2024-2025學(xué)年山東省臨沂市郯城縣高二上冊(cè)11月期中數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（附解析）

2024-2025學(xué)年山東省臨沂市郯城縣高二上學(xué)期11月期中數(shù)學(xué)檢測(cè)試題注意事項(xiàng)：1、答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫在答題卡上.2、回答選擇題時(shí)，選擇每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無(wú)效.3、考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、單選題：（本大題共8小題，每題5分，共40.0分）1.直線的傾斜角為（）A.30° B.60° C.120° D.150°【正確答案】C【分析】先求出直線的斜率，進(jìn)而求出傾斜角.【詳解】變形為，故斜率為，設(shè)直線傾斜角為，則，因?yàn)椋?故選：C2.已知橢圓的焦點(diǎn)在軸，焦距為，且長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的2倍，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A B. C. D.【正確答案】D【分析】根據(jù)橢圓焦點(diǎn)在軸，設(shè)出方程，結(jié)合題干條件列出方程組，求出，得到橢圓方程.【詳解】因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在軸，所以設(shè)橢圓方程為，則，且，解得：，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選：D3.已知直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)P，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)P，且的方向向量，則直線的方程為（）A. B.C. D.【正確答案】B【分析】先求出，設(shè)上一點(diǎn)為，其中與不重合，根據(jù)的方向向量，求出，進(jìn)而利用兩點(diǎn)式，求出直線方程.【詳解】對(duì)化簡(jiǎn)得，，得，解得，點(diǎn)，又直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)P，且的方向向量，可設(shè)上一點(diǎn)為，其中與不重合，則，解得，故利用兩點(diǎn)式，可得的直線方程為：.故選：B4.已知空間向量，，，，且與垂直，則與的夾角為（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】根據(jù)已知可得，根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律即可求出，進(jìn)而求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)榕c垂直，所以，即，所以.又，所以.故選：D.5.已知平面的一個(gè)法向量，點(diǎn)在平面內(nèi)，則點(diǎn)到平面的距離為（）A.10 B.3 C. D.【正確答案】C【分析】利用向量法求點(diǎn)到平面的距離公式即可求解.【詳解】由題得，所以到平面的距離為，故選：C.6.一束光線，從點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)軸反射到圓上的最短路徑的長(zhǎng)度是（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】作點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱點(diǎn)，連接交軸于點(diǎn)，交圓于點(diǎn)，根據(jù)三角形三邊關(guān)系可確定為所求的最短距離，由可求得結(jié)果.【詳解】由圓的方程可得：圓心坐標(biāo)，半徑，設(shè)點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱點(diǎn)為，則，連接交軸于點(diǎn)，交圓于點(diǎn)，則為所求最短距離，證明如下：任取軸上一點(diǎn)，則（當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)），，即最短路徑的長(zhǎng)度為.故選：A.7.直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分別是A1B1，A1C1的中點(diǎn)，BC＝CA＝CC1，則BM與AN所成角的余弦值為()A. B. C. D.【正確答案】C【詳解】以C為原點(diǎn)，直線CA為x軸，直線CB為y軸，直線為軸，則設(shè)CA=CB=1，則，，A（1，0，0），，故，，所以，故選C考點(diǎn)：本小題主要考查利用空間向量求線線角，考查空間向量的基本運(yùn)算，考查空間想象能力等數(shù)學(xué)基本能力，考查分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的能力.8.若直線與直線交于點(diǎn)，則到坐標(biāo)原點(diǎn)距離的最大值為（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】?jī)芍本€均過(guò)定點(diǎn)且垂直，則交點(diǎn)P在以兩定點(diǎn)為直徑的圓上，由數(shù)形結(jié)合可求最值.【詳解】?jī)芍本€滿足，所以兩直線垂直，由得，過(guò)定點(diǎn)，由得，過(guò)定點(diǎn)，故交點(diǎn)P在以AB為直徑的圓C上，其中，如圖所示，則線段OP的最大值為.故選：B.二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分.每小題有一個(gè)或多個(gè)選項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)得6分，選對(duì)但不全的得3分，有選錯(cuò)的得0分.）9.關(guān)于直線，以下說(shuō)法正確是（）A.直線l過(guò)定點(diǎn) B.時(shí)，直線l過(guò)第二，三，四象限C.時(shí)，直線l不過(guò)第一象限 D.原點(diǎn)到直線l的距離的最大值為1【正確答案】ABD【分析】由確定定點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)a的符號(hào)判斷直線所過(guò)的象限，根據(jù)時(shí)原點(diǎn)到直線l的距離的最大求最大距離.【詳解】由過(guò)定點(diǎn)，A正確；當(dāng)，過(guò)定點(diǎn)，斜率為負(fù)，故過(guò)第二、三、四象限，B正確；當(dāng)，過(guò)定點(diǎn)，且斜率為正，過(guò)一、二、三象限，故C錯(cuò)誤；要使原點(diǎn)到直線l的距離的最大，只需，即距離等于，D正確.故選：ABD10.已知圓和圓相交于、兩點(diǎn)，下列說(shuō)法正確的為（）A.兩圓有兩條公切線 B.直線的方程為C.線段的長(zhǎng)為 D.圓上點(diǎn)，圓上點(diǎn)，的最大值為【正確答案】AD【分析】由圓與圓相交可判斷A；兩圓方程作差可判斷B；利用垂徑定理可判斷C；轉(zhuǎn)化為圓心間的距離可判斷D.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)閮蓤A相交，所以兩圓有兩條公切線，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)閳A，圓，兩圓作差得即，所以直線的方程為，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，圓的圓心為，半徑為2，則圓心到直線的距離，所以，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，圓的圓心，半徑為1，所以，故D正確.故選：AD.11.我們通常稱離心率為的橢圓為“黃金橢圓”．如圖，已知橢圓，，，，為頂點(diǎn)，，為焦點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)，滿足下列條件能使橢圓為“黃金橢圓”的有（）A.2=2B.C.軸，且D.四邊形的內(nèi)切圓過(guò)焦點(diǎn)，【正確答案】BD【分析】對(duì)每個(gè)命題如果是正確的求出各個(gè)命題所在的橢圓的離心率即可．【詳解】,由條件得到，即或（舍，解得：，所以不正確；,若，則由射影定理可得：，即，所以，即，，解得；所以正確；，若軸，如圖可得，又，則斜率相等，所以，即，或，顯然不符合，所以，所以不正確；，因?yàn)樗倪呅螢榱庑?，若命題正確則內(nèi)切圓的圓心為原點(diǎn)，由圓的對(duì)稱性可知，圓心到直線的距離等于，因?yàn)橹本€的方程為：，即，所以原點(diǎn)到直線的距離，由題意知：，又，整理得：，，，解得，所以，所以正確，故選：．三、填空題（本大題共3小題，共15.0分）12.已知橢圓的離心率等于，則實(shí)數(shù)__________.【正確答案】或【分析】討論橢圓焦點(diǎn)的位置，分兩種情況求橢圓的離心率，再求實(shí)數(shù)的值.【詳解】當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在軸時(shí)，，，，所以，解得：，當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在軸時(shí)，，，，所以，解得.故或13.已知點(diǎn)在直線上，則的最小值為_(kāi)_________.【正確答案】5【分析】由題得表示點(diǎn)到點(diǎn)的距離，再利用點(diǎn)到直線的距離求解.【詳解】由題得表示點(diǎn)到點(diǎn)的距離.又∵點(diǎn)在直線上，∴的最小值等于點(diǎn)到直線的距離，且.本題主要考查點(diǎn)到兩點(diǎn)間距離和點(diǎn)到直線的距離的計(jì)算，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.14.正方體棱長(zhǎng)為1，為該正方體外接球表面上的兩點(diǎn)，在正方體表面且不在直線上，若，則的最小值為_(kāi)_________．【正確答案】##0.5【分析】由向量的共線定理可得三點(diǎn)共線，再利用向量加法和數(shù)乘的運(yùn)算法則計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)椋匀c(diǎn)共線，又因?yàn)檎襟w棱長(zhǎng)為1，所以該正方體外接球的半徑，所以.故答案為.四、解答題（本大題共5小題，15題13分，16\17題各15分，18\19題各17分共77.0分）15.如圖，在空間四邊形中，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，設(shè)，，.（1）試用向量，，表示向量；（2）若，，，求的值.【正確答案】（1）；（2）【分析】（1）根據(jù)向量的線性運(yùn)算求出即可；（2）根據(jù)向量的運(yùn)算性質(zhì)代入計(jì)算即可.【小問(wèn)1詳解】，，故∵點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，故.【小問(wèn)2詳解】由題意得，故，故.16.已知的頂點(diǎn)A(5，1)，AB邊上的中線CM所在的直線方程為2x－y－5＝0，AC邊上的高BH所在的直線方程為x－2y－5＝0.求（1）AC所在的直線的方程；（2）點(diǎn)B的坐標(biāo)．【正確答案】（1）2x＋y－11＝0；（2）B(－1，－3)．【分析】(1)根據(jù)題意設(shè)直線AC的方程為2x＋y＋t＝0，接著代點(diǎn)求解即可；（2）利用點(diǎn)B在直線BH，用點(diǎn)B坐標(biāo)表示點(diǎn)M坐標(biāo)，又點(diǎn)M在直線CM，點(diǎn)的坐標(biāo)滿足直線方程，列出方程組求解即可.【詳解】因?yàn)锳C⊥BH，所以設(shè)AC所在的直線的方程為2x＋y＋t＝0.把A(5，1)代入直線方程2x＋y＋t＝0中，解得t＝－11.所以AC所在的直線的方程為2x＋y－11＝0.（2）設(shè)B(x0，y0)，則AB的中點(diǎn)為.聯(lián)立得方程組，化簡(jiǎn)得解得，故B(－1，－3)．(1)當(dāng)直線的方程中存在字母參數(shù)時(shí)，不僅要考慮到斜率存在的一般情況，也要考慮到斜率不存在的特殊情況．同時(shí)還要注意x，y的系數(shù)不能同時(shí)為零這一隱含條件．(2)在判斷兩直線的平行、垂直時(shí)，也可直接利用直線方程的系數(shù)間的關(guān)系得出結(jié)論．17.已知圓的圓心坐標(biāo)，直線被圓截得弦長(zhǎng)為．（1）求圓的方程；（2）從圓外一點(diǎn)向圓引切線，求切線方程．【正確答案】（1）（2）或【分析】（1）計(jì)算出圓心到直線的距離，利用勾股定理求出圓的半徑，由此可得出圓的方程；（2）對(duì)切線的斜率是否存在進(jìn)行分類討論，在第一種情況下，寫出切線方程，直接驗(yàn)證即可；在第二種情況下，設(shè)出切線方程為，利用圓心到切線的距離等于圓的半徑，由此可得出所求切線的方程.【小問(wèn)1詳解】解：圓心到直線的距離為，所以，圓的半徑為，因此，圓的方程為.【小問(wèn)2詳解】解：當(dāng)切線的斜率不存在時(shí)，則切線的方程為，且直線與圓相切，合乎題意；當(dāng)切線的斜率存在時(shí)，設(shè)切線方程為，即，由題意可得，解得，此時(shí)，切線的方程為.綜上所述，所求切線的方程為或.18.已知橢圓：（）的左、右焦點(diǎn)分別為，，左、右頂點(diǎn)分別為，，且長(zhǎng)軸長(zhǎng)為8，為橢圓是異于，的點(diǎn)，滿足的周長(zhǎng)為12．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，求面積的最大值．【正確答案】（1）（2）【分析】（1）利用待定系數(shù)法求出橢圓的方程；（2）設(shè)出直線的方程為，利用“設(shè)而不求法”表示出，再表示出點(diǎn)到直線的距離，進(jìn)而表示出，利用基本不等式求出面積的最大值．【小問(wèn)1詳解】由題意得，所以.因?yàn)榈闹荛L(zhǎng)為12，所以，所以，故.所以橢圓的方程為．【小問(wèn)2詳解】由題意，直線不與軸重合，故設(shè)直線的方程為，由，得，，即，，．所以，又點(diǎn)到直線的距離．所以，所以（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，且滿足）.故面積的最大值為．19.已知三棱柱中，，，，．（1）求證：平面平面ABC；（2）若，在線段AC上是否存在一點(diǎn)P，使二面角的平面角的余弦值為？若存在，確定點(diǎn)P的位置；若不存在，說(shuō)明理由．【正確答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）存在，，理由見(jiàn)解析.【分析】（1）連接，由線面垂直的判定有平面，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)，最后根據(jù)線面垂直、面面垂直的判定證結(jié)論.（2）構(gòu)建空間坐標(biāo)系，假設(shè)存在使題設(shè)條件成立，進(jìn)而求得面、面的法向量，根據(jù)已知二面角余弦值及空間向量夾角的坐標(biāo)表示列方程求，即可判斷存在性.【小問(wèn)1