高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-二項(xiàng)式定理知識(shí)點(diǎn)與題型復(fù)習(xí)

二項(xiàng)式定理知識(shí)點(diǎn)與題型復(fù)習(xí)一、基礎(chǔ)知識(shí)1.二項(xiàng)式定理(1)二項(xiàng)式定理：(a＋b)n＝Ceq\o\al(0,n)an＋Ceq\o\al(1,n)an－1b＋…＋Ceq\o\al(k,n)an－kbk＋…＋Ceq\o\al(n,n)bn(n∈N*)(2)通項(xiàng)公式：Tk＋1＝Ceq\o\al(k,n)an－kbk，它表示第k＋1項(xiàng)；(3)二項(xiàng)式系數(shù)：二項(xiàng)展開(kāi)式中各項(xiàng)的系數(shù)為Ceq\o\al(0,n)，Ceq\o\al(1,n)，…，Ceq\o\al(n,n).2.二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)注：(1)項(xiàng)數(shù)為n＋1.(2)各項(xiàng)的次數(shù)都等于二項(xiàng)式的冪指數(shù)n，即a與b的指數(shù)的和為n.(3)字母a按降冪排列，從第一項(xiàng)開(kāi)始，次數(shù)由n逐項(xiàng)減1直到零；字母b按升冪排列，從第一項(xiàng)起，次數(shù)由零逐項(xiàng)增1直到n.二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)的區(qū)別二項(xiàng)式系數(shù)是指Ceq\o\al(0,n)，Ceq\o\al(1,n)，…，Ceq\o\al(n,n)，它只與各項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)有關(guān)，而與a，b的值無(wú)關(guān)；而項(xiàng)的系數(shù)是指該項(xiàng)中除變量外的常數(shù)部分，它不僅與各項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)有關(guān)，而且也與a，b的值有關(guān).如(a＋bx)n的二項(xiàng)展開(kāi)式中，第k＋1項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)是Ceq\o\al(k,n)，而該項(xiàng)的系數(shù)是Ceq\o\al(k,n)an－kbk.當(dāng)然，在某些二項(xiàng)展開(kāi)式中，各項(xiàng)的系數(shù)與二項(xiàng)式系數(shù)是相等的.二、考點(diǎn)解析eq\a\vs4\al(考點(diǎn)一二項(xiàng)展開(kāi)式中特定項(xiàng)或系數(shù)問(wèn)題)考法(一)求解形如(a＋b)n(n∈N*)的展開(kāi)式中與特定項(xiàng)相關(guān)的量例1、(1)的展開(kāi)式中x4的系數(shù)為()A.10B.20C.40D.80(2)若(2x－a)5的二項(xiàng)展開(kāi)式中x3的系數(shù)為720，則a＝________.(3)已知的展開(kāi)式中x5的系數(shù)為A，x2的系數(shù)為B，若A＋B＝11，則a＝________.eq\a\vs4\al([解題技法])求形如(a＋b)n(n∈N*)的展開(kāi)式中與特定項(xiàng)相關(guān)的量(常數(shù)項(xiàng)、參數(shù)值、特定項(xiàng)等)的步驟第一步，利用二項(xiàng)式定理寫(xiě)出二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式Tr＋1＝Ceq\o\al(r,n)an－rbr，常把字母和系數(shù)分離開(kāi)來(lái)(注意符號(hào)不要出錯(cuò))；第二步，根據(jù)題目中的相關(guān)條件(如常數(shù)項(xiàng)要求指數(shù)為零，有理項(xiàng)要求指數(shù)為整數(shù))先列出相應(yīng)方程(組)或不等式(組)，解出r；第三步，把r代入通項(xiàng)公式中，即可求出Tr＋1，有時(shí)還需要先求n，再求r，才能求出Tr＋1或者其他量.考法(二)求解形如(a＋b)m(c＋d)n(m，n∈N*)的展開(kāi)式中與特定項(xiàng)相關(guān)的量例2、(1)(1－eq\r(x))6(1＋eq\r(x))4的展開(kāi)式中x的系數(shù)是()A.－4B.－3C.3D.4(2)已知(x－1)(ax＋1)6的展開(kāi)式中含x2項(xiàng)的系數(shù)為0，則正實(shí)數(shù)a＝________.eq\a\vs4\al([解題技法])求形如(a＋b)m(c＋d)n(m，n∈N*)的展開(kāi)式中與特定項(xiàng)相關(guān)的量的步驟第一步，根據(jù)二項(xiàng)式定理把(a＋b)m與(c＋d)n分別展開(kāi)，并寫(xiě)出其通項(xiàng)公式；第二步，根據(jù)特定項(xiàng)的次數(shù)，分析特定項(xiàng)可由(a＋b)m與(c＋d)n的展開(kāi)式中的哪些項(xiàng)相乘得到；第三步，把相乘后的項(xiàng)合并即可得到所求特定項(xiàng)或相關(guān)量.考法(三)求形如(a＋b＋c)n(n∈N*)的展開(kāi)式中與特定項(xiàng)相關(guān)的量例3、(1)(x2＋x＋y)5的展開(kāi)式中x5y2的系數(shù)為()A.10B.20C.30D.60(2)將展開(kāi)后，常數(shù)項(xiàng)是________.eq\a\vs4\al([解題技法])求形如(a＋b＋c)n(n∈N*)的展開(kāi)式中與特定項(xiàng)相關(guān)的量的步驟第一步，把三項(xiàng)的和a＋b＋c看成是(a＋b)與c兩項(xiàng)的和；第二步，根據(jù)二項(xiàng)式定理寫(xiě)出[(a＋b)＋c]n的展開(kāi)式的通項(xiàng)；第三步，對(duì)特定項(xiàng)的次數(shù)進(jìn)行分析，弄清特定項(xiàng)是由(a＋b)n－r的展開(kāi)式中的哪些項(xiàng)和cr相乘得到的；第四步，把相乘后的項(xiàng)合并即可得到所求特定項(xiàng)或相關(guān)量.跟蹤訓(xùn)練1.在(1－x3)(2＋x)6的展開(kāi)式中，x5的系數(shù)是________.(用數(shù)字作答)3.(x＞0)的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為_(kāi)_______.eq\a\vs4\al(考點(diǎn)二二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)及各項(xiàng)系數(shù)和)[典例精析](1)若的展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)之和大于8，但小于32，則展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)是()A.6eq\r(3,x)B.eq\f(4,\r(x))C.4xeq\r(6,x)D.eq\f(4,\r(x))或4xeq\r(6,x)(2)若的展開(kāi)式中含x的項(xiàng)為第6項(xiàng)，設(shè)(1－3x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，則a1＋a2＋…＋an的值為_(kāi)_______.(3)若(a＋x)(1＋x)4的展開(kāi)式中x的奇數(shù)次冪項(xiàng)的系數(shù)之和為32，則a＝________.[解題技法]1.賦值法的應(yīng)用二項(xiàng)式定理給出的是一個(gè)恒等式，對(duì)于x，y的一切值都成立.因此，可將x，y設(shè)定為一些特殊的值.在使用賦值法時(shí)，令x，y等于多少，應(yīng)視具體情況而定，一般取“1，－1或0”，有時(shí)也取其他值.如：(1)形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R)的式子，求其展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)之和，只需令x＝1即可.(2)形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子，求其展開(kāi)式各項(xiàng)系數(shù)之和，只需令x＝y(tǒng)＝1即可.2.二項(xiàng)展開(kāi)式各項(xiàng)系數(shù)和、奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)和與偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)和的求法若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，則f(x)的展開(kāi)式中(1)各項(xiàng)系數(shù)之和為f(1).(2)奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)之和為a0＋a2＋a4＋…＝eq\f(f1＋f－1,2).(3)偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)之和為a1＋a3＋a5＋…＝eq\f(f1－f－1,2).跟蹤訓(xùn)練1.已知(2x－1)5＝a5x5＋a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0，則|a0|＋|a1|＋…＋|a5|＝()A.1B.243C.121D.1222.若(x＋2＋m)9＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a9(x＋1)9，且(a0＋a2＋…＋a8)2－(a1＋a3＋…＋a9)2＝39，則實(shí)數(shù)m的值為_(kāi)_______.3.已知(1＋3x)n的展開(kāi)式中，后三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于121，則展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為_(kāi)___.eq\a\vs4\al(考點(diǎn)三二項(xiàng)展開(kāi)式的應(yīng)用)例、設(shè)a∈Z，且0≤a＜13，若512018＋a能被13整除，則a＝()A.0B.1C.11D.12[解題技法]利用二項(xiàng)式定理解決整除問(wèn)題的思路(1)要證明一個(gè)式子能被另一個(gè)式子整除，只要證明這個(gè)式子按二項(xiàng)式定理展開(kāi)后的各項(xiàng)均能被另一個(gè)式子整除即可.因此，一般要將被除式化為含相關(guān)除式的二項(xiàng)式，然后再展開(kāi).(2)用二項(xiàng)式定理處理整除問(wèn)題，通常把底數(shù)寫(xiě)成除數(shù)(或與除數(shù)密切關(guān)聯(lián)的數(shù))與某數(shù)的和或差的形式，再用二項(xiàng)式定理展開(kāi).但要注意兩點(diǎn)：①余數(shù)的范圍，a＝cr＋b，其中余數(shù)b∈[0，r)，r是除數(shù)，若利用二項(xiàng)式定理展開(kāi)變形后，切記余數(shù)不能為負(fù)；②二項(xiàng)式定理的逆用.跟蹤訓(xùn)練]1.使得多項(xiàng)式81x4＋108x3＋54x2＋12x＋1能被5整除的最小自然數(shù)x為()A.1B.2C.3D.4課后作業(yè)1.的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為()A.－3eq\r(2)B.3eq\r(2)C.6D.－62.設(shè)(2－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5，則eq\f(a2＋a4,a1＋a3)的值為()A.－eq\f(61,60)B.－eq\f(122,121)C.－eq\f(3,4)D.－eq\f(90,121)3.若二項(xiàng)式的展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)之和為－1，則含x2項(xiàng)的系數(shù)為()A.560B.－560C.280D.－2804.已知(1＋x)n的展開(kāi)式中第5項(xiàng)與第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，則奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為()A.29B.210C.211D.2125.二項(xiàng)式的展開(kāi)式中，除常數(shù)項(xiàng)外，各項(xiàng)系數(shù)的和為()A.－671B.671C.672D.6736.在(1－x)5(2x＋1)的展開(kāi)式中，含x4項(xiàng)的系數(shù)為()A.－5B.－15C.－25D.257.若(x2－a)的展開(kāi)式中x6的系數(shù)為30，則a等于()A.eq\f(1,3)B.eq\f(1,2)C.1D.28.若(1＋mx)6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a6x6，且a1＋a2＋…＋a6＝63，則實(shí)數(shù)m的值為()A.1或3