四川省達(dá)州市2025屆高三上學(xué)期一診試題 數(shù)學(xué) 含解析

達(dá)州市普通高中2025屆第一次診斷性測(cè)試數(shù)學(xué)試題（本試卷滿(mǎn)分150分，考試時(shí)間120分鐘）注意事項(xiàng)：1.答題前，考生務(wù)必將自己的班級(jí)?姓名?準(zhǔn)考證號(hào)用0.5毫米的黑色簽字筆填寫(xiě)在答題卡上，并檢查條形碼粘貼是否正確.2.選擇題使用2B鉛筆填涂在答題卡對(duì)應(yīng)題目標(biāo)號(hào)的位置上，非選擇題用0.5毫米的黑色簽字筆書(shū)寫(xiě)在答題卡的對(duì)應(yīng)題框內(nèi)，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效；在草稿紙?試題卷上答題無(wú)效.3.考試結(jié)束以后，將答題卡收回.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，若，則集合可以為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)子集的定義即可判斷.【詳解】因?yàn)椋?故選：C2.以雙曲線的右焦點(diǎn)為圓心，離心率為半徑的圓的方程為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程可得右焦點(diǎn)坐標(biāo)和離心率，即可得到圓的方程.【詳解】由得，，故右焦點(diǎn)坐標(biāo)為，離心率為，∴圓的方程為.故選：A.3.已知為直線的傾斜角，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)直線傾斜角與斜率的關(guān)系可得，利用二倍角公式及齊次式可得結(jié)果.【詳解】∵為直線的傾斜角，∴直線斜率，∴.故選：A.4.已知三個(gè)不同的平面，且，則是的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】由不能得到，由可得，據(jù)此可確定選項(xiàng).【詳解】如圖，在正方體中，記平面為平面，平面為平面，平面為平面，則，，但平面，即由不能得到由可得.故時(shí)，是的必要不充分條件.故選：B.5.已知可導(dǎo)函數(shù)的部分圖象如圖所示，為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，下列結(jié)論不一定成立的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)圖象，以及導(dǎo)數(shù)的幾何意義，即可判斷選項(xiàng).【詳解】A.由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，，由圖可知，，所以，故A成立；B.，故B成立；C.由圖可知，，，但不確定與的大小關(guān)系，故C不一定成立.D.由圖可知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，且增長(zhǎng)速度越來(lái)越快，所以，故D成立.故選：C6.如圖，在正方體中，點(diǎn)分別為所在棱的中點(diǎn)，則（）A. B.平面C.直線與為異面直線 D.平面【答案】D【解析】【分析】首先以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法，判斷垂直和平行關(guān)系.【詳解】如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)棱長(zhǎng)為，A，，，，，，，所以與不垂直，故A錯(cuò)誤；B.平面的法向量為，，所以與平面的法向量不垂直，則與平面不平行，故B錯(cuò)誤；C.，，，，所以，則，故C錯(cuò)誤；D.，，，，，，，，平面，所以平面，故D正確.故選：D7.如圖1，圓錐的母線長(zhǎng)為3，底面圓直徑，點(diǎn)為底面的中點(diǎn)，則在該圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖（圖2）中（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)圓錐與展開(kāi)圖的關(guān)系，求對(duì)應(yīng)的圓心角，再轉(zhuǎn)化向量，求向量的數(shù)量積.【詳解】如圖，連結(jié)，圓錐底面圓的周長(zhǎng)為，母線為3，所以扇形展開(kāi)圖的圓心角為，則，，，.故選：D8.已知函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則下列敘述錯(cuò)誤的是（）A. B.既有最小值也有最大值C.有3個(gè)零點(diǎn) D.有2個(gè)極值點(diǎn)【答案】B【解析】【分析】首先利用奇函數(shù)的性質(zhì)，求，即可判斷A，根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)，分析當(dāng)時(shí)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，分析函數(shù)的極值，以及函數(shù)值的趨向，即可判斷選項(xiàng).【詳解】設(shè)，，因?yàn)楹瘮?shù)是奇函數(shù)，則，即，所以，，所以，故A正確；所以，當(dāng)時(shí)，，，設(shè)，，設(shè)，得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)，，單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，即恒成立，所以單調(diào)遞增，即單調(diào)遞增，，，所以存在，使，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，取得極小值，，則，，所以存在，使，且時(shí)，，綜上可知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有一個(gè)極小值點(diǎn)，一個(gè)零點(diǎn)，無(wú)最大值，因?yàn)楹瘮?shù)是奇函數(shù)，所以時(shí)，函數(shù)有一個(gè)極大值點(diǎn)，一個(gè)零點(diǎn)，無(wú)最小值，且，所以函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)，2個(gè)極值點(diǎn)，無(wú)最大值也無(wú)最小值，所以B錯(cuò)誤，CD正確.故選：B【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是判斷A選項(xiàng)，通過(guò)多次對(duì)函數(shù)求導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性和極值.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.國(guó)家統(tǒng)計(jì)局7月15日發(fā)布數(shù)據(jù)顯示，2024年上半年我國(guó)經(jīng)濟(jì)運(yùn)行總體平穩(wěn)，其中新能源產(chǎn)業(yè)依靠持續(xù)的技術(shù)創(chuàng)新實(shí)現(xiàn)較快增長(zhǎng).某企業(yè)根據(jù)市場(chǎng)調(diào)研得到研發(fā)投入（億元）與產(chǎn)品收益（億元）的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下，則下列敘述正確的是（）12345672357889A.B.由散點(diǎn)圖知變量和正相關(guān)C.用最小二乘法求得關(guān)于的經(jīng)驗(yàn)回歸直線方程為D.收益的方差為6【答案】AB【解析】【分析】根據(jù)平均數(shù)公式以及散點(diǎn)圖的圖象特征判斷AB，根據(jù)回歸直線過(guò)樣本點(diǎn)中心，即可判斷C，代入方差公式，判斷D.【詳解】A.，，故A正確；B.散點(diǎn)圖的分布從左下到右上，所以是正相關(guān)，故B正確；C.經(jīng)驗(yàn)回歸直線必過(guò)樣本點(diǎn)中心，當(dāng)時(shí)，，故C錯(cuò)誤；D.收益的方差為，故D錯(cuò)誤.故選：AB10.為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，記為，依次類(lèi)推，，已知，數(shù)列的前項(xiàng)和為，則（）A.B.C.存在，使得在上單調(diào)遞增D.【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)數(shù)列的定義，列舉發(fā)現(xiàn)數(shù)列的的周期性，再結(jié)合選項(xiàng)即可判斷.【詳解】由題意可知，，，，，，，所以數(shù)列的周期為4，，故A正確；因?yàn)?，且?shù)列的周期為4，所以，故B錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，為常數(shù)列，所以存在時(shí)，在上單調(diào)遞增，故C正確；由C選項(xiàng)可知，當(dāng)時(shí)，，值域?yàn)椋粷M(mǎn)足，故D錯(cuò)誤.故選：AC11.拋物線有如下光學(xué)性質(zhì)：平行于拋物線對(duì)稱(chēng)軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后必過(guò)拋物線的焦點(diǎn).已知拋物線的焦點(diǎn)為為坐標(biāo)原點(diǎn)，從點(diǎn)發(fā)出平行于軸的光線經(jīng)過(guò)拋物線上的點(diǎn)反射后再經(jīng)過(guò)拋物線上另一點(diǎn)，則（）A.存在點(diǎn)使得點(diǎn).都在以為圓心的圓上B.存在點(diǎn)使得點(diǎn)是的垂心C.存在點(diǎn)使得點(diǎn)是的重心D.點(diǎn)到直線的最短距離為4【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)圓的性質(zhì)，以及拋物線的對(duì)稱(chēng)性，即可判斷A，根據(jù)光學(xué)性質(zhì)，利用點(diǎn)的坐標(biāo)表示點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)垂心，重心，即可判斷BC，利用坐標(biāo)表示點(diǎn)到直線的距離，即可判斷D.【詳解】A.由題意可知，三點(diǎn)共線，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性可知，若存在點(diǎn)使得點(diǎn).都在以為圓心的圓上，則為通徑，則,，則以點(diǎn)為圓心的圓的半徑為2，但，所以不存在點(diǎn)使得點(diǎn).都在以為圓心的圓上，故A錯(cuò)誤；B.由，則，，則直線，與拋物線方程聯(lián)立，得，則，所以，則，即，若存在點(diǎn)使得點(diǎn)是的垂心，則，，，，則，①，，則，②，且，③，聯(lián)立①③，得，聯(lián)立①②，得，則，得成立，故B正確；C.若存在點(diǎn)使得點(diǎn)是重心，則，，得，，即，故C正確；D.點(diǎn)到直線的最短距離為，當(dāng)時(shí)，即時(shí)等號(hào)成立，點(diǎn)到直線的最短距離為4，故D正確.故選：BCD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是結(jié)合光學(xué)性質(zhì)，利用點(diǎn)的坐標(biāo)表示點(diǎn)的坐標(biāo).三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若復(fù)數(shù)是方程的一個(gè)根，則__________.【答案】-2【解析】【分析】將代入方程，即可求解.【詳解】由條件可知，，所以，得.故答案為：-213.二項(xiàng)式，若，則__________.【答案】【解析】【分析】首先根據(jù)絕對(duì)值和的意義，采用賦值法求，再求.【詳解】二項(xiàng)式的通項(xiàng)為，令，得，所以，中，是的系數(shù)，所以.故答案為：14.拋一枚質(zhì)地均勻的骰子3次，將每次骰子正面朝上的數(shù)字依次記為，則不等式成立的概率是__________.【答案】【解析】【分析】利用列舉的方法，結(jié)合古典概型概率公式，即可求解.【詳解】拋一枚質(zhì)地均勻的骰子3次，共有種情況，其中滿(mǎn)足，包含三個(gè)數(shù)字為，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共23個(gè).所以不等式成立的概率.故答案為：四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.15.記數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.數(shù)列是等比數(shù)列，且.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）記，求數(shù)列的前項(xiàng)和：【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)公式，即可求解，再根據(jù)條件，代入等比數(shù)列的基本量，即可求解數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）根據(jù)（1）的結(jié)果，利用裂項(xiàng)相消法求和.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，驗(yàn)證當(dāng)時(shí)，，成立，所以，設(shè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為，所以，得，，則；【小問(wèn)2詳解】，所以.16.已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為.（1）證明：；（2）若的外接圓半徑為，且，求的面積.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）首先根據(jù)正弦定理邊化角，再根據(jù)三角函數(shù)恒等變換公式，化簡(jiǎn)求解角的關(guān)系式；（2）根據(jù)正弦定理求，再根據(jù)（1）的結(jié)果和正弦定理求，，，最后代入三角形面積公式，即可求解.【小問(wèn)1詳解】由正弦定理可知，，即，因?yàn)椋?，所以，因?yàn)?，所以，所以；小?wèn)2詳解】因?yàn)?，而，則C為銳角，，則，，所以.17.如圖，已知正四棱錐的體積為，高為.（1）求平面與平面的夾角的余弦值；（2）現(xiàn)有一螞蟻從點(diǎn)處等可能地沿各條棱向底面勻速移動(dòng)，已知該螞蟻每秒移動(dòng)1個(gè)單位，求2秒后該螞蟻與點(diǎn)的距離的分布列及期望.【答案】（1）（2）分布列見(jiàn)解析，期望為【解析】【分析】（1）根據(jù)垂直關(guān)系平面，以及二面角的定義，構(gòu)造二面角的平面角，即可求解；（2）首先分析2秒后，螞蟻到的位置，再寫(xiě)出隨機(jī)變量的數(shù)值，以及概率，代入期望公式，即可求解.【小問(wèn)1詳解】設(shè)底面邊長(zhǎng)為，則，得，連結(jié)交于點(diǎn)，作，垂足為點(diǎn)，連結(jié)，因?yàn)槠矫妫矫?，所以，且，，平面，所以平面，平面，所以，又，且，平面，所以平面，平面，所以，所以為二面角的平面角，因?yàn)?，，所以，所以是等邊三角形，，所以所以，所以平面與平面的夾角的余弦值為.【小問(wèn)2詳解】由題意可知，螞蟻從點(diǎn)沿的概率都是,2秒后螞蟻移動(dòng)了2個(gè)單位，側(cè)棱長(zhǎng)為2，所以若沿移動(dòng)，螞蟻到達(dá)點(diǎn)，若沿，螞蟻到達(dá)點(diǎn)，若沿，螞蟻到達(dá)點(diǎn)，若沿螞蟻到達(dá)點(diǎn)，，，所以分布列為02數(shù)學(xué)期望.18.已知函數(shù).（1）求的極值；（2）證明：當(dāng)時(shí)，；（3）若，求的值.【答案】（1）極大值為，極小值為.（2）證明見(jiàn)解析（3）【解析】【分析】（1）求導(dǎo)，分析函數(shù)的單調(diào)性，即可得到函數(shù)的極值.（2）構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)，分析函數(shù)單調(diào)性，證明即可得到結(jié)論.（3）討論的取值范圍，分析函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合條件即可得到的值.【小問(wèn)1詳解】由題意得，，∴，由得，或，由得，，∴在上增函數(shù)，在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，∴當(dāng)時(shí)，有極大值，極大值為，當(dāng)時(shí)，有極小值，極小值為.【小問(wèn)2詳解】由（1）得，，要證，只需證，令，則，由得，由得，∴在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，∴，∵，∴，∴，，∴，即.【小問(wèn)3詳解】∵，∴，當(dāng)時(shí)，，在上為減函數(shù)，且，不滿(mǎn)足.當(dāng)時(shí)，，方程的，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，且，，由得，，，由得，或，∴在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，在上有唯一極大值點(diǎn)，且，∵，，∴，即，解得.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決本題第（3）的關(guān)鍵是結(jié)合函數(shù)的定義域?qū)M(jìn)行分類(lèi)討論，其中時(shí)，根據(jù)的單調(diào)性確定，利用且可得到，解方程即可得到的值.19.已知點(diǎn)是平面直角坐標(biāo)系中的任意一點(diǎn)，在變換的作用下，點(diǎn)對(duì)應(yīng)到點(diǎn)，稱(chēng)為平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)伸縮變換.如：在變換的作用下得到.（1）已知曲線在的作用下得到曲線，求的方程；（2）已知橢圓在變換下保持位置關(guān)系不變性，即點(diǎn)在曲線上，在變換下也在曲線上：直線與相切，在變換下直線與也相切.已知點(diǎn)是上一動(dòng)點(diǎn)，直線是在處的切線.用上述結(jié)論求的方程；（3）已知直線與曲線在第一象限的交點(diǎn)為在處的切線被所截得的弦長(zhǎng)記為，求.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)伸縮變換的定義求解即可.（2）根據(jù)平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)伸縮變換的定義可得的方程為，進(jìn)而求出圓的切線方程，然后再根據(jù)平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)伸縮變換即可得出橢圓的切線；（3）根據(jù)題意求出，結(jié)合（2）求出切線方程與橢圓方程聯(lián)立，然后利用曲線的弦長(zhǎng)公式即可求出，然后求和即可【小問(wèn)1詳解】設(shè)上任意一點(diǎn)，上任意一點(diǎn)Px,y，由題意得，所以，得，所以的方程為，【小問(wèn)2詳解】橢圓上任意一點(diǎn)Px,y在變換下的上一點(diǎn)，所以代入可得，所以的方程為，點(diǎn)在變換下的的坐標(biāo)為，所以直線與圓在處相切，設(shè)直線AB在Ax1,在AB上任取不同于Ax1,所以，所以，即，所以圓在點(diǎn)Ax1,y所以圓在的切線為，設(shè)上