北師大版九年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)期中考試試卷帶答案詳解

北師大版九年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)期中考試試題1．菱形具有而矩形不具有的性質(zhì)是（）A．對(duì)角線互相垂直B．對(duì)角線相等C．四個(gè)角都是直角D．對(duì)角線互相平分2．關(guān)于的方程解為()A．， B．，C．， D．，3．如圖，一張矩形紙片ABCD的長(zhǎng)，寬將紙片對(duì)折，折痕為EF，所得矩形AFED與矩形ABCD相似，則a：A．2：1 B．：1 C．3： D．3：24．如果□ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，那么在下列條件中，能判斷□ABCD為矩形的是()A．∠OAB＝∠OBA B．∠OAB＝∠OBCC．∠OAB＝∠OCD D．∠OAB＝∠OAD5．已知，若與的周長(zhǎng)比為，則與的面積之比為（）A．2:3 B．3:2 C．3:4 D．4:96．已知a、b為一元二次方程的兩個(gè)根，那么的值為（）A．11 B．0 C．7 D．-77．如圖，是正方形的邊上一點(diǎn)，下列條件中：①；②；③④．能使的有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)8．如圖，已知，，，則和的面積比是（）A．2:3 B．2:5 C．4:9 D．4:259．下列說(shuō)法正確的是（）A．兩條對(duì)角線相等的四邊形是平行四邊形B．兩條對(duì)角線相等且互相垂直的四邊形是矩形C．兩條對(duì)角線互相垂直平分的四邊形是菱形D．兩條對(duì)角線平分且相等的四邊形是正方形10．如圖，為估算某河的寬度，在河對(duì)岸邊選定一個(gè)目標(biāo)點(diǎn)A，在近岸取點(diǎn)B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，點(diǎn)E在BC上，并且點(diǎn)A，E，D在同一條直線上．若測(cè)得BE=20m，EC=10m，CD=20m，則河的寬度AB等于（）A．60m B．40m C．30m D．20m二、填空題11．如圖，在中，，，，為邊上一動(dòng)點(diǎn)，于，于，為中點(diǎn)，則的取值范圍是________．12．為全面建設(shè)小康社會(huì)，加快推進(jìn)社會(huì)主義現(xiàn)代化，力爭(zhēng)到年國(guó)民生產(chǎn)總值比年翻兩番．要實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo)，以十年為單位計(jì)算，設(shè)每個(gè)十年的國(guó)民生產(chǎn)總值的增長(zhǎng)率都是，那么可列方程________．13．如圖，為正方形外一點(diǎn)，，，則的長(zhǎng)為________．14．某種型號(hào)的電腦，原售價(jià)為7200元/臺(tái)，經(jīng)連續(xù)兩次降價(jià)后，現(xiàn)售價(jià)為4608元/臺(tái)，則平均每次降價(jià)的百分率為________．15．如圖，與是位似圖形，點(diǎn)是位似中心，若，，則________．16．如圖，在中，于．若不增加任何字母與輔助線，要使得四邊形是正方形，則還需增加的一個(gè)條件是________．17．填空：解一元二次方程的方法有四種，它們是直接開平方法、________、________、________．18．書架上有兩套同樣的書，每套書分上下兩冊(cè)，在這兩套書中隨機(jī)抽取出兩本，恰好是一套書的概率是________．19．如圖，正方形ABCD的對(duì)角線交于點(diǎn)O，以AD為邊向外作Rt△ADE，∠AED=90°，連接OE，DE=6，OE=8，則另一直角邊AE的長(zhǎng)為_____．20．如圖，在中，，點(diǎn)、同時(shí)由、兩點(diǎn)出發(fā)，點(diǎn)在上沿方向以的速度移動(dòng)，點(diǎn)在上沿方向以的速度移動(dòng)，則________秒鐘后，的面積為？三、解答題21．解方程：．22．如圖，在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，AO＝CO，BO＝DO，且∠ABC+∠ADC＝180°．（1）求證：四邊形ABCD是矩形；（2）若∠ADF：∠FDC＝3：2，DF⊥AC，求∠BDF的度數(shù)．23．一商店銷售某種商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元.為了擴(kuò)大銷售、增加盈利，該店采取了降價(jià)措施，在每件盈利不少于25元的前提下，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間銷售，發(fā)現(xiàn)銷售單價(jià)每降低1元，平均每天可多售出2件.（1）若降價(jià)3元，則平均每天銷售數(shù)量為________件；（2）當(dāng)每件商品降價(jià)多少元時(shí)，該商店每天銷售利潤(rùn)為1200元？24．如圖，正方形AEFG的頂點(diǎn)E在正方形ABCD的邊CD上；AD的延長(zhǎng)線交EF于H點(diǎn)．（1）試說(shuō)明：△AED∽△EHD（2）若E為CD的中點(diǎn)，求的值．25．將正面分別寫著數(shù)字1，2，3的三張卡片（注：這三張卡片的形狀、大小、質(zhì)地，顏色等其他方面完全相同，若背面上放在桌面上，這三張卡片看上去無(wú)任何差別）洗勻后，背面向上放在桌面上，從中先隨機(jī)抽取一張卡片，記該卡片上的數(shù)字為x，再把剩下的兩張卡片洗勻后，背面向上放在桌面上，再?gòu)倪@兩張卡片中隨機(jī)抽取一張卡片，記該卡片上的數(shù)字為y．（1）用列表法或樹狀圖法（樹狀圖也稱樹形圖）中的一種方法，寫出（x，y）所有可能出現(xiàn)的結(jié)果．（2）求取出的兩張卡片上的數(shù)字之和為偶數(shù)的概率P．26．如圖，在中，，，，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)開始沿著邊向點(diǎn)以的速度移動(dòng)（不與點(diǎn)重合），動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)開始沿著邊向點(diǎn)以的速度移動(dòng)（不與點(diǎn)重合）．若、兩點(diǎn)同時(shí)移動(dòng)；當(dāng)移動(dòng)幾秒時(shí)，的面積為．設(shè)四邊形的面積為，當(dāng)移動(dòng)幾秒時(shí)，四邊形的面積為？答案與詳解1．A【分析】由菱形的對(duì)角線互相平分且垂直，矩形的對(duì)角線相等且互相平分，即可求得答案．【詳解】∵菱形具有的性質(zhì)：對(duì)角線互相垂直，對(duì)角線互相平分；矩形具有的性質(zhì)：對(duì)角線相等，四個(gè)角都是直角，對(duì)角線互相平分；∴菱形具有而矩形不具有的性質(zhì)是：對(duì)角線互相垂直．故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)與菱形的性質(zhì)．注意熟記菱形與矩形的性質(zhì)區(qū)別是關(guān)鍵．2．C【詳解】，，，，故選C．3．B【分析】根據(jù)折疊性質(zhì)得到AF＝AB＝a，再根據(jù)相似多邊形的性質(zhì)得到，即，然后利用比例的性質(zhì)計(jì)算即可．【詳解】解：∵矩形紙片對(duì)折，折痕為EF，

∴AF＝AB＝a，

∵矩形AFED與矩形ABCD相似，

∴，即，

∴a∶b＝.

所以答案選B.【點(diǎn)睛】本題考查了相似多邊形的性質(zhì)：相似多邊形對(duì)應(yīng)邊的比叫做相似比．相似多邊形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比相等．4．D【分析】①定義：一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；②四邊相等；③對(duì)角線互相垂直平分的四邊形是菱形．據(jù)此判斷即可．【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，

∵∠OAB=∠OBA，

∴OA=OB，

∴AC=BD.

根據(jù)此條件，不能判斷四邊形ABCD是菱形，故A不符合題意.

對(duì)于選項(xiàng)B，由∠OAB=∠OBC，不能判斷四邊形ABCD的鄰邊相等，故B不符合題意.

對(duì)于選項(xiàng)C，由∠OAB=∠OCD，可得AB∥CD，根據(jù)已知也可得此條件，故不符合題意.

對(duì)于選項(xiàng)D.

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD∥BC，

∴∠OAB=∠ACD.

∵∠OAB=∠OAD，

∴∠DAC=∠DCA，

∴AD=CD，

∴四邊形ABCD是菱形.

故選D.【點(diǎn)睛】本題考查的是平行四邊形，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.5．D【分析】由△ABC∽△DEF，若△ABC與△DEF的周長(zhǎng)比為2：3，根據(jù)相似三角形的周長(zhǎng)比等于相似比，相似三角形的面積比等于相似比的平方，即可求得答案．【詳解】∵△ABC∽△DEF，且△ABC與△DEF的周長(zhǎng)比為2:3，∴△ABC與△DEF的相似比為2:3，∴△ABC與△DEF的面積之比為4:9.故選D.【點(diǎn)睛】本題考查的是相似三角形，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.6．A【分析】首先根據(jù)求根公式，得出方程的兩根，即a和b的值，然后分情況代入代數(shù)式求解即可得解.【詳解】方法一：由已知得，或∴當(dāng)時(shí)，=當(dāng)時(shí)，=綜上所述，所求值為11，方法二：已知a、b為一元二次方程的兩個(gè)根，則有即a2=-2a+9,且a+b=-2,∴故答案為A.【點(diǎn)睛】此題主要考查根據(jù)一元二次方程的兩根求代數(shù)式的值，熟練掌握，即可解題.7．D【分析】由四邊形ABCD為正方形，利用正方形的性質(zhì)四個(gè)角為直角，可得出∠B=∠C=90°，若∠BAE=∠CEF，再由∠B=∠C=90°，利用兩對(duì)對(duì)應(yīng)角相等的三角形相似可得出三角形ABE與三角形ECF相似；若∠AEB=∠EFC，再由∠B=∠C=90°，利用兩對(duì)對(duì)應(yīng)角相等的三角形相似可得出三角形ABE與三角形ECF相似；若AE垂直于EC，根據(jù)平角的定義可得出一對(duì)角互余，再由直角三角形ABE的兩個(gè)銳角互余，利用同角的余角相等可得出一對(duì)角相等，再由∠B=∠C=90°，利用兩對(duì)對(duì)應(yīng)角相等的三角形相似可得出三角形ABE與三角形ECF相似；若AB：EC=BE：CF，加上夾角∠B=∠C，利用兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等的兩三角形相似，可得出三角形ABE與三角形ECF相似，綜上，得出四個(gè)選項(xiàng)都能使三角形ABE與三角形ECF相似．【詳解】∵四邊形ABCD為正方形，∴∠B=∠C=90°，若∠BAE=∠CEF,可得△ABE∽△ECF，則選項(xiàng)①能使△ABE∽△ECF；若∠AEB=∠EFC,可得△ABE∽△ECF，則選項(xiàng)②能使△ABE∽△ECF；若AE⊥EF,可得∠AEF=90°，∴∠AEB+∠CEF=90°，又∵∠B=90°，∴∠BAE+∠AEB=90°，∴∠BAE=∠CEF，又∵∠B=∠C=90°，∴△ABE∽△ECF，則選項(xiàng)③能使△ABE∽△ECF；若AB：EC=BE：CF,再由夾角∠B=∠C=90°,可得出△ABE∽△ECF，則選項(xiàng)④能使△ABE∽△ECF，綜上,能使△ABE∽△ECF的選項(xiàng)有①②③④，共4個(gè).故選D.【點(diǎn)睛】本題考查的是相似三角形，熟練掌握相似三角形的判定是解題的關(guān)鍵.8．D【解析】試題解析：∵DE∥BC，∴∠ADE∽△ABC，∴，∵AD=2，BD=3，∴AB=5，∴，故選D．9．C【解析】【分析】利用平行四邊形的判定定理、菱形的判定定理、矩形的判定定理、正方形的判定定理逐一判斷后即可確定本題的答案．【詳解】A.兩條對(duì)角線相等的四邊形是平行四邊形，錯(cuò)誤，不符合題意；B.兩條對(duì)角線相等且互相垂直的四邊形是矩形，錯(cuò)誤，不符合題意；C.兩條對(duì)角線互相垂直平分的四邊形是菱形，正確，符合題意；D.兩條對(duì)角線平分且相等的四邊形是正方形，錯(cuò)誤，不符合題意；故選C.【點(diǎn)睛】本題考查的是平行四邊形，菱形，正方形和矩形，熟練掌握平行四邊形的判定定理、菱形的判定定理、矩形的判定定理、正方形的判定定理是解題的關(guān)鍵.10．B【詳解】∵AB⊥BC，CD⊥BC，∴AB∥DC．∴△EAB∽△EDC．∴．又∵BE=20m，EC=10m，CD=20m，∴，解得：AB＝40（m）．故選B．11．【解析】【分析】首先根據(jù)矩形的判定定理得出四邊形AEPF為矩形，根據(jù)矩形對(duì)角線的性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)得出AP的最小值和最大值，從而得出答案．【詳解】∵PE⊥AB，PF⊥AC，∠BAC=90°，∴四邊形AEPF為矩形，∵M(jìn)為EF的中點(diǎn)，∴AM=AP，當(dāng)AP⊥BC時(shí)，AP的值最小，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時(shí)AC的值最大，∴AP=，AP的最大值為12，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查的是矩形的判定定理與性質(zhì)，直角三角形斜邊上的高線的計(jì)算法則，屬于中等難度題型．將AM轉(zhuǎn)化為矩形對(duì)角線的一半是解決這個(gè)問(wèn)題的關(guān)鍵．12．【分析】2000年的國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值沒(méi)有，應(yīng)設(shè)其為1，可得翻兩番是4，根據(jù)2020年國(guó)民生產(chǎn)總值=2000年國(guó)民生產(chǎn)總值×（1+x）2，把相關(guān)數(shù)值代入即可求解．【詳解】可設(shè)2000年的國(guó)民生產(chǎn)總值為1，翻一番是2，再翻一番是4，每個(gè)十年的國(guó)民生產(chǎn)總值的增長(zhǎng)率都是x，∴2010年國(guó)民生產(chǎn)總值為1×(1+x)，∴2020年國(guó)民生產(chǎn)總值為1×(1+x)×(1+x)=(1+x)2，∴可列方程為(1+x)2=4，故答案為(1+x)2=4.【點(diǎn)睛】本題考查的是一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用，熟練掌握一元二次方程的定義是解題的關(guān)鍵.13．【分析】過(guò)點(diǎn)E作EF⊥BC于F，交AD于G，作AE的垂直平分線交EF于點(diǎn)O，則點(diǎn)O是△ADE的外心，DG=a，則OE=OD=a，F(xiàn)G=2a，BF=a，在Rt△DEG中，利用勾股定理求出a2，再在Rt△EFB中，利用勾股定理求出BE即可．【詳解】過(guò)點(diǎn)E作EF⊥BC于F，交AD于G，作AE的垂直平分線交EF于點(diǎn)O，則點(diǎn)O是△ADE的外心，∴∠AOD=2∠DEA=90°，OA=OD=OE，∴OG=DG=AG，設(shè)DG=a,則OE=OD=a，F(xiàn)G=2a，BF=a，在Rt△DEG中，DE2=EG2+DG2，∴9=(a+a)2+a2，解得a2=，∴BE====3.故答案為3.【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練的掌握正方形的性質(zhì).14．20%．【解析】試題分析：設(shè)每次平均降價(jià)的百分比為x；由題意得7200(1?x)考點(diǎn)：百分率點(diǎn)評(píng)：本題考查百分率，解決此類題的關(guān)鍵是審題，找出題干中的數(shù)量關(guān)系，列出式子15．18【分析】△ABC與△A′B′C′是位似圖形，由OA=2AA′可得兩個(gè)圖形的位似比，面積的比等于位似比的平方．【詳解】△ABC與△A′B′C′是位似圖形且由OA=2AA′．可得兩位似圖形的位似比為2：3，所以兩位似圖形的面積比為4：9，又由△ABC的面積為8，得△A′B′C′的面積為18．故答案是：18.【點(diǎn)睛】考查了位似圖形的性質(zhì)：面積的比等于位似比的平方．16．等（答案不唯一）【分析】根據(jù)菱形的判定定理及正方形的判定定理即可解答．【詳解】解：∵在?ABCD中，AC⊥BD于O，∴四邊形ABCD是菱形，當(dāng)AC=BD時(shí)，菱形ABCD就是正方形，∴要使得四邊形ABCD是正方形，則還需增加的一個(gè)條件是：AC=BD等（答案不唯一）．故答案為AC=BD等（答案不唯一）．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的判定，解答此題的關(guān)鍵是熟練掌握正方形的判定定理，即對(duì)角線相等的菱形是正方形．17．配方法公式法因式分解法【分析】根據(jù)解一元二次方程的方法有四種，①直接開平方法、②配方法、③公式法、④因式分解法填空即可．【詳解】解一元二次方程的方法有四種，直接開平方法、配方法、公式法、因式分解法.故答案填配方法、公式法、因式分解法.【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程的方法，解題的關(guān)鍵是熟練的掌握解一元二次方程的方法.18．【分析】本題需求出總的基本事件數(shù)和符合條件的額基本事件數(shù)，由古典概型公式可得．【詳解】從4本書中隨機(jī)抽取出兩本共有6種情況，恰好組成一套教材需從兩本上冊(cè)和下冊(cè)中各取一本，故恰好組成一套教材的情況數(shù)共有2×2=4種，故所求概率為：=.故答案為.【點(diǎn)睛】本題考查了古典概型及其概率計(jì)算公式，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意找出總的基本事件數(shù)和符合條件的額基本事件數(shù)再由古典概型公式可得.19．10；【解析】【分析】過(guò)點(diǎn)O作OM⊥AE于點(diǎn)M，作ON⊥DE，交ED的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，易得四邊形EMON是正方形，點(diǎn)A，O，D，E共圓，則可得△OEN是等腰直角三角形，求得EN的長(zhǎng)，繼而證得Rt△AOM≌Rt△DON，得到AM=DN，繼而求得答案．【詳解】過(guò)點(diǎn)O作OM⊥AE于點(diǎn)M，作ON⊥DE，交ED的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，

∵∠AED=90°，∴四邊形EMON是矩形，

∵正方形ABCD的對(duì)角線交于點(diǎn)O，

∴∠AOD=90°，OA=OD，

∴∠AOD+∠AED=180°，

∴點(diǎn)A，O，D，E共圓，

∴，

∴∠AEO=∠DEO=∠AED=45°，

∴OM=ON，

∴四邊形EMON是正方形，

∴EM=EN=ON，

∴△OEN是等腰直角三角形，

∵OE=8，

∴EN=8，

∴EM=EN=8，

在Rt△AOM和Rt△DON中，，

∴Rt△AOM≌Rt△DON（HL），

∴AM=DN=EN-ED=8-6=2，

∴AE=AM+EM=2+8=10．

故答案為：10．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及等腰直三角形性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是正確作出輔助線，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．20．或【分析】設(shè)P、Q同時(shí)出發(fā)x秒鐘后，AP=2xcm，PC=（12-2x）cm，CQ=xcm，此時(shí)△PCQ的面積為：×x（12-2x），令該式=8，由此等量關(guān)系列出方程求出符合題意的值．【詳解】設(shè)P、Q同時(shí)出發(fā)x秒鐘后,△PCQ的面積為8cm2.依題意得：×x(12?2x)=8，解得x=2或x=4.故答案是：2或4.【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練的掌握一元二次方程的應(yīng)用.21．(1)，；(2)，；(3)，；(4)，．【分析】（1）先移項(xiàng)得到x2-6x+5=0，再利用因式分解法解方程即可；（2）利用直接開平方法解方程即可；（3）利用公式法解方程即可；（4）利用直接開平方法解方程即可.【詳解】解：∵，

∴，

∴或，

∴，；∵，

∴，；∵，

∴，

∴，；∵

即或，

∴，．【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程，屬于基礎(chǔ)題型，解題的關(guān)鍵要掌握一元二次方程的幾種解法.22．（1）見解析；（2）∠BDF＝18°．【分析】（1）先證明四邊形ABCD是平行四邊形，求出∠ABC=90°，然后根據(jù)矩形的判定定理，即可得到結(jié)論；（2）求出∠FDC的度數(shù)，根據(jù)三角形的內(nèi)角和，求出∠DCO，然后得到OD=OC，得到∠CDO，即可求出∠BDF的度數(shù).【詳解】（1）證明：∵AO＝CO，BO＝DO，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠ABC＝∠ADC，∵∠ABC+∠ADC＝180°，∴∠ABC＝∠ADC＝90°，∴四邊形ABCD是矩形；（2）解：∵∠ADC＝90°，∠ADF：∠FDC＝3：2，∴∠FDC＝36°，∵DF⊥AC，∴∠DCO＝90°﹣36°＝54°，∵四邊形ABCD是矩形，∴CO＝OD，∴∠ODC＝∠DCO＝54°，∴∠BDF＝∠ODC﹣∠FDC＝18°．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，能靈活運(yùn)用定理進(jìn)行推理是解題的關(guān)鍵.注意：矩形的對(duì)角線相等，有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形.23．（1）26；（2）每件商品降價(jià)10元時(shí)，該商店每天銷售利潤(rùn)為1200元.【詳解】分析：（1）根據(jù)銷售單價(jià)每降低1元，平均每天可多售出2件，可得若降價(jià)3元，則平均每天可多售出2×3=6件，即平均每天銷售數(shù)量為20+6=26件；

（2）利用商品平均每天售出的件數(shù)×每件盈利=每天銷售這種商品利潤(rùn)列出方程解答即可．詳解：（1）若降價(jià)3元，則平均每天銷售數(shù)量為20+2×3=26件．（2）設(shè)每件商品應(yīng)降價(jià)x元時(shí)，該商店每天銷售利潤(rùn)為1200元．

根據(jù)題意，得（40-x）（20+2x）=1200，

整理，得x2-30x+200=0，

解得：x1=10，x2=20．

∵要求每件盈利不少于25元，

∴x2=20應(yīng)舍去，

∴x=10．

答：每件商品應(yīng)降價(jià)10元時(shí)，該商店每天銷售利潤(rùn)為1200元．點(diǎn)睛：此題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，利用基本數(shù)量關(guān)系：平均每天售出的件數(shù)×每件盈利=每天銷售的利潤(rùn)是解題關(guān)鍵．24．（1）證明見解析；（2）.【解析】試題分析：（1）根據(jù)正方形性質(zhì)得出∠ADE=∠HDE=90°，∠AEH=90°，求出∠DAE=