高二上學期期末數學考試卷03（答案及評分標準）

2023-2024學年高二上學期期末數學考試卷03數學·答案及評分標準一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的．12345678BDBADCCA二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9．BC 10．ABD 11．ACD 12．ACD三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．13 14． 15．或 16．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．（10分）【答案】（1）；（2）【解析】（1）由題可得，，則，，∴直線的斜率，且直線過點，∴由直線的點斜式方程得，即，∴所求直線的方程為；（2）∵直線化簡得：，∴定點，則點到直線的距離，∴到直線的距離為.18．（12分）【答案】（1）；（2）或【解析】（1）因為圓心在直線上，設圓心，則與直線垂直，且直線的斜率為，則，可得，解得，所以，圓心的坐標為，則圓的半徑為，所以，圓的標準方程為.（2）由題意可知，圓心到直線的距離為，若直線軸，則直線的方程為，此時，圓心到直線的距離為，合乎題意；若直線的斜率存在，設直線的方程為，即，則圓心到直線的距離為，可得，解得，此時，直線的方程為，即.綜上所述，直線的方程為或.19．（12分）【答案】（1）；（2）10【解析】（1）因為，所以當時，，當時，.因為數列為等比數列，首項也滿足上式，所以，即，得，所以數列的通項公式為.（2）由（1）得.所以令，即，所以，即，因為，且在上單調遞增，，所以的最小值為.故滿足條件的最小正整數為.20．（12分）【答案】（1）證明見解析；（2）【解析】（1）如圖，取中點E，連接AE，EH，由H為BQ中點，則.在平行四邊形中，P、E分別為，的中點，則，由面，面，所以面，面，又，面，所以面面，而面，面.（2）連接，，由四邊形為菱形，則.又，則為正三角形，P為的中點，即.因為面面，面面，面，面，在面內過P作交于點R.建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，，設，，則，，，，則，.設面的法向量為，則，令，則，設面的法向量為，二面角的平面角為，則，解得或（舍），∴且，又，∴，故，，故.所以，即，連接BP，設P到平面的距離為h，則，∴，即點P到平面的距離為.21．（12分）【答案】（1）；（2）證明見解析【解析】（1）由已知得：，聯(lián)立解得，同理可得．∵，∴，整理得．又，∴，，∴的方程為．（2）要證明，只需證明的中點與的中點重合．設的中點為，直線：，聯(lián)立得，設，，則，，，即，雙曲線：的漸近線方程為，由得可得，由得可得，∴的中點為，∴點與點重合，∴．22．（12分）【答案】（1）；（2）證明見解析【解析】（1）的定義域為，.當時，，在上單調遞增，函數無極值；當時，令，得，令，得，所以在上單調遞增，在上單調遞減，故當時，取得極大值，極大值為，解得.經驗證符合題意，故實數a的值為.（2）當時，，故要證，即證.令，則，.令，，則