2024-2025學(xué)年江蘇省淮安市淮陰區(qū)高二上冊期中考試數(shù)學(xué)檢測試題（附解析）

2024-2025學(xué)年江蘇省淮安市淮陰區(qū)高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)檢測試題一、單項(xiàng)選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．）1.直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】直接根據(jù)傾斜角與斜率的關(guān)系即可.【詳解】直線的斜率為，設(shè)其傾斜角為，則，又，故其傾斜角為.故選：B2.若橢圓與雙曲線有相同的焦點(diǎn)，則的值為（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】根據(jù)橢圓和雙曲線焦點(diǎn)相同得到方程，得到答案.【詳解】雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，且焦點(diǎn)坐標(biāo)為因?yàn)闄E圓與雙曲線有相同的焦點(diǎn)，所以，解得.故選：C3.已知點(diǎn)是拋物線的焦點(diǎn)，若拋物線上的點(diǎn)到的距離為，則點(diǎn)到軸的距離為（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】根據(jù)條件，利用拋物線的定義，即可求解.【詳解】設(shè)，因?yàn)辄c(diǎn)到的距離為，則，得到，故選：A.4.若在1和81之間插入3個(gè)數(shù)，使這5個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，則該等比數(shù)列的公比為（）A.3 B. C. D.【正確答案】C【分析】根據(jù)等比數(shù)列定義知，求解即得答案.【詳解】設(shè)這5個(gè)數(shù)組成的等比數(shù)列為，公比為，則，.∵，即解得故選：C.5.已知雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為,且雙曲線的漸近線與圓相切,則雙曲線的方程為A. B. C. D.【正確答案】D【詳解】試題分析：依題意有，解得，所以方程為.考點(diǎn)：雙曲線的概念與性質(zhì)．6.若等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，．則取得最小值時(shí)n的值為（）A.3 B.4 C.5 D.6【正確答案】B【分析】利用等差數(shù)列下標(biāo)和的性質(zhì)及前項(xiàng)和公式可得的通項(xiàng)公式，由可得等差數(shù)列的前4項(xiàng)為負(fù)數(shù)，從第五項(xiàng)開始為正數(shù)，即可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)闉榈炔顢?shù)列，，所以，，，所以，所以，所以，解得，所以等差數(shù)列的前4項(xiàng)為負(fù)數(shù)，從第五項(xiàng)開始為正數(shù)，所以取得最小值時(shí)為4.故選.7.已知，，動點(diǎn)C滿足．則面積的最大值為（）A.2 B.3 C.4 D.5【正確答案】A【分析】令，利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示及已知求動點(diǎn)的軌跡，結(jié)合圓的性質(zhì)求面積最大值.【詳解】令，則，所以，即，由構(gòu)成三角形，所以點(diǎn)軌跡為且，要使面積最大，只需與邊最遠(yuǎn)，即為，所以最大面積為.故選：A8.若橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，上頂點(diǎn)為，過作直線的垂線交橢圓于兩點(diǎn)，設(shè)的內(nèi)切圓的半徑為，則的值為（）A. B.C. D.【正確答案】C【分析】由對稱性確定的周長，再由弦長公式，點(diǎn)到線的距離公式求得面積，即可求出內(nèi)切圓半徑即可求解.【詳解】由橢圓方程x24c即，所以為等邊三角形，，由題意可知：，即直線l為的角平分線，傾斜角為，則點(diǎn)關(guān)于直線l對稱，而的周長為，所以的周長為，因?yàn)橹本€l的方程為，橢圓方程為，設(shè)，聯(lián)立方程，消去x得，則Δ=?63則，點(diǎn)直線l的距離為，所以的面積為，所以，解得：，所以，故選：C二、多項(xiàng)選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．）9.設(shè)直線：，：，圓C：，則下列說法正確的有（）A若，則或-1B.若，則C.恒過定點(diǎn)D.被圓C截得的弦長最小值為4【正確答案】BCD【分析】根據(jù)直線平行與垂直的充要條件求解的值即可判斷A，B；根據(jù)含參直線一般方程確定定點(diǎn)坐標(biāo)即可判斷C；根據(jù)直線與圓相的位置關(guān)系，求解相交弦長的最小值即可判斷D.【詳解】對于A，若，則，所以，故A不正確；對于B，若，則，解得，故B正確；對于C，直線：，整理得，令得，故直線恒過定點(diǎn)，故C正確；對于D，圓C：的圓心，半徑，設(shè)點(diǎn)為，則在圓內(nèi)，則當(dāng)時(shí)，直線被圓截得的弦長最小，因?yàn)?，所以直線被圓截得的弦長的最小值為，又，所以，此時(shí)解得，故存在使得被圓C截得的弦長最小值為4，故D正確．故選：BCD10.下列說法正確的有（）A.若數(shù)列為等差數(shù)列，其公差，則數(shù)列是遞增數(shù)列B.若數(shù)列為等比數(shù)列，其公比，則數(shù)列是遞減數(shù)列C.若數(shù)列為等差數(shù)列，則數(shù)列為等比數(shù)列D.若數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，則數(shù)列是等差數(shù)列【正確答案】ACD【分析】由等差、等比數(shù)列的概念及性質(zhì)逐個(gè)判斷即可.【詳解】對于A，由，可得，故單調(diào)遞增，正確；對于B，取，此時(shí)，由于，此時(shí)數(shù)列是遞增數(shù)列，錯(cuò)誤；對于C：等差數(shù)列公差為，由，為常數(shù)，故數(shù)列為等比數(shù)列，正確；對于D：由，令，可得：，可得：即：，所以數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，正確，故選：ACD11.已知點(diǎn)，直線l：，曲線C上的點(diǎn)滿足到F的距離與到l的距離之積為16，則下列說法正確的有（）A.曲線C關(guān)于y軸對稱B.曲線C經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)C.設(shè)曲線C上動點(diǎn)到直線的距離為d，則的最小值為D.當(dāng)點(diǎn)在曲線C上時(shí)，的最小值為【正確答案】BCD【分析】先寫出曲線C的方程，根據(jù)特殊點(diǎn)可判斷A的真假，令求曲線C與軸的交點(diǎn)，可判斷AD的真假，【詳解】設(shè)曲線C上的點(diǎn)，則曲線的方程為.對A：令可得，所以點(diǎn)在曲線上，但點(diǎn)不在曲線上，故曲線不關(guān)于軸對稱，所以A錯(cuò)誤；對B：令得或，故曲線過原點(diǎn)，所以B正確；對C：若，則x?42+y2?x+4>4所以，又，所以（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”），所以C正確；對D：若，則x?42+所以曲線上最左邊的點(diǎn)為，所以，故D正確.故選：BCD關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：在列出曲線的方程后，確定的取值范圍是判斷D選項(xiàng)的關(guān)鍵.判斷出后，結(jié)合的幾何意義：表示曲線上的點(diǎn)到的距離，可求該式的最小值.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知直線l過點(diǎn)，且與兩條坐標(biāo)軸正半軸圍成一個(gè)等腰直角三角形，則直線l的方程為______．【正確答案】【分析】設(shè)出截距式方程，代入已知點(diǎn)坐標(biāo)求解．【詳解】由題意設(shè)直線方程為，且，又直線過點(diǎn)，則，，所以直線方程為，即．故．13.設(shè)雙曲線E：的左、右焦點(diǎn)分別為、，點(diǎn)P是雙曲線E上的一點(diǎn)，若，，則雙曲線E的離心率為______．【正確答案】##【分析】由雙曲線定義和，求出，由余弦定理得到，求出離心率.【詳解】由雙曲線定義知，又，所以，又，由余弦定理得，解得，故離心率為故14.已知直線：，圓：，圓：，若圓與圓和直線都相切，則圓的半徑為______，若圓與圓和直線都相切，且兩兩不同，則圓的半徑為______．【正確答案】①##②.【分析】利用題目條件證明，再根據(jù)這一遞推關(guān)系確定答案即可.【詳解】由題可知位于由圓和構(gòu)成的曲邊三角形內(nèi)，這些圓之間的相切均為外切，且都位于直線上方.設(shè)的圓心為，半徑為，則根據(jù)和相切，有，再由圓的位置關(guān)系，有.由和相切有.故，則.根據(jù)和相切，同理有，.而，故，所以.這就得到，而，故，數(shù)列是斐波那契數(shù)列.而，，所以，.故；.關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵在于對相切性質(zhì)的運(yùn)用.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知三點(diǎn)，，在圓上，點(diǎn)為圓心．（1）求圓的方程；（2）過點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)為，求四邊形的面積．【正確答案】（1）（2）【分析】（1）根據(jù)圓的對稱性可確定圓心為線段垂直平分線的交點(diǎn)，由此可求得圓心坐標(biāo)和半徑，進(jìn)而得到圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）根據(jù)垂直關(guān)系可求得切線長，根據(jù)四邊形面積可求得結(jié)果.【小問1詳解】由圓的對稱性可知：圓心為線段垂直平分線的交點(diǎn)，，線段中點(diǎn)為，線段垂直平分線方程為：，即，又線段的垂直平分線為，，圓的半徑，圓的方程為.【小問2詳解】，，，，，四邊形的面積.16.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求滿足條件的最大正整數(shù)的值．【正確答案】（1）（2）【分析】（1）根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得，再利用退一相減法可得；（2）由，可得，即可得，解不等式，結(jié)合的單調(diào)性可得解.【小問1詳解】由已知數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，則，即，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，綜上所述；【小問2詳解】由（1）得，則，所以，所以，即，又函數(shù)，，單調(diào)遞增，且，，即滿足的最大正整數(shù)為，綜上所述滿足的最大正整數(shù)為.17.已知拋物線C：過點(diǎn)，直線與拋物線相交于兩點(diǎn)，若直線過點(diǎn)．（1）求拋物線C的方程；（2）證明：以為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)；（3）若，求直線的方程．【正確答案】（1）（2）證明見解析（3）或.【分析】（1）將點(diǎn)代入方程求出，即可求得拋物線C的方程；（2）直線l過點(diǎn)，所以設(shè)直線的方程為：，聯(lián)立方程組，要證以為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)只需證明即可；（3）由（2）可知，，由，所以，然后求解即可.【小問1詳解】拋物線C：過點(diǎn)，所以，，故拋物線C的方程為.【小問2詳解】直線l過點(diǎn)，所以設(shè)直線的方程為：，聯(lián)立方程組得：，所以，，設(shè)，，所以，，，，所以，所以，故以AB為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn).【小問3詳解】由（2）可知，，因?yàn)?，所以，所以，所以解得，所以直線的方程為或.18.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，．（1）證明：數(shù)列為等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和為；（3）若對任意恒成立．求實(shí)數(shù)的取值范圍．【正確答案】（1）證明見解析，；（2）；（3）.【分析】（1）根據(jù)題設(shè)遞推關(guān)系有，結(jié)合等差數(shù)列定義判斷證明，進(jìn)而寫出通項(xiàng)公式；（2）應(yīng)用錯(cuò)位相減法及等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式求；（3）將問題化為恒成立，作差法判斷右側(cè)的最小值，即可得參數(shù)范圍.【小問1詳解】由，則，又，所以數(shù)列是首項(xiàng)、公差均為的等差數(shù)列，則，所以【小問2詳解】由，則，所以，所以.【小問3詳解】由（1）（2），則，整理得恒成立，令，則，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以，即的最小值為，綜上，.19.已知，，動點(diǎn)P滿足直線與直線的斜率之積，動點(diǎn)P的軌跡形成曲線C．（1）求曲線C的方程；（2）設(shè)點(diǎn)（t為常數(shù)且），求線段PT長度的最大值；（3）經(jīng)過點(diǎn)的兩條直線，，直線與曲線C相交于A，M兩點(diǎn)，直線與曲線C相交于B，N兩點(diǎn)，若直線AB過定點(diǎn)，證明：直線MN恒過定點(diǎn)．【正確答案】（1）（2）（3）過定點(diǎn)，證明見詳解.【分析】（1）寫出斜率化簡可以得到方程，注意點(diǎn)不能與，點(diǎn)重合；（2）直接寫出點(diǎn)到點(diǎn)距離，消元后配方即可；（3）先用特殊位置求出點(diǎn)，然后證明直線過定點(diǎn)即可.【小問1詳解】設(shè)點(diǎn)，由題意，化簡得到，點(diǎn)不能與或重合，故曲線的方程為.【小問2詳解】設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式寫出，又點(diǎn)在橢圓上，，消去得：,在橢圓中，可以得到當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；綜上，|PT|【小問3詳解】直線過點(diǎn).如示意圖，可先選擇特殊位置，將點(diǎn)放置到位置，此時(shí)與關(guān)于軸對稱，直線方程分別為，可以連接，得到直線，求出與交于點(diǎn).設(shè)，，，，設(shè)的中點(diǎn)，將，兩點(diǎn)代入橢圓，做差可得，整理得.，點(diǎn)是線段中點(diǎn)，則，代入可得：，整理后可以得到所在曲線的方程為.注意到對于兩端點(diǎn)在橢圓上的線段，設(shè)其中