重慶中考數(shù)學(xué)專題之壓軸大題精練及解析【10題】

重慶中考數(shù)學(xué)專題訓(xùn)練

之壓軸大題精練及解析【精練10題】

1、在△ABC中，AC^2BC,D,少分別是然的中點(diǎn)，連接箱并延長至

F,且使EF=；BE,連接加交布于點(diǎn)G.

(1)如圖1,連接4代求證：DF=DB；

(2)如圖2,若〃是四的中點(diǎn)，連接BH.求證：DF=BH；

(3)在(2)的條件下，連接班改變NABC的大小，當(dāng)四邊形即我是正方

形時(shí)，直接寫出空的值.

2、在等腰直角△ABC中，ZABC=90。，AB^BC,將線段繞點(diǎn)8順時(shí)針旋

轉(zhuǎn)一定的角度得到線段8D.連接AO,交8c于點(diǎn)E,過點(diǎn)C作線段AD的垂

線，垂足為口，交BD于點(diǎn)G.

圖2

(1)如圖1,若NCBD=45。.

①求NBCG的度數(shù);

②連接EG,求證：AE—FG=EG+DF；

(2)如圖2,若NCBQ=60。，當(dāng)AC-DE=6時(shí)，請(qǐng)直接寫出。G?的值.

3、在等邊△ABC中,點(diǎn)。在上，點(diǎn)E在a1上，將線段龐繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋

轉(zhuǎn)60°得到線段分；連接CF.

圖⑴圖⑵圖(3)°

(1)如圖(1),點(diǎn)〃是46的中點(diǎn)，點(diǎn)少與點(diǎn)。重合,連接若A8=6,求

力少的長;

(2)如圖(2),點(diǎn)。在〃'上且ZAG￡>=60。+/尸CB,求證：CF=DG；

(3)如圖(3),AB=6,BD=2CE,連接4尸.過點(diǎn)尸作/尸的垂線交47于點(diǎn)

P,連接即DP.將△5DP沿著在翻折得到.8QP,連接0C.當(dāng)△/"的周長

最小時(shí)，直接寫出ACPQ的面積.

4、在△ABC中，AB^AC,Z4BC=3O。，點(diǎn)。是邊AB上的一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)尸是邊

CO上的動(dòng)點(diǎn)，連接AF并延長至點(diǎn)E,交于G,連接BE,ZAFC=60。,

且NE+NBO/=180°,

BD

G

E

圖1

(1)如圖1,若BC=4仆,BE=2,求AE的長;

(2)如圖2,若。是A8的中點(diǎn)，連接。E、BF，求證:DF+EF=6BF；

(3)如圖3,在(2)問的條件下，將△3DE繞點(diǎn)8順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)中的三

角形記為△。/月，取Ag的中點(diǎn)為連接CM.當(dāng)CM取最大時(shí)，將

△的沿直線CM翻折’得到小。品直接寫出募的值.

5、在△46。中，點(diǎn)〃在邊比'上，連接

上,求熊的長度：

(2)如圖2,當(dāng)NQ45°,時(shí)，過點(diǎn)。作龍〃交4〃于點(diǎn)6,交.AB

于點(diǎn)E連接力求證：DC=6BF.

(3)如圖3,當(dāng)NQ45°,/。=12,點(diǎn)〃是邊8。中點(diǎn)時(shí)，過點(diǎn)〃作見L47

交/C于點(diǎn)A；當(dāng)線段ZW取最大值時(shí)，請(qǐng)直接寫出AD?的值.

6、在△力宛中，NO8=90°,AC=AB.若點(diǎn)〃為47上一點(diǎn)，連接劭，將施

繞點(diǎn)8順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到龐；連接倒交4?于點(diǎn)￡

(1)如圖1,若/ABE=75°,BD=4,求47的長；

(2)如圖2,點(diǎn)G為a'的中點(diǎn)，連接用交劭于點(diǎn)"若乙仍9=30°,猜想

線段小與線段的的數(shù)量關(guān)系，并寫出證明過程；

(3)如圖3,若46=4,〃為/。的中點(diǎn)，將△/如繞點(diǎn)8旋轉(zhuǎn)得△/'BD',連

接"aA'D,當(dāng)/D+—A'。最小時(shí)，求五『由

2

7、等腰△/勿中，BA=BC,過點(diǎn)4作力〃，a1于點(diǎn)〃，平面上有一點(diǎn)￡,連接

ED,EB,ED=2EB,作/施9的角平分線交回于點(diǎn)￡

圖3”

(1)如圖1,當(dāng)/豌、=90°時(shí)，若/刈Z?=45°,BE=2上,求線段小的長;

(2)如圖2,當(dāng)/段＞90°時(shí)，過點(diǎn)/作AG_L/C,分別交然，于點(diǎn)2

H,若AD=2BF,P為EF中點(diǎn),連接"求證：AB-3BP=DH；

(3)如圖3,在(1)間的條件下，函上取點(diǎn)0,BO=叵里,點(diǎn)亂N為線段

3

劭上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)，"在點(diǎn)平的左側(cè))，連接4M將△4,以繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)

得到XD,若滿足4D1AN于點(diǎn)P,連接掰始，當(dāng)Q附肥的值最小

時(shí)，直接寫出△〃陽的面積.

8、在△ABC中，N84C=90。，點(diǎn)。是斜邊8C上的一點(diǎn)，連接A。，點(diǎn)。是

A。上一點(diǎn)，過點(diǎn)。分別作OE〃/3,DF//AC,交于點(diǎn)￡、F.

(1)如圖1,若點(diǎn)。為斜邊8C的中點(diǎn)，求證：點(diǎn)O是線段EE的中點(diǎn).

D

BEOFC

圖1

(2)如圖2,在(1)的條件下，將J)所繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)任意一個(gè)角度,

連接AD,CF,請(qǐng)寫出線段AD和線段CE的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

(3)如圖3,若點(diǎn)。是斜邊8C的三等分點(diǎn)，且靠近點(diǎn)8,當(dāng)NABC=30。時(shí),

將/無產(chǎn)繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)任意一個(gè)角度，連接A。、BE、CF,請(qǐng)求出B受E

AD

的值.

9、如圖，在△48。中，點(diǎn)〃，￡分別在/C上，連接力〃，AD=DC,點(diǎn)￡為

“1中點(diǎn)，連接應(yīng)'交/〃于點(diǎn)MBN=NE.

M

(1)如圖1,若N4肪I=90°,AE=4O,求比1的長；

(2)如圖2,延長加至點(diǎn)也連接儂AN=ME,若/4?C=45°,求證：

A砧NE=V24K

(3)如圖3,延長胡至點(diǎn)機(jī)連接ME,ME=3小,NADC=NMEB=90°,點(diǎn)T

為中點(diǎn)，連接密將a6修沿7F翻折得到4夕TE,點(diǎn)、F,G分別為7F,

EB'上的動(dòng)點(diǎn)(不與端點(diǎn)重合)，連接加；FG,連接版交直線/￡于點(diǎn)〃，當(dāng)

取得最小值時(shí)，直接寫出A篝H的值.

AT

10、在△ABC中，ZACB=9O°,CA=CB,點(diǎn)￡)線段C3上一點(diǎn)，連接AO,

將線段AO繞著點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)儀0°<a<90。)得到線段AD',延長AD'交CB

延長線于點(diǎn)￡.

(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)。與點(diǎn)C重合時(shí)，連接C。'，若AC=3,DE=2,求線段

8'的長;

(2)如圖2,當(dāng)。=45。時(shí)，過點(diǎn)8作交于點(diǎn)尸，過點(diǎn)尸作

FGAAC,垂足為點(diǎn)G,AO與尸G交于點(diǎn)H,求證：CD=BF-GH；

(3)如圖3,當(dāng)點(diǎn)。與點(diǎn)B重合且a=30°時(shí)，將￡>'A3沿著A3邊翻折到同一

平面內(nèi)得到△OAB,點(diǎn)P、點(diǎn)。分別為線段A8、線段47上的動(dòng)點(diǎn)，且

AP=D"Q,連接。0,PIT,當(dāng)。'Q+PD"取得最小值時(shí)，請(qǐng)直接寫出所的

值.

參考答案：

1、【答案】（1）見解析（2）見解析

（3）旦

3

【解析】

【分析】（1）取應(yīng)'中點(diǎn)亂連接。加，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，推導(dǎo)得

ZAFE=NCME,根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)，推導(dǎo)得

ZAFE=NCME=90°,再根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)分析，即可完成求

解；

（2）延長"至點(diǎn)尸，使=連接由根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，得

AB=PE，根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)，得HB〃PE,且HB=^PE,從而完成

求解；

（3）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，推導(dǎo)得四邊形8M￥是平行四邊形，結(jié)合正方形

的性質(zhì)，得HB=FD,Z鉆”=90。，結(jié)合題意，根據(jù)勾股定理計(jì)算，即可得到

答案.

【小問1詳解】

取座中點(diǎn)也連接以

???"為龍中點(diǎn)，

ME=-BE.

2

■:EF^-BE,

2

:.EF=ME.

???￡為熊的中點(diǎn),

AC=2AE=2CE.

在^AEF^AL.CEM中,

AE=CE,

VJZAEF=NCEM,

EF=EM,

：.AAEF^ACEM

:.ZAFE=ACME

'：AC=2BC,AC=2CE,

：.BC=CE.

■:M為BE中點(diǎn)、,

:.CM工BE.

：.Z.CME=90°

，ZAFE=NCME=90°.

?.?〃為的中點(diǎn)，

DF^-AB,DB=-AB.

22

，DF=DB.

【小問2詳解】

延長"至點(diǎn)尸，使BP=CB,連接根

CP=2BC

'：AC^IBC

，AC=CP

在和.PCE中

AC=CP

<NC=NC

BC=EC

AACB^APCE.

，AB=PE.

VCB=BP,〃是四的中點(diǎn)，即CH=HE.

：.HB//PE,且

2

由（1）可得=，A5,

2

二DF=BH；

【小問3詳解】

根據(jù)題意，得公版=耕

△FHE^^BAE中

HE=-AE

2

,NHEF=ZAEB

EF=-BE

I2

/.AFHEs秘AE

FH_EF

:.ZFHE=ZBAE,,^FH=-AB

~AB~~BE~22

FH//AB

'；BD^-AB

2

FH=BD

.?.四邊形曲成是平行四邊形

當(dāng)ED_LAB時(shí)，四邊形是正方形

AHB=FD,ZABH=90°

VZAFE^9Q°,AD=BD

：.FD=-AB

2

HB=FD=LAB

2

1133

,:AH=AE+EH=-AC+-AC=-AC=-BC

2442

又,：AB°+HB°=AH°

C1\2<3

/.AB2+\-AB=-BC

12J12J

.BC25

??---=—

AB-9

.BCV5

??---=---?

AB3

2、【答案】（1）①22.5°；②見解析；（2）72

【解析】

【分析】（1）①證明AC〃BD,推出NCAD=NBAD=22.5°即可解決問題.

②延長CG交AB的延長線于T.證明4ABE之a(chǎn)CBT（ASA）,推出

AE=CT.BE=BG,證明ABGE之ABCT（SAS）,推出EG=GT,ZT=ZBEG=67.5°,

再證明ACFE名△DFG（AAS）可得結(jié)論.

（2）如圖2中，連接CD,過點(diǎn)D作DH_LBC于H,在DH上取一點(diǎn)J,使得

EJ=DJ,設(shè)CF=a.解直角三角形用a表示DE,構(gòu)建方程求出a,再求出EC,證

明DG=EC即可解決問題.

【詳解】解：（1）①BA=BC,ZABC^90°,

:.ZACB=ZCAB=45°,

NCBD=45°,

ZACB^ZCBD,

：.ACHBD,

：.Z.CAD=AD,

BD=BC=BA,

:.ZD=ZBAD,

ZCAD=ABAD=22.5°,

CG1AD,

??.NCFD=90°,

/.ZACF=90°-22.5°=67.5°,

.?.ZBCG=ZACF-ZACB=22.5°.

②證明：延長CG交A5的延長線于T.

ZABE=ZCBT=90°.AB=BC9ZBAE=ZBCT=22.5°,

..^ABE^ACBT(ASA)9

AE=CT.BE=BG,

ZEBG=ZTBG=45。，BG=BG,

:.\BGE=^GT{SAS),

/.EG=GT,ZT=ZBEG=67.5°,

/.ZBGE=ZBEG=NT=ZBGT=67.5°,

，BE=BG=BT,

BC=BD,

EC=DG,

/D=/BAD=/FCE=225°,NCFE=ZDFG,

/.ACFE=ADFG(A4S),

:.CF=DF,

:,AE-FG=CT-FG=CF+GT=EG+DF.

圖1

(2)解：如圖2中，連接CO,過點(diǎn)。作于H,在。"上取一點(diǎn)J,

使得E/=",設(shè)b=a.

CB=BD,NCBD=60°,

：.ABCD是等邊三角形，

AB=BC,ZABC=90。，

/.ZABD=90°+60°=150°,ABAC=ZACB=45°,

:.ZBAD=ZBDA^15°,

NC4尸=30°,

CG±AD,

ZCFA=90°,

:.AC=2CF=2a,

NCDB=60。，NCW=90。，

:.ZFDC=ZFCD=45°,

:.FC=DF=a,DC=BC=BD=?,

DHVBC,

:.CH=BH=旦0,DH=6CH=^a,

22

設(shè)EH=x,

JE=JD,

:.ZJED=ZJDE=\50,

ZEJH=ZJED+ZJDE=30°,

:.EJ=2EH=DJ=2x,HJ=瓜,DE={EH?+DH?=(遙+五)x,

,?5/3x+2x————■cif

2

x—(V6—,

；,DE=(3-6)a,

AC-DE=69

/.2。-(3-6)。=6,

a=3(G4-1),

/.EC=CH+EH=(娓-揚(yáng)a=6五,

ZCFE=ZDFG=9009CF=DF,AFCE=ZFDG=\50,

:.\CFE^^DFG(ASA),

DG=EC=6夜，

圖2

3、【答案】(1)力尸3

(2)見解析(3)巫,詳見解析

4

【解析】

【分析】(1)由旋轉(zhuǎn)知△及￥為等邊三角形，再證明△比四得448〃，

求解即可；

(2)將線段CF繞。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得CH,連接EF、EH、FH,證明△口加必△

得。必；再在47上截取8=緲，證明△反方絲得C卞DP,由全等及

等量代換得NDP俏/DGP,即小〃G,等量代換即可；

(3)過〃作于，，利用三角函數(shù)得小”，證明△比儂△的凡得/

DA六90°,設(shè)編片,利用勾股定理得到△/加周長的表達(dá)式為6+

J'-36x+36，求出最小值時(shí)對(duì)應(yīng)的x值，用三角形面積公式求值即可.

【小問1詳解】

解：a'為等邊三角形，

C.BOAC,N30=60°,

由旋轉(zhuǎn)知，NCD六6G,CD=CF,

...△白牙為等邊三角形，

：.CD-CF,/比足60°,

DCF/ACF,

二△式屋△4CF,

:.A戶BD,

?.?〃為4?中點(diǎn)，AB=&,

：.BD=3,

.?.仍3.

【小問2詳解】

解：將CF繞。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得CH,連接血FH,EF,EH,CD,

在檢上截取/片龍，連接“，設(shè)CD交EH于M,

如圖所示，

由旋轉(zhuǎn)知，XDEF、△。方為等邊三角形，

:.D百EF,C戶FH,/力滬N677^60°,

:./DFO/EFH,

:ZCF^XBHF,

:.E4CD,4DC2乙EHF,

由三角形內(nèi)角和知，4HMe+4EH廣4DCK4HFC,

：.ZHM(=ZHF(=(50°,

：.4DCE+/HEe6Q°,

■：/DC我/DCE=6G°,

：./CEt/DCP,

'：AOBC,A4BE,

：.CP-CE,

:.XECg/XCPD,

：.CH^DP,ADPOZHCE,

又N//C層60°+N2,

：.4DPC=6Q°+Z2,

由/1+/我妗/2+/我妗60°,知N1=N2,

又N/3=60°+Z1,

：.AAGD=ADPG,

：.DP=DG,

■:cacF,

二C2DG.

【小問3詳解】

：過D作DHLCB予H,連接跖如圖所示,

a'為等邊三角形，

:./DB*琳,/BDH=3G,

：.BD=2BH,D*瓜,

'：BD=2CE,

:.B居CE,

設(shè)法上x,則9=2x,小6—2x,AD=e>-2x,

由旋轉(zhuǎn)知，△頗為等邊三角形，/切佇60°,

/.Zl+Z3=90o,D芹DF,

又Nl+N2=90°,

.".Z2=Z3,

:.XAD但XHED,

，N的后N龐的90°,/切430°,A百肝瓜,

?.?//俯90°,

:.P六x,AP=-2x,

過。作PMLAD于M,

則4滬%〃滬6—3x,P為他x,

在應(yīng)△/?1/中，由勾股定理得:

.?.當(dāng)下士3時(shí)，周長取最小值，最小值為9,此時(shí)止3,

2

:.BD=AP=3,即。為4?中點(diǎn)，尸為水7中點(diǎn),

二直線辟是等邊△力a'對(duì)稱軸，

如圖所示，△破沿8戶折疊后，0點(diǎn)落在a'中點(diǎn)處，

則面積=Lxa/回面積=Lxlx6?=唯.

4444

4、【答案】(1)2近

(2)見解析(3)17+4、

5

【解析】

【分析】(1)作EM_LA6于點(diǎn)M，根據(jù)題目給的已知條件可得出BC=6AB=46,

AB=AC=4,又因ZE+ZBDF=180°,得出ZEFD+ZEBD=\80°,進(jìn)而得知

㈤A120。；在RJE8M,根據(jù)直角三角形30°所對(duì)應(yīng)的邊是斜邊的一半得出

BM=1,最后解直角三角形RtAAEM,求得AE；

(2)過點(diǎn)8作ZFBH=120°交正延長線于點(diǎn)H,根據(jù)N￡ED=NAFC=60。得出

NEBD=120。,再通過ZADC+ZBDC=180°,NBDC+NBE4=180。的關(guān)系得出

ZADC=ZBEA；然后通過已知條件證明ADC=tBEA,從而進(jìn)而證

明△BEHSBDF，從而得出為等腰三角形，通過得出

FH=EF+DF=43BF；

(3)作技與點(diǎn)AT，設(shè)則AB=2,AH=\,

BH=y/3,當(dāng)C、B、M三點(diǎn)共線時(shí)，CM最大，進(jìn)而求得E02和4"2,從而

得出結(jié)論.

【小問1詳解】

解：如圖1,過點(diǎn)E作交于點(diǎn)M,

圖1

?.?在中，AB=AC,ZABC=30°,

：.ZBAC=12Q°,

BC=MAB=46,

：.AB=AC=4,

,/NE+NBDF=180°,

：.ZEFD+ZEBD=180°,ZEFD=ZAFC=6Q°,

/.Z￡BD=120°,

在Rt_￡8M中，NEBM=N18。。一NEBD=60。,BE=2,EM工BM,

：.BM=1,EM=6在RtZXAEM中，N4嫉=90。，EM=M,AM=5,

二AE=J+㈣2=2A/7.

【小問2詳解】

過點(diǎn)B作ZFBH=120。交正延長線于點(diǎn)H,

圖2

ZEFD=ZAFC=6Q°,

/.Z￡BZ>120o,

ZADC+ZBDC=180°,NBDC+々￡4=180°,

...ZADC二/BEA

在八位元和ZXBEA中，AB=AC,ZBAC^ZABE=nO0,

：.AADC三ABE4(A45),

:.AD=BE,

AD=BD,

，BD=DE,

■:ZEBD=ZFBH=120°,

，ZHBE=ZFBH,

■:ABEA+NBDF=180°,ZBEF+ZBEH=180°,

，ZBEH^ZBDF,

ABEHwABDF(ASA),

，BF=BH,

.?.△BH尸為等腰三角形，

/.HF=&F,

:.FH=EF+EH=EF+DF=^BF.

【小問3詳解】

作8卬，￡坦與點(diǎn)V,作AHJ_8C于點(diǎn)，，如圖，

1

設(shè)4>AD=BE=1,則AB=2,AH=\,

BM=BM'=-BE,

2

CM<BC+BM,

???當(dāng)點(diǎn)M,B,。共線時(shí)，CM最■大,

：.EM2=BE2+BM2=12+（=-,

34

4M2=AM2=AH2+MW2=12+^V3+^=6+*

17工A

.A"；"=17+4百

一EM°55—,

4

5、【答案】（1）6（2）證明見解析

（3）108+180

【解析】

【分析】(1)由直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半，可知

AD=BD=CD=7,在用△€?￡)￡中，由勾股定理得￡>E=Jc。2_°爐求出DE

的值，進(jìn)而根據(jù)AE=A￡>-。石求解即可；

(2)如圖2,作AM,8c于M,FN人BC于■N,由AD=A?？傻?/p>

ZADC=ZACD，DM=CM=、DC,設(shè)Zfi4D=Nl,則

2

ZACD=ZADC=45°+Z1,ABAC=90°-Z1,ZC4M=45°-Z1,

ZAFC=9O°-Z1,N￡>CE=45?！狽l,有NAFC=Nfi4C,NCAM=NDCE,

證明上ACM學(xué)&CFN(A4S),FN=MC,DC=2FN,由BF=6FN，可得

DC=41BF\

(3)如圖3,以AC為斜邊作等腰直角三角形AOC,則/AOC=90。，由

/5=45。=：乙4。。，可知8在以。為圓心，OC為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，連接

0D,由。為8c中點(diǎn)，可知NQDC=90。，則。在以0c為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，

圓心為/,當(dāng)DV過圓心/時(shí)，線段。N取最大值，求出OC、CI、DI、IN、

CN、DN、4V的值，RtAADN中,由勾股定理得人4=+何?,計(jì)算

求解即可.

【小問1詳解】

解：???/員L偌點(diǎn)〃為比中點(diǎn)

AD是Rt_ABC斜邊BC的中線

:.AD=BD=CD=7

,：CELAD

:.NCED=90。

在用△CDE中，由勾股定理得DE7cbi-CE?=1

，AE=AD-DE=6

：.AE的長為6.

【小問2詳解】

證明：如圖2,作8c于M,FNLBC壬N

A

'：AD=AC

:.ZADC=ZACD,DM=CM=-DC

2

設(shè)ZR4D=N1

則NA8=ZM)C=45°+N1,Zfi4C=90°-Zl

ZCAM=90°—ZACD=45°-Z1

CELAD

：.ZAFC=90°-Zfi4D=90°-Z1,ZDCE=90°-ZADC=45°-Z1

AZAFC^ZBAC,ZCAM=ZDCE

：.AC^CF

在△ACM和..CMV中

'/CAM=ZFCN

VZAMC=4CNF=90°

AC=CF

：.ACM^,CFN(AAS)

：.FN=MC

DC=2FN

VZB=45°,ZBNF=90°

/?BF=y/2FN

；?DC=6BF.

【小問3詳解】

解：如圖3,以AC為斜邊作等腰直角三角形AOC,

A

?；ZB=45°=-ZAOC

2

在以。為圓心，OC為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)

連接。。

為3C中點(diǎn)

:.NODC=90。

...￡)在以O(shè)C為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，圓心為/

'：DN1AC

.?.當(dāng)ON過圓心/時(shí)，線段DV取最大值

VAC=12,ZOCA=ZOAC=45°

：.OC=6近，Cl=DI=-OC=3y/2,IN=CN=3

2

:.DN=DI+IN=3a+3

在RtdADN中，由勾股定理得AD2=DN2+AN2

=(3V2+3)?+(12-3)2=108+1872

，4加的值為108+18&?

6、【答案】(1)V2+V6；(2)HG=&CD；見解析；⑶4G-4

【解析】

【分析】（1）通過作輔助線，構(gòu)造直角三角形，借助解直角三角形求得線段的

長度；

（2）通過作輔助線，構(gòu)造全等三角形，設(shè)/Ua,利用中位線定理，解直角三

角形，用a的代數(shù)式表示"和的,即可得繆與的的數(shù)量關(guān)系；

（3）構(gòu)造阿氏圓模型，利用兩點(diǎn)之間線段最短，確定/'的位置，繼而求得相

關(guān)三角形的面積.

【詳解】解：（1）過。作〃入園垂足是G,如圖1：

?.?將初繞點(diǎn)8順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到BE,

：.』EBD=90°,

?:/ABE=75°,

：.ZABD=i5°,

VZABC=45°,

:./DBC='30°,

在直角△加G中有。G=(6O=2,BG<DG=2。

'：ZACB=45°,

在直角△以4；中，CG=DG=2,

/.BC=BG+CG=2+2V3,

5

:?AC="BC=C+a;

2

（2）線段小與線段的的數(shù)量關(guān)系為：HG=』D,

4

證明：延長。，過￡作日V垂直于。的延長線，垂足是M連接aYED,過G

作6￥_L四于物如圖:

圖2

:./END=9c,

由旋轉(zhuǎn)可知/叱=90°,

:./EDB=45°

：.ZEND=ZEBD=^0o,

：.E,B,D,N四點(diǎn)共圓，

:./BNE=/EDB=45°,/NEB+/BDN=\80°

■:/BDC+/BDN=18b°,/BCD=45°,

ZBEN=乙BDC,

:./BNE=45°=/BCD,

在△頌和△曲。中，

NBNE=4BCD

<NBEN=ZBDC,

BE=BA

:.XBE噲叢BDC(A4S),

：.BN=BC,

\'ZBAC=90a,

在等腰△收中，由三線合一可知胡是GV的中線,

■:/BAC=4END=9G,

：.EN//AB,

?.F是③的中點(diǎn)，

...)是用的中點(diǎn),

???61是a'的中點(diǎn)，

.,.凡是△應(yīng)r的中位線，

：.FG//BE,FG=—BE,

2

,：BELBD,

：.FGLBD,

,：ZABD=30°,

：.4BFG=60°,

?.?/W45°,

:./BGF=73°,

設(shè)AC=a,則AB=a,

在AZ△力初中，AD=—a,BD=BE=^^a,

33

：.FG=-BE,

2

：.FG=^-a,

3

,：GMVAB,

...△仇川是等腰三角形，

.*?MG—MB—BG=——x—BC=-x—x>/2AC=—ci

222222

在應(yīng)△，協(xié)&中，/MFG=6G°,

:.上MF=MG,

：.MF=^-a,

6

BF=BM+MF=力衛(wèi)a,

6

在?！魉幏街?，4BFG=6Q°,

：.FH=-BF=

212

:.HG=FG-FH=2a-“巫。=乂拒-、a,

3124、,

又,：CD="與。=與(6fa,

.C。_4

??麗一耳’

n

，HG=—CD；

4

(3)設(shè)46=a,則6。=缶，取比'的中點(diǎn)兒連接4」0,A'C,A1N,連接

DN,如圖3,

B

ADC

圖3

由旋轉(zhuǎn)可知4B=AB=a,

質(zhì)

?：AB'NB=近a=&,空=叵r=血，

-aA'Ba

2

.?.如=空=&,

BNA'B

又/ABN=4CBA,

BNsACBA’,

.A'NA'BV2

.?------------------,ZZX*----------------2^—,

A'CBC2

吃旦'C,

2

根據(jù)旋轉(zhuǎn)和兩點(diǎn)之間線段最短可知，AD+正AP最小,

即A'￡)+A，N最小，

2

此時(shí)〃、/'、/V共線，即力'在線段翻上，

設(shè)此時(shí)落在處，過作力'’刊_四于凡連接4T,如圖4,

,:D,N分別是4C,a'的中點(diǎn)，

...ZW是△/回的中位線，

：.DN//AB,

,：ABLAC,

：.DNLAC,

'：ZJ=AA'FA=Z/'ZZ4=90°,

四邊形4'q〃是矩形,

：.AF=A，D,A"F=AD=2,

?.?又/''6=46=4,

設(shè)AF=x,

在直角三角形力‘與中，A"B2A"F2+BF2，

16=4+(4-x)2,

解得x=4-2百.

,此時(shí)5A/'BC=S/\ABC-S/\AA'B-5A/'AC

=-AB*AC--AB*A'F-—AC*A''D

222

=4—；x4x2—gx4x(4—2月

=46-4.

7、【答案】(1)672-6；

(2)見解析；(3)2196-180標(biāo)

305

【解析】

【分析】（1）解Rt△應(yīng)〃求出解求出/反進(jìn)而求得必；

（2）根據(jù)角平分線性質(zhì)，求得DF=2BF,沒BF=a,表示出劭，AD,發(fā)現(xiàn)力片

DF=2a,進(jìn)而證明從而推出48-〃〃=3a,從而需證明應(yīng)三毋；

通過證明△頌。△比尸，從而證得/4=/&況進(jìn)而證得/8加=//*進(jìn)

一步命題得證；

（3）由NZ加=90°得出點(diǎn)尸在以4〃為直徑的圓上，作點(diǎn)。關(guān)于龍的對(duì)稱點(diǎn)

F,連接圓心/與產(chǎn)的線段，交物于弘交圓于R根據(jù)△,磔s△以/,求得

BM,作PH〃BD交BE于H,交AD于G,求出％從而求得以，進(jìn)而求出

和△,欣*的面積，從而求得心的面積.

【小問1詳解】

解：*：BE=2&,DE=2BE,

:.DE=46

?:NEBCS,

22

BD=yjDE-BE={(4回2一(2.2=6,

龐=90°,N為g45°,

BD

：.AB=-=6V2，

si〃45

：.BC=AB=6y/2,

：.DC=BC-BD=6叵—6；

【小問2詳解】

證明：設(shè)BF=a,則/〃=2a,

■:EF平■分乙BED,

.DFDE

,?薪一薪’

,:DE=2BE,

：.DF=2BF=2a,

:.BD=BF+DF=3a,

,：ZADB=9Q°,

?"8=>JAD2+BD2=舊a,

BC—AB=y/]3a,

CL^BC-BD=\/v3a-3a,

'：/HDF=/ADC=9G°,

.?.NGN%C=90°,

VZ^f=90°,

：.^CFG+AC=^°,

：.ADAC=ACFH,

'：AD=DF=2a,

:.△ADC^XFDH(ASA),

DH=CD=V13a-3a,

/.AB-DH=>fl3a-(a-3a)=3a,

是廝的中點(diǎn),

?EP-1

''EF~2'

..BE1

?——9

DE2

.EPBE

EF~DE'

'：NBEP=4DEF,

:.XEBP^XEFD,

：.AEBP=AEDF,

,：￡BFP=zLDEPr^EDF,

/BPF=4BE外乙EBP,

：.ABFP=ABPF,

：.BP=BF=a,

：.AB-DH=3BP,

：.AB-ABP=DH；

【小問3詳解】

如圖，

YBE=20OB$BE,

：.0B=2,

"：A'DLAN,

：.ZAPD=9Q°,

.?.點(diǎn)尸在以4。為直徑的圓上，圓心記作I,

延長小至凡使郎=加=2,連接交BD于M,交。/于R

則。卅郎的值最小，

作ML龐于〃交/〃于G,

'：EB//AD,

.BMBF_2

NP/G=N凡

"DM~D1~3,

'：BD=6,

.?.法￡

：.PG=。sinNPIG=3x

6161

：.PH=GH-

61

.,.S^^-OFPH=-x4x（6—電顯）=]2-36何,

226161

24

-：S,,=-OFBM=-x4x—

/w)225-5~

⑴半)24_3636屈_2196-180府

??//w=

I-61~-305

8、【答案】（1）證明見解析；（2）AD^CF,理由見解析；（3）3叵

13

【解析】

【分析】（1）根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，得。4=08=0。；結(jié)合等腰三

角形和平行線的性質(zhì)，得NOED=NODE,ZODF=ZOFD,從而得

OD=OE=OF,即可完成證明；

（2）結(jié)合題意，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：ZAOC^ZDOF,從而得到

ZAOD=NCOF；根據(jù)（1）的結(jié)論，得OD=OF,OA=OC；通過證明

△40。白△COE,即可得到答案；

（3）旋轉(zhuǎn)前，根據(jù)題意，得黑=器，結(jié)合旋轉(zhuǎn)性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)后，器=器仍

然成立；根據(jù)相似三角形性質(zhì)，通過證明△BQEszviOD,得空=?；過點(diǎn)

ADOA

A作AGL3C于點(diǎn)G,得NC4G=30。；設(shè)AC=a,根據(jù)題意得

24

OC=-BC=-a；根據(jù)勾股定理，得。4,通過計(jì)算，即可得到答案.

【詳解】（1）?.,在RtaABC中，點(diǎn)。為斜邊的中點(diǎn)

圖1

:.OA=OB=OC

：.AB=ZOAB,ZC=ZOAC

'：DE//AB,DF//AC,

:./B=NOED,4ODE=4OAB,4c=4OFD,ZODF=ZOAC

：.ZOED=NODE,ZODF=ZOFD

：.OD=OE=OF

...點(diǎn)。為E尸的中點(diǎn).

(2)如圖：

A

C

根據(jù)題意，得：ZAOC=ZDOF

：.ZAOC-ZDOC=ZDOF-ZDOC,即ZAODZ.COF.

由（1）可知，OD=OF,OA^OC

:.AAOD^ACOF

：.AD=CF；

（3）旋轉(zhuǎn)前

■:DE//AB,DF//AC,

.OPOE

"'~OA~'OB

.OBOE

''~OA~~OD

根據(jù)題意，旋轉(zhuǎn)后，矍=笑仍然成立

OA0D

又,:ZAOB=ZDOE

：.ZAOB-ZAOE=ZDOE-ZAOE

即NBOE=NAOO

，ABOES&AOD

.BEOB

''~AD~~OA

過點(diǎn)A作AGLBC于點(diǎn)G,

A

O

圖3

RtAABC中，ZABC=30°

ZACG=60°

，NG4G=30°

設(shè)AC=a,則CG='a,AG=^~a,BC=2a

22

???點(diǎn)O是斜邊6c的三等分點(diǎn)，且靠近點(diǎn)8

24

:.OC=-BC=-a

33

:.OG=OC-CG=-a

6

在RtAAOG中，OA=ylAG2+OG2=—a.

3

114

,:OB=-OC=-x-a

223

2

.BEOB3a_2713

''~AD~~OA~~13-

-----a

876

9、【答案】（1）

20Vi0

（2）見解析

95

【解析】

【分析】（1）連接應(yīng)，先證明△/加絲△/以，在求出N口〃的度數(shù)，利用三角

函數(shù)求解；

（2）連接〃底，利用面積法證明勿=28〃，取⑦中點(diǎn)〃，證明/皮運(yùn)△應(yīng)凡再取

43中點(diǎn)T,證明△/鹿7為等腰直角三角形，等量代換得到結(jié)論；

（3）首先根據(jù)垂線段最短及兩點(diǎn)之間線段最短得到當(dāng)〃時(shí)，取最小值；

其次根據(jù)三角函數(shù)解直角三角形，得到眼AE、DE、47等線段的長度，過/作

AS//EQ,利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例得到力及GQ、/〃的長度，最后代入求值

【小問1詳解】

解：連接應(yīng)

■:AACD,6為47中點(diǎn)

:.DEIAC,ZC-ZDAC

*：BN=NE,AN'BE

〃為線段龍的垂直平分線

，△仞運(yùn)△血

：.ZABD=ZAED=9Q°,/BAD=/DAE

即N伉N員”=/物氏30°

?:A芹46

工力仄4?9cos代4近9乎=半

圖1

【小問2詳解】

解：連接應(yīng)

M

,:AD=CD,￡為47中點(diǎn)

??DELAC)SgD正S&CDE

?:N為BE中點(diǎn)、

S色BDF'S&NDE

?,S^ABLSL，

??SEABLS^ADLS〉CDE，

??五他二2邑/“切

即CD=2BD

取切中點(diǎn)〃，連接EH

M

則而為直角三角形。應(yīng)斜邊的中線

:?EtDWCH

：.EH^BD

則〃為"中點(diǎn)

HCD-BH

?.?勿是中位線

：.EH//AD

：.ABDA=ZBHE

JXAB溶MBEH

：.AB=BE

取"中點(diǎn)7,連接￡7

則￡7為△A5c中位線

：.EH//BC,BO2ET

：.乙1/7斤N/吐45°

設(shè)BD=x,則CD=2x,AD=2x,EH=x,B(=3x

是△順中位線

DN^—x,AJV=-x

22

而BO2E43x

3

：.E7^-x=AN

2

二乙滬NV彷45°

即N7E290°

...△M7F為等腰直角三角形

:.M戶近ME

即A^AT=y[lME

■:AN-ME,A7^^AB=AE=NE

：.A^rNE=6AN.

【小問3詳解】

解：如圖，連接〃咒

由題意知，￡7是△48。中位線，

J.ET//BC

,：ZAD(=9Q°

：.ETLAD,

故￡7是/〃的垂直平分線，

:.A后DF

AP-FG=DJ^GF

當(dāng)〃、F、G共線且加工夕夕時(shí)，取最小值，如圖所示,

由折疊及平行線性質(zhì)知，ZBET^ZB'EA/EBP,

由乙股1+N4吐90°,/BEK/AEB=90°知，/MEA二/BED

由N/夕芹45°知，/MEA+/BE戶45°,而N4郎'+/TEB'=45°

工/MEA=/AEB'

由（2）知，△應(yīng)儂△54。，BD=DP-P（=PE,

設(shè)4BE44B，E戶NBAD=Na,ZMEA=ZAEB'=￡,

設(shè)即交.AT于Q,

'：ET//BC

:./AT行/ABC

'：ZAB^ZBAD=9Q°,ABAD^ATEQ

.?.//儂N7FC90°

即EQLMQ

過￡作EPLCD于P

tana=—，

?：/BE1忙90°

A2a+2￡=90°

a+￡=45°

...tan￡=；（見下面模型圖）

3

則tan?%］（見下圖）

在危△始。中，乙區(qū)02￡,設(shè)欣=3x,貝I國=4x,/修5A=3近

.“生9亞F生12小

..J份----，------

55

在應(yīng)△4制中，/AE9B

?"0海竽

：.4舊有,力￡=4及

妗心4拉

■:/DEG+/AEgG°,/DEGOEDG為C

：./AE9/EDG=B

設(shè)吩力則好3%止廂尸4近

：.EG=^!L

5

QR

：.QG^QE-G^—

5

過力作AS//GE交MH于S

：,/\AMS^/\QMG

.AM_ASAS_AH

"~MQ~~QG'GE^^H

A/5ASAS=AH

即第=南，訪一40—A”

555

解得：AS=^~,4年竺也

919

.AH_4()&/-_20x/10

??AT--19-"--19~

10、【答案】(1)—

5

(2)見解析(3)肉二

2

【解析】

【分析】(1)作。'F//CE交AC于F,勾股定理求得AE,證明

AFD'^ACE,進(jìn)而求得。'￡A/即可求得FC,RtZXFC中，勾股定理求解

即可；

(2)過點(diǎn)/作于點(diǎn)M,設(shè)EB=a,則CG=。,月0=MN=乎.，根

據(jù)tanNEW=tanNA4C,可得生=挺=也，即可求得

ACAGAM

(la+h

DC=(\HG=_E^_,進(jìn)而即可得證；

a+2ba+2b

(3)根據(jù)題意可得AD=4y=W,ADAB=ABAD"^30°,過點(diǎn)。作

ZTR//AB,使得。R=AZ7,連接。/,△AZ7P絲-Z/RQ,當(dāng)O'Q+PD"取得

最小值時(shí)，D',Q,R三點(diǎn)共線，如圖，連接AH,設(shè)48,。。"交于點(diǎn)。，設(shè)

AD=k,則AB=AD'=HZ)〃=左，證明D7/R是等腰直角三角形，則

D'D"=k,D'R=y[2k，設(shè)AR=RQ=