極點極線?？?模型

1“極點極線”是射影幾何中的內(nèi)容，不屬于高考考查的范圍，但極點極線是圓錐曲線的一種基本特征，蘊含了很多圓錐曲線的重要性質(zhì)，自然成為命題人命題的背景知識和方向，可以肯定的說“極點極線”為背景的考題是出題人思維中的定勢方向.學(xué)生掌握了極點極線的相關(guān)知識，就可以從“高觀點下”看待高中圓錐曲線的相關(guān)內(nèi)容，更容易抓住問題的本質(zhì)，雖然高考解答題不能用相關(guān)結(jié)論，但是我們可以將它作為輔助手段，快速的找到正確答案，然后再用初等方法寫過程解題.24年甲卷，23年乙卷解析幾何的極點極線背景本質(zhì)與22年北京，20年北京卷解析幾何一致，是當(dāng)下非常常見的一個極點極線背景，我們需要多家留意.2:C在E上，即+=1,:=1-=②:y1y2=-x1x2-a(x1+x2)+③,2將此式代入因式分解得點，不符合題意，:+(n-a)=0lQ=，再通分化簡得：mn-an+am-a2+mn-am+an-a2=0,:mn=a2，即n=，即直線CD也過定點(n,0).（2）當(dāng)直線CD斜率為0時，經(jīng)驗證直線CD也過定點(n,0).3=1；證明詳見解析.a2（2）方法一：設(shè)P(6,y0)，可得直線AP的方程為聯(lián)立直線AP的方程與橢圓方程即可求得點C的坐標(biāo)為同理可得點D的坐標(biāo)為≠3時，可表線CD的方程，整理直線CD的方程可得即可知直線過定點=3時，直【詳解】（1）依據(jù)題意作出如下圖象：2-1=8，:a2=9:橢圓方程為+y2=14證明：設(shè)P(6,y0)，)x2+6y02x+9y02-81=0，解得：x=-3(y0+(y0+9y0+9,.(3y02-3-2y0)同理可得：點D的坐標(biāo)為|(y02+1,y02+1,2y08y0(y2y08y0(y02+3)(3y02-3)8y0(3y02-3)3-y02+1,(3)44y02y04y0(3)整理得：y=整理得：y=3(3-y02)x+y02-3=3(3-y02)(|x-2,所以直線CD過定點|(2,0,.3(3)當(dāng)y=3時，直線CD：x=2，直線過點|(2,0,3(3)(3)故直線CD過定點|(2,0,(3)[方法二]【最優(yōu)解】：數(shù)形結(jié)合5設(shè)P(6,t)，則直線PA的方程為，即tx-9y+3t=0.同理，可求直線PB的方程為tx-3y-3t=0.則經(jīng)過直線PA和直線PB的方程可寫為(tx-9y+3t)(tx-3y-3t)=0.可化為t2(x2-9)+27y2-12txy+18ty=0.④易知A，B，C，D四個點滿足上述方程，同時A，B，C，D又在橢圓上，則有x2-9=-9y2，代入④式可得(27-9t2)y2-12txy+18ty=0.其中y=0表示直線AB，則(27-9t2)y-12tx+18t=0表示直線CD.【點睛】本題主要考查了橢圓的簡單性質(zhì)及方程思想，還考查了計算能力及轉(zhuǎn)化思想、推理論證能力，屬于難題.第二問的方法一最直接，但對運算能力要求嚴(yán)格；方法二曲線系的應(yīng)用更多的體現(xiàn)了幾何與代數(shù)結(jié)合的思想，二次曲線系的應(yīng)用使得計算更為簡單.61)調(diào)和點列直線上依次四點A,C,B,D，若滿足，則稱A,C,B,D成調(diào)和點列（C為內(nèi)分點，D為外分點特別地，若D在無窮遠(yuǎn)處，則即此時C為AB中點.2)調(diào)和點列與極點極線7設(shè)點P關(guān)于圓錐曲線E的極線為l，過點P任作一割線交E于A,B，交l于Q，則；反之，若有成立，則稱點P,Q調(diào)和分割線段AB，或稱P,Q關(guān)于E調(diào)和共輒.1．圓錐曲線的切線方程（1）設(shè)P(x0,y0)是橢圓上一點，則過P(x0,y0)的橢圓的切線方程為（2）設(shè)P(x0,y0)是雙曲線上一點，則過P的雙曲線的切線方程為：（3）設(shè)P(x0,y0)是拋物線E:y2=2px(p>0)上一點，則過P(x0,y0)的拋物線的切線方程為：y0y=p(x2．橢圓的光學(xué)性質(zhì)如圖，從橢圓一個焦點出發(fā)的光線經(jīng)過反射后穿過另一個焦點，即桶圓上任一點P處的切線的垂線（法線）平分過該點的兩條焦半徑的夾角.83．拋物線的光學(xué)性質(zhì)如圖，從拋物線焦點出發(fā)的光線經(jīng)過反射平行于拋物線對稱軸．假設(shè)過拋物線上任意一點A作切線與對稱TF=AF且7ATF=7TAF.4．極點與極線的幾何意義（1）當(dāng)P在圓錐曲線I上時，則點P的極線是曲線I在P點處的切線；（2）當(dāng)P在圓錐曲線I內(nèi)時，過點P任作一割線交I于A，B，設(shè)I在A，B處的切線交于點Q，則點P的極線是動點Q的軌跡；【極線與圓錐曲線必定相離】（3）當(dāng)P在圓錐曲線I外時，過點P作I的兩條切線，設(shè)其切點分別為A，B，則點P的極線是直線AB（即切點弦所在的直線）．【極線與圓錐曲線必定相交】9【答案】【分析】（I）將給定點代入設(shè)出的方程求解即可II）設(shè)出直線方程，與橢圓E的方程聯(lián)立，分情況討論斜率是否存在，即可得解.22所以橢圓E的方程為.（II）證法一：定點為(0,-2)，點P(1,-2)對應(yīng)的極線為即x-2，即為直線AB，則AP,AB;AM,AN為調(diào)和線束，過M作MH//AP，交AB,AN于T,H，由調(diào)和性質(zhì)可知T為MH中點，故直線HN過定點(0,-2).①若過點P(1,-2)的直線斜率不存在，直線x=1．代入=1，可得M，代入AB方程x-2，可得，由得到H．求得HN方程：x-2，過點②若過點P(1,-2)的直線斜率存在，設(shè)kx-y-(k+2)=0,M(x1,y1),N(x2,y2).2-6kxy22y1可求得此時HN:y-y2=將(0,-2)，代入整理得2(x1+x2)-6(y1+y2)+x1y2+x2y1-3y1y2-12=0，將(*)代入，得24k+12k2+96+48k-24k-48-48k+24k2-36k2-48=0，顯然成立.綜上，可得直線HN過定點(0,-2).【評注】求定點、定值問題常見的方法有兩種：①從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關(guān)；②直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值.由此題，進(jìn)一步的我們可以得出如下結(jié)論—— 【答案】（12）證明見解析.【分析】（1）由已知兩點坐標(biāo)得a,b，求得c后可得離心率；（2）直線AB方程為x=2y-2，設(shè)P(x0,y0)（y0≠0，y0≠±1），Q(2yQ-2,yQ)，S(xS,0)．由C,P,Q三點共線求得Q點坐標(biāo)（用P點坐標(biāo)表示由B,P,S共線求得S點坐標(biāo)（用P點坐標(biāo)表示寫出直線QS的方程，把x=4-4y代入化簡對方程變形可得定點坐標(biāo).【詳解】解1）因為點A(-2,0)，B(0,1)都在橢圓M上， 所以橢圓M的離心率.由題意知：直線AB的方程為x=2y-2.設(shè)P(x0,y0)（y0≠0，y0≠±1），Q(2yQ-2,yQ)，S(xS,0).-----→0-2,y0),CQ=(2yQ-2-2,yQ)，所以(x0-2)yQ=y0(2yQ-4).因為B,S,P三點共線，4y00-4x0所以直線QS的方程為x=2y0-x0+21-y0y+x0， 4y01-y0又因為點P在橢圓M上，所以x02=4-4y02.所以直線QS的方程為所以直線QS過定點(2,1).【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查求橢圓的離心率，考查橢圓的直線過定點問題，解題方法是設(shè)橢圓上的點坐標(biāo)P(x0,y0)，利用三點共線變?yōu)橄蛄科叫?，求得直線交點Q,S的坐標(biāo)，得出直線QS方程，再由P在橢圓上，代入化簡湊配出定點坐標(biāo).【分析】(Ⅰ)由題意得到關(guān)于a，b的方程組，求解方程組即可確定橢圓方程；（II）首先聯(lián)立直線與橢圓的方程，然后由直線MA，NA的方程確定點P，Q的縱坐標(biāo)，將線段長度的比值轉(zhuǎn)化為縱坐標(biāo)比值的問題，進(jìn)一步結(jié)合韋達(dá)定理可證得yP+yQ=0，從而可得兩線段長度的比值.（II）解法一：點B(-4,0)關(guān)于橢圓C的極線方程為x=-2，即圖中的直線AE，點E為直線MN與直線AE的交點，由極點與極線的理論可知，B,M,E,N四點成調(diào)和點列，在調(diào)和點列所在直線外選一點A，則AB,AM,AE,AN為調(diào)和線束．同時，直線x=-2與該調(diào)和線束交于P,B,Q，且直線x=-2與直線AE平行，故B點為PQ中點，則.解法二：設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2)，直線MN的方程為：y=k(x+4)，令x=-4可得：yP=-2×-1=-2×lyP22x2x21x2:PBBQx2x222 BQPB:yP BQPB:解法四：設(shè)M(x1,y1)，N(x2,y2)，直線MN的方程為：x=ky-4(k2+4)，由+:直線AM,AN的方程分別為：AM:y=-1,AN:y=-1，令x=-4，則直線AN的方程為，令x=-4，則yP=,yQ=-，此時也有綜上：【點睛】第二問看似是求值問題．解法一是發(fā)現(xiàn)yP+yQ=0，且相加后可以利用韋達(dá)定理整體代換，但是需要一定的直覺與應(yīng)變能力，發(fā)現(xiàn)為的中點，需要一定的分析推理能力．解法二中出現(xiàn)分式結(jié)構(gòu)，分子與分母有大部分相同，故第一步先分離分子，之后出現(xiàn)了不對稱的結(jié)構(gòu)，全部用韋達(dá)定理整體代換，此時只要保留相同的量，其余部分利用韋達(dá)定理整體代換后進(jìn)行化簡，需要一定的運算功底.【評注】解決直線與橢圓的綜合問題時，要注意：（1）注意觀察應(yīng)用題設(shè)中的每一個條件，明確確定直線、橢圓的條件；（2）強化有關(guān)直線與橢圓聯(lián)立得出一元二次方程后的運算能力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長、斜率、三角形的面積等問題.【答案】(1)P的軌跡為直線直線MN必過x軸上一定點D(1,0).【分析】（1）根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可得A、B、F的坐標(biāo),設(shè)動點P(x,y).根據(jù)條件PF2-PB2=4,結(jié)合兩點間距離公式,化簡即可得解.=代入橢圓方程即可求得M、N的坐標(biāo).進(jìn)而求得直線AM與直線AN的方程.聯(lián)立兩條直線方程即可求得交點T的坐標(biāo).（3）設(shè)出直線AM與直線AN的方程,分別聯(lián)立橢圓方程即可表示出M、N的坐標(biāo).討論x1=x2與x1≠x2,并分別求得m的值.即可求得所過定點的坐標(biāo).(x-2)2+y2,PB2=(x-3)2+y2,PF2-PB2=4,代入化簡得x=.直線AM的方程為y=x+1,直線AN的方程為y=x-,（3）由題設(shè)知,直線AT的方程為：y=),直線BT的方程為：y=),所以kMD=kND,所以直線MN過點D(1,0).因此直線MN必過x軸上一定點D(1,0).【點睛】本題考查了曲線軌跡方程的求法,點與橢圓的位置關(guān)系及直線交點的求法,直線與橢圓的位置關(guān)系及過定點問題,綜合性強證明見解析.222（2）先討論斜率不存在時的情況易知直線AM，BN的交點Q的坐標(biāo)是(4,3).當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)直線方程為y=k(x-1)，M(x1,y1)，N(x2,y2)，進(jìn)而聯(lián)立方程結(jié)合韋達(dá)定理得x1+x2=，x1.x2=直線AM的方程是，直線BN的方程是進(jìn)而計算得x=4時的縱坐標(biāo)，并證明其相等即可.：（222所以橢圓C的方程是（2）①若直線l的斜率不存在時，如圖，所以點M的坐標(biāo)是點N的坐標(biāo)是.所以直線AM的方程是直線BN的方程是所以直線AM，BN的交點Q的坐標(biāo)是(4,3).所以點Q在直線x=4上.②若直線l的斜率存在時，如圖.設(shè)斜率為k.所以直線l的方程為y=k(x-1).