(yīng)用】 54【考點(diǎn)9利用乘法公式求值】 55【考點(diǎn)10乘法公式幾何背景】 56【考點(diǎn)11整式乘除的計(jì)算與化簡(jiǎn)】 58【考點(diǎn)12整式混合運(yùn)算的應(yīng)用】 59【考點(diǎn)13因式分解的概念】 60【考點(diǎn)14因式分解（提公因式與公式法綜合）】 61【考點(diǎn)15因式分解（十字相乘法）】 62【考點(diǎn)16因式分解（分組分解法）】 63【考點(diǎn)17利用因式分解求值】 65【考點(diǎn)18因式分解的應(yīng)用】 66第15章分式章末重難點(diǎn)題型 69【考點(diǎn)1分式及最簡(jiǎn)分式的概念】 69【考點(diǎn)2分式有意義的條件】 69【考點(diǎn)3分式值為0的條件】 70【考點(diǎn)4分式的基本性質(zhì)】 70【考點(diǎn)5利用分式的基本性質(zhì)求值】 71【考點(diǎn)6分式的化簡(jiǎn)求值】 71【考點(diǎn)7解分式方程】 72【考點(diǎn)8換元法解分式方程】 72【考點(diǎn)9分式方程的解】 73【考點(diǎn)10分式方程的增根】 74【考點(diǎn)11分式方程的應(yīng)用（行程問題）】 74【考點(diǎn)12分式方程的應(yīng)用（工程問題）】 75【考點(diǎn)13分式方程的應(yīng)用（銷售問題）】 76【考點(diǎn)14分式方程的應(yīng)用（方案問題）】 77【參考答案】 79第11章三角形章末重難點(diǎn)題型【考點(diǎn)1三角形的穩(wěn)定性】【方法點(diǎn)撥】三角形的特性之一就是具有穩(wěn)定性．找到圖形中有三角形固定的即可.【例1】（醴陵市期末）在實(shí)際生活中，我們經(jīng)常利用一些幾何圖形的穩(wěn)定性或不穩(wěn)定性，下列實(shí)物圖中利用了穩(wěn)定性的是（）A．電動(dòng)伸縮門 B．升降臺(tái) C．柵欄 D．窗戶【變式1-1】（東湖區(qū)校級(jí)期末）下列圖中不具有穩(wěn)定性的是（）A． B． C． D．【變式1-2】（裕安區(qū)期末）如圖，工人師傅做了一個(gè)長(zhǎng)方形窗框ABCD，E，F(xiàn)，G，H分別是四條邊上的中點(diǎn)，為了使它穩(wěn)固，需要在窗框上釘一根木條，這根木條不應(yīng)釘在（）A．A，C兩點(diǎn)之間 B．G，H兩點(diǎn)之間 C．B，F(xiàn)兩點(diǎn)之間 D．E，G兩點(diǎn)之間【變式1-3】（越秀區(qū)期末）如圖所示，要使一個(gè)六邊形木架在同一平面內(nèi)不變形，至少還要再釘上（）根木條．A．1 B．2 C．3 D．4【考點(diǎn)2三角形中“三線”概念辨析】【方法點(diǎn)撥】解決此類問題的關(guān)鍵是掌握三角形的角平分線，中線，線段的定義；根據(jù)三角形的三條中線都在三角形內(nèi)部；三角形的三條角平分線都在三角形內(nèi)部；三角形三條高可以在內(nèi)部，也可以在外部，直角三角形有兩條高在邊上進(jìn)行判斷．【例2】（遷西縣期末）下列說法錯(cuò)誤的是（）A．三角形的高、中線、角平分線都是線段 B．三角形的三條中線都在三角形內(nèi)部 C．銳角三角形的三條高一定交于同一點(diǎn) D．三角形的三條高、三條中線、三條角平分線都交于同一點(diǎn)【變式2-1】（平昌縣期末）下列說法中錯(cuò)誤的是（）A．三角形三條高至少有一條在三角形的內(nèi)部 B．三角形三條中線都在三角形的內(nèi)部 C．三角形三條角平分線都在三角形的內(nèi)部 D．三角形三條高都在三角形的內(nèi)部【變式2-2】（商水縣期末）如圖，在△ABC中，AD是高，AE是角平分線，AF是中線，則下列說法中錯(cuò)誤的是（）A．BF＝CF B．∠C+∠CAD＝90° C．∠BAF＝∠CAF D．S△ABC＝2S△ABF【變式2-3】（澧縣期中）如圖，△ABC中，∠1＝∠2，G為AD中點(diǎn)，延長(zhǎng)BG交AC于E，F(xiàn)為AB上一點(diǎn)，且CF⊥AD于H，下列判斷，其中正確的個(gè)數(shù)是（）①BG是△ABD中邊AD上的中線；②AD既是△ABC中∠BAC的角平分線，也是△ABE中∠BAE的角平分線；③CH既是△ACD中AD邊上的高線，也是△ACH中AH邊上的高線．A．0 B．1 C．2 D．3【考點(diǎn)3三角形中線的應(yīng)用（面積問題）】【方法點(diǎn)撥】解決此類問題的關(guān)鍵是三角形的中線將三角形分成面積相等的兩部分；兩個(gè)三角形的高相同時(shí)，面積的比等于它們的底邊的比．【例3】（朝陽區(qū)校級(jí)期末）如圖，△ABC中，點(diǎn)D是AB邊上的中點(diǎn)，點(diǎn)E是BC邊上的中點(diǎn)，若S△ABC＝12，則圖中陰影部分的面積是（）A．6 B．4 C．3 D．2【變式3-1】（徐州期中）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D、E分別為BC、AD的中點(diǎn)，EF＝2FC，若△ABC的面積為12cm2，則△BEF的面積為（）A．2cm2 B．3cm2 C．4cm2 D．5cm2【變式3-2】（遂寧期末）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別在三邊上，E是AC的中點(diǎn)，AD，BE，CF交于一點(diǎn)G，BD＝2DC，S△BGD＝16，S△AGE＝6，則△ABC的面積是（）A．42 B．48 C．54 D．60【變式3-3】（寧陽縣期末）如圖，△ABC的三邊的中線AD，BE，CF的公共點(diǎn)為G，且AG：GD＝2：1，若S△ABC＝12，則圖中陰影部分的面積是（）A．3 B．4 C．5 D．6【考點(diǎn)4三角形中線的應(yīng)用（周長(zhǎng)問題）】【方法點(diǎn)撥】解決此類問題的關(guān)鍵是掌握三角形的中線將所在邊分成兩條相等的線段，利用線段之間的等量代換或方程思想即可解決周長(zhǎng)問題．【例4】（連城縣期中）如圖，已知BD是△ABC的中線，AB＝5，BC＝3，且△ABD的周長(zhǎng)為11，則△BCD的周長(zhǎng)是（）A．9 B．14 C．16 D．不能確定【變式4-1】（旌陽區(qū)校級(jí)月考）在△ABC中，AD是BC邊上的中線，△ADC的周長(zhǎng)比△ABD的周長(zhǎng)多3，AB與AC的和為13，則AC的長(zhǎng)為（）A．7 B．8 C．9 D．10【變式4-2】（海淀區(qū)校級(jí)期末）已知AD是△ABC的中線，若△ABD與△ACD的周長(zhǎng)分別是14和12．△ABC的周長(zhǎng)是20，則AD的長(zhǎng)為．【變式4-3】（全椒縣期末）如圖，在△ABC中（AC＞AB），AC＝2BC，BC邊上的中線AD把△ABC的周長(zhǎng)分成60和40兩部分，求AC和AB的長(zhǎng)．【考點(diǎn)5三角形的三邊關(guān)系】【方法點(diǎn)撥】掌握三角形兩邊的和大于第三邊，三角形兩邊的差小于第三邊是解題關(guān)鍵.【例5】（濱湖區(qū)期中）4根小木棒的長(zhǎng)度分別為2cm，3cm，4cm和5cm．用其中3根搭三角形，可以搭出不同三角形的個(gè)數(shù)是（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【變式5-1】（紹興）長(zhǎng)度分別為2，3，3，4的四根細(xì)木棒首尾相連，圍成一個(gè)三角形（木棒允許連接，但不允許折斷），得到的三角形的最長(zhǎng)邊長(zhǎng)為（）A．4 B．5 C．6 D．7【變式5-2】（和平區(qū)校級(jí)期中）已知a，b，c是一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)，化簡(jiǎn)|a+c﹣b|﹣|b﹣c+a|﹣|a﹣b﹣c|＝．【變式5-3】（如東縣期末）△ABC三邊的長(zhǎng)a、b、c均為整數(shù)，a＞b＞c，a＝8，則滿足條件的三角形共有個(gè)．【考點(diǎn)6三角形的三邊關(guān)系（證明題）】【方法點(diǎn)撥】掌握三角形兩邊的和大于第三邊，三角形兩邊的差小于第三邊是解題關(guān)鍵.【例6】（九龍坡區(qū)校級(jí)月考）已知在△ABC中，AB＝AC，D在AC的延長(zhǎng)線上．求證：BD﹣BC＜AD﹣AB．【變式6-1】（遵義月考）如圖，點(diǎn)P是△ABC內(nèi)任意一點(diǎn)，求證：PA+PB+PC＞12AB+12BC+【變式6-2】（平昌縣期末）如圖，O是△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，連結(jié)OB，OC，求證：AB+AC＞OB+OC．【變式6-3】（雁塔區(qū)校級(jí)期中）觀察并探求下列各問題，寫出你所觀察得到的結(jié)論．（1）如圖①，在△ABC中，P為邊BC上一點(diǎn)，則BP+PCAB+AC（填“＞”、“＜”或“＝”）（2）將（1）中點(diǎn)P移到△ABC內(nèi)，得圖②，試觀察比較△BPC的周長(zhǎng)與△ABC的周長(zhǎng)的大小，并說明理由．（3）將（2）中點(diǎn)P變?yōu)閮蓚€(gè)點(diǎn)P1、P2得圖③，試觀察比較四邊形BP1P2C的周長(zhǎng)與△ABC的周長(zhǎng)的大小，并說明理由．【考點(diǎn)7利用三角形的高和角平分線性質(zhì)求角】【例7】（盱眙縣期末）如圖①，AD平分∠BAC，AE⊥BC，∠B＝38°，∠C＝64°．（1）求∠DAE的度數(shù)；（2）如圖②，若把“AE⊥BC”變成“點(diǎn)F在DA的延長(zhǎng)線上，F(xiàn)E⊥BC”，∠B＝α，∠C＝β（α＜β），請(qǐng)用α、β的代數(shù)式表示∠DFE．【變式7-1】（織金縣期末）如圖，在△ABC中，∠B＜∠ACB，AD平分∠BAC，P為線段AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，PE⊥AD交直線BC于點(diǎn)E．（1）若∠B＝35°，∠ACB＝85°，求∠E的度數(shù)；（2）當(dāng)點(diǎn)P在線段AD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求證：∠E=12(∠ACB?∠B)【變式7-2】（工業(yè)園區(qū)期末）如圖，AD、AE分別是△ABC的高和角平分線，∠B＝50°，∠ACB＝80°．點(diǎn)F在BC的延長(zhǎng)線上，F(xiàn)G⊥AE，垂足為H，F(xiàn)G與AB相交于點(diǎn)G．（1）求∠AGF的度數(shù)；（2）求∠DAE的度數(shù)．【變式7-3】（邕寧區(qū)校級(jí)期末）△ABC中，AD是∠BAC的角平分線，AE是△ABC的高．（1）如圖1，若∠B＝40°，∠C＝62°，請(qǐng)說明∠DAE的度數(shù)；（2）如圖2（∠B＜∠C），試說明∠DAE、∠B、∠C的數(shù)量關(guān)系；（3）如圖3，延長(zhǎng)AC到點(diǎn)F，∠CAE和∠BCF的角平分線交于點(diǎn)G，求∠G的度數(shù)．【考點(diǎn)8直角三角板中的求角度問題】【例8】（吉林）將一副三角尺按如圖所示的方式擺放，則∠α的大小為（）A．85° B．75° C．65° D．60°【變式8-1】（眉山）一副三角板如圖所示擺放，則∠α與∠β的數(shù)量關(guān)系為（）A．∠α+∠β＝180° B．∠α+∠β＝225° C．∠α+∠β＝270° D．∠α＝∠β【變式8-2】（定興縣期末）如圖所示，有一塊直角三角板DEF（足夠大），其中∠EDF＝90°，把直角三角板DEF放置在銳角△ABC上，三角板DEF的兩邊DE、DF恰好分別經(jīng)過B、C．（1）若∠A＝40°，則∠ABC+∠ACB＝°，∠DBC+∠DCB＝°∠ABD+∠ACD＝°．（2）若∠A＝55°，則∠ABD+∠ACD＝°．（3）請(qǐng)你猜想一下∠ABD+∠ACD與∠A所滿足的數(shù)量關(guān)系．【變式8-3】（襄城縣期末）將一副三角尺疊放在一起：（1）如圖①，若∠1＝4∠2，請(qǐng)計(jì)算出∠CAE的度數(shù)；（2）如圖②，若∠ACE＝2∠BCD，請(qǐng)求出∠ACD的度數(shù)．【考點(diǎn)9三角形的內(nèi)角和及外角的性質(zhì)（雙角平分線）】【例9】（蓬溪縣期末）某校七年級(jí)數(shù)學(xué)興趣小組對(duì)“三角形內(nèi)角或外角平分線的夾角與第三個(gè)內(nèi)角的數(shù)量關(guān)系”進(jìn)行了探究．（1）如圖1，在△ABC中，∠ABC與∠ACB的平分線交于點(diǎn)P，∠A＝64°，則∠BPC＝；（2）如圖2，△ABC的內(nèi)角∠ACB的平分線與△ABC的外角∠ABD的平分線交于點(diǎn)E．其中∠A＝α，求∠BEC．（用α表示∠BEC）；（3）如圖3，∠CBM、∠BCN為△ABC的外角，∠CBM、∠BCN的平分線交于點(diǎn)Q，請(qǐng)你寫出∠BQC與∠A的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．（4）如圖4，△ABC外角∠CBM、∠BCN的平分線交于點(diǎn)Q，∠A＝64°，∠CBQ，∠BCQ的平分線交于點(diǎn)P，則∠BPC＝°，延長(zhǎng)BC至點(diǎn)E，∠ECQ的平分線與BP的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)R，則∠R＝°．【變式9-1】（南海區(qū)期末）閱讀下面的材料，并解決問題．（1）已知在△ABC中，∠A＝60°，圖1﹣3的△ABC的內(nèi)角平分線或外角平分線交于點(diǎn)O，請(qǐng)直接求出下列角度的度數(shù)．如圖1，∠O＝；如圖2，∠O＝；如圖3，∠O＝；如圖4，∠ABC，∠ACB的三等分線交于點(diǎn)O1，O2，連接O1O2，則∠BO2O1＝．（2）如圖5，點(diǎn)O是△ABC兩條內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，求證：∠O＝90°+12∠A．（3）如圖6，△ABC中，∠ABC的三等分線分別與∠ACB的平分線交于點(diǎn)O1，O2，若∠1＝115°，∠2＝135°，求∠A的度數(shù)．【變式9-2】（豐澤區(qū)校級(jí)期中）如圖①，在△ABC中，∠ABC與∠ACB的平分線相交于點(diǎn)P．（1）如果∠A＝80°，求∠BPC的度數(shù)；（2）如圖②，作△ABC外角∠MBC、∠NCB的平分線交于點(diǎn)Q，試探索∠Q、∠A之間的數(shù)量關(guān)系．（3）如圖③，延長(zhǎng)線段BP、QC交于點(diǎn)E，△BQE中，存在一個(gè)內(nèi)角等于另一個(gè)內(nèi)角的3倍，請(qǐng)直接寫出∠A的度數(shù)．【變式9-3】（景德鎮(zhèn)期末）（1）如圖①，在銳角△ABC中，BD和BE三等分∠ABC，CD和CE三等分∠ACB，請(qǐng)分別寫出∠A和∠D，∠A和∠E的數(shù)量關(guān)系，并選擇其中一個(gè)說明理由；（2）如圖②，在銳角△ABC中，BD和BE三等分∠ABC，CD和CE三等分外角∠ACM，請(qǐng)分別寫出∠A和∠D，∠A和∠E的數(shù)量關(guān)系，并選擇其中一個(gè)說明理由；（3）如圖③，在銳角△ABC中，BD和BE三等分外角∠PBC，CD和CE三等分外角∠QCB，請(qǐng)分別直接寫出∠A和∠D，∠A和∠E的數(shù)量關(guān)系．【考點(diǎn)10八字形中的角度計(jì)算】【例10】（江夏區(qū)校級(jí)月考）如圖，AE，DE分別平分∠BAC和∠BDC，∠B＝∠BDC＝45°，∠C＝51°，求∠E的度數(shù)．【變式10-1】（贛榆區(qū)期中）如圖1，AD、BC交于點(diǎn)O，得到的數(shù)學(xué)基本圖形我們稱之為‘8’字形ABCD．（1）試說明：∠A+∠B＝∠C+∠D；（2）如圖2，∠ABC和∠ADC的平分線相交于E，嘗試用（1）中的數(shù)學(xué)基本圖形和結(jié)論，猜想∠E與∠A、∠C之間的數(shù)量關(guān)系并說明理由．【變式10-2】（石獅市期末）已知線段AB與CD相交于點(diǎn)O，連結(jié)AD，BC．（1）如圖1，試說明：∠A+∠D＝∠B+∠C；（2）請(qǐng)利用（1）的結(jié)論探索下列問題：①如圖2，作AP平分∠DAB，交DC于點(diǎn)M，交∠BCD的平分線于點(diǎn)P，PC交AB于點(diǎn)N，若∠B+∠D＝80°，求∠P的大??；②如圖3，若∠B＝α，∠D＝β，∠P＝γ，且∠BAP=14∠BAD，∠BCP=14∠BCD，試探索α，β，【變式10-3】（贛榆區(qū)期末）[問題背景]（1）如圖1的圖形我們把它稱為“8字形”，請(qǐng)說理證明∠A+∠B＝∠C+∠D．[簡(jiǎn)單應(yīng)用]（可直接使用問題（1）中的結(jié)論）（2）如圖2，AP、CP分別平分∠BAD、∠BCD，①若∠ABC＝28°，∠ADC＝20°，求∠P的度數(shù)；②∠D和∠B為任意角時(shí)，其他條件不變，試直接寫出∠P與∠D、∠B之間數(shù)量關(guān)系．[問題探究]（3）如圖3，直線BP平分∠ABC的外角∠FBC，DP平分∠ADC的鄰補(bǔ)角∠ADE，①若∠A＝30°，∠C＝18°，則∠P的度數(shù)為；②∠A和∠C為任意角時(shí)，其他條件不變，試直接寫出∠P與∠A、∠C之間數(shù)量關(guān)系．[拓展延伸]（4）在圖4中，若設(shè)∠C＝x，∠B＝y(tǒng)，∠CAP=14∠CAB，∠CDP=14∠CDB，試問∠P與∠C、∠B之間的數(shù)量關(guān)系為；（用x、y的代數(shù)式表示∠（5）在圖5中，直線BP平分∠ABC，DP平分∠ADC的外角∠ADE，猜想∠P與∠A、∠C的關(guān)系，直接寫出結(jié)論．【考點(diǎn)11三角形的內(nèi)角和及外角的性質(zhì)（折疊問題）】【例11】（鯉城區(qū)校級(jí)期中）如圖，將一張三角形紙片ABC的三角折疊，使點(diǎn)A落在△ABC的A′處折痕為DE，若∠A＝α，∠CEA′＝β，∠BDA′＝γ，那么下列式子中正確的是（）A．γ＝180°﹣α﹣β B．γ＝α+2β C．γ＝2α+β D．γ＝α+β【變式11-1】（龍崗區(qū)校級(jí)期末）如圖，在△ABC中，∠C＝36°，將△ABC沿著直線l折疊，點(diǎn)C落在點(diǎn)D的位置，則∠1﹣∠2的度數(shù)是（）A．36° B．72° C．50° D．46°【變式11-2】（奈曼旗期末）如圖，把△ABC紙片沿DE折疊，當(dāng)點(diǎn)A落在四邊形BCDE內(nèi)部時(shí)，則∠A與∠1+∠2之間有一種數(shù)量關(guān)系始終保持不變，試著找一找這個(gè)規(guī)律，你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律是（）A．∠1+∠2＝2∠A B．∠1+∠2＝∠A C．∠A＝2（∠1+∠2） D．∠1+∠2=12∠A【變式11-3】（阜寧縣期中）問題1現(xiàn)有一張△ABC紙片，點(diǎn)D、E分別是△ABC邊上兩點(diǎn)，若沿直線DE折疊．研究（1）：如果折成圖①的形狀，使A點(diǎn)落在CE上，則∠1與∠A的數(shù)量關(guān)系是研究（2）：如果折成圖②的形狀，猜想∠1+∠2和∠A的數(shù)量關(guān)系是研究（3）：如果折成圖③的形狀，猜想∠1、∠2和∠A的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．問題2研究（4）：將問題1推廣，如圖④，將四邊形ABCD紙片沿EF折疊，使點(diǎn)A、B落在四邊形EFCD的內(nèi)部時(shí)，∠1+∠2與∠A、∠B之間的數(shù)量關(guān)系是．【考點(diǎn)12直角三角形的性質(zhì)（一組垂直關(guān)系）】【方法點(diǎn)撥】解決此類問題的關(guān)鍵是掌握同角（等角）的余角相等.【例12】（道里區(qū)期末）如圖，CD是直角△ABC斜邊AB上的高，CB＞CA，圖中相等的角共有（）A．2對(duì) B．3對(duì) C．4對(duì) D．5對(duì)【變式12-1】（濱?？h期中）如圖，AD⊥BC，垂足為D，點(diǎn)E在AC上，且∠A＝30°，∠B＝40°．求∠BFD和∠AEF的度數(shù)．【變式12-2】（沭陽縣期末）已知：如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，AE是△ABC內(nèi)部的一條線段，AE交CD于點(diǎn)F，交CB于點(diǎn)E，且∠CFE＝∠CEF．求證：AE平分∠CAB．【變式12-3】（豐臺(tái)區(qū)期末）在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝40°，P是射線BC上一動(dòng)點(diǎn)（與B，C點(diǎn)不重合），連接AP．過點(diǎn)C作CD⊥AP于點(diǎn)D，交直線AB于點(diǎn)E，設(shè)∠APC＝α．（1）若點(diǎn)P在線段BC上，且α＝60°，如圖1，直接寫出∠PAB的大?。唬?）若點(diǎn)P在線段BC上運(yùn)動(dòng)，如圖2，求∠AED的大小（用含α的式子表示）；（3）若點(diǎn)P在BC的延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)，且a≠50°，直接寫出∠AED的大小（用含α的式子表示）．【考點(diǎn)13多邊形的邊數(shù)】【例13】（江漢區(qū)期中）下列多邊形中，對(duì)角線是5條的多邊形是（）A．四邊形 B．五邊形 C．六邊形 D．七邊形【變式13-1】（文登區(qū)期末）將一個(gè)多邊形紙片沿一條直線剪下一個(gè)三角形后，變成一個(gè)六邊形，則原多邊形紙片的邊數(shù)不可能是（）A．5 B．6 C．7 D．8【變式13-2】（巴州區(qū)期末）若一個(gè)多邊形截去一個(gè)角后，變成十四邊形，則原來的多邊形的邊數(shù)可能為（）A．14或15 B．13或14 C．13或14或15 D．14或15或16【變式13-3】（海淀區(qū)期末）如圖，將五邊形ABCDE沿虛線裁去一個(gè)角得到六邊形ABCDGF，則該六邊形的周長(zhǎng)一定比原五邊形的周長(zhǎng)（填：大或?。?，理由為．【考點(diǎn)14多邊形的內(nèi)角和外角】【方法點(diǎn)撥】掌握n邊形的內(nèi)角和是（n﹣2）?180°，多邊形的外角和是360°是解題的關(guān)鍵.【例14】（洛寧縣期末）一個(gè)多邊形的外角和是內(nèi)角和的27，這個(gè)多邊形的邊數(shù)是（）A．7 B．8 C．9 D．10【變式14-1】（高新區(qū)期末）如圖，五邊形ABCDE的一個(gè)內(nèi)角∠A＝110°，則∠1+∠2+∠3+∠4等于（）A．360° B．290° C．270° D．250°【變式14-2】（遂寧期末）如圖，七邊形ABCDEFG中，AB、ED的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)O，若∠1，∠2，∠3，∠4相鄰的外角的和等于230°，則∠BOD的度數(shù)是（）A．50° B．55° C．40° D．45°【變式14-3】（遂寧期末）如圖，在五邊形ABCDE中，∠C＝90°，∠D＝70°，∠E＝130°，AP平分∠EAB，BP平分∠ABC，求∠P的度數(shù)．

第12章全等三角形章末重難點(diǎn)題型【考點(diǎn)1全等形的概念】【方法點(diǎn)撥】解決此類問題根據(jù)能夠完全重合的兩個(gè)圖形叫做全等形求解即可.【例1】（新樂市期中）下圖所示的圖形分割成兩個(gè)全等的圖形，正確的是（）A． B． C． D．【變式1-1】（山亭區(qū)期末）下列四個(gè)圖形中，屬于全等圖形的是（）A．③和④ B．②和③ C．①和③ D．①②【變式1-2】（蘇州期末）下列四個(gè)圖形中，有兩個(gè)全等的圖形，它們是（）A．①和② B．①和③ C．②和④ D．③和④【變式1-3】（孝義市校級(jí)月考）如圖所示，請(qǐng)你在圖中畫兩條直線，把這個(gè)“+”圖案分成四個(gè)全等的圖形（要求至少要畫出兩種方法）．【考點(diǎn)2全等形的應(yīng)用（網(wǎng)格圖中求角度）】【方法點(diǎn)撥】解決此類問題要善于找出網(wǎng)格圖中的全等形，利用角度之間的等量代換即可求解。【例2】（平陰縣期末）如圖是由4個(gè)相同的小正方形組成的網(wǎng)格圖，其中∠1+∠2等于（）A．150° B．180° C．210° D．225°【變式2-1】（玉門市期末）如圖為6個(gè)邊長(zhǎng)相等的正方形的組合圖形，則∠1﹣∠2+∠3＝．【變式2-2】（江漢區(qū)期末）如圖，是一個(gè)3×3的正方形網(wǎng)格，則∠1+∠2+∠3+∠4＝．【變式2-3】（莆田期末）如圖，在孔雀開屏般漂亮的4×4正方形網(wǎng)格中，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7＝．【考點(diǎn)3全等三角形的性質(zhì)（線段的和差）】【方法點(diǎn)撥】解決此類問題要抓住全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，利用線段相等進(jìn)行等量代換即可求解.【例3】（萬州區(qū)期末）如圖，△ABC≌△DEC，A和D，B和E是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，B、C、D在同一直線上，且CE＝5，AC＝7，則BD的長(zhǎng)為（）A．12 B．7 C．2 D．14【變式3-1】（秦淮區(qū)期末）如圖，若△ABC≌△DEF，四個(gè)點(diǎn)B、E、C、F在同一直線上，BC＝7，EC＝5，則CF的長(zhǎng)是（）A．2 B．3 C．5 D．7【變式3-2】（邳州市期中）如圖，點(diǎn)B、E、A、D在同一條直線上，△ABC≌△DEF，AB＝7，AE＝2，則AD的長(zhǎng)是（）A．4 B．5 C．6 D．7【變式3-3】（拱墅區(qū)校級(jí)期中）若△ABC≌△DEF，AB＝2，AC＝4，且△DEF的周長(zhǎng)為奇數(shù)，則EF的值為（）A．3 B．4 C．1或3 D．3或5【考點(diǎn)4全等三角形的性質(zhì)（角的計(jì)算）】【方法點(diǎn)撥】解決此類問題要抓住全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等，利用角度之間的關(guān)系進(jìn)行等量代換即可求解.【例4】（江北區(qū)期末）如圖，在△ABC中，∠A＝30°，∠ABC＝50°，若△EDC≌△ABC，且A，C，D在同一條直線上，則∠BCE＝（）A．20° B．30° C．40° D．50°【變式4-1】（南崗區(qū)校級(jí)期中）如圖所示，已知△ABC≌△ADE，BC的延長(zhǎng)線交DE于F，∠B＝∠D＝25°，∠ACB＝∠AED＝105°，∠DAC＝10°，則∠DFB為（）A．40° B．50° C．55° D．60°【變式4-2】（洛陽期中）如圖，△ABC≌△AED，連接BE．若∠ABC＝15°，∠D＝135°，∠EAC＝24°，則∠BEA的度數(shù)為（）A．54° B．63° C．64° D．68°【變式4-3】（沙坪壩區(qū)校級(jí)期末）如圖，△ABC≌△ADE，且AE∥BD，∠BAD＝130°，則∠BAC度數(shù)的值為．【考點(diǎn)5判斷全等三角形的對(duì)數(shù)】【方法點(diǎn)撥】認(rèn)真觀察圖形，確定已知條件在圖形上的位置，結(jié)合全等三角形的判定方法，由易到難，仔細(xì)尋找．【例5】（海港區(qū)期末）如圖，AC、BD相交于點(diǎn)E，AB＝DC，AC＝DB，則圖中有全等三角形（）A．1對(duì) B．2對(duì) C．3對(duì) D．4對(duì)【變式5-1】（高新區(qū)期末）如圖，在AB、AC上各取一點(diǎn)E、D，使AE＝AD，連接BD、CE相交于點(diǎn)O，再連接AO、BC，若∠1＝∠2，則圖中全等三角形共有（）A．5對(duì) B．6對(duì) C．7對(duì) D．8對(duì)【變式5-2】（碑林區(qū)校級(jí)期末）如圖，已知A、B、C、D四點(diǎn)共線，AE∥DF，BE∥CF，AC＝BD，則圖中全等三角形有（）A．4對(duì) B．6對(duì) C．8對(duì) D．10對(duì)【變式5-3】（碑林區(qū)校級(jí)期末）如圖，AB∥CD，AD∥BC，AC與BD相交于點(diǎn)O，AE⊥BD，CF⊥AC，垂足分別是E，F(xiàn)．則圖中共有（）對(duì)全等三角形．A．5 B．6 C．7 D．8【考點(diǎn)6網(wǎng)格中全等三角形個(gè)數(shù)問題】【方法點(diǎn)撥】認(rèn)真觀察圖形，利用SSS判斷即可．【例6】（沙河口區(qū)期末）如圖，在4×4方形網(wǎng)格中，與△ABC有一條公共邊且全等（不與△ABC重合）的格點(diǎn)三角形（頂點(diǎn)在格點(diǎn)上的三角形）共有（）A．3個(gè) B．4個(gè) C．5個(gè) D．6個(gè)【變式6-1】（太倉市期末）如圖，△DEF的3個(gè)頂點(diǎn)分別在小正方形的頂點(diǎn)（格點(diǎn)）上，這樣的三角形叫做格點(diǎn)三角形，選取圖中三個(gè)格點(diǎn)組成三角形，能與△DEF全等（重合的除外）的三角形個(gè)數(shù)為（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【變式6-2】（睢寧縣校級(jí)月考）如圖，方格紙中△DEF的三個(gè)頂點(diǎn)分別在小正方形的頂點(diǎn)上，像這樣的三個(gè)頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上的三角形叫格點(diǎn)三角形，則圖中與△DEF全等的格點(diǎn)三角形有（）個(gè)．A．9 B．10 C．11 D．12【變式6-3】（南充期中）如圖為正方形網(wǎng)格，頂點(diǎn)在格點(diǎn)上的三角形稱為格點(diǎn)三角形，每個(gè)小正方形均為邊長(zhǎng)為1的正方形，圖中與△ABC全等的格點(diǎn)三角形（不含△ABC）共有（）個(gè)．A．4 B．16 C．23 D．24【考點(diǎn)7全等三角形的判定（選擇條件）】【方法點(diǎn)撥】判定兩個(gè)三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定兩個(gè)三角形全等，判定兩個(gè)三角形全等時(shí)，必須有邊的參與，若有兩邊一角對(duì)應(yīng)相等時(shí)，角必須是兩邊的夾角．【例7】（常熟市期末）如圖，點(diǎn)C、D分別在BO、AO上，AC、BD相交于點(diǎn)E，若CO＝DO，則再添加一個(gè)條件，仍不能證明△AOC≌△BOD的是（）A．∠A＝∠B B．AC＝BD C．∠ADE＝∠BCE D．AD＝BC【變式7-1】（崇川區(qū)期末）如圖，在△ABC和△DEC中，已知AB＝DE，還需添加兩個(gè)條件才能使△ABC≌△DEC，不能添加的一組條件是（）A．BC＝EC，∠B＝∠E B．BC＝EC，AC＝DC C．∠B＝∠E，∠A＝∠D D．BC＝DC，∠A＝∠D【變式7-2】（競(jìng)秀區(qū)校級(jí)期末）如圖，AB＝DC，BF＝CE，需要補(bǔ)充一個(gè)條件，就能使△ABE≌△DCF，小明給出了四個(gè)答案：①AE＝DF；②AE∥DF；③AB∥DC；④∠A＝∠D，其中正確的是（）A．①③ B．①② C．①②③ D．①②③④【變式7-3】（金牛區(qū)期末）如圖，已知：在△AFD和△CEB，點(diǎn)A、E、F、C在同一直線上，在給出的下列條件中，①AE＝CF，②∠D＝∠B，③AD＝CB，④DF∥BE，選出三個(gè)條件可以證明△AFD≌△CEB的有（）組．A．4 B．3 C．2 D．1【考點(diǎn)8全等三角形的判定（判定依據(jù)）】【方法點(diǎn)撥】判定兩個(gè)三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定兩個(gè)三角形全等，判定兩個(gè)三角形全等時(shí)，必須有邊的參與，若有兩邊一角對(duì)應(yīng)相等時(shí)，角必須是兩邊的夾角．【例8】（廣安期末）如圖，在∠AOB的兩邊上，分別取OM＝ON，再分別過點(diǎn)M、N作OA、OB的垂線，交點(diǎn)為P，畫射線OP，則OP平分∠AOB的依據(jù)是（）A．SSS B．SAS C．AAS D．HL【變式8-1】（江津區(qū)期末）工人師傅常用角尺平分一個(gè)任意角．做法如下：如圖，∠AOB是一個(gè)任意角，在邊OA，OB上分別取OM＝ON，移動(dòng)角尺，使角尺兩邊相同的刻度分別與點(diǎn)M，N重合，過角尺頂點(diǎn)C作射線OC．由此作法便可得△MOC≌△NOC，其依據(jù)是（）A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS【變式8-2】（西寧期末）如圖，PA⊥OM，PB⊥ON，垂足分別為A，B，PA＝PB．則△OAP≌△OBP的依據(jù)不可能是（）A．SSS B．SAS C．AAS D．HL【變式8-3】（正定縣期中）一塊三角形玻璃被小紅碰碎成四塊，如圖，小紅只帶其中的兩塊去玻璃店，買了一塊和以前一樣的玻璃，你認(rèn)為她帶哪兩塊去玻璃店了（）A．帶其中的任意兩塊 B．帶1，4或3，4就可以了 C．帶1，4或2，4就可以了 D．帶1，4或2，4或3，4均可【考點(diǎn)9全等三角形的判定與性質(zhì)（基礎(chǔ)證明）】【方法點(diǎn)撥】全等三角形的判定：全等三角形的5種判定方法中，選用哪一種方法，取決于題目中的已知條件，若已知兩邊對(duì)應(yīng)相等，則找它們的夾角或第三邊；若已知兩角對(duì)應(yīng)相等，則必須再找一組對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等，且要是兩角的夾邊，若已知一邊一角，則找另一組角，或找這個(gè)角的另一組對(duì)應(yīng)鄰邊．【例9】（工業(yè)園區(qū)期末）已知：如圖，點(diǎn)A、E、C同一條直線上，AB⊥BC，AD⊥DC，AB＝AD．求證：BE＝DE．【變式9-1】（鞍山）如圖，在四邊形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AB，AD上，AE＝AF，CE＝CF，求證：CB＝CD．【變式9-2】（雨花區(qū)期末）如圖，已知AB⊥CF于點(diǎn)B，DE⊥CF于點(diǎn)E，BH＝EG，AH＝DG，∠C＝∠F．（1）求證：△ABH≌△DEG；（2）求證：CE＝FB．【變式9-3】（歷下區(qū)期末）如圖1，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在AD上．（1）求證：∠ABE＝∠ACE；（2）如圖2，若BE的延長(zhǎng)線交AC于點(diǎn)F，CE的延長(zhǎng)線交AB于點(diǎn)G．求證：EF＝EG．【考點(diǎn)10全等三角形的判定與性質(zhì)（推理論證）】【例10】（高明區(qū)期末）如圖，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AC，垂足為E，BF∥AC交ED的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，若BC恰好平分∠ABF，AE＝2BF．給出下列四個(gè)結(jié)論：①DE＝DF；②DB＝DC；③AD⊥BC；④AC＝3BF．其中正確的結(jié)論為（）A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④【變式10-1】（潛山市期末）如圖，在△ABC中，P，Q分別是BC，AC上的點(diǎn)，PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分別是R，S，若AQ＝PQ，PR＝PS，那么下面四個(gè)結(jié)論：①AS＝AR；②QP∥AR；③△BRP≌△QSP；④BR＝QS，其中一定正確的是（填寫編號(hào)）．【變式10-2】（平陰縣期末）如圖，EB交AC于點(diǎn)M，交C于點(diǎn)D，AB交FC于點(diǎn)N，∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C，AE＝AF，給出下列結(jié)論：①∠1＝∠2；②CD＝DN；③△ACN≌△ABM；④BE＝CF．其中正確的結(jié)論有．（填序號(hào)）【變式10-3】（雨花區(qū)期末）如圖，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝140°，AB⊥CB于點(diǎn)B，AD⊥CD于點(diǎn)D，E、F分別是CB、CD上的點(diǎn)，且∠EAF＝70°，下列說法正確的是．（填寫正確的序號(hào)）①DF＝BE，②△ADF≌△ABE，③FA平分∠DFE，④AE平分∠FAB，⑤BE+DF＝EF，⑥CF+CE＞FD+EB．【考點(diǎn)11全等三角形的判定與性質(zhì)（動(dòng)點(diǎn)問題）】【例11】（平陰縣期末）如圖，已知在△ABC中，AB＝AC，BC＝12厘米，點(diǎn)D為AB上一點(diǎn)且BD＝8厘米，點(diǎn)P在線段BC上以2厘米/秒的速度由B點(diǎn)向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，同時(shí)，點(diǎn)Q在線段CA上由C點(diǎn)向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)．（1）用含t的式子表示PC的長(zhǎng)為；（2）若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度相等，當(dāng)t＝2時(shí)，三角形BPD與三角形CQP是否全等，請(qǐng)說明理由；（3）若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度不相等，請(qǐng)求出點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度是多少時(shí)，能夠使三角形BPD與三角形CQP全等？【變式11-1】（德惠市期中）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90，AC＝6，BC＝8．點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿折線AC﹣﹣CB以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿折線BC﹣CA以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，P、Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)．分別過P、Q兩點(diǎn)作PE⊥l于E，QF⊥l于F．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（秒）：（1）當(dāng)P、Q兩點(diǎn)相遇時(shí)，求t的值；（2）在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，求CP的長(zhǎng)（用含t的代數(shù)式表示）；（3）當(dāng)△PEC與△QFC全等時(shí)，直接寫出所有滿足條件的CQ的長(zhǎng)．【變式11-2】（花都區(qū)期末）如圖①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝9cm，AC＝12cm，AB＝15cm，現(xiàn)有一動(dòng)點(diǎn)P，從點(diǎn)A出發(fā)，沿著三角形的邊AC→CB→BA運(yùn)動(dòng)，回到點(diǎn)A停止，速度為3cm/s，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts．（1）如圖（1），當(dāng)t＝112或192時(shí)，△APC的面積等于△ABC面積的一半；（2）如圖（2），在△DEF中，∠E＝90°，DE＝4cm，DF＝5cm，∠D＝∠A．在△ABC的邊上，若另外有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)Q，與點(diǎn)P同時(shí)從點(diǎn)A出發(fā)，沿著邊AB→BC→CA運(yùn)動(dòng)，回到點(diǎn)A停止．在兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過程中的某一時(shí)刻，恰好△APQ≌△DEF，求點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度．【變式11-3】（內(nèi)鄉(xiāng)縣期末）如圖（1），AB＝7cm，AC⊥AB，BD⊥AB垂足分別為A、B，AC＝5cm．點(diǎn)P在線段AB上以2cm/s的速度由點(diǎn)A向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q在射線BD上運(yùn)動(dòng)．它們運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（s）（當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)隨之結(jié)束）．（1）若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度相等，當(dāng)t＝1時(shí)，△ACP與△BPQ是否全等，并判斷此時(shí)線段PC和線段PQ的位置關(guān)系，請(qǐng)分別說明理由；（2）如圖（2），若“AC⊥AB，BD⊥AB”改為“∠CAB＝∠DBA”，點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為xcm/s，其它條件不變，當(dāng)點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)有△ACP與△BPQ全等，求出相應(yīng)的x的值．【考點(diǎn)12全等三角形的判定與性質(zhì)（添輔助線）】【例12】（黃州區(qū)校級(jí)模擬）如圖，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AE＝AC，AF⊥CB，垂足為F．（1）求證：△ABC≌△ADE；（2）求∠FAE的度數(shù)；（3）求證：CD＝2BF+DE．【變式12-1】（青羊區(qū)期末）如圖，△ABC中，AB＝AC，∠EAF═12∠BAC，BF⊥AE于E交AF于點(diǎn)F，連結(jié)CF．（1）如圖1所示，當(dāng)∠EAF在∠BAC內(nèi)部時(shí)，求證：EF＝BE+CF．（2）如圖2所示，當(dāng)∠EAF的邊AE、AF分別在∠BAC外部、內(nèi)部時(shí)，求證：CF＝BF+2BE．【變式12-2】（南岸區(qū)期末）在∠MAN內(nèi)有一點(diǎn)D，過點(diǎn)D分別作DB⊥AM，DC⊥AN，垂足分別為B，C．且BD＝CD，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AM和AN上．（1）如圖1，若∠BED＝∠CFD，請(qǐng)說明DE＝DF；（2）如圖2，若∠BDC＝120°，∠EDF＝60°，猜想EF，BE，CF具有的數(shù)量關(guān)系，并說明你的結(jié)論成立的理由．【變式12-3】（成都期末）已知在四邊形ABCD中，∠BAD+∠BCD＝180°，AB＝BC．（1）如圖1，連接BD，若∠ABD＝∠CBD，則AB與AD有什么位置關(guān)系，請(qǐng)說明理由？（2）如圖2，若P，Q兩點(diǎn)分別在線段AD，DC上，且滿足PQ＝AP+CQ，請(qǐng)猜想∠PBQ與∠ABP+∠QBC是否相等，并說明理由．（3）如圖3，若點(diǎn)Q在DC的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)P在DA的延長(zhǎng)線上，且仍然滿足PQ＝AP+CQ，請(qǐng)寫出∠PBQ與∠ADC的數(shù)量關(guān)系，并加以說明．【考點(diǎn)13角平分線的性質(zhì)】【方法點(diǎn)撥】角平分線的性質(zhì)：角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等，解決此類問題的關(guān)鍵在于作垂線.【例13】（大名縣期中）如圖，BD是∠ABC的平分線，DE⊥AB于E，S△ABC＝36cm2，AB＝18cm，BC＝12cm，則DE＝cm．【變式13-1】（永嘉縣校級(jí)期中）如圖，AC，BC分別平分∠BAE，∠ABF，若△ABC的高CD＝8，則點(diǎn)C到AE，BF的距離之和為．【變式13-2】（長(zhǎng)沙月考）如圖，在△ABC中，CD⊥AB于點(diǎn)D，BE平分∠ABC，交CD于點(diǎn)E，若S△BCE＝24，BC＝12，則DE等于（）A．10 B．7 C．5 D．4【變式13-3】（碑林區(qū)校級(jí)期末）如圖，已知△ABC的周長(zhǎng)是16，MB和MC分別平分∠ABC和∠ACB，過點(diǎn)M作BC的垂線交BC于點(diǎn)D，且MD＝4，則△ABC的面積是（）A．64 B．48 C．32 D．42【考點(diǎn)14角平分線的性質(zhì)與判定綜合】【方法點(diǎn)撥】掌握到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上是解決此類問題的關(guān)鍵.【例14】（興隆縣期中）如圖，O是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且O到三邊AB、BC、CA的距離OF＝OD＝OE，若∠BAC＝70°，則∠BOC的度數(shù)為（）A．70° B．120° C．125° D．130°【變式14-1】（福田區(qū)校級(jí)期中）如圖，△ABC中，∠ABC、∠EAC的角平分線BP、AP交于點(diǎn)P，延長(zhǎng)BA、BC，則下列結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)（）①CP平分∠ACF；②∠ABC+2∠APC＝180°③∠ACB＝2∠APB；④若PM⊥BE，PN⊥BC，則AM+CN＝ACA．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【變式14-2】（龍崗區(qū)期末）如圖，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，△ABC的角平分線AD、BE相交于點(diǎn)P，過P作PF⊥AD交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，交AC于點(diǎn)H，則下列結(jié)論：①∠APB＝135°；②BF＝BA；③PH＝PD；④連接CP，CP平分∠ACB，其中正確的是（）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④【變式14-3】（澠池縣期末）（1）如圖①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝45°，AD平分∠BAC，交BC于點(diǎn)D．如果作輔助線DE⊥AB于點(diǎn)E，則可以得到AC、CD、AB三條線段之間的數(shù)量關(guān)系為；（2）如圖，△ABC中，∠C＝2∠B，AD平分∠BAC，交BC于點(diǎn)D．（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若不成立，試說明理由；若成立，請(qǐng)證明．【考點(diǎn)15角平分線的性質(zhì)與全等綜合】【例15】（江北區(qū)期末）如圖，D是∠EAF平分線上的一點(diǎn)，若∠ACD+∠ABD＝180°，請(qǐng)說明CD＝DB的理由．【變式15-1】（東湖區(qū)校級(jí)期中）如圖，已知AC平分∠BAD，CE⊥AB于E點(diǎn)，∠ADC+∠B＝180°．（1）求證：BC＝CD；（2）2AE＝AB+AD．【變式15-2】（薛城區(qū)期中）如圖，在△ABC中，AB＝8，AC＝4，G為BC的中點(diǎn)，DG⊥BC交∠BAC的平分線AD于D，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F交AC的延長(zhǎng)線于F．（1）求證：BE＝CF；（2）求AE的長(zhǎng)．【變式15-3】如圖，已知AC平分∠BAD，CE⊥AD于點(diǎn)E，BC＝CD．有下列結(jié)論：①∠ABC+∠ADC＝180°；②∠CBD＝∠CAB；③AB+AD＝2AE；④AD﹣AB＝2DE．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考點(diǎn)16角平分線與截長(zhǎng)補(bǔ)短】【例16】（郾城區(qū)期末）在數(shù)學(xué)課外活動(dòng)中，某學(xué)習(xí)小組在討論“導(dǎo)學(xué)案”上的一個(gè)問題：如圖，在△ABC中，∠B＝60°，AD，CE分別是∠BAC，∠BCA的平分線，AD，CE相交于點(diǎn)F，探求FE與FD之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．同學(xué)甲說：要作輔助線；同學(xué)乙說：要應(yīng)用角平分線性質(zhì)來解決；同學(xué)丙說：要應(yīng)用全等三角形的判定和性質(zhì)來解決．如果你是這個(gè)學(xué)習(xí)小組的成員，請(qǐng)你結(jié)合同學(xué)們的討論寫出證明過程．【變式16-1】（江陰市校級(jí)月考）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝60°，AD、CE分別平分∠BAC，∠ACB，（1）求∠AOE的度數(shù)；（2）試說明：AC＝AE+CD．【變式16-2】（黃陂區(qū)期中）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，點(diǎn)E為CD上一點(diǎn)，AE，BE分別平分∠DAB，∠CBA．（1）求證：AE⊥BE：（2）求證：AB＝AD+BC；（3）若AE＝4，BE＝6，則四邊形ABCD的面積為（直接寫出結(jié)果）．【變式16-3】（洪山區(qū)期中）如圖，在四邊形ABCD中，∠BAD＝α，∠BCD＝180°﹣α，BD平分∠ABC．（1）如圖，若α＝90°，根據(jù)教材中一個(gè)重要性質(zhì)直接可得DA＝CD，這個(gè)性質(zhì)是（2）問題解決：如圖，求證AD＝CD；（3）問題拓展：如圖，在等腰△ABC中，∠BAC＝100°，BD平分∠ABC，求證：BD+AD＝BC．

第13章軸對(duì)稱章末重難點(diǎn)題型【考點(diǎn)1軸對(duì)稱圖形的識(shí)別】【方法點(diǎn)撥】解決此類問題關(guān)鍵是掌握如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱圖形．【例1】（岳陽期末）2020年初，新型冠狀病毒引發(fā)肺炎疫情．一方有難，八方支援，全國(guó)多家醫(yī)院紛紛選派醫(yī)護(hù)人員馳援武漢．下面是四家醫(yī)院標(biāo)志的圖案部分，其中圖案部分是軸對(duì)稱圖形的是（） A．協(xié)和醫(yī)院B．湘雅醫(yī)院C．齊魯醫(yī)院 D．華西醫(yī)院【變式1-1】（青島期末）下列交通指示標(biāo)識(shí)中，是軸對(duì)稱圖形的有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【變式1-2】（陳倉區(qū)期末）下列與防疫有關(guān)的圖案中不是軸對(duì)稱圖形的有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【變式1-3】（揭陽期末）下列圖形中，是軸對(duì)稱圖形的有（）個(gè)．①角②線段③等腰三角形④等邊三角形⑤扇形⑥圓⑦平行四邊形A．4個(gè) B．5個(gè) C．6個(gè) D．7個(gè)【考點(diǎn)2生活中的軸對(duì)稱現(xiàn)象】【方法點(diǎn)撥】解決此類問題關(guān)鍵是掌握鏡面對(duì)稱原理及反射角與入射角的定義.【例2】（玉門市期末）如圖，課間休息時(shí)，小新將鏡子放在桌面上，無意間看到鏡子中有一串?dāng)?shù)字，原來是桌旁墻面上張貼的同學(xué)手機(jī)號(hào)碼中的幾個(gè)數(shù)字，請(qǐng)問鏡子中的數(shù)字對(duì)應(yīng)的實(shí)際數(shù)字是．【變式2-1】（禪城區(qū)期末）室內(nèi)墻壁上掛一平面鏡，小明在平面鏡內(nèi)看到他背后墻上時(shí)鐘的示數(shù)如圖所示，則這時(shí)的實(shí)際時(shí)間應(yīng)是（）A．3：20 B．3：40 C．4：40 D．8：20【變式2-2】（潤(rùn)州區(qū)校級(jí)月考）如圖是一個(gè)經(jīng)過改造的規(guī)則為4×7的臺(tái)球桌面示意圖，圖中四個(gè)角上的陰影部分分別表示四個(gè)入球孔，如果一個(gè)球按圖中所示的方向被擊出（球可以經(jīng)過臺(tái)球邊緣多次反彈），那么球最后將落入的球袋是（）A．1號(hào)袋 B．2號(hào)袋 C．3號(hào)袋 D．4號(hào)袋【變式2-3】（兗州區(qū)期末）如圖，彈性小球從點(diǎn)P出發(fā)，沿所示方向運(yùn)動(dòng)，每當(dāng)小球碰到長(zhǎng)方形的邊時(shí)反彈，反彈時(shí)人射角等于反射角（即：∠1＝∠2，∠3＝∠4）．小球從P點(diǎn)出發(fā)第1次碰到長(zhǎng)方形邊上的點(diǎn)記為A點(diǎn)，第2次碰到長(zhǎng)方形邊上的點(diǎn)記為B點(diǎn)，……第2020次碰到長(zhǎng)方形邊上的點(diǎn)為圖中的（）A．A點(diǎn) B．B點(diǎn) C．C點(diǎn) D．D點(diǎn)【考點(diǎn)3軸對(duì)稱的性質(zhì)與運(yùn)用】【方法點(diǎn)撥】軸對(duì)稱的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線與對(duì)稱軸的位置關(guān)系是互相垂直，對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連的線段被對(duì)稱軸垂直平分，對(duì)稱軸上的任何一點(diǎn)到兩個(gè)對(duì)應(yīng)點(diǎn)之間的距離相等，對(duì)應(yīng)的角、線段都相等．【例3】（青川縣期末）如圖，P為∠AOB內(nèi)一點(diǎn)，分別畫出點(diǎn)P關(guān)于OA，OB的對(duì)稱點(diǎn)P1，P2，連接P1P2．交OA于點(diǎn)M，交OB于點(diǎn)N．若P1P2＝5cm，則△PMN的周長(zhǎng)為．【變式3-1】（延邊州二模）如圖，∠AOB＝40°，點(diǎn)P在∠AOB的內(nèi)部，點(diǎn)C，D分別是點(diǎn)P關(guān)于直線OA，OB的對(duì)稱點(diǎn)，連接CD分別交OA，OB于點(diǎn)E、F．則∠EPF＝．【變式3-2】（長(zhǎng)春期末）如圖，點(diǎn)P是∠AOB外一點(diǎn)，點(diǎn)M、N分別是∠AOB兩邊上的點(diǎn)，點(diǎn)P關(guān)于OA的對(duì)稱點(diǎn)Q恰好落在線段MN上，點(diǎn)P關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)R落在線段MN的延長(zhǎng)線上．若PM＝2.5cm，PN＝3cm，MN＝4cm，則線段QR的長(zhǎng)為．【變式3-3】（競(jìng)秀區(qū)期末）如圖，點(diǎn)P在∠AOB的內(nèi)部，點(diǎn)C和點(diǎn)P關(guān)于OA對(duì)稱，點(diǎn)P關(guān)于OB對(duì)稱點(diǎn)是D，連接CD交OA于M，交OB于N．（1）①若∠AOB＝60°，則∠COD＝°；②若∠AOB＝α，求∠COD的度數(shù)．（2）若CD＝4，則△PMN的周長(zhǎng)為．【考點(diǎn)4線段垂直平分線的應(yīng)用】【方法點(diǎn)撥】線段垂直平分線的性質(zhì)：線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等的性質(zhì)，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵【例4】（沙坪壩區(qū)校級(jí)期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC，AB的中垂線交AB于點(diǎn)D，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)F，若AB+BC＝6，則△BCF的周長(zhǎng)為（）A．4.5 B．5 C．5.5 D．6【變式4-1】（郫都區(qū)期末）如圖，△ABC中，∠ABC＝30°，∠ACB＝50°，DE、FG分別為AB、AC的垂直平分線，E、G分別為垂足．（1）直接寫出∠BAC的度數(shù)；（2）求∠DAF的度數(shù)，并注明推導(dǎo)依據(jù)；（3）若△DAF的周長(zhǎng)為20，求BC的長(zhǎng)．【變式4-2】（百色期末）如圖，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．（1）說明BE＝CF的理由；（2）如果AB＝5，AC＝3，求AE、BE的長(zhǎng)．【變式4-3】（萍鄉(xiāng)期末）如圖，△ABC的外角∠DAC的平分線交BC邊的垂直平分線于P點(diǎn)，PD⊥AB于D，PE⊥AC于E．（1）求證：BD＝CE；（2）若AB＝6cm，AC＝10cm，求AD的長(zhǎng)．【考點(diǎn)5關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)】【方法點(diǎn)撥】解決此類問題關(guān)鍵是掌握：關(guān)于x軸對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)：橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)．關(guān)于y軸對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)：橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)不變．【例5】（邛崍市期末）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P與點(diǎn)M關(guān)于y軸對(duì)稱，點(diǎn)N與點(diǎn)M關(guān)于x軸對(duì)稱，若點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣2，3），則點(diǎn)N的坐標(biāo)為（）A．（﹣3，2） B．（2，3） C．（2，﹣3） D．（﹣2，﹣3）【變式5-1】（潮州期末）若點(diǎn)P（2a﹣1，3）關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)為Q（3，b），則點(diǎn)M（a，b）關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A．（1，3） B．（﹣1，3） C．（﹣1，﹣3） D．（1，﹣3）【變式5-2】（河?xùn)|區(qū)期末）小紅同學(xué)誤將點(diǎn)A的橫縱坐標(biāo)次序顛倒，寫成A（a，b），另一學(xué)生誤將點(diǎn)B的坐標(biāo)寫成關(guān)于y軸對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)，寫成B（﹣b，﹣a）；則A，B兩點(diǎn)原來的位置關(guān)系是（）A．關(guān)于x軸對(duì)稱 B．關(guān)于y軸對(duì)稱 C．A和B重合 D．以上都不對(duì)【變式5-3】（陽信縣期末）已知點(diǎn)P（﹣1﹣2a，5）關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)和點(diǎn)Q（3，b）關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)相同，則A（a，b）關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A．（1，﹣5） B．（1，5） C．（﹣1，5） D．（﹣1，﹣5）【考點(diǎn)6軸對(duì)稱變換（點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律）】【例6】（長(zhǎng)白縣期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)△ABC進(jìn)行循環(huán)往復(fù)的軸對(duì)稱變換，若原來點(diǎn)A的坐標(biāo)是（a，b），經(jīng)過第2019次變換后所得的點(diǎn)A的坐標(biāo)是（）A．（﹣a，b） B．（﹣a，﹣b） C．（a，﹣b） D．（a，b）【變式6-1】（鹽城模擬）如圖，正方形ABCD的頂點(diǎn)A（1，1），B（3，1），規(guī)定把正方形ABCD“先沿x軸翻折，再向左平移1個(gè)單位”為一次變換，這樣連續(xù)經(jīng)過2019次變換后，正方形ABCD的頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為（）A．（﹣2018，﹣3） B．（﹣2018，3） C．（﹣2016，﹣3） D．（﹣2016，3）【變式6-2】（岳陽期末）如圖，已知正方形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)M，頂點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別為（1，3）、（1，1）、（3，1），規(guī)定“把正方形ABCD先沿x軸翻折，再向右平移1個(gè)單位”為一次變換，如此這樣，連續(xù)經(jīng)過2020次變換后，點(diǎn)M的坐標(biāo)變?yōu)椋ǎ〢．（2022，2） B．（2022，﹣2） C．（2020，2） D．（2020，﹣2）【變式6-3】（九江模擬）如圖，已知平行四邊形OABC的頂點(diǎn)O（0，0），B（2，2），C（1.6，0.8）．若將平行四邊形先沿著y軸進(jìn)行第一次軸對(duì)稱變換，所得圖形再沿著x軸進(jìn)行第二次軸對(duì)稱變換，軸對(duì)稱變換的對(duì)稱軸遵循y軸、x軸、y軸、x軸…的規(guī)律進(jìn)行，則經(jīng)過第2018次變換后，平行四邊形頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（）A．（﹣0.4，1.2） B．（﹣0.4，﹣1.2） C．（1.2，﹣0.4） D．（﹣1.2，﹣0.4）【考點(diǎn)7軸對(duì)稱變換（作圖）】【例7】（貴港期末）在邊長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度的正方形網(wǎng)格中建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，△ABC的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上（小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)），請(qǐng)解答下列問題：（1）作出△ABC關(guān)于y軸對(duì)稱的△A1B1C1，點(diǎn)A1與A，B1與B對(duì)應(yīng)．（2）若點(diǎn)P（x，y）是△ABC內(nèi)部一點(diǎn)，則△A1B1C1內(nèi)部的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P'的坐標(biāo)為．（3）若△ABC平移后得△A2B2C2，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A2的坐標(biāo)為（﹣1，﹣1），請(qǐng)?jiān)谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中畫出△A2B2C2．【變式7-1】（錦江區(qū)校級(jí)月考）如圖，在正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)A、B、C、M、N都在格點(diǎn)上．（1）作△ABC關(guān)于直線MN對(duì)稱的圖形△A'B'C'．（2）若網(wǎng)格中最小正方形的邊長(zhǎng)為1，求△ABC的面積．（3）點(diǎn)P在直線MN上，當(dāng)△PAC周長(zhǎng)最小時(shí)，P點(diǎn)在什么位置，在圖中標(biāo)出P點(diǎn)．【變式7-2】（文圣區(qū)期末）已知：如圖，方格圖中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)A、B、C、M、N都在格點(diǎn)上．（1）畫出△ABC關(guān)于直線MN對(duì)稱的△A1B1C1．（2）在直線MN上找點(diǎn)P，使|PB﹣PA|最大，在圖形上畫出點(diǎn)P的位置，并直接寫出|PB﹣PA|的最大值．【變式7-3】（五華區(qū)校級(jí)期末）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，△ABC的位置如圖所示．（1）頂點(diǎn)A關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)A'（，），頂點(diǎn)C先向右平移3個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位后的坐標(biāo)C'（，）；（2）將△ABC的縱坐標(biāo)保持不變，橫坐標(biāo)分別乘﹣1得△DEF，請(qǐng)你直接畫出圖形；（3）在平面直角坐標(biāo)系xOy中有一點(diǎn)P，使得△ABC與△PBC全等，這樣的P點(diǎn)有個(gè)．（A點(diǎn)除外）【考點(diǎn)8設(shè)計(jì)軸對(duì)稱圖案】【方法點(diǎn)撥】軸對(duì)稱設(shè)計(jì)圖案的關(guān)鍵是掌握好軸對(duì)稱圖形的概念．軸對(duì)稱圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱軸，圖形兩部分折疊后可重合．【例8】（撫州期末）如圖，在4×4正方形網(wǎng)格中，將圖中的2個(gè)小正方形涂上陰影，若再從其余小正方形中任選一個(gè)也涂上陰影，使得整個(gè)陰影部分組成的圖形是軸對(duì)稱圖形，那么符合條件的小正方形共有（）A．7個(gè) B．8個(gè) C．9個(gè) D．10個(gè)【變式8-1】（寧波模擬）請(qǐng)?jiān)谌鐖D四個(gè)3×3的正方形網(wǎng)格中，畫出與格點(diǎn)三角形（陰影部分）成軸對(duì)稱且以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形，并將所畫三角形涂上陰影．（注：所畫的四個(gè)圖不能重復(fù)）【變式8-2】（禪城區(qū)期末）觀察設(shè)計(jì)：（1）觀察如圖①、②中陰影部分構(gòu)成的圖案，請(qǐng)寫出這2個(gè)圖案都具有的2個(gè)共同特征；（2）借助后面的空白網(wǎng)格，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)2個(gè)新的圖案，使該圖案同時(shí)具有你在解答（1）中所寫出的2個(gè)共同特征．（注意：新圖案與已有的2個(gè)圖案不能重合）【變式8-3】（蘭州期末）如圖，是由4×4個(gè)大小完在一樣的小正方形組成的方格紙，其中有兩個(gè)小正方形是涂黑的，請(qǐng)?jiān)龠x擇三個(gè)小正方形并涂黑，使圖中涂黑的部分成為軸對(duì)稱圖形．并畫出它的一條對(duì)稱軸【考點(diǎn)9軸對(duì)稱最短路徑問題】【例9】（廣饒縣期末）如圖所示，OB是一條河流，OC是一片菜田，張大伯每天從家（A點(diǎn)處）去河處流邊挑水，然后把水挑到菜田處，最后回到家中．請(qǐng)你幫他設(shè)計(jì)一條路線，使張大伯每天行走的路線最短．下列四個(gè)方案中你認(rèn)為符合要求的是（）A． B． C． D．【變式9-1】（撫遠(yuǎn)市校級(jí)期末）如圖，∠AOB＝30°，點(diǎn)M、N分別是射線OB、OA上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P為∠AOB內(nèi)一點(diǎn)，且OP＝4，則△PMN的周長(zhǎng)的最小值為（）A．2 B．4 C．6 D．8【變式9-2】（碑林區(qū)校級(jí)期末）如圖，在銳角△ABC中，∠ACB＝50°；邊AB上有一定點(diǎn)P，M、N分別是AC和BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△PMN的周長(zhǎng)最小時(shí)，∠MPN的度數(shù)是（）A．50° B．60° C．70° D．80°【變式9-3】（青羊區(qū)期末）如圖，在四邊形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，∠B＝34°，在邊AB，BC上分別找一點(diǎn)E，F(xiàn)使△DEF的周長(zhǎng)最小，此時(shí)∠EDF＝．【考點(diǎn)10等腰三角形的性質(zhì)（求角度綜合）】【方法點(diǎn)撥】解決此類問題的關(guān)鍵要掌握等腰三角形兩底角相等（簡(jiǎn)稱等邊對(duì)等角），常與三角形外角的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理結(jié)合運(yùn)用．【例10】（高州市期末）已知：如圖，在△ABC中，AB＝AC，BC＝BD，AD＝DE＝EB，則∠A的度數(shù)是（）A．30° B．36° C．45° D．50°【變式10-1】（歷下區(qū)期末）如圖，已知∠AOB＝10°，且OC＝CD＝DE＝EF＝FG＝GH，則∠BGH＝（）A．50° B．60° C．70° D．80°【變式10-2】（廣饒縣期末）如圖，△AA1B中，AB＝A1B，∠B＝20°，A2，A3，A4，A5，…An都在AA1的延長(zhǎng)線上，B1，B2，B3，B4…分別在A1B，A2B1，A3B2，A4B3，…上，且滿足A1B1＝A1A2，A2B2＝A2A3，A3B3＝A3A4，A4B4＝A4A5，…，依此類推，∠B2019A2020A2019＝．【變式10-3】（敘州區(qū)期末）如圖，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，E為BC邊上一點(diǎn)，以E為頂點(diǎn)作∠AEF，∠AEF的一邊交AC于點(diǎn)F，使∠AEF＝∠B．（1）如果∠ABC＝40°，則∠BAC＝；（2）判斷∠BAE與∠CEF的大小關(guān)系，并說明理由；（3）當(dāng)△AEF為直角三角形時(shí)，求∠AEF與∠BAE的數(shù)量關(guān)系．【考點(diǎn)11等腰三角形的性質(zhì)（三線合一）】【方法點(diǎn)撥】解決此類問題的關(guān)鍵要掌握等腰三角形兩底角相等（簡(jiǎn)稱等邊對(duì)等角），常與三角形外角的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理結(jié)合運(yùn)用．【例11】（江油市期末）如圖：D為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A＝∠ABD，若BD＝1，BC＝3，則AC的長(zhǎng)為（）A．5 B．4 C．3 D．2【變式11-1】（豐城市期末）如圖：已知等邊△ABC中，D是AC的中點(diǎn)，E是BC延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，且CE＝CD，DM⊥BC，垂足為M．（1）求∠E的度數(shù)．（2）求證：M是BE的中點(diǎn)．【變式11-2】（寧都縣期末）如圖所示，△ABC中，AB＝BC，DE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥BC于點(diǎn)D，交AC于F．（1）若∠AFD＝155°，求∠EDF的度數(shù)；（2）若點(diǎn)F是AC的中點(diǎn)，求證：∠CFD=12∠B．【變式11-3】如圖所示，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC．（1）若D為BC的中點(diǎn)，過D作DM⊥DN分別交AB、AC于M、N，求證：DM＝DN；（2）若D為BC的中點(diǎn)，DM⊥DN分別和BA、AC延長(zhǎng)線交于M、N，問DM和DN有何數(shù)量關(guān)系，并證明．【考點(diǎn)12等腰三角形的性質(zhì)（作等腰三角形）】【例12】（隨縣期末）已知：如圖，下列三角形中，AB＝AC，則經(jīng)過三角形的一個(gè)頂點(diǎn)的一條直線能夠?qū)⑦@個(gè)三角形分成兩個(gè)小等腰三角形的是（）A．①③④ B．①②③④ C．①②④ D．①③【變式12-1】（海門市一模）線段AB在如圖所示的8×8網(wǎng)格中（點(diǎn)A、B均在格點(diǎn)上），在格點(diǎn)上找一點(diǎn)C，使△ABC是以∠B為頂角的等腰三角形，則所有符合條件的點(diǎn)C的個(gè)數(shù)是（）A．4 B．5 C．6 D．7【變式12-2】（安陸市期末）如圖，已知△ABC中，AB＝3，AC＝5，BC＝7，在△ABC所在平面內(nèi)一條直線，將△ABC分割成兩個(gè)三角形，使其中有一個(gè)邊長(zhǎng)為3的等腰三角形，則這樣的直線最多可畫（）A．5條 B．4條 C．3條 D．2條【變式12-3】（鼓樓區(qū)月考）如圖，直線PQ上有一點(diǎn)O，點(diǎn)A為直線外一點(diǎn)，連接OA，在直線PQ上找一點(diǎn)B，使得△AOB是等腰三角形，這樣的點(diǎn)B最多有個(gè)．【考點(diǎn)13等腰三角形的判定與性質(zhì)（角平分線）】【例13】（會(huì)寧縣期末）如圖，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的角平分線交于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作MN∥BC交AB于點(diǎn)M，交AC于點(diǎn)N．若BM＝2，CN＝3，則MN的長(zhǎng)為（）A．10 B．5.5 C．6 D．5【變式13-1】（新泰市期末）如圖，△ABC中，∠ABC與∠ACB的平分線交于點(diǎn)F，過點(diǎn)F作DE∥BC交AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，那么下列結(jié)論，其中正確的有（）①△BDF是等腰三角形；②DE＝BD+CE；③若∠A＝50°，則∠BFC＝115°；④DF＝EF．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【變式13-2】（北碚區(qū)期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D，BE⊥BD，DE∥BC，BE與DE交于點(diǎn)E，DE交AB于點(diǎn)F．（1）若∠A＝56°，求∠E的度數(shù)；（2）求證：BF＝EF．【變式13-3】（嘉祥縣期末）（1）如圖①，△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分線交于O點(diǎn)，過O點(diǎn)作EF∥BC交AB、AC于點(diǎn)E、F，試猜想EF、BE、CF之間有怎樣的關(guān)系，并說明理由；（2）如圖，若將圖①中∠ACB的平分線改為外角∠ACD的平分線，其它條件不變，請(qǐng)直接寫出EF、BE、CF之間的關(guān)系．【考點(diǎn)14等邊三角形的性質(zhì)（含30°直角三角形）】【方法點(diǎn)撥】掌握直角三角形中，30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半是解題的關(guān)鍵．【例14】（大洼區(qū)期末）如圖，在等邊三角形ABC中，BC＝2，D是AB的中點(diǎn)，過點(diǎn)D作DF⊥AC于點(diǎn)F，過點(diǎn)F作EF⊥BC于點(diǎn)E，則BE的長(zhǎng)為（）A．1 B．32 C．54 D．【變式14-1】（濟(jì)南期末）如圖，點(diǎn)P、M、N分別在等邊△ABC的各邊上，且MP⊥AB于點(diǎn)P，MN⊥BC于點(diǎn)M，PN⊥AC于點(diǎn)N，若AB＝12cm，求CM的長(zhǎng)為．【變式14-2】（五常市期末）如圖，△ABC是等邊三角形，D是BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，DE⊥AB于點(diǎn)E，EF⊥BC于點(diǎn)F．若CD＝3AE，CF＝6，則AC的長(zhǎng)為．【變式14-3】（南崗區(qū)校級(jí)月考）如圖，△ABC是等邊三角形，DE∥AB分別交BC、AC于點(diǎn)D、E，過點(diǎn)E做EF⊥DE，交線段BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．（1）求證：CE＝CF；（2）若BD=13CE，AB＝8，求線段DF的長(zhǎng)．【考點(diǎn)15等邊三角形的判定與性質(zhì)綜合】【例15】（雨花區(qū)校級(jí)月考）已知如圖等腰△ABC，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC于點(diǎn)D，點(diǎn)P是BA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，點(diǎn)O是線段AD上一點(diǎn)，OP＝OC，下面的結(jié)論：①∠APO+∠DCO＝30°；②∠APO＝∠DCO；③△OPC是等邊三角形；④AB＝AO+AP．其中正確的是（）A．①③④ B．①②③ C．①③ D．①②③④【變式15-1】（龍泉驛區(qū)期末）如圖，C為線段AE上一動(dòng)點(diǎn)，（不與點(diǎn)A、E重合），在AE同側(cè)分別作正△ABC和正△CDE，AD與BE交于點(diǎn)O，AD與BC交于點(diǎn)P，BE與CD交于點(diǎn)Q，連接PQ．求證：（1）AD＝BE（2）△APC≌△BQC（3）△PCQ是等邊三角形．【變式15-2】（煙臺(tái)）如圖，在等邊三角形ABC中，點(diǎn)E是邊AC上一定點(diǎn)，點(diǎn)D是直線BC上一動(dòng)點(diǎn)，以DE為一邊作等邊三角形DEF，連接CF．【問題解決】如圖1，若點(diǎn)D在邊BC上，求證：CE+CF＝CD；【類比探究】如圖2，若點(diǎn)D在邊BC的延長(zhǎng)線上，請(qǐng)?zhí)骄烤€段CE，CF與CD之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說明理由．【變式15-3】（東臺(tái)市期末）在等邊△ABC的兩邊AB、AC所在直線上分別有兩點(diǎn)M、N，D為△ABC外一點(diǎn)，且∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，BD＝DC．探究：當(dāng)M、N分別在直線AB、AC上移動(dòng)時(shí)，BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系及△AMN的周長(zhǎng)Q與等邊△ABC的周長(zhǎng)L的關(guān)系．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)M、N邊AB、AC上，且DM＝DN時(shí)，BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系是；此時(shí)QL=；（2）如圖2，點(diǎn)M、N在邊AB、AC上，且當(dāng)DM≠DN時(shí)，猜想（I）問的兩個(gè)結(jié)論還成立嗎？若成立請(qǐng)直接寫出你的結(jié)論；若不成立請(qǐng)說明理由．（3）如圖3，當(dāng)M、N分別在邊AB、CA的延長(zhǎng)線上時(shí)，探索BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系如何？并給出證明．【考點(diǎn)16共點(diǎn)等腰（手拉手模型）】【例16】（墾利區(qū)期中）已知：如圖，在△ABC，△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，點(diǎn)C，D，E三點(diǎn)在同一條直線上，連接BD，BE．以下四個(gè)結(jié)論：①BD＝CE；②BD⊥CE；③∠ACE+∠DBC＝45°；④∠ACE＝∠DBC．其中結(jié)論正確的個(gè)數(shù)有（）A．1 B．2 C．3 D．4【變式16-1】（濱州）如圖，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＞OC，∠AOB＝∠COD＝40°，連接AC，BD交于點(diǎn)M，連接OM．下列結(jié)論：①AC＝BD；②∠AMB＝40°；③OM平分∠BOC；④MO平分∠BMC．其中正確的個(gè)數(shù)為（）A．4 B．3 C．2 D．1【變式16-2】（常德期末）（1）問題發(fā)現(xiàn)如圖1，△ACB和△DCE均為等邊三角形，點(diǎn)A，D，E在同一直線上，連接BE，求∠AEB的度數(shù)．（2）拓展探究如圖2，△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，點(diǎn)A、D、E在同一直線上，CM為△DCE中DE邊上的高，連接BE．請(qǐng)求∠AEB的度數(shù)及線段CM，AE，BE之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【變式16-3】（上蔡縣校級(jí)期中）已知Rt△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝∠ACB＝45°，點(diǎn)D為直線BC上的一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D不與點(diǎn)B、C重合），以AD為邊作Rt△ADE，AD＝AE，∠ADE＝∠AED＝45°，連接CF．（1）發(fā)現(xiàn)問題如圖①，當(dāng)點(diǎn)D在邊BC上時(shí)．①請(qǐng)寫出BD和CE之間的數(shù)量關(guān)系為，位置關(guān)系為；②求證：CE+CD＝BC（2）嘗試探究如圖②，當(dāng)點(diǎn)D在邊BC的延長(zhǎng)線上且其他條件不變時(shí)，（1）中BC、CE、CD之間存在的數(shù)量關(guān)系是否成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)寫出新的數(shù)量關(guān)系，不證明．（3）拓展延伸如圖③，當(dāng)點(diǎn)D在CB的延長(zhǎng)線上且其他條件不變時(shí)，若BC＝6，CE＝2，求線段CD的長(zhǎng)．

第14章整式的乘法與因式分解章末重難點(diǎn)題型【考點(diǎn)1冪的基本運(yùn)算】【方法點(diǎn)撥】掌握冪的基本運(yùn)算是解題關(guān)鍵．同底數(shù)冪的乘法法則：同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加．a(chǎn)m?an=am+n（m，n是正整數(shù)）冪的乘方法則：底數(shù)不變，指數(shù)相乘．（am）n=amn（m，n是正整數(shù)）積的乘方法則：把每一個(gè)因式分別乘方，再把所得的冪相乘．（ab）n=anbn（n是正整數(shù)）同底數(shù)冪的除法法