2025屆甘肅省蘭州市聯(lián)片辦學(xué)高三第二次調(diào)研數(shù)學(xué)試卷含解析

2025屆甘肅省蘭州市聯(lián)片辦學(xué)高三第二次調(diào)研數(shù)學(xué)試卷請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．設(shè)，，是非零向量.若，則（）A． B． C． D．2．已知集合，則集合的非空子集個(gè)數(shù)是（）A．2 B．3 C．7 D．83．已知復(fù)數(shù)，為的共軛復(fù)數(shù)，則（）A． B． C． D．4．復(fù)數(shù)滿足為虛數(shù)單位)，則的虛部為（）A． B． C． D．5．設(shè)a，b都是不等于1的正數(shù)，則“”是“”的（）A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件6．若集合，，則A． B． C． D．7．A． B． C． D．8．若是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，且，則A．的值域?yàn)?B．為周期函數(shù)，且6為其一個(gè)周期C．的圖像關(guān)于對(duì)稱 D．函數(shù)的零點(diǎn)有無窮多個(gè)9．自2019年12月以來，在湖北省武漢市發(fā)現(xiàn)多起病毒性肺炎病例，研究表明，該新型冠狀病毒具有很強(qiáng)的傳染性各級(jí)政府反應(yīng)迅速，采取了有效的防控阻擊措施，把疫情控制在最低范圍之內(nèi).某社區(qū)按上級(jí)要求做好在鄂返鄉(xiāng)人員體格檢查登記，有3個(gè)不同的住戶屬在鄂返鄉(xiāng)住戶，負(fù)責(zé)該小區(qū)體格檢查的社區(qū)診所共有4名醫(yī)生，現(xiàn)要求這4名醫(yī)生都要分配出去，且每個(gè)住戶家里都要有醫(yī)生去檢查登記，則不同的分配方案共有（）A．12種 B．24種 C．36種 D．72種10．某工廠只生產(chǎn)口罩、抽紙和棉簽，如圖是該工廠年至年各產(chǎn)量的百分比堆積圖（例如：年該工廠口罩、抽紙、棉簽產(chǎn)量分別占、、），根據(jù)該圖，以下結(jié)論一定正確的是（）A．年該工廠的棉簽產(chǎn)量最少B．這三年中每年抽紙的產(chǎn)量相差不明顯C．三年累計(jì)下來產(chǎn)量最多的是口罩D．口罩的產(chǎn)量逐年增加11．點(diǎn)為棱長(zhǎng)是2的正方體的內(nèi)切球球面上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，若滿足，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡的長(zhǎng)度為（）A． B． C． D．12．已知集合，則=A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知全集為R，集合，則___________.14．已知，若的展開式中的系數(shù)比x的系數(shù)大30，則______．15．在棱長(zhǎng)為的正方體中，是正方形的中心，為的中點(diǎn)，過的平面與直線垂直，則平面截正方體所得的截面面積為______.16．已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，過的直線與雙曲線左支交于兩點(diǎn)，，的內(nèi)切圓的圓心的縱坐標(biāo)為，則雙曲線的離心率為________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）定義：若數(shù)列滿足所有的項(xiàng)均由構(gòu)成且其中有個(gè)，有個(gè)，則稱為“﹣數(shù)列”．（1）為“﹣數(shù)列”中的任意三項(xiàng)，則使得的取法有多少種？（2）為“﹣數(shù)列”中的任意三項(xiàng)，則存在多少正整數(shù)對(duì)使得且的概率為.18．（12分）如圖，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC＝90°，AB＝AA1，M，N分別是AC，B1C1的中點(diǎn)．求證：（1）MN∥平面ABB1A1；（2）AN⊥A1B．19．（12分）已知在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的焦點(diǎn)為為橢圓上任意一點(diǎn)，且.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線交橢圓于兩點(diǎn)，且滿足（分別為直線的斜率），求的面積為時(shí)直線的方程.20．（12分）如圖,在四棱錐中,底面是矩形,四條側(cè)棱長(zhǎng)均相等.（1）求證：平面;（2）求證：平面平面.21．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.（1）求直線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）若直線與曲線交于、兩點(diǎn)，求的面積.22．（10分）在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以原點(diǎn)為極點(diǎn)，以軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.（1）求曲線的普通方程與曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)為曲線上位于第一，二象限的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，射線交曲線分別于，求面積的最小值，并求此時(shí)四邊形的面積.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】試題分析：由題意得：若，則；若，則由可知，，故也成立，故選D.考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積.【思路點(diǎn)睛】幾何圖形中向量的數(shù)量積問題是近幾年高考的又一熱點(diǎn)，作為一類既能考查向量的線性運(yùn)算、坐標(biāo)運(yùn)算、數(shù)量積及平面幾何知識(shí)，又能考查學(xué)生的數(shù)形結(jié)合能力及轉(zhuǎn)化與化歸能力的問題，實(shí)有其合理之處.解決此類問題的常用方法是：①利用已知條件，結(jié)合平面幾何知識(shí)及向量數(shù)量積的基本概念直接求解(較易)；②將條件通過向量的線性運(yùn)算進(jìn)行轉(zhuǎn)化，再利用①求解(較難)；③建系，借助向量的坐標(biāo)運(yùn)算，此法對(duì)解含垂直關(guān)系的問題往往有很好效果.2、C【解析】

先確定集合中元素，可得非空子集個(gè)數(shù)．【詳解】由題意，共3個(gè)元素，其子集個(gè)數(shù)為，非空子集有7個(gè)．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查集合的概念，考查子集的概念，含有個(gè)元素的集合其子集個(gè)數(shù)為，非空子集有個(gè)．3、C【解析】

求出，直接由復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)復(fù)數(shù).【詳解】.故選：C【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的四則運(yùn)算，共軛復(fù)數(shù)，屬于基礎(chǔ)題.4、C【解析】

，分子分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)即可.【詳解】由已知，，故的虛部為.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，考查學(xué)生的基本運(yùn)算能力，是一道基礎(chǔ)題.5、C【解析】

根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)以及指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求解a,b的范圍，再利用充分必要條件的定義判斷即可．【詳解】由“”，得，得或或，即或或，由，得，故“”是“”的必要不充分條件，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查必要條件、充分條件及充分必要條件的判斷方法，考查指數(shù)，對(duì)數(shù)不等式的解法，是基礎(chǔ)題．6、C【解析】

解一元次二次不等式得或，利用集合的交集運(yùn)算求得.【詳解】因?yàn)榛?，，所以，故選C.【點(diǎn)睛】本題考查集合的交運(yùn)算，屬于容易題.7、A【解析】

直接利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)得答案.【詳解】本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，是基礎(chǔ)的計(jì)算題．8、D【解析】

運(yùn)用函數(shù)的奇偶性定義，周期性定義，根據(jù)表達(dá)式判斷即可.【詳解】是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，則，，又，，即是以4為周期的函數(shù)，，所以函數(shù)的零點(diǎn)有無窮多個(gè)；因?yàn)椋?，令，則，即，所以的圖象關(guān)于對(duì)稱，由題意無法求出的值域，所以本題答案為D.【點(diǎn)睛】本題綜合考查了函數(shù)的性質(zhì)，主要是抽象函數(shù)的性質(zhì)，運(yùn)用數(shù)學(xué)式子判斷得出結(jié)論是關(guān)鍵.9、C【解析】

先將4名醫(yī)生分成3組，其中1組有2人，共有種選法，然后將這3組醫(yī)生分配到3個(gè)不同的住戶中去，有種方法，由分步原理可知共有種.【詳解】不同分配方法總數(shù)為種.故選：C【點(diǎn)睛】此題考查的是排列組合知識(shí)，解此類題時(shí)一般先組合再排列，屬于基礎(chǔ)題.10、C【解析】

根據(jù)該廠每年產(chǎn)量未知可判斷A、B、D選項(xiàng)的正誤，根據(jù)每年口罩在該廠的產(chǎn)量中所占的比重最大可判斷C選項(xiàng)的正誤.綜合可得出結(jié)論.【詳解】由于該工廠年至年的產(chǎn)量未知，所以，從年至年棉簽產(chǎn)量、抽紙產(chǎn)量以及口罩產(chǎn)量的變化無法比較，故A、B、D選項(xiàng)錯(cuò)誤；由堆積圖可知，從年至年，該工廠生產(chǎn)的口罩占該工廠的總產(chǎn)量的比重是最大的，則三年累計(jì)下來產(chǎn)量最多的是口罩，C選項(xiàng)正確.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查堆積圖的應(yīng)用，考查數(shù)據(jù)處理能力，屬于基礎(chǔ)題.11、C【解析】

設(shè)的中點(diǎn)為，利用正方形和正方體的性質(zhì)，結(jié)合線面垂直的判定定理可以證明出平面，這樣可以確定動(dòng)點(diǎn)的軌跡，最后求出動(dòng)點(diǎn)的軌跡的長(zhǎng)度.【詳解】設(shè)的中點(diǎn)為，連接，因此有，而，而平面，，因此有平面，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡平面與正方體的內(nèi)切球的交線.正方體的棱長(zhǎng)為2，所以內(nèi)切球的半徑為，建立如下圖所示的以為坐標(biāo)原點(diǎn)的空間直角坐標(biāo)系：因此有，設(shè)平面的法向量為，所以有，因此到平面的距離為：，所以截面圓的半徑為：，因此動(dòng)點(diǎn)的軌跡的長(zhǎng)度為.故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了線面垂直的判定定理的應(yīng)用，考查了立體幾何中軌跡問題，考查了球截面的性質(zhì)，考查了空間想象能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.12、C【解析】

本題考查集合的交集和一元二次不等式的解法，滲透了數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．采取數(shù)軸法，利用數(shù)形結(jié)合的思想解題．【詳解】由題意得，，則．故選C．【點(diǎn)睛】不能領(lǐng)會(huì)交集的含義易致誤，區(qū)分交集與并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者部分．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

先化簡(jiǎn)集合A,再求A∪B得解.【詳解】由題得A={0,1},所以A∪B={-1,0,1}.故答案為{-1,0,1}【點(diǎn)睛】本題主要考查集合的化簡(jiǎn)和并集運(yùn)算，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.14、2【解析】

利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，求得的值．【詳解】展開式通項(xiàng)為：且的展開式中的系數(shù)比的系數(shù)大，即：解得：（舍去）或本題正確結(jié)果：【點(diǎn)睛】本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．15、【解析】

確定平面即為平面，四邊形是菱形，計(jì)算面積得到答案.【詳解】如圖，在正方體中，記的中點(diǎn)為，連接，則平面即為平面．證明如下：由正方體的性質(zhì)可知，，則，四點(diǎn)共面，記的中點(diǎn)為，連接，易證．連接，則，所以平面，則．同理可證，，，則平面，所以平面即平面，且四邊形即平面截正方體所得的截面．因?yàn)檎襟w的棱長(zhǎng)為，易知四邊形是菱形，其對(duì)角線，，所以其面積．故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了正方體的截面面積，意在考查學(xué)生的空間想象能力和計(jì)算能力.16、2【解析】

由題意畫出圖形，設(shè)內(nèi)切圓的圓心為，圓分別切于，可得四邊形為正方形,再由圓的切線的性質(zhì)結(jié)臺(tái)雙曲線的定義，求得的內(nèi)切圓的圓心的縱坐標(biāo),結(jié)合已知列式，即可求得雙曲線的離心率.【詳解】設(shè)內(nèi)切圓的圓心為，圓分別切于，連接，則，故四邊形為正方形，邊長(zhǎng)為圓的半徑，由，，得，與重合，，，即——①，——②聯(lián)立①②解得：，又因圓心的縱坐標(biāo)為，.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)，考查數(shù)形結(jié)合思想與運(yùn)算求解能力,屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）16；（2）115.【解析】

(1)易得使得的情況只有“”,“”兩種,再根據(jù)組合的方法求解兩種情況分別的情況數(shù)再求和即可.(2)易得“”共有種,“”共有種.再根據(jù)古典概型的方法可知,利用組合數(shù)的計(jì)算公式可得,當(dāng)時(shí)根據(jù)題意有,共個(gè)；當(dāng)時(shí)求得,再根據(jù)換元根據(jù)整除的方法求解滿足的正整數(shù)對(duì)即可.【詳解】解：（1）三個(gè)數(shù)乘積為有兩種情況：“”,“”,其中“”共有：種,“”共有：種,利用分類計(jì)數(shù)原理得：為“﹣數(shù)列”中的任意三項(xiàng),則使得的取法有：種．（2）與(1)同理,“”共有種,“”共有種,而在“﹣數(shù)列”中任取三項(xiàng)共有種,根據(jù)古典概型有：,再根據(jù)組合數(shù)的計(jì)算公式能得到：,時(shí),應(yīng)滿足,,共個(gè),時(shí),應(yīng)滿足,視為常數(shù),可解得,,根據(jù)可知,,,,根據(jù)可知,,（否則）,下設(shè),則由于為正整數(shù)知必為正整數(shù),,,化簡(jiǎn)上式關(guān)系式可以知道：,均為偶數(shù),設(shè),則,由于中必存在偶數(shù),只需中存在數(shù)為的倍數(shù)即可,,．檢驗(yàn)：符合題意,共有個(gè),綜上所述：共有個(gè)數(shù)對(duì)符合題意．【點(diǎn)睛】本題主要考查了排列組合的基本方法,同時(shí)也考查了組合數(shù)的運(yùn)算以及整數(shù)的分析方法等,需要根據(jù)題意18、（1）詳見解析；（2）詳見解析.【解析】

（1）利用平行四邊形的方法，證明平面.（2）通過證明平面，由此證得.【詳解】（1）設(shè)是中點(diǎn)，連接，由于是中點(diǎn)，所以且，而且，所以與平行且相等，所以四邊形是平行四邊形，所以，由于平面，平面，所以平面.（2）連接，由于直三棱柱中，而，，所以平面，所以，由于,所以.由于四邊形是矩形且，所以四邊形是正方形，所以,由于,所以平面，所以.【點(diǎn)睛】本小題主要考查線面平行的證明，考查線面垂直的證明，考查空間想象能力和邏輯推理能力，屬于中檔題.19、（1）（2）或【解析】

（1）根據(jù)橢圓定義求得，得橢圓方程；（2）設(shè)，由得，應(yīng)用韋達(dá)定理得，代入已知條件可得，再由橢圓中弦長(zhǎng)公式求得弦長(zhǎng)，原點(diǎn)到直線的距離，得三角形面積，從而可求得，得直線方程．【詳解】解：（1）據(jù)題意設(shè)橢圓的方程為則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）據(jù)得設(shè)，則又原點(diǎn)到直線的距離解得或所求直線的方程為或【點(diǎn)睛】本題考查求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓相交問題．解題時(shí)采取設(shè)而不求思想，即設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為，直線方程與橢圓方程聯(lián)立消元后應(yīng)用韋達(dá)定理得，把這個(gè)結(jié)論代入題中條件求得參數(shù)，用它求弦長(zhǎng)等等，從而解決問題．20、（1）證明見解析；（2）證明見解析.【解析】

證明：（1）在矩形中，，又平面，平面，所以平面．（2）連結(jié)，交于點(diǎn)，連結(jié)，在矩形中，點(diǎn)為的中點(diǎn)，又，故，，又，平面，所以平面，又平面，所以平面平面．21、（1），；（2）.【解析】

（1）在直線的參數(shù)方程中消去參數(shù)可得出直線的普通方程，在曲線的極坐標(biāo)方程兩邊同時(shí)乘以，結(jié)合可將曲線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；（2）計(jì)算出直線截圓所得弦長(zhǎng)，并計(jì)算出原點(diǎn)到直線的距離，利用三角形的面積公式可求得的面積.【詳解】（1）由得，故直線的普通方程是.由，得，代入公式得，得，故曲線的直角坐標(biāo)方程是；（2）因?yàn)榍€的圓心為，半徑為，圓心到直線的距離為，則弦長(zhǎng).又到直線的距離為，所以.【點(diǎn)睛】本題考查參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程與普通方程之間的轉(zhuǎn)化，同時(shí)也考查了直線與圓中三角形面積的計(jì)算，考查計(jì)算能力，屬于中等題.22、（1）；（2）面積的最