100個(gè)世界著名初等數(shù)學(xué)難題

100個(gè)世界著名初等數(shù)學(xué)難題2005-12-0519:28,數(shù)學(xué)綠園,11802字,0/6,原創(chuàng)|引用100個(gè)著名初等數(shù)學(xué)問題（轉(zhuǎn)載）

第01題阿基米德分牛問題Archimedes'ProblemaBovinum

太陽神有一牛群，由白、黑、花、棕四種顏色的公、母牛組成.

在公牛中，白牛數(shù)多于棕牛數(shù)，多出之?dāng)?shù)相當(dāng)于黑牛數(shù)的1/2+1/3；黑牛數(shù)多于棕牛數(shù)，多出之?dāng)?shù)相當(dāng)于花牛數(shù)的?+1/5；花牛數(shù)多于棕牛數(shù)，多出之?dāng)?shù)相當(dāng)于白牛數(shù)的1/6+1/7.

在母牛中，白牛數(shù)是全體黑牛數(shù)的1/3+?；黑牛數(shù)是全體花牛數(shù)?+1/5；花牛數(shù)是全體棕牛數(shù)的1/5+1/6；棕牛數(shù)是全體白牛數(shù)的1/6+1/7.

問這牛群是怎樣組成的？

第02題德·梅齊里亞克的法碼問題TheWeightProblemofBachetdeMeziriac

一位商人有一個(gè)40磅的砝碼，由于跌落在地而碎成4塊.后來，稱得每塊碎片的重量都是整磅數(shù)，而且可以用這4塊來稱從1至40磅之間的任意整數(shù)磅的重物.

問這4塊砝碼碎片各重多少？

第03題牛頓的草地與母牛問題Newton'sProblemoftheFieldsandCows

a頭母牛將b塊地上的牧草在c天內(nèi)吃完了；

a'頭母牛將b'塊地上的牧草在c'天內(nèi)吃完了；

a"頭母牛將b"塊地上的牧草在c"天內(nèi)吃完了；

求出從a到c"9個(gè)數(shù)量之間的關(guān)系？

第04題貝韋克的七個(gè)7的問題Berwick'sProblemoftheSevenSevens

在下面除法例題中，被除數(shù)被除數(shù)除盡：

**7*******÷****7*=**7**

******

*****7*

*******

*7****

*7****

*******

****7**

******

******

用星號(hào)（*）標(biāo)出的那些數(shù)位上的數(shù)字偶然被擦掉了，那些不見了的是些什么數(shù)字呢？

第05題柯克曼的女學(xué)生問題Kirkman'sSchoolgirlProblem

某寄宿學(xué)校有十五名女生，她們經(jīng)常每天三人一行地散步，問要怎樣安排才能使每個(gè)女生同其他每個(gè)女生同一行中散步，并恰好每周一次？

第06題伯努利-歐拉關(guān)于裝錯(cuò)信封的問題TheBernoulli-EulerProblemoftheMisaddressedletters

求n個(gè)元素的排列，要求在排列中沒有一個(gè)元素處于它應(yīng)當(dāng)占有的位置.

第07題歐拉關(guān)于多邊形的剖分問題Euler'sProblemofPolygonDivision

可以有多少種方法用對角線把一個(gè)n邊多邊形（平面凸多邊形）剖分成三角形？

第08題魯卡斯的配偶夫婦問題Lucas'ProblemoftheMarriedCouples

n對夫婦圍圓桌而坐，其座次是兩個(gè)婦人之間坐一個(gè)男人，而沒有一個(gè)男人和自己的妻子并坐，問有多少種坐法？

第09題卡亞姆的二項(xiàng)展開式OmarKhayyam'sBinomialExpansion

當(dāng)n是任意正整數(shù)時(shí)，求以a和b的冪表示的二項(xiàng)式a+b的n次冪.

第10題柯西的平均值定理Cauchy'sMeanTheorem

求證n個(gè)正數(shù)的幾何平均值不大于這些數(shù)的算術(shù)平均值.

第11題伯努利冪之和的問題Bernoulli'sPowerSumProblem

確定指數(shù)p為正整數(shù)時(shí)最初n個(gè)自然數(shù)的p次冪的和S=1p+2p+3p+…+np.

第12題歐拉數(shù)TheEulerNumber

求函數(shù)φ(x)=(1+1/x)x及Φ(x)=(1+1/x)x+1當(dāng)x無限增大時(shí)的極限值.

第13題牛頓指數(shù)級(jí)數(shù)Newton'sExponentialSeries

將指數(shù)函數(shù)ex變換成各項(xiàng)為x的冪的級(jí)數(shù).

第14題麥凱特爾對數(shù)級(jí)數(shù)NicolausMercator'sLogarithmicSeries

不用對數(shù)表，計(jì)算一個(gè)給定數(shù)的對數(shù).

第15題牛頓正弦及余弦級(jí)數(shù)Newton'sSineandCosineSeries

不用查表計(jì)算已知角的正弦及余弦三角函數(shù).

第16題正割與正切級(jí)數(shù)的安德烈推導(dǎo)法Andre'sDerivationoftheSecantandTangentSeries

在n個(gè)數(shù)1，2，3，…,n的一個(gè)排列c1，c2，…，cn中，如果沒有一個(gè)元素ci的值介于兩個(gè)鄰近的值ci-1和ci+1之間，則稱c1，c2，…，cn為1，2，3，…,n的一個(gè)屈折排列.

試?yán)们叟帕型茖?dǎo)正割與正切的級(jí)數(shù).

第17題格雷戈里的反正切級(jí)數(shù)Gregory'sArcTangentSeries

已知三條邊，不用查表求三角形的各角.

第18題德布封的針問題Buffon'sNeedleProblem

在臺(tái)面上畫出一組間距為d的平行線，把長度為l（小于d）的一根針任意投擲在臺(tái)面上，問針觸及兩平行線之一的概率如何？

第19題費(fèi)馬-歐拉素?cái)?shù)定理TheFermat-EulerPrimeNumberTheorem

每個(gè)可表示為4n+1形式的素?cái)?shù)，只能用一種兩數(shù)平方和的形式來表示.

第20題費(fèi)馬方程TheFermatEquation

求方程x2－dy2=1的整數(shù)解，其中d為非二次正整數(shù).

第21題費(fèi)馬-高斯不可能性定理TheFermat-GaussImpossibilityTheorem

證明兩個(gè)立方數(shù)的和不可能為一立方數(shù).

第22題二次互反律TheQuadraticReciprocityLaw

（歐拉-勒讓德-高斯定理）奇素?cái)?shù)p與q的勒讓德互反符號(hào)取決于公式

（p/q）·（q/p）=（－1）[(p-1)/2]·[(q-1)/2].

第23題高斯的代數(shù)基本定理Gauss'FundamentalTheoremofAlgebra

每一個(gè)n次的方程zn+c1zn-1+c2zn-2+…+cn=0具有n個(gè)根.

第24題斯圖謨的根的個(gè)數(shù)問題Sturm'sProblemoftheNumberofRoots

求實(shí)系數(shù)代數(shù)方程在已知區(qū)間上的實(shí)根的個(gè)數(shù).

第25題阿貝爾不可能性定理Abel'sImpossibilityTheorem

高于四次的方程一般不可能有代數(shù)解法.

第26題赫米特-林德曼超越性定理TheHermite-LindemannTranscedenceTheorem

系數(shù)A不等于零，指數(shù)α為互不相等的代數(shù)數(shù)的表達(dá)式A1eα1+A2eα2+A3eα3+…不可能等于零.

第27題歐拉直線Euler'sStraightLine

在所有三角形中，外接圓的圓心，各中線的交點(diǎn)和各高的交點(diǎn)在一直線—?dú)W拉線上，而且三點(diǎn)的分隔為：各高線的交點(diǎn)（垂心）至各中線的交點(diǎn)（重心）的距離兩倍于外接圓的圓心至各中線的交點(diǎn)的距離.

第28題費(fèi)爾巴哈圓TheFeuerbachCircle

三角形中三邊的三個(gè)中點(diǎn)、三個(gè)高的垂足和高的交點(diǎn)到各頂點(diǎn)的線段的三個(gè)中點(diǎn)在一個(gè)圓上.

第29題卡斯蒂朗問題Castillon'sProblem

將各邊通過三個(gè)已知點(diǎn)的一個(gè)三角形內(nèi)接于一個(gè)已知圓.

第30題馬爾法蒂問題Malfatti'sProblem

在一個(gè)已知三角形內(nèi)畫三個(gè)圓，每個(gè)圓與其他兩個(gè)圓以及三角形的兩邊相切.

第31題蒙日問題Monge'sProblem

畫一個(gè)圓，使其與三已知圓正交.

第32題阿波洛尼斯相切問題TheTangencyProblemofApollonius.

畫一個(gè)與三個(gè)已知圓相切的圓.

第33題馬索若尼圓規(guī)問題Macheroni'sCompassProblem.

證明任何可用圓規(guī)和直尺所作的圖均可只用圓規(guī)作出.

第34題斯坦納直尺問題Steiner'sStraight-edgeProblem

證明任何一個(gè)可以用圓規(guī)和直尺作出的圖，如果在平面內(nèi)給出一個(gè)定圓，只用直尺便可作出.

第35題德里安倍立方問題TheDeliaiiCube-doublingProblem

畫出體積為一已知立方體兩倍的立方體的一邊.

第36題三等分一個(gè)角TrisectionofanAngle

把一個(gè)角分成三個(gè)相等的角.

第37題正十七邊形TheRegularHeptadecagon

畫一正十七邊形.

第38題阿基米德π值確定法Archimedes'DeterminationoftheNumberPi

設(shè)圓的外切和內(nèi)接正2vn邊形的周長分別為av和bv，便依次得到多邊形周長的阿基米德數(shù)列：a0，b0，a1，b1，a2，b2，…其中av+1是av、bv的調(diào)和中項(xiàng)，bv+1是bv、av+1的等比中項(xiàng).假如已知初始兩項(xiàng)，利用這個(gè)規(guī)則便能計(jì)算出數(shù)列的所有項(xiàng).這個(gè)方法叫作阿基米德算法.

第39題富斯弦切四邊形問題Fuss'ProblemoftheChord-TangentQuadrilateral

找出半徑與雙心四邊形的外接圓和內(nèi)切圓連心線之間的關(guān)系.（注：一個(gè)雙心或弦切四邊形的定義是既內(nèi)接于一個(gè)圓而同時(shí)又外切于另一個(gè)圓的四邊形）

第40題測量附題AnnextoaSurvey

利用已知點(diǎn)的方位來確定地球表面未知但可到達(dá)的點(diǎn)的位置.

第41題阿爾哈森彈子問題Alhazen'sBilliardProblem

在一個(gè)已知圓內(nèi)，作出一個(gè)其兩腰通過圓內(nèi)兩個(gè)已知點(diǎn)的等腰三角形.

第42題由共軛半徑作橢圓AnEllipsefromConjugateRadii

已知兩個(gè)共軛半徑的大小和位置，作橢圓.

第43題在平行四邊形內(nèi)作橢圓AnEllipseinaParallelogram,

在規(guī)定的平行四邊形內(nèi)作一內(nèi)切橢圓，它與該平行四邊形切于一邊界點(diǎn).

第44題由四條切線作拋物線AParabolafromFourTangents

已知拋物線的四條切線，作拋物線.

第45題由四點(diǎn)作拋物線AParabolafromFourPoints.

過四個(gè)已知點(diǎn)作拋物線.

第46題由四點(diǎn)作雙曲線AHyperbolafromFourPoints.

已知直角（等軸）雙曲線上四點(diǎn)，作出這條雙曲線.

第47題范·施古登軌跡題VanSchooten'sLocusProblem

平面上的固定三角形的兩個(gè)頂點(diǎn)沿平面上一個(gè)角的兩個(gè)邊滑動(dòng)，第三個(gè)頂點(diǎn)的軌跡是什么？

第48題卡丹旋輪問題Cardan'sSpurWheelProblem.

一個(gè)圓盤沿著半徑為其兩倍的另一個(gè)圓盤的內(nèi)緣滾動(dòng)時(shí)，這個(gè)圓盤上標(biāo)定的一點(diǎn)所描出的軌跡是什么？

第49題牛頓橢圓問題Newton'sEllipseProblem.

確定內(nèi)切于一個(gè)已知（凸）四邊形的所有橢圓的中心的軌跡.

第50題彭賽列-布里昂匈雙曲線問題ThePoncelet-BrianchonHyperbolaProblem

確定內(nèi)接于直角（等邊）雙曲線的所有三角形的頂垂線交點(diǎn)的軌跡.

第51題作為包絡(luò)的拋物線AParabolaasEnvelope

從角的頂點(diǎn)，在角的一條邊上連續(xù)n次截取任意線段e，在另一條邊上連續(xù)n次截取線段f，并將線段的端點(diǎn)注以數(shù)字，從頂點(diǎn)開始，分別為0，1，2，…，n和n，n－1，…，2，1，0.

求證具有相同數(shù)字的點(diǎn)的連線的包絡(luò)為一條拋物線.

第52題星形線TheAstroid

直線上兩個(gè)標(biāo)定的點(diǎn)沿著兩條固定的互相垂直的軸滑動(dòng)，求這條直線的包絡(luò).

第53題斯坦納的三點(diǎn)內(nèi)擺線Steiner'sThree-pointedHypocycloid

確定一個(gè)三角形的華萊士（Wallace）線的包絡(luò).

第54題一個(gè)四邊形的最接近圓的外接橢圓TheMostNearlyCircularEllipseCircumscribingaQuadrilateral

一個(gè)已知四邊形的所有外接橢圓中，哪一個(gè)與圓的偏差最?。?/p>

第55題圓錐曲線的曲率TheCurvatureofConicSections

確定一個(gè)圓錐曲線的曲率.

第56題阿基米德對拋物線面積的推算Archimedes'SquaringofaParabola

確定包含在拋物線內(nèi)的面積.

第57題推算雙曲線的面積SquaringaHyperbola

確定雙曲線被截得的部分所含的面積.

第58題求拋物線的長RectificationofaParabola

確定拋物線弧的長度.

第59題笛沙格同調(diào)定理（同調(diào)三角形定理）Desargues'HomologyTheorem(TheoremofHomologousTriangles)

如果兩個(gè)三角形的對應(yīng)頂點(diǎn)連線通過一點(diǎn)，則這兩個(gè)三角形的對應(yīng)邊交點(diǎn)位于一條直線上.

反之，如果兩個(gè)三角形的對應(yīng)邊交點(diǎn)位于一條直線上，則這兩個(gè)三角形的對應(yīng)頂點(diǎn)連線通過一點(diǎn).

第60題斯坦納的二重元素作圖法Steiner'sDoubleElementConstruction

由三對對應(yīng)元素所給定的重迭射影形，作出它的二重元素.

第61題帕斯卡六邊形定理Pascal'sHexagonTheorem

求證內(nèi)接于圓錐曲線的六邊形中，三雙對邊的交點(diǎn)在一直線上.

第62題布里昂匈六線形定理Brianchon'sHexagramTheorem

求證外切于圓錐曲線的六線形中，三條對頂線通過一點(diǎn).

第63題笛沙格對合定理Desargues'InvolutionTheorem

一條直線與一個(gè)完全四點(diǎn)形*的三雙對邊的交點(diǎn)與外接于該四點(diǎn)形的圓錐曲線構(gòu)成一個(gè)對合的四個(gè)點(diǎn)偶.一個(gè)點(diǎn)與一個(gè)完全四線形*的三雙對頂點(diǎn)的連線和從該點(diǎn)向內(nèi)切于該四線形的圓錐曲線所引的切線構(gòu)成一個(gè)對合的四個(gè)射線偶.*一個(gè)完全四點(diǎn)形（四線形）實(shí)際上含有四點(diǎn)（線）1，2，3，4和它們的六條連線交點(diǎn)23，14，31，24，12，34；其中23與14、31與24、12與34稱為對邊（對頂點(diǎn)）.

第64題由五個(gè)元素得到的圓錐曲線AConicSectionfromFiveElements

求作一個(gè)圓錐曲線，它的五個(gè)元素——點(diǎn)和切線——是已知的.

第65題一條圓錐曲線和一條直線AConicSectionandaStraightLine

一條已知直線與一條具有五個(gè)已知元素——點(diǎn)和切線——的圓錐曲線相交，求作它們的交點(diǎn).

第66題一條圓錐曲線和一定點(diǎn)AConicSectionandaPoint

已知一點(diǎn)及一條具有五個(gè)已知元素——點(diǎn)和切線——的圓錐曲線，作出從該點(diǎn)列到該曲線的切線.

第67題斯坦納的用平面分割空間Steiner'sDivisionofSpacebyPlanes

n個(gè)平面最多可將整個(gè)空間分割成多少份？

第68題歐拉四面體問題Euler'sTetrahedronProblem

以六條棱表示四面體的體積.

第69題偏斜直線之間的最短距離TheShortestDistanceBetweenSkewLines

計(jì)算兩條已知偏斜直線之間的角和距離.

第70題四面體的外接球TheSphereCircumscribingaTetrahedron

確定一個(gè)已知所有六條棱的四面體的外接球的半徑.

第71題五種正則體TheFiveRegularSolids

將一個(gè)球面分成全等的球面正多邊形.

第72題正方形作為四邊形的一個(gè)映象TheSquareasanImageofaQuadrilateral

證明每個(gè)四邊形都可以看作是一個(gè)正方形的透視映象.

第73題波爾凱-許瓦爾茲定理ThePohlke-SchwartzTheorem

一個(gè)平面上不全在同一條直線上的四個(gè)任意點(diǎn)，可認(rèn)為是與一個(gè)已知四面體相似的四面體的各隅角的斜映射.

第74題高斯軸測法基本定理Gauss'FundamentalTheoremofAxonometry

正軸測法的高斯基本定理：如果在一個(gè)三面角的正投影中，把映象平面作為復(fù)平面，三面角頂點(diǎn)的投影作為零點(diǎn)，邊的各端點(diǎn)的投影作為平面的復(fù)數(shù)，那么這些數(shù)的平方和等于零.

第75題希帕查斯球極平面射影Hipparchus'StereographicProjection

試舉出一種把地球上的圓轉(zhuǎn)換為地圖上圓的保形地圖射影法.

第76題麥卡托投影TheMercatorProjection

畫一個(gè)保形地理地圖，其坐標(biāo)方格是由直角方格組成的.

第77題航海斜駛線問題TheProblemoftheLoxodrome

確定地球表面兩點(diǎn)間斜駛線的經(jīng)度.

第78題海上船位置的確定DeterminingthePositionofaShipatSea

利用天文經(jīng)線推算法確定船在海上的位置.

第79題高斯雙高度問題Gauss'Two-AltitudeProblem

根據(jù)已知兩星球的高度以確定時(shí)間及位置.

第80題高斯三高度問題Gauss'Three-AltitudeProblem

從在已知***球獲得同高度瞬間的時(shí)間間隔，確定觀察瞬間，觀察點(diǎn)的緯度及星球的高度.

第81題刻卜勒方程TheKeplerEquation

根據(jù)行星的平均近點(diǎn)角，計(jì)算偏心及真近點(diǎn)角.

第82題星落StarSetting

對給定地點(diǎn)和日期，計(jì)算一已知星落的時(shí)間和方位角.

第83題日晷問題TheProblemoftheSundial

制作一個(gè)日晷.

第84題日影曲線TheShadowCurve

當(dāng)直桿置于緯度φ的地點(diǎn)及該日太陽的赤緯有δ值時(shí)，確定在一天過程中由桿的一點(diǎn)投影所描繪的曲線.

第85題日食和月食SolarandLunarEclipses

如果對于充分接近日食時(shí)間的兩個(gè)瞬間太陽和月亮的赤經(jīng)、赤緯以及其半徑均為已知，確定日食的開始和結(jié)束，以及太陽表面被隱蔽部分的最大值.

第86題恒星及會(huì)合運(yùn)轉(zhuǎn)周期SiderealandSynodicRevolutionPeriods

確定已知恒星運(yùn)轉(zhuǎn)周期的兩共面旋轉(zhuǎn)射線的會(huì)合運(yùn)轉(zhuǎn)周期.

第87題行星的順向和逆向運(yùn)動(dòng)ProgressiveandRetrogradeMotionofPlanets

行星什么時(shí)候從順向轉(zhuǎn)為逆向運(yùn)動(dòng)（或反過來，從逆向轉(zhuǎn)為順向運(yùn)動(dòng)）？

第88題蘭伯特慧星問題Lambert'sCometProlem

借助焦半徑及連接弧端點(diǎn)的弦，來表示慧星描繪拋物線軌道的一段弧所需的時(shí)間.

第89題與歐拉數(shù)有關(guān)的斯坦納問題Steiner'sProblemConcerningtheEulerNumber

如果x為正變數(shù)，x取何值時(shí)，x的x次方根為最大？