統(tǒng)考版2024高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)板塊2命題區(qū)間精講精講4統(tǒng)計與概率學(xué)案含解析理

PAGE16-統(tǒng)計與概率閱卷案例思維導(dǎo)圖(2024·全國卷Ⅰ，T19,12分)甲、乙、丙三位同學(xué)進(jìn)行羽毛球競賽，約定賽制如下：累計負(fù)兩場者被淘汰；競賽前抽簽確定首先競賽的兩人，另一人輪空；每場競賽的勝者與輪空者進(jìn)行下一場競賽，負(fù)者下一場輪空，直至有一人被淘汰；當(dāng)一人被淘汰后，剩余的兩人接著競賽，直至其中一人被淘汰，另一人最終獲勝，競賽結(jié)束.經(jīng)抽簽，甲、乙首先競賽，丙輪空．設(shè)每場競賽雙方獲勝的概率都為eq\f(1,2).(1)求甲連勝四場的概率；(2)求須要進(jìn)行第五場競賽的概率；(3)求丙最終獲勝的概率.本題考查：相互獨(dú)立事務(wù)、互斥事務(wù)的概率等學(xué)問，邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).答題模板標(biāo)準(zhǔn)解答踩點(diǎn)得分第1步：辨型結(jié)合題干信息分析待求概率的模型.第2步：辨析辨析各事務(wù)間的關(guān)系.第3步：計算套用相應(yīng)事務(wù)的概率公式計算求解.第(1)問干脆套用公式且結(jié)果正確得1分.第(2)問得分點(diǎn)及說明：1.每求對一種狀況得1分，共3分.2.本問最終結(jié)果正確得2分.第(3)問得分點(diǎn)及說明：1.每求對一種狀況得1分，共4分.2.本問最終結(jié)果正確得2分.命題點(diǎn)1用樣本估計總體總體估計的方法(1)統(tǒng)計量法：①若數(shù)據(jù)已知，常借助eq\x\to(x)，s2等量對樣本總體做出估計，其中eq\x\to(x)＝eq\f(x1＋x2＋…＋xn,n)，s2＝eq\f(1,n)eq\o(∑,\s\up8(n),\s\do8(i＝1))(xi－eq\x\to(x))2.②若數(shù)據(jù)未知，如以頻率分布直方圖形式給出，則應(yīng)明確直方圖中各統(tǒng)計量的求法．(2)圖表分析法：若依據(jù)圖表比較樣本數(shù)據(jù)的大小，可依據(jù)數(shù)據(jù)分布狀況直觀分析，大致推斷平均數(shù)的范圍，并依據(jù)數(shù)據(jù)的波動狀況比較方差(標(biāo)準(zhǔn)差)的大?。甗高考題型全通關(guān)]1．從某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中抽取100件，測量這些產(chǎn)品的一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值．經(jīng)數(shù)據(jù)處理后得到該樣本的頻率分布直方圖，其中質(zhì)量指標(biāo)值不大于1.50的莖葉圖如圖所示，以這100件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值在各區(qū)間內(nèi)的頻率代替相應(yīng)區(qū)間的概率．(1)求圖中a，b，c的值；(2)估計這種產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)及方差(說明：①同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表；②方差的計算只需列式正確)；(3)依據(jù)以上抽樣調(diào)查數(shù)據(jù)，能否認(rèn)為該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品符合“質(zhì)量指標(biāo)值不低于1.50的產(chǎn)品至少要占全部產(chǎn)品的90%”的規(guī)定？切入點(diǎn)：依據(jù)eq\f(頻數(shù),樣本容量)＝頻率求解圖中a，b，c的值；借助互斥事務(wù)的概率對(3)做出推斷．[解](1)由頻率分布直方圖和莖葉圖得：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(5,100×0.1)＝a，,\f(10,100×0.1)＝b，,a＋b＋3＋4＋c＝\f(1,0.1)，))解得a＝0.5，b＝1，c＝1.5.(2)估計這種產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)為：eq\o(x,\s\up8(－))＝1.35×0.5×0.1＋1.45×1×0.1＋1.55×3×0.1＋1.65×4×0.1＋1.75×1.5×0.1＝1.6，估計這種產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的方差為：s2＝(1.35－1.6)2×0.05＋(1.45－1.6)2×0.1＋(1.55－1.6)2×0.3＋(1.65－1.6)2×0.4＋(1.75－1.6)2×0.15＝0.0105.(3)∵質(zhì)量指標(biāo)值不低于1.50的產(chǎn)品占比為：0.30＋0.40＋0.15＝0.85＜0.9，∴不能認(rèn)為該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品符合“質(zhì)量指標(biāo)值不低于1.50的產(chǎn)品至少要占全部產(chǎn)品的90%”的規(guī)定．2．某音樂院校實(shí)行“校內(nèi)之星”評比活動，評委由本校全體學(xué)生組成，對A，B兩位選手，隨機(jī)調(diào)查了20個學(xué)生的評分，得到下面的莖葉圖：(1)通過莖葉圖比較A，B兩位選手所得分?jǐn)?shù)的平均值及分散程度(不要求計算出詳細(xì)值，得出結(jié)論即可)；(2)校方將會依據(jù)評分結(jié)果對參賽選手進(jìn)行三向分流：所得分?jǐn)?shù)低于60分60分到79分不低于80分分流方向淘汰出局復(fù)賽待選干脆晉級記事務(wù)C“A獲得的分流等級高于B”，依據(jù)所給數(shù)據(jù)，以事務(wù)發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事務(wù)發(fā)生的概率，求事務(wù)C發(fā)生的概率．[解](1)通過莖葉圖可以看出，A選手所得分?jǐn)?shù)的平均值高于B選手所得分?jǐn)?shù)的平均值；A選手所得分?jǐn)?shù)比較集中，B選手所得分?jǐn)?shù)比較分散．(2)記CA1表示事務(wù)：“A選手干脆晉級”；CA2表示事務(wù)：“A選手復(fù)賽待選”；CB1表示事務(wù)：“B選手復(fù)賽待選”；CB2表示事務(wù)：“B選手淘汰出局．則CA1與CB1獨(dú)立，CA2與CB2獨(dú)立，CA1與CA2互斥，則C＝eq(\a\vs4\al\co1(CA1CB1))∪eq(\a\vs4\al\co1(CA1CB2))∪eq(\a\vs4\al\co1(CA2CB2))，Peq(\a\vs4\al\co1(C))＝Peq(\a\vs4\al\co1(CA1CB1))＋Peq(\a\vs4\al\co1(CA1CB2))＋Peq(\a\vs4\al\co1(CA2CB2))＝Peq(\a\vs4\al\co1(CA1))Peq(\a\vs4\al\co1(CB1))＋Peq(\a\vs4\al\co1(CA1))Peq(\a\vs4\al\co1(CB2))＋Peq(\a\vs4\al\co1(CA2))Peq(\a\vs4\al\co1(CB2))由所給數(shù)據(jù)得CA1，CA2，CB1，CB2發(fā)生的頻率分別為eq\f(8,20)，eq\f(11,20)，eq\f(10,20)，eq\f(3,20).故Peq(\a\vs4\al\co1(CA1))＝eq\f(8,20)，Peq(\a\vs4\al\co1(CA2))＝eq\f(11,20)，Peq(\a\vs4\al\co1(CB1))＝eq\f(10,20)，Peq(\a\vs4\al\co1(CB2))＝eq\f(3,20)，所以Peq(\a\vs4\al\co1(C))＝eq\f(8,20)×eq\f(10,20)＋eq\f(8,20)×eq\f(3,20)＋eq\f(11,20)×eq\f(3,20)＝eq\f(137,400).命題點(diǎn)2回來分析進(jìn)行回來分析的一般思路(1)定關(guān)系：依據(jù)樣本數(shù)據(jù)散點(diǎn)圖或相關(guān)系數(shù)r，確定兩個變量是否具有較強(qiáng)的相關(guān)關(guān)系．(2)算各值：分別計算eq\x\to(x)，eq\x\to(y)，eq\o(∑,\s\up8(n),\s\do8(i＝1))xeq\o\al(2,i)，eq\o(∑,\s\up8(n),\s\do8(i＝1))xiyi的值．(3)求系數(shù)：求出回來系數(shù)eq\o(b,\s\up8(^))，eq\o(a,\s\up8(^)).其中eq\o(b,\s\up8(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up8(n),\s\do8(i＝1))xi－\x\to(x)yi－\x\to(y),\o(∑,\s\up8(n),\s\do8(i＝1))xi－\x\to(x)2)＝eq\f(\o(∑,\s\up8(n),\s\do8(i＝1))xiyi－n\o(\x\to(x))\o(\x\to(y)),\o(∑,\s\up8(n),\s\do8(i＝1))x\o\al(2,i)－n\x\to(x)2).(4)寫方程：eq\o(y,\s\up8(^))＝eq\o(b,\s\up8(^))x＋eq\o(a,\s\up8(^)).(5)作預(yù)料：依據(jù)回來方程給出預(yù)料值．提示：非線性回來分析可借助代數(shù)變換轉(zhuǎn)化為線性回來分析．[高考題型全通關(guān)]1．某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣揚(yáng)費(fèi)，需了解年宣揚(yáng)費(fèi)x(單位：千元)對年銷售量y(單位：噸)和年利潤z(單位：千元)的影響，對近13年的年宣揚(yáng)費(fèi)xi和年銷售量yi(i＝1,2，…，13)數(shù)據(jù)作了初步處理，得到如下圖所示的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計量的值．由散點(diǎn)圖知，按y＝a＋beq\r(x)，y＝c＋eq\f(d,x)建立y關(guān)于x的回來方程是合理的．令s＝eq\r(x)，t＝eq\f(1,x)，經(jīng)計算得如下數(shù)據(jù)：eq\x\to(x)eq\x\to(y)eq\x\to(s)eq\x\to(t)10.15109.943.040.16eq\o(∑,\s\up8(13),\s\do8(i＝1))siyi－13eq\o(\x\to(s))eq\o(\x\to(y))eq\o(∑,\s\up8(13),\s\do8(i＝1))tiyi－13eq\o(\x\to(t))eq\o(\x\to(y))eq\o(∑,\s\up8(13),\s\do8(i＝1))seq\o\al(2,i)－13eq\x\to(s)2eq\o(∑,\s\up8(13),\s\do8(i＝1))teq\o\al(2,i)－13eq\x\to(t)2eq\o(∑,\s\up8(13),\s\do8(i＝1))yeq\o\al(2,i)－13eq\x\to(y)213.94－2.1011.670.2121.22且(si，yi)與(ti，yi)(i＝1,2，…，13)的相關(guān)系數(shù)分別為r1＝0.886與r2＝－0.995.(1)從以上模型中選擇更優(yōu)的回來方程，并用相關(guān)系數(shù)加以說明；(2)依據(jù)(1)的選擇結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的回來方程；(3)已知這種產(chǎn)品的年利潤z與x，y的關(guān)系為z＝10y－x.依據(jù)(2)的結(jié)果回答下列問題：①年宣揚(yáng)費(fèi)x＝20時，年利潤的預(yù)報值是多少？②年宣揚(yáng)費(fèi)x為何值時，年利潤的預(yù)報值最大？附：對于一組數(shù)據(jù)(ui，vi)(i＝1,2，…，n)，其回來直線v＝eq\o(α,\s\up8(^))＋eq\o(β,\s\up8(^))u的斜率和截距的最小二乘估計分別為eq\o(β,\s\up8(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up8(n),\s\do8(i＝1))uivi－n\o(\x\to(u))\o(\x\to(v)),\o(∑,\s\up8(n),\s\do8(i＝1))u\o\al(2,i)－n\x\to(u)2)，eq\o(α,\s\up8(^))＝eq\x\to(v)－eq\o(β,\s\up8(^))eq\x\to(u).[解](1)由于|r1|＜|r2|＜1，故y＝c＋eq\f(d,x)更優(yōu)．(2)eq\o(d,\s\up8(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up8(13),\s\do8(i＝1))tiyi－13\o(\x\to(t))\o(\x\to(y)),\o(∑,\s\up8(13),\s\do8(i＝1))t\o\al(2,i)－13\x\to(t)2)＝eq\f(－2.10,0.21)＝－10，eq\o(c,\s\up8(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(d,\s\up8(^))eq\x\to(t)＝109.94＋10×0.16＝111.54.則y關(guān)于x的回來方程為eq\o(y,\s\up8(^))＝111.54－eq\f(10,x).(3)由題意，年利潤z＝10y－x＝1115.4－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(100,x)＋x))，①當(dāng)x＝20時，年利潤的預(yù)報值是eq\o(z,\s\up8(^))＝1115.4－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(100,20)＋20))＝1090.4.②由基本不等式得，年利潤的預(yù)報值eq\o(z,\s\up8(^))＝1115.4－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(100,x)＋x))，由于x＋eq\f(100,x)≥20，當(dāng)且僅當(dāng)x＝eq\f(100,x)，即x＝10時等號成立，此時eq\o(z,\s\up8(^))max＝1115.4－20＝1095.4.[點(diǎn)評]處理本題(2)應(yīng)抓住兩點(diǎn)：一是會借助題設(shè)信息實(shí)現(xiàn)非線性回來方程與線性回來方程的轉(zhuǎn)換．二是會利用已知數(shù)據(jù)進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算，只要這兩點(diǎn)到位第(2)問的求解便順理成章．復(fù)習(xí)備考要強(qiáng)化這種意識，對于第(3)問，體現(xiàn)了函數(shù)的應(yīng)用及最值的求法．實(shí)現(xiàn)了學(xué)問的橫向聯(lián)系．2．某互聯(lián)網(wǎng)公司為了確定下一季度的前期廣告投入安排，收集了近6個月廣告投入量x(單位：萬元)和收益y(單位：萬元)的數(shù)據(jù)如下表：月份123456廣告投入量/萬元24681012收益/萬元14.2120.3131.831.1837.8344.67他們用兩種模型①y＝bx＋a，②y＝aebx分別進(jìn)行擬合，得到相應(yīng)的回來方程并進(jìn)行殘差分析，得到如圖所示的殘差圖及一些統(tǒng)計量的值：eq\x\to(x)eq\x\to(y)eq\o(∑,\s\up8(6),\s\do8(i＝1))xiyieq\o(∑,\s\up8(6),\s\do8(i＝1))xeq\o\al(2,i)7301464.24364(1)依據(jù)殘差圖，比較模型①，②的擬合效果，應(yīng)選擇哪個模型？并說明理由；(2)殘差肯定值大于2的數(shù)據(jù)被認(rèn)為是異樣數(shù)據(jù)，須要剔除．①剔除異樣數(shù)據(jù)后，求出(1)中所選模型的回來方程；②廣告投入量x＝18時，(1)中所選模型收益的預(yù)報值是多少？附：對于一組數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其回來直線eq\o(y,\s\up8(^))＝eq\o(b,\s\up8(^))x＋eq\o(a,\s\up8(^))的斜率和截距的最小二乘估計分別為：eq\o(b,\s\up8(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up8(n),\s\do8(i＝1))xi－\x\to(x)yi－\x\to(y),\o(∑,\s\up8(n),\s\do8(i＝1))xi－\x\to(x)2)＝eq\f(\o(∑,\s\up8(n),\s\do8(i＝1))xiyi－n\o(\x\to(x))\o(\x\to(y)),\o(∑,\s\up8(n),\s\do8(i＝1))x\o\al(2,i)－n\x\to(x)2)，eq\o(a,\s\up8(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up8(^))eq\x\to(x).[解](1)應(yīng)當(dāng)選擇模型①，因?yàn)槟Ｐ廷俚臍埐铧c(diǎn)比較勻稱地落在水平的帶狀區(qū)域中，且模型①的帶狀區(qū)域比模型②的帶狀區(qū)域窄，所以模型①的擬合精度高，回來方程的預(yù)報精度高．(2)①剔除異樣數(shù)據(jù)，即3月份的數(shù)據(jù)后，得eq\x\to(x)＝eq\f(1,5)×(7×6－6)＝7.2，eq\x\to(y)＝eq\f(1,5)×(30×6－31.8)＝29.64.eq\o(∑,\s\up8(5),\s\do8(i＝1))xiyi＝1464.24－6×31.8＝1273.44，eq\o(∑,\s\up8(5),\s\do8(i＝1))xeq\o\al(2,i)＝364－62＝328.eq\o(b,\s\up8(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up8(5),\s\do8(i＝1))xiyi－5\o(\x\to(x))\o(\x\to(y)),\o(∑,\s\up8(5),\s\do8(i＝1))x\o\al(2,i)－5\x\to(x)2)＝eq\f(1273.44－5×7.2×29.64,328－5×7.2×7.2)＝eq\f(206.4,68.8)＝3，eq\o(a,\s\up8(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up8(^))eq\x\to(x)＝29.64－3×7.2＝8.04.所以y關(guān)于x的回來方程為eq\o(y,\s\up8(^))＝3x＋8.04.②把x＝18代入①中所求回來方程得eq\o(y,\s\up8(^))＝3×18＋8.04＝62.04，故預(yù)報值為62.04萬元．命題點(diǎn)3獨(dú)立性檢驗(yàn)解決統(tǒng)計案例問題關(guān)鍵是過好三關(guān)：(1)假設(shè)關(guān)，即假設(shè)兩個分類變量無關(guān)．(2)應(yīng)用公式關(guān)，把相關(guān)數(shù)據(jù)代入獨(dú)立性檢驗(yàn)公式求出K2的觀測值k.(3)對比關(guān)，將k與臨界值進(jìn)行對比，進(jìn)而作出推斷．[高考題型全通關(guān)]1．某工廠有兩臺不同的機(jī)器A和B，生產(chǎn)同一種產(chǎn)品各10萬件，現(xiàn)從各自生產(chǎn)的產(chǎn)品中分別隨機(jī)抽取20件，進(jìn)行質(zhì)量鑒定，鑒定成果的莖葉圖如圖所示．該產(chǎn)品的質(zhì)量評價標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定：鑒定成果在[90,100)內(nèi)的產(chǎn)品，質(zhì)量等級為優(yōu)秀；鑒定成果在[80,90)內(nèi)的產(chǎn)品，質(zhì)量等級為良好；鑒定成果在[60,80)內(nèi)的產(chǎn)品，質(zhì)量等級為合格．將頻率視為概率．(1)完成下列2×2列聯(lián)表，以產(chǎn)品質(zhì)量等級是否達(dá)到良好以上(含良好)為推斷依據(jù)，推斷能不能在誤差不超過0.05的狀況下，認(rèn)為產(chǎn)品等級是否達(dá)到良好以上(含良好)與生產(chǎn)產(chǎn)品的機(jī)器有關(guān)；A機(jī)器生產(chǎn)的產(chǎn)品B機(jī)器生產(chǎn)的產(chǎn)品總計良好以上(含良好)合格總計(2)已知質(zhì)量等級為優(yōu)秀的產(chǎn)品的售價為12元/件，質(zhì)量等級為良好的產(chǎn)品的售價為10元/件，質(zhì)量等級為合格的產(chǎn)品的售價為5元/件，A機(jī)器每生產(chǎn)10萬件的成本為20萬元，B機(jī)器每生產(chǎn)10萬件的成本為30萬元．該工廠確定，按樣本數(shù)據(jù)測算，兩種機(jī)器分別生產(chǎn)10萬件產(chǎn)品，若收益之差達(dá)到5萬元以上，則淘汰收益低的機(jī)器，若收益之差不超過5萬元，則保留原來的兩臺機(jī)器，你認(rèn)為該工廠會怎么做？附：K2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，P(K2≥k)0.250.150.100.050.010k1.3232.0722.7063.8416.635[解](1)完成2×2列聯(lián)表如下．A機(jī)器生產(chǎn)的產(chǎn)品B機(jī)器生產(chǎn)的產(chǎn)品總計良好以上(含良好)61218合格14822總計202040結(jié)合列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，可得K2的觀測值k＝eq\f(40×6×8－12×142,20×20×18×22)＝eq\f(40,11)≈3.636<3.841.故在誤差不超過0.05的狀況下，不能認(rèn)為產(chǎn)品等級是否達(dá)到良好以上(含良好)與生產(chǎn)產(chǎn)品的機(jī)器有關(guān)．(2)由題意得，A機(jī)器每生產(chǎn)10萬件產(chǎn)品的利潤為10×(12×0.1＋10×0.2＋5×0.7)－20＝47(萬元)，B機(jī)器每生產(chǎn)10萬件產(chǎn)品的利潤為10×(12×0.15＋10×0.45＋5×0.4)－30＝53(萬元)，因?yàn)?3－47＝6(萬元)，6>5，所以該工廠應(yīng)當(dāng)會賣掉A機(jī)器，同時購買一臺B機(jī)器．[點(diǎn)評]破解直方圖、莖葉圖、獨(dú)立性檢驗(yàn)相交匯的開放性問題的關(guān)鍵是會利用直方圖、莖葉圖得到相關(guān)的數(shù)據(jù)，充分利用2×2列聯(lián)表精確地計算出K2的觀測值k，并將K2的觀測值k與臨界值進(jìn)行比較，進(jìn)而作出統(tǒng)計推斷．對于開放性問題要會轉(zhuǎn)化，如本題第(2)小題，把所求問題轉(zhuǎn)化為比較兩臺機(jī)器每生產(chǎn)10萬件產(chǎn)品所獲利潤的大小，即可得出結(jié)論．2．微信是騰訊公司推出的一種手機(jī)通訊軟件，它支持發(fā)送語音短信、視頻、圖片和文字，一經(jīng)推出便風(fēng)靡全國，甚至涌現(xiàn)出一批在微信的摯友圈內(nèi)銷售商品的人(被稱為微商)．為了調(diào)查每天微信用戶運(yùn)用微信的時間，某經(jīng)銷化妝品的微商在一廣場隨機(jī)采訪男性、女性用戶各50名，將男性、女性運(yùn)用微信的時間分成5組：(0,2]，(2,4]，(4,6]，(6,8]，(8,10]分別加以統(tǒng)計，得到如圖所示的頻率分布直方圖．(1)依據(jù)女性頻率分布直方圖估計女性運(yùn)用微信的平均時間；(2)若每天玩微信超過4小時的用戶列為“微信控”，否則稱其為“非微信控”，請你依據(jù)已知條件完成2×2列聯(lián)表，并推斷是否有90%的把握認(rèn)為“微信控”與“性別”有關(guān)？微信控非微信控總計男性50女性50總計100參考公式：K2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d，參考數(shù)據(jù)：P(K2≥k)0.100.050.0250.0100.0050.001k2.7063.8415.0246.6357.87910.828[解](1)女性平均運(yùn)用微信的時間為：0．16×1＋0.24×3＋0.28×5＋0.2×7＋0.12×9＝4.76(小時)．(2)由已知得：2(0.04＋a＋0.14＋2×0.12)＝1，解得a＝0.08.由題設(shè)條件得列聯(lián)表微信控非微信控總計男性381250女性302050總計6832100∴K2的觀測值k＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)＝eq\f(100×38×20－30×122,50×50×68×32)≈2.941＞2.706.所以有90%的把握認(rèn)為“微信控”與“性別有關(guān)”．命題點(diǎn)4隨機(jī)變量的分布列、期望與方差隨機(jī)變量的分布列、期望、方差的求法(1)求離散型隨機(jī)變量的分布列的關(guān)鍵是正確理解隨機(jī)變量取每一個值所表示的詳細(xì)事務(wù)，然后綜合應(yīng)用各類求概率的公式，求出概率．(2)假如隨機(jī)變量X能夠斷定聽從超幾何分布或二項(xiàng)分布，則其概率可干脆利用公式求解．①若隨機(jī)變量X聽從超幾何分布H(N，M，n)，則p(X＝k)＝eq\f(C\o\al(k,M)C\o\al(n－k,N－M),C\o\al(n,N))(k＝0,1,2,3，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*)，且E(X)＝eq\f(nM,N).②若隨機(jī)變量X聽從二項(xiàng)分布B(n，p)，則P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,n)pk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)，且E(X)＝np，D(x)＝np(1－p)．[高考題型全通關(guān)]1．設(shè)甲、乙兩位同學(xué)上學(xué)期間，每天7：30之前到校的概率均為eq\f(2,3)，假定甲、乙兩位同學(xué)到校狀況互不影響，且任一同學(xué)每天到校狀況相互獨(dú)立．(1)用X表示甲同學(xué)上學(xué)期間的三天中7：30之前到校的天數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)設(shè)M為事務(wù)“上學(xué)期間的三天中，甲同學(xué)在7：30之前到校的天數(shù)比乙同學(xué)在7：30之前到校的天數(shù)恰好多2”，求事務(wù)M[解](1)因?yàn)榧淄瑢W(xué)上學(xué)期間的三天中到校狀況相互獨(dú)立，且每天7：30之前到校的概率均為eq\f(2,3)，故X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(2,3)))，從而P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up8(k)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up8(3－k)，k＝0,1,2,3.所以，隨機(jī)變量X的分布列為X0123Peq\f(1,27)eq\f(2,9)eq\f(4,9)eq\f(8,27)隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)＝3×eq\f(2,3)＝2.(2)設(shè)乙同學(xué)上學(xué)期間的三天中7：30之前到校的天數(shù)為Y，則Y～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(2,3)))，且M＝{X＝3，Y＝1}∪{X＝2，Y＝0}．由題意知事務(wù){(diào)X＝3，Y＝1}與{X＝2，Y＝0}互斥，且事務(wù){(diào)X＝3}與{Y＝1}，事務(wù){(diào)X＝2}與{Y＝0}均相互獨(dú)立，從而由(1)知P(M)＝P({X＝3，Y＝1}∪{X＝2，Y＝0})＝P(X＝3，Y＝1)＋P(X＝2，Y＝0)＝P(X＝3)P(Y＝1)＋P(X＝2)P(Y＝0)＝eq\f(8,27)×eq\f(2,9)＋eq\f(4,9)×eq\f(1,27)＝eq\f(20,243).2．甲、乙兩名運(yùn)動員互不影響地進(jìn)行四次射擊訓(xùn)練，依據(jù)以往的數(shù)據(jù)統(tǒng)計，他們射擊成果均不低于8環(huán)(成果環(huán)數(shù)以整數(shù)計)，且甲、乙射擊成果(環(huán)數(shù))的分布列如下：(1)求p，q的值；(2)若甲、乙兩射手各射擊兩次，求四次射擊中恰有三次命中9環(huán)的概率；(3)若兩個射手各射擊1次，記兩人所得環(huán)數(shù)的差的肯定值為ξ，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．[解](1)由題意得p＝eq\f(1,4)，q＝eq\f(1,2).(2)記事務(wù)C：甲命中一次9環(huán)，乙命中兩次9環(huán)，事務(wù)D：甲命中兩次9環(huán)，乙命中一次9環(huán)，則四次射擊中恰有三次命中9環(huán)為事務(wù)C＋D，∴P(C＋D)＝Ceq\o\al(1,2)×eq\f(1,4)×eq\f(3,4)×Ceq\o\al(2,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up8(2)＋Ceq\o\al(2,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq\s\up8(2)×Ceq\o\al(1,2)×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,8).(3)ξ的取值分別為0,1,2，P(ξ＝0)＝eq\f(1,2)×eq\f(1,6)＋eq\f(1,4)×eq\f(1,2)＋eq\f(1,4)×eq\f(1,3)＝eq\f(7,24)，P(ξ＝1)＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＋eq\f(1,4)×eq\f(1,6)＋eq\f(1,4)×eq\f(1,3)＋eq\f(1,4)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)，P(ξ＝2)＝eq\f(1,2)×eq\f(1,3)＋eq\f(1,6)×eq\f(1,4)＝eq\f(5,24)，∴ξ的分布列如下表：ξ012Peq\f(7,24)eq\f(1,2)eq\f(5,24)∴E(ξ)＝0×eq\f(7,24)＋1×eq\f(1,2)＋2×eq\f(5,24)＝eq\f(11,12).命題點(diǎn)5概率與統(tǒng)計的綜合應(yīng)用二項(xiàng)分布同超幾何分布、正態(tài)分布的聯(lián)系(1)二項(xiàng)分布與超幾何分布：二項(xiàng)分布是有放回隨機(jī)試驗(yàn)?zāi)Ｐ?，而超幾何分布是無放回隨機(jī)試驗(yàn)?zāi)Ｐ停?dāng)樣本數(shù)量無限大時，超幾何分布可轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)分布．(2)二項(xiàng)分布與正態(tài)分布：兩種分布的圖象均類同于頻率分布直方圖，而正態(tài)分布N(μ，σ2)中參數(shù)μ＝E(ξ)，σ2＝D(ξ)，這便在頻率分布直方圖的媒介下，交匯交融產(chǎn)生命題點(diǎn)．[高考題型全通關(guān)]1．(2024·甘肅五市聯(lián)考)某省食品藥品監(jiān)管局對16個高校食堂的“進(jìn)貨渠道合格性”和“食品平安”進(jìn)行量化評估，滿分為10分，大部分高校食堂的評分在7～10分之間，以下表格記錄了它們的評分狀況：分?jǐn)?shù)段[0,7)[7,8)[8,9)[9,10]食堂個數(shù)1384(1)現(xiàn)從16個高校食堂中隨機(jī)抽取3個，求至多有1個高校食堂的評分不低于9分的概率；(2)以這16個高校食堂的評分?jǐn)?shù)據(jù)評估全國的高校食堂的評分狀況，若從全國的高校食堂中任選3個，記X表示抽到評分不低于9分的食堂個數(shù)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．[解](1)記Ai(i＝0,1,2,3)表示“所抽取的3個高校食堂中有i個高校食堂評分不低于9分”，“至多有1個高校食堂評分不低于9分”記為事務(wù)A，則P(A)＝P(A0)＋P(A1)＝eq\f(C\o\al(3,12),C\o\al(3,16))＋eq\f(C\o\al(1,4)C\o\al(2,12),C\o\al(3,16))＝eq\f(121,140).(2)由表格數(shù)據(jù)知，從這16個高校食堂中任選1個，評分不低于9分的概率為eq\f(4,16)＝eq\f(1,4).由題意知，X的全部可能取值為0,1,2,3.P(X＝0)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))eq\s\up8(3)＝eq\f(27,64)，P(X＝1)＝Ceq\o\al(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq\s\up8(1)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))eq\s\up8(2)＝eq\f(27,64)，P(X＝2)＝Ceq\o\al(2,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq\s\up8(2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))eq\s\up8(1)＝eq\f(9,64)，P(X＝3)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq\s\up8(3)＝eq\f(1,64).所以X的分布列為X0123Peq\f(27,64)eq\f(27,64)eq\f(9,64)eq\f(1,64)數(shù)學(xué)期望E(X)＝0×eq\f(27,64)＋1×eq\f(27,64)＋2×eq\f(9,64)＋3×eq\f(1,64)＝eq\f(3,4).[點(diǎn)評]本題完全闡釋了二項(xiàng)分布與超幾何分布間的內(nèi)在聯(lián)系，盡管超幾何分布是無放回模擬試驗(yàn)，但用其估計樣本總體的概率時，其可視為有放回模擬試驗(yàn)，即所謂的二項(xiàng)分布．2．(2024·廣州模擬)某城市A公司外賣配送員底薪是每月1800元，設(shè)一人每月配送的單數(shù)為X，若X∈[1,300]，每單提成3元，若X∈(300,600]，每單提成4元，若X∈(600，＋∞)，每單提成4.5元．B公司外賣配送員底薪是每月2100元，設(shè)一人每月配送單數(shù)為Y，若Y∈[1,400]，每單提成3元，若Y∈(400，＋∞)，每單提成4元．小王想在A公司和B公司之間選擇一份外賣配送員工作，他隨機(jī)調(diào)查了A公司外賣配送員甲和B公司外賣配送員乙在2024年4月份(30天)的送餐量數(shù)據(jù)，如下表：表1：A公司外賣配送員甲送餐量統(tǒng)計日送餐量x/單131416171820天數(shù)2612622表2：B公司外賣配送員乙送餐量統(tǒng)計日送餐量y/單111314151618天數(shù)4512351(1)設(shè)A公司外賣配送員月工資(單位：元)為f(X)，B公司外賣配送員月工資(單位：元)為g(Y)，當(dāng)X＝Y(jié)且X，Y∈(300,600]時，比較f(X)與g(Y)的大小關(guān)系．(2)將甲、乙4月份的日送餐量的頻率視為對應(yīng)公司的外賣配送員日送餐量的概率．①計算外賣配送員甲和乙的日送餐量的數(shù)學(xué)期望E(x)和E(y)；②請利用所學(xué)的統(tǒng)計學(xué)學(xué)問為小王做出選擇，并說明理由．[解](1)當(dāng)X＝Y(jié)且X，Y∈(300,600]時，g(Y)＝g(X)．當(dāng)x∈(300,400]時，f(X)－g(Y)＝f(X)－g(X)＝(1800＋4X)－(2100＋3X)＝X－300＞0；當(dāng)X∈(400,600]時，f(X)－g(Y)＝f(X)－g(X)＝(1800＋4X)－(2100＋4X)＝－300＜0.所以當(dāng)X∈(300,400]時，f(X)＞g(Y)；當(dāng)X∈(400,600]時，f(X)＜g(Y)．(2)①甲的日送餐量x的分布列為：x131416171820Peq\f(1,15)eq\f(1,5)eq\f(2,5)eq\f(1,5)eq\f(1,15)eq\f(1,15)乙的日送餐量y的分布列為：y111314151618Peq\f(2,15)eq\f(1,6)eq\f(2,5)eq\f(1,10)eq\f(1,6)eq\f(1,30)則E(x)＝13×eq\f(1,15)＋14×eq\f(1,5)＋16×eq\f(2,5)＋17×eq\f(1,5)＋18×eq\f(1,15)＋20×eq\f(1,15)＝16，E(y)＝11×eq\f(2,15)＋13×eq\f(1,6)＋14×eq\f(2,5)＋15×eq\f(1,10)＋16×eq\f(1,6)＋18×e