廣州省深圳市2024-2025學(xué)年高二上冊11月期中考試數(shù)學(xué)檢測試題（含解析）

廣州省深圳市2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期11月期中考試數(shù)學(xué)檢測試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1.（5分）直線的斜率為（）A. B. C. D.2.（5分）已知等比數(shù)列，若，，則（）A. B. C. D.3.（5分）若橢圓的右焦點坐標為（1，0），則的值為（）A.1 B.3 C.5 D.74.（5分）設(shè)兩直線：，：相互垂直，則m的值為（）A.1 B.2 C.-2 D.-35.（5分）已知，是橢圓的兩個焦點，P是橢圓上的任意一點，則的最大值是（）A.9 B.16 C.25 D.6.（5分）設(shè)等差數(shù)列的前項和為，且滿足，，則當(dāng)取得最小值時，n的值為（）A.10 B.12 C.15 D.247.（5分）任取一個正整數(shù)，若是奇數(shù)，就將該數(shù)乘3再加上1；若是偶數(shù)，就將該數(shù)除以2.反復(fù)進行上述運算，經(jīng)過有限步后，必然進入循環(huán)1→4→2→1.這就是數(shù)學(xué)史上著名的“冰雹猜想”.如取正整數(shù)，根據(jù)上述運算法則得出5→16→8→4→.現(xiàn)給出冰雹猜想的遞推關(guān)系如下：已知數(shù)列滿足：（m為正整數(shù)），當(dāng)時，（）A.72 B.77 C.82 D.878.（5分）“”是“圓與坐標軸有四個交點”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.非充分必要條件二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。（多選）9.（6分）已知兩橢圓和，則（）A.兩橢圓有相同的焦點 B.兩橢圓的離心率相等C.兩橢圓有4個交點 D.兩橢圓有相同的對稱軸和對稱中心（多選）10.（6分）已知數(shù)列，滿足，且，則（）A.當(dāng)時，是等比數(shù)列 B.C.當(dāng)時，是等差數(shù)列 D.當(dāng)時，是遞增數(shù)列（多選）11.（6分）已知實數(shù)x，y滿足方程，則（）A.的取值范圍是 B.的取值范圍是C.的取值范圍是 D.的取值范圍是三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.（5分）若直線，，交于一點，則_________.13.（5分）已知數(shù)列滿足，，若，則數(shù)列的前n項和_________.14.（5分）已知橢圓C：的左右焦點分別為，，過的直線與C交于A，B兩點.若，，且的面積為，則橢圓C的方程為_________.四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。15.（13分）已知橢圓的方程為，設(shè)橢圓的左右焦點分別為，，與y軸正半軸的交點為A.（1）求的周長；（2）設(shè)過橢圓的右焦點，且斜率為1的直線與橢圓交于B，C兩點，求弦的長.16.（15分）已知圓：，圓.（1）求證：兩圓，相交；（2）設(shè)兩圓交于A，B兩點，求四邊形的面積.17.（15分）已知數(shù)列中，，.（1）求證：數(shù)列為等差數(shù)列，并求；（2）求的前n項和.18.（17分）已知橢圓C：，，在橢圓C上.（1）求橢圓C的方程；（2）若斜率存在的直線交橢圓C于M，N兩點，且線段的中點P的橫坐標為-2，過P作新直線，①求直線和直線的斜率之積；②證明新直線恒過定點，并求出該定點的坐標.19.（17分）在所有不大于的正整數(shù)中，記既不能被2整除也不能被3整除的個數(shù)記為.（注：一個自然數(shù)能被p和q整除當(dāng)且僅當(dāng)其能被p，q的最小公倍數(shù)整除，如能被5和3整除等價于能被15整除）（1）求，的值（不需說明）；（2）求關(guān)于n的表達式；（3）若數(shù)列滿足，記數(shù)列的前n項和為，求證：對于，均有.

答案與試題解析一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1.【正確答案】C【分析】將直線方程化為斜截式，即可求出直線的斜率.解：直線即，所以直線的斜率為.故選：C.2.【正確答案】C【分析】利用等比數(shù)列的性質(zhì)求解.解：等比數(shù)列，，，∴.故選：C.3.【正確答案】B【分析】由橢圓的性質(zhì)直接求解即可.解：因為橢圓右焦點坐標為（1，0），所以，且橢圓焦點在x軸上，故.故選：B.4.【正確答案】C【分析】根據(jù)題意，由直線垂直的性質(zhì)可得，解可得m的值，即可得答案.解：直線：，：相互垂直，故，解得.故選：C.5.【正確答案】C【分析】設(shè)，，，，由此可求出的最大值.解：設(shè)，，，∴，∴的最大值是25，故選：C.6.【正確答案】B【分析】根據(jù)前n項和的定義結(jié)合等差數(shù)列性質(zhì)可得，進而分析數(shù)列的符號性，即可得結(jié)果.解：，則，即，又因為數(shù)列為等差數(shù)列，則，可得，即，且，可知，，即當(dāng)時，；當(dāng)時，；所以當(dāng)取得最小值時，n的值為12.故選：B.7.【正確答案】B【分析】由，推得數(shù)列從第六項起呈現(xiàn)4，2，1的循環(huán)，計算可得所求和.解：由，可得數(shù)列從第六項起呈現(xiàn)4，2，1的循環(huán)，故.故選：B.8.【正確答案】A【分析】根據(jù)點與圓位置關(guān)系的幾何意義即可判斷.解：由，可以表示為點（0，0）在圓的內(nèi)部，此時圓與坐標軸有四個交點，則充分性成立；反之，由圓的方程可知，圓心為，半徑為R，則要使圓與坐標軸有四個交點，則，，則，則必要性不成立，故“”是“圓成立的充分不必要條件.故選：A.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。9.【正確答案】BD【分析】根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)，即可求解.解：對于A選項，橢圓E即為，橢圓即為，它們的焦點分別在x，y軸上，所以A選項錯誤；對于B選項，因為，的離心率均為，所以B選項正確；對于C，聯(lián)立，可得，，所以與有2個公共點，故C錯誤；對D選項，顯然兩橢圓有相同的對稱軸和對稱中心，∴D選項正確.故選：BD.10.【正確答案】ACD【分析】對于A，當(dāng)時，由，且，得是等比數(shù)列；對于B，由已知得；對于C，當(dāng)時，由，得，，推導(dǎo)出，故是等差數(shù)列；對于D，由，得，推導(dǎo)出是遞增數(shù)列.解：數(shù)列，滿足，且，對于A，當(dāng)時，由，且，故是等比數(shù)列，故A正確；對于B，由已知有，故B錯誤；對于C，當(dāng)時，由得，∴，∴，故是等差數(shù)列，故C正確；對于D，∵，∴，∴，∴是遞增數(shù)列，故D正確.故選：ACD.11.【正確答案】BCD【分析】直接利用直線與圓的位置關(guān)系，進一步利用點斜式，點到直線的距離，以及直線的截距判斷A、B、C、D的結(jié)論.解：由于實數(shù)x，y滿足，所以方程表示的幾何圖形為單位圓位于y軸右側(cè)的部分（包括y軸上兩點），其中，，，如圖所示：對于A，何意義為上的點到（2，0）的距離的平方，所以為最小值，最小值為1，或取得最大值，最大值為，所以的取值范圍是，選項A錯誤；對于B，的幾何意義是半圓上的點與的連線的斜率，設(shè)過點的直線為，則，解得，此時為最小斜率，直線的斜率為最大值，即，所以斜率的取值范圍是，選項B正確；對于C，設(shè)，則，為直線與y軸的交點的縱坐標，當(dāng)與的圖形相切于H時，取得最小值，t取得最大值，由，解得（負值舍去），當(dāng)過點時，取得最大值，t取得最小值，，解得，所以的取值范圍是，選項C正確；對于D，的幾何意義是上的點到的距離，過點O作直線于點J，與的圖形交于點S，則即為上的點到的距離最小值，其中，所以，過點N作直線于點K，則即為上的點到的距離最大值，最大值為，所以的取值范圍是，所以的取值范圍是，選項D正確.故選：BCD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.【正確答案】1.【分析】由題意可得直線和的交點（1，2）在上，從而求得m的值.解：聯(lián)立，解得，即交點為（1，2），代入直線，可得.故1.13.【正確答案】.【分析】由等差數(shù)列的通項公式求得，再由數(shù)列的裂項相消求和，可得所求和.解：，，即，由等差數(shù)列的通項公式可得，則，可得.故答案為.14.【正確答案】.【分析】根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)及題意，建立方程，即可求解.解：設(shè)，則，所以，又，所以，又，所以，所以，，，，所以，所以，所以，所以，所以，又三角形的面積為，所以，所以，所以，所以，所以，所以橢圓C的方程為.故答案為.四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。15.【正確答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用橢圓的定義結(jié)合焦點三角形的性質(zhì)即可求解；（2）由題可得直線的方程為：，聯(lián)立橢圓的方程，由根與系數(shù)的關(guān)系可得，，然后利用弦長公式即可求解.解：（1）由題，，，所以；（2）由題，右焦點為，直線的斜率為1，所以直線的方程為：，設(shè)，，聯(lián)立，化簡得，所以，，所以.16.【正確答案】（1）證明過程見解析；（2）6.【分析】（1）求出兩圓的圓心和半徑，求出圓心距，進而得到結(jié)論；（2）求出兩圓的公共弦所在直線方程，求得圓心到直線的距離，進而求解結(jié)論.證明：（1）圓：的圓心，半徑，圓：，即：的圓心，半徑，可得，即，所以兩圓相交.解：（2）設(shè)，則其同時滿足兩圓的方程：，，故其也滿足兩式之差：，化簡得一直線方程：，即A在直線上，同理點B也在直線上，因此：就是直線的方程.到直線的距離，由垂徑定理可得.因為，四邊形的面積.17.【正確答案】（1）證明見解析，；（2）.【分析】（1）由已知數(shù)列的遞推式可得，運用等差數(shù)列的定義和通項公式，可得所求；（2）由數(shù)列的錯位相減法求和，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，可得所求和.解：（1）因為，所以，故，即數(shù)列是以-1為首項，2為公差的等差數(shù)列，故，所以；（2）依題意可得，，兩式相減可得，所以.18.【正確答案】（1）；（2）①；②證明見解析，定點為.【分析】（1）由已知條件列方程組，求出a，b即可得解；（2）①利用點差法即可得解；②由①及，可得直線的方程為，即可得證過定點.解：（1）由題可得，解得：，故橢圓C的方程為：；（2）①由題，設(shè)，，，顯然，如圖，聯(lián)立，兩式作差變形得，因為P為線段的中點，所以，又，，所以，即直線和直線的斜率之積為；②證明：由①可得直線的斜率為，又，所以直線的方程為，即，所以新直線過定點，坐標為.19.【正確答案】（1）2，12；（2）；（3）證明見解答.【分析】（1）分別考慮在不大于6和36的所有正整數(shù)中，既不能被2整除也不能被3整除的個數(shù)，可得結(jié)論；（2）分別考慮在不大于的所有正整數(shù)中，能被2整除的個數(shù)和能被3整除的奇數(shù)個數(shù)，可得結(jié)論；（3）運用不等式的放縮法和等比數(shù)列的求和公式，即可得到